十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题11计数原理与概率统计（解析版）.pdf

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1、大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题11计数原理与概率统计.真题汇总1一.1.【2022 年北京卷 08】若（2x -+。3炉+a?/+a,则a。+a 2+&4=（）A.40 B.41 C.-40 D.-41【答案】B【解析】令尤=1,则。4+a?+a 2+%+a。=1,令x=-1,则一+。2+曲=（-3）4=8 1,故+。2+劭=18 1=41,故选：B.2.【2020年北京卷03】在（-2）5的展开式中，炉的系数为（）.A.-5 B.5 C.-10 D.10【答案】C【解析】（一 2）5展开式的通项公式为：0+1=禺（於（_2）r =（-2磋/？，令 号=2

2、 可得：r =l,则/的系数为：（-2）1禺=（一 2）5=-1 0.故选：C.3.【2021年北京11】（炉-4 4 展 开 式 中 常 数 项 为.【答案】-4（x3 4 的展开式的通项7 用=C$（x3）4-r（-;）r=（-l）rC 12-4r,令r =3 得常数项为九=（一 1）3髭=-4.4.【2016年北京理科10】在（1-2x）6的展开式中，的系数为.（用数字作答）【答案】解：（1 -2x）6的展开式中，通 项 公 式 热 产 最（-2x）r=（-2）哭/,令广=2,则x2的系数=（一 2）2丘=60.故答案为：60.5.【2015年北京理科09 在（2+x）5的展开式中，/的

3、系数为（用数字作答）【答案】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：。=6 2 5 ，所 求 的 系 数 为：Cl22=40.故答案为：40.6.【2014年北京理科131把 5 件不同产品摆成一排，若产品4 与产品8相邻，且产品/与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种.【答案】解：先考虑产品/与8相邻，把“、8作为一个元素有川种方法，而 X、8可交换位置，所以有=48 种摆法，又当A 8相邻又满足/、C 相邻，有 2题=1 2 种摆法，故满足条件的摆法有48 -12=36种.故答案为：36.7 .【2013年北京理科12】将序号分别为1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1

4、张，如果分给同一人的2 张参观券连号，那 么 不 同 的 分 法 种 数 是.【答案】解：5 张参观券全部分给4 人，分给同一人的2 张参观券连号，方法数为：1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5,四种连号，其它号码各为一组，分给4 人，共有4 X 4：=9 6 种.故答案为：9 6.8 .【2022年北京卷18】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0 m 以上（含 9.5 0 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.8 0,9.7 0,9.55,9.54,9.4

5、8,9.42,9.40,9 35,9.30,9.25；乙：9.7 8,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙：9.8 5,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】0.4丙【解析】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4（2）设甲获

6、得优秀为事件4,乙获得优秀为事件zb，丙获得优秀为事件4p（x =0）=P（A遇2 4）=0.6 X 0.5 x 0.5=P（X=1）=P（&砧）+不）+P（砧4）O=0.4 x 0,5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5 4-0.6 x 0.5 x 0.5=,20P（X=2）=。缶遇2&）+P（a 五4）+P（五&4）=0.4 x 0.5 x 0.5+0.4 x 0.5 x 0.5+0.6 x 0.5 x 0.5=P（X=3）=。（必 甸=0.4 x 0.5 X 0.5=泉的分布列为X0123P320820720220E(X)=0 x F ix F 2 x F 3 X =,20 20

7、 20 20 5(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛 次，丙获得9.85的概率为:，甲获得9.80的 概 率 为 乙 获4 10得9.78的概率为并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.9.【2021年北京18】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“左合1检测法”，即将4个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中2人感染病毒.(1)若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为定义

8、随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；(2)若采用“5合1检测法”,检 测 次 数y的期望为E(y),试比较E(和E的大小值接写出结果).【答案】(1)2 0次；分布列见解析；期望为答：(2)E(y)E(X).(1)对每组进行检测，需 要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需 要10次；所以总检测次数为20次；由题意,X可以取20,30,P(X=2 0)=?P(X=30)=1 一 萤=当则X的分布列：所以E(X)=20 X 士+30 X 当=*X2030P11110TT(2)由题意，丫可以取25,30,两名感染者在同一组的概率为B =粤4=白，不在同一组的概率为

9、P|=3，c 100 99 99则E(y)=25 x 磊+30 x 导 鬻 E(X).10.【2020年北京卷18】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(I)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(I I)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(H I)将该校学生支持方

10、案的概率估计值记为p o,假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为P 1，试比较P o 与P l 的大小.（结论不要求证明）【答案】（I）该校男生支持方案一的概率为:，该校女生支持方案一的概率为今3 4（I I）总，（H I）P1p0【解析】（I）该校男生支持方案一的概率为方瑞=；,200-400 3该校女生支持方案一的概率为就M-（I I）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案 概率为：（1）2（l-;）+C|（1）（l-i）1 =g;（1

11、 1 I）p i m.1 5.【2015年北京理科1614 8两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：/组：10,II,12,13,14,15,168 组；12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立，从/，5 两组随机各选1人，4 组选出的人记为甲，8 组选出的人记为乙.(I)求甲的康复时间不少于14天的概率；(II)如果。=2 5,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(I l l)当。为何值时，A,8两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)【答案】解：设事件4 为“甲是/组的第，个人，事件以为“乙是8组的第i 个人”，1由题意可知

12、尸(Ai)=P (Bi)=1,z=l,2,7(I)事 件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是/组的第5 或第6 或第7 个人”甲的康复时间不少于14天的概率尸(/5 U4j U/7)=P(在)+P(4)+P CA7)=|：(I I )设事件。为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则 C=A：.P(C)=P CA4 B1)+P(J 5 S1)+P(4 BD+P(J 7S1)+P(J 5 S2)+P(4 8 2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(4 以)+P(A7B6)i n=10尸(4 5 i)=10尸(4)P(5 i)=君(I I I)当 a为 11或 18 时;A,8两组病人康复时间的

13、方差相等.16.【2014年北京理科16】李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主 场 12212客 场 1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率；(3)记元是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X为李明在这场比赛中的命中次数，比较E X 与元的大小(只需

14、写出结论).【答案】解：(1)设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件/,由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2,主场3,主场5,客场2,客场4,共计5 场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P T)=磊=(2)设李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为事件8,同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率Pi=焉，客场命中率超过0.6的概率22=|，故 尸(8)=P X (I-P2)+P2 义(I-Pl)=x 1 +x 1 =g;1(3)X=YQ(12+8+12+12+8+7+8+15+20+12)=11.4EX=x1 7.【2013年北京理科16】如图

15、是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天空r质量指数(I I)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望(I I I)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【答案】解：设4-表示事件“此人于5月，日到达该地(i=l,2,，13)依据题意尸(4)=*,4 n 4=0 (f)(1)设5表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则2(5)=(II)X的所有可能取值为0,1,25 4 4P(%=0)，尸(X

16、=l)=言，尸(X=2)=言.X的分布列为X012P513413413.X的数学期望为E(X)=若(111)从 5 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.6模拟好题1.为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量(单位：千瓦时)，将数据按照40,60),60,80),80,100),100,120),120,140),140,160分成 6 组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为()频率前”0.018-1-0.015-0.008-1-0

17、.005-0.002-1-1I I I I I 1 _ 40 60 80 100 120 140 160人均月用电量千瓦时A.300 B.450 C.480 D.600【答案】D【解析】由频率分布直方图可知:数据落在40,60),60,80)的频率为0.002 x 20+0.008 x 20=0.2,故该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为3000 x 0.2=600故选:D2.二 项 式 的 展 开 式 中 久 4的系数与久 6的系数之比为()A.6 B.-6 C.15 D.-15【答案】B【解析】由题设Tr+l=Q x6-r(-i)r=(-l)rc06-2r

18、,所以含44项为写=(-1)JC|X4=-6x3 含*6项为7=(_ 1)叱6=X6,则系数之比为-6.故选：B3.有一副去掉了大小王的扑克牌(每副扑克牌有4 种花色，每种花色13张牌)，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）A.B.C.D.52 27 13 52【答案】C【解析】依题意，样本空间包含样本点为5 2,抽到的牌为“红桃”或7”包含的样本点为1 6,所以抽到的牌为“红桃”或 4 的概率为募=,故选：C.4 .若某地区6 0 岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为6 0%,加强免疫接种（第三针）的接种率为 3 6%,则在该地区完成新冠疫苗全程接种的

19、6 0 岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）A.0.6 B.0.3 7 5 C.0.3 6 D.0.2 1 6【答案】A【解析】解：设事件A 为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件B 为抽取的一人完成加强免疫接种，所以P（4）=0.6,P（AB）=0.3 6,所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的6 0 岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为尸（阴4）=联暇=。6故选：A5 .下表是某生活超市2 0 2 1 年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它区营业收入占比4 8.6%1 5.8%2 0.1%1 0.8%4.

20、7%净利润占比6 5.8%-4.3%1 6.5%2 0.2%1.8%该生活超市本季度的总营业利润率为3 2.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区;本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过4 0%.其中正确结论的序号是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题中数据知，其它类营业收入占比4.7%,为最低的，故错；生鲜区的净利润占比6 5.8%5 0%,故正确；生鲜区的营业利润率为翳 x 3 2.5%=4 4%40%,故正确：4 8.6%熟 食

21、 区 的 营 业 利 润 率 为=X 3 2.5%0；X J.O/Q乳制品区的营业利润率为黑X 3 2.5%=2 6.6 8%；其他区的营业利润率为/X 3 2.5%=1 2.4 5%；4.7%日用品区为翟 X 3 2.5%=6 0.7 8 7%,最高，故正确.1 0.0%故选：D.6 .在。+向 5 的展开式中，炉的系数是.（用数字作答）【答案】5【解析】由 7 7+1 =C 5-r（O=e g/，当r =4时7 5 =ca3 =5/，故炉的系数是5.故答案为：57 .在（-）6 的展开式中，常数项为.（用数字作答）【答案】1 5【解析】解：=c*（x l）6-fc（-x-1）k=（一 令

22、3 _|k =0,解得k=2,所以常数项为7 3 =霖（）4（一1）2 =1 5故答案为：1 5.8 .若（1 -2 x）5 =%+a ix+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则由+a2+a3+ai+as=.【答案】-2【解析】在(1 -2x)s=Q()+atx+a2x2+a3x3+a4x4+05%5 中，令 =0 可得：Q。=1.再令 X =1 可得：+Q 1 +。2 +。3 +。4 +。5 =1，故 Q 1 +。2 +。3 +。4 +。5 =2.故答案为：-2.9 .在(d )5 的展开式中，/的系数为.(用数字作答)【答案】1 0【解析】；(式一;的展开式的通项公式为7 +i=e

23、g ,(-l)r .x i 3 r,令 io 3 r =4,求得r =2,故展开式中X，的系数为篇=1 0,故答案为：1 0.1 0.二项式(1+X)n(7 ie N*)的展开式中好的系数为2 1,则=.【答案】7【解析】由题设，展开式通项为7 7+1 =g短，而*2 的系数为2 1,所以鬣=2 1,即曳色2=2 1 且n e N*,可得n=7.故答案为：71 1 .某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一

24、个字，则获得一张1 0元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5 元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求 X的分布列和数学期望E(X)；(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元.若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由.【答案】(喘(2)分布列见解析，E(X)=y(3)不愿意，理由见解析【解析】(1)解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字”为

25、事件4,则P(4)=a=，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为；5 /u70(2)解：依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、1 0；则p(x =0)=萼P(X=5)戏以_ 160一 35P(X =1 0)=以 _ 1=,35所以X的分布列为:X051 0P1 83 51 63 513 5所以 E(X)=1 0 x 5+5 x 票+0 x 1|=募(3)解：记随机变量丫为消费者在一次抽奖活动中的收益，则y =x-3,所以 E(y)=E(X -3)=E(X)-3 =y-3=-1 0,所以我不愿意再次参加该项抽奖活动;1 2.某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实

26、际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数 .从年龄在4 0岁以下的客户中抽取10位归为“组，从年龄在4 0岁及以上的客户中抽取1 0位归为8组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示Z组 的 客 户,表 示8组的客户.实际平均续航里程数4 5 04 0 03 5 03 0 025 020 04-+4-+O OO0 1 0 20 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0年龄/岁注:“实际平均续航里程数 是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记4,8两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数

27、”的平均值分别为的大小(结论不要求证明)；m,，根据图中数据，试比较机,(2)从抽取的20 位客户中随机抽取2 位，求其中至少有1 位是/组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于3 5 0,那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄4 0 岁以下和4 0 岁以上的客户各1 位，记“驾驶达人”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(l)m m啕(3)分布列答案见解析，E(X)=.【解析】(l)m n；由图可知，“实际平均里程续航数”在 25 0 附近或小于25 0 的A 组有5个，B 组有5个，且B 组这些数据整体大

28、于4 组；“实际平均里程续航数 大于25 0 的4 组有5个，B 组有5个，口B 组数据也整体大于4 组，所以8 组的数据总和大于4 组数据总和，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值n小于8组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数 的平均值设”从抽取的20 位客户中随机抽取2 位，至少有1 位是A组的客户”为事件M,则尸(M)=九 +脸=g,C20 38所以从抽取的20 位客户中随机抽取2 位，至少有1 位是4组的客户的概率是您；(3)由题图，知4 组“驾驶达人”的人数为1人，8 组“驾驶达人”的人数为2 人，则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄4 0 岁以下的客户中

29、随机抽取1 位，该客户为“驾驶达人”的概率为卷，在年龄4 0 岁以上的客户中随机抽取1位，该客户为“驾驶达人”的概率为卷依题意，X 所有可能取值为0,1,2.W x =o)=(i-)x(i-l)=,P(X=1)=(1 -)x 1+x (1 -1)P(X =2)=*=所以随机变量X 的分布列为X012P1 8251 35 015 0故 X 数学期望为 E(X)=0 xg+l xg+2 x =.1 3.20 22年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发.该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒.我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者.一旦发现感染

30、者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察.调查发现某位感染 者 共 有 1 0 位密切接触者，将 这 1 0 位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测.核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用“k合 1检 测 法 k合 1检测法”是 将k个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测；若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性.通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为p(0 p t2.1 6.某公司在20132021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：年份201320142015201620172018201920

31、202021年生产台数(单位：万台)345669101()a年返修台数(单位：台)3238545852718075b年利润(单位：百万元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c注:年返修率=年返修台数年生产台数(1)从20132020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从20132020年中随机选出3年，记f表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求和勺分布列和数学期望；(3)记公司在20132015年，20162018年，20192021年 的 年 生

32、产 台 数 的 方 差 分 别 为 若y Wmaxs*s分，其中maxs：,sH表示用s；这两个数中最大的数.请写出a的最大值和最小值.(只需写出结论)【答案】(叫(2)见解析(3)a的最大值为1 3,最小值为7.【解析】(1)由题表知,20132020年中,产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年和2016年,所以从表知202()年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于10。元/台的概率为台*(2)由题表知，20132020年中，若年返修率不超过千分之一的年份只有2013年和2015年，所以f的所有可能取值为1,2,3.P(f =D=警/P(f=2)=等=弟g3)=警/所

33、以分布列为123P3281528514所 以 吸=卷+2哺+3xV(3)a的最大值为1 3,最小值为7.1 7.北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间(单位：分钟)，得到下表：类别0,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100)性别男51 21 3898女691 01 064学段初中1 0高中m1 31 27

34、54(1)从该校随机抽取1 名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在 5 0,6 0)的概率；(2)从参加体育实践活动时间在 8 0,9 0)和 9 0,1 0 0)的学生中各随机抽取1 人，其中初中学生的人数记为X,求随机变量X的分布列和数学期望；(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的1 0 0 名学生参加体育实践活动时间的平均数记为“0,初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为 1，也，当阳满足什么条件时，仰 2 七”.(结论不要求证明)【答案】(1*(2)分布列答案见解析，数学期望：g(3)m G Z|2 m 中 可 得83.8 2 衰当m=

35、2,39 时成立，故m的取值范围m e Z|2 W m W 91 8.第 24届冬季奥林匹克运动会，于 2022年 2 月在北京市和张家口市联合举行.某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训I.训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试,成绩分别为4、B、C、D、E五个等级，分别对应的分数为5、4、3、2、1.甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示.(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？(结论不需要证明)(2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4 分并且乙的成绩为3 分

36、或4 分的次数为X,求X的分布列(频率当作概率使用).【答案】(1)乙比甲的单板滑雪成绩更稳定(2)众数为3分，平均数为2.9分(3)分布列答案见解析【解析】(1)解：由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定.(2)解：因为甲单板滑雪项目测试中4分和5分成绩的频率之和为0.3 2 5,3分成绩的频率为0.3 7 5,所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为3分，测试成绩 2 分的频率为 1 一 0.2 -0.3 7 5 -0.2 5 -0.0 7 5 =0.1,所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为1 x 0.2 +2 x 0.1 +3 x 0.3 7 5 +4 x 0.2 5 +5 x 0.

37、0 7 5 =2.9.(3)解：由题意可知,在每次测试中，甲的成绩为4分，并且乙的成绩为3分或4分的概率为0.2 5 x 0.3 7 5 x 2 =316，依题意，X 8(2，V),所以，p(x=0)=p(x=D=a*方 券 p(x=2)=信)2.所以，随机变量X 的分布列如下表所示:X012P1 6 92 5 63 91 2 892 5 61 9.某产业园生产的一种产品的成本为5 0 元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为8 0 元、7 5 元、6 5 元、6 0 元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取2 0 0 件产品进行等级检

38、测，检测结果如下表所示.产品等级优等品一等品二等品普通品样本数量(件)3 05 06 06 0(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；(2)从该流水线上随机抽取3 件产品，记其中单件产品利润大于2 0 元的件数为X,用频率估计概率，求随机变量X 的分布列和数学期望；(3)为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了 5 元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为Si 2 s2 2,比较S 2 s2 2的大小.(请直接写出结论)【答案】(喘(2)分布列见解析，!(3)4=sj【解析】(1)抽取的200件产品中优等品有30件，

39、抽取优等品的频率是券=用样本估计总体，从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为京(2)从流水线上随机抽取一件产品，估计利润大于20元 的 概 率 为 曙 =|.X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C式|)3=速，P(X=1)=&(|)1(|)2 =卷,P(X=2)=C抬)2(守=券 PIX=3)=演|)3=七分布列为X0123P2712554125361258125X的数学期望E(X)=0+黑+2 X 黑+3 X 盘=提 .(3)51=S2设 200件样本利润分别为孙孙X200,平均数为a则降价后200件样本利润分别为巧-5,全-5,-X2OO-5,平均数为五-5,由方差计算公

40、式可得免=s20.2021年 12月 9 日，北京市义务教育体育与健康考核评价方案发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40 分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和 5%,选 考 1分钟跳绳的比例分别为40%和 50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学

41、生选考乒乓球的概率；(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；(3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为出，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2,试比较“1与火的大小.(结论不需要证明)【答案】(喘 0.32%为【解析】(1)解：样本中男生的人数为1100 x10%=110人，样本中女生的人数为1000 x 5%=5 0人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件4则该学生选考乒乓球的概率PG4)=僦急=急；(2)解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B,从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C,由题意 P(B)=0.4,P(C)=0.5,则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为C：x 0.4 x(1-0.4)x 0.5+/x 0.42 x(1-0.5)=0.32；100 x8+40 x7.5+20 x7 31解：出=而=,60 x8+40 x7.5+10 x7 85=-=.所以41 H2.