南京市2023届高三年级学情调研（7月预演）答案解析.pdf

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1、南京市2023届高三年级学情调研（7 月预演）数 学注意事项：1 .本试卷考试时间为1 2 0分钟，试卷满分1 5 0分，考试形式闭卷.2 .本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3 .答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若|l+iz|=|3+4 i|,则|z一i尸A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】|z-i|=|l+iz|=|3+4 i|=5.2 .若集合 U=N*,M=x G N*y=ta n4 ,1 Wx W4 ,则(M C N=

2、2x 2A.5,7 B.4,5,6,7 C.4,8 D.4,【答案】A【解析】因为3=小=2左+1,左G N ,N=(4,y ,所以(uM)nN=5,7 .3.在N B C中，记 以=m，其=,则 翡(8+行)=A.m t i B.m+n C.n2m2 D.m2+/i2【答案】C【解析】因为力8 =。5 。/=一1,所以蔗（演 +五）=（一 1）（+而）=/一a 2.4.在 4 8 C中，A B=芯,4C=S，B C=3.则以8 c为轴，将/8 C旋转一周所得的几何体的体积为AA 一兀 DB.-2兀 八C.n CD.一4兀3 3 3【答案】C1【解析】由图形易知8c边上的高为1,所 以 =5

3、7?=$-3=兀.5.从 1 至 8的 8 个整数中随机抽取2个不同的数，则这2个数和为偶数的概率为【答案】D【解析】p=W.Ci 76 .已知函数7(x)=sin(x+/+sin(x),g(x)=/(/(x),则 g(x)的最大值为A./B.3 C.-D.2【答案】B【解析】记 f=x+则於）=/2（/）=5 3+$所+：）=5 1/+乎：0$，,所以的）=以 疝 0+四）6 一 动,回且所以最大为近7 .双曲线C：三 一/=S（）的左、右 焦 点 分 别 为 尸 尸 2,1为 C左支上一动点，直线a1/尸2 与 C的右支交于点8,且|/8|=3“，与48吊 尸2 的周长相等，则四尸2 尸A

4、 2 而 口 4#2 n 4A.-D.-C.-L）.3 3 3 3【答案】B【解析】记 C的焦距为2 c,则尸产2 尸 勿=2,又AABFI 与 ABFiFz 的周长相等，AB+AF =FtFi+BF2,又|/用=3 ，且|/8|+0 B|-M Q|=2“，即 2 a=W+l,a2=1,所以尸2|=2 4 a?+=邛.8.若 函 数 倜 则 的 定 义 域 为 口嗤二捐舞贝喳 A2A)A.28B.3 0C.4 6D.48【答案】B【解析】因 为 短=晅 ，所以一包.色二2=1,g(x)X x-2)g(x+2)g(x)记 贴)=八,所以/z(x M(x-2)=l,/i(x+2)/i(x)=l,则

5、/?(x)=/;(x+4),g(x+2)2 所以用2/)=人(2依+2),溟 丝 1=溟 1=2,g(2024)g(4)且X2)/(0)=g(2)g(4),则 瑞所以 心)=J+2)X 12=30.占og(24+2)2二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.在平面直角坐标系xQy中，已知直线/：三+=1 与 x 轴交于点4与y 轴交于点3,圆a bC：x2+y2axbyc=0,则A.若 c=0,则点。在圆。上B.直线/与坐标轴围成的三角形的面积为他2C.若点。在圆C 内部，则

6、c 的取值范围为(0,+8)D.若 a=b=c=&,则圆C 与ON8的中位线相切3【答案】ACD【解析】对于A,圆 C:。一)2+。一%2=亡 也+。=4 纥 令 x=y=0,恰符合;2 2 4 4对于B,面 积 衅;g工 厂 层+从 4+乂对于 C,-c-,4 4即 c0；对于D,圆 C：。+$+。+$2=；,中位线3x+3y+4=0恰与圆C 相切.1 0.已知数列 为 满 足 切=1,=即+工，则an anA.an+l2a B.%1 是递增数列anC.许+i4a 是递增数列 D.a 2 22+2【答案】ABD【解析】对于A,因 为 况=为+!2 2,所以如+iN2飙；ctn a”对于B,因

7、 为 吧=跖,+工，所以卢也 是递增数列；cin a对于C,由Q+I4a=(a“一2产-3,可知 斯 不 是 递 增 数 列；对于 D,因为 所以+1 优=1 Va+i所以斯+i2 +l,a,n,所以斯+1=届+12/+1,即 ，（一1尸+1 =/-2+2.3 1 1.在直四棱柱/8C O 一小E G。中，AA=AD=2AB=2,A B L A D,且尸为C C 中点，。为 4 4 1上一动点，则A.|P01G 芯，#B.三棱锥8 一。尸 S 的体积为；C.存在点。使得8 G 与平面。尸治垂直 D.存在点。使得N G 与平面。尸垂直【答案】AB【解析】以。为坐标原点，。/为 x 轴，。为y 轴

8、，为 z 轴，建立空间直角坐标系。-xyz,对于 A,P(0,1,1),Q(2,0,q),所以|PQ|=y(q-1产+5,且 gG0,2 ,所以|P 0|G 3,的;1 1 7对于 B,-cPB,=Ke-fi/Bl=|x i x|x 2 X 2=|；对于 C,而=(一2,0,1),丽=(0,-1,7),诟 i=(-2,-1,2),设平面。尸 8|的法向量”=(x,y,z),-BP=0,(2x+z=0,且 质=0,即 匕+广 仇 则”可 以 是 24,2),所以访不可能平行于：对于D,因为就i=(2,1,2),所以就也不可能平行于.12.设左WR 且上W0,22,N*,(1+kx)n=ao+ax

9、+a2lx2-anxn9 则A.0=2/=0B.0=(1+左)一 1/=1C.山=硝+)T D.产 0=2 (-1)X(1+k)n2i=i=2【答案】BC【解析】对于A,代入x=l 得 0=(1+左)；/=0对于 B,代入x=0 得 a o=l,所以=(1+Z)-1；/=1对于C,对等式两边x 同时求导得砂(l+fcr)T=m+2aM+八 T(*),代入x=l 得 以=必(1+左)-1；/-1对于D,对(*)式两边X同时求导得成251)(1+履)2=242+6“犷+心 一 1)初八2,代入 X=l,则。尸成2(1)(1+女厂2,i=2 4 所以 2 於勿=,)+X 汕.=乃(一1)(1+左)“

10、-2+*+左)“一 1一 周 成+)(i=2 i=2 i=2+打?一 2一泌.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.设 a,b e 0,且2由+6=1,则旦的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.b【答案】0【解析】3=也二止=2+-5-1 2 0,当且仅当a=0,6=1 时取等.b 4b 4 4b 214.已知函数/(x)=H nr+e+x,g(x)=ff(x).若 g(l)=g(3)=0,则 0)的焦点为尸(协，0),则 C 的方程为；若P，F 两点关于y 轴对称，且以尸尸为直径的圆与C 的一个交点为4则 cosZOAF.【答案】炉=8x；与1【解析】因为俨

11、=2px的焦点为(3 0),所以/=心，解得P=4,则 C 的方程为V=8x；因为P,尸两点关于y 轴对称，且。尸=2,5 所以以尸尸为直径的圆为x 2+y=4,设/(x o,/),则。力=(冗0,次)，FA (x o 2,次)，联立匕+卜2=4则，+8 x 4 =0,解得xo=2/一 4,-A -A一3二巨_ 1 匕 4 贴近一1且 cos/OA F _ I-一 .OA-FA 2 V 2 4-8 V 5 2四、解答题：本题共6 小题，共 7 0 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 7.(1 0 分)记 S,为数列 四 的前“项和，已知斯1,一纲是公差为刎等差数列.(1)证明：“

12、是等差数列；(2)若，。2,期可构成三角形的三边，求电的取值范围.。14解：(1 )因为 S,L；后 是公差为;的等差数列，所以 s 一；后一(S -L：曷 一 )=即(一 1)2 =足 _1,又 4 1,所以如一。-1=1，所以 斯 是等差数列；(2)因为0,42,期可构成三角形的三边，所以 2 +1 +5,即。1 4,又.=!夕=1 到+7学=3,且。1 4,414。14。+1 3 41+1 3所以电6(1 即，1 3).414 1 71 8.(1 2 分)已知椭圆C：，+，=l(a b 0)的上顶点为/(0,1),右焦点为尸(1,0).(1)求 C的方程；(2)若尸为C上一点，且 t a

13、n/尸 尸=2+3，求直线P尸的方程.解：(1)记。的焦距为2 c,则 b=c=l,所以a=亚,C的方程为1+户=1；(2)记坐标原点为 O,且 t an N/b=t an(N/R 9+NPF O),或 tanZAFP=tan(ZPFO-ZAFO),一 6 一因为 t a n N 4 =2+S 0,b=c=l,所以N/F O=45,所以 t an/4F P=t an NA/O+t an/PT7。-tanZAFOtanZPFOl+t an/尸 产。1-tanZPFO=2+3,t.L n tant anZ.AFO tanZPFO.c或 tanZAFP=-=-=2+V3,1 +t an ZPF O

14、t an ZJ F O 1 +t an ZPF O所以1&i 1/尸/0 =，或一韵，记直线P F的斜率为k,则k=tan/PFO=或-3,3所以P F的方程为y=?(x-1)或y=-g(x-1),即 x+l=0 或 g x+y一朗=0.1 9.(1 2 分)/T-/)2 42-1-方 2 2记 48 C 的内角力，B,C的对边分别为m b,c,已知”/二 十。.c2 ab(1)若 C=,求/,B；4(2)若 48 C 为锐角三角形，求二卫丁的取值范围.hcoszB“一、Ed。？一 a2+b2-c2-解：(1)因为 =-=2 c o s C,c2 ab所以 s i n2z 4 s i n2=2

15、 s i n2C c o s C=s i n 2 C s i n C=s i n(4+8)s i n(力B)=s i n C s i n(J B),代入C=匹，贝 J s i n(48)=1,所以4-8=匹，且/+8=囱，4 2 4所以Z=2,8=细；8 8(2)由(1)知 s i n 2 C=s i n(4-B),当2 c=4 5时，且 4+8+。=兀,若/8 C 是锐角三角形，则/V匹，2所以2 4=兀+。兀，不成立；当2 C+/8=兀时，且/+8+。=兀,所以。=2 8,所以3 3 支，2则 卜 5V：,且 C=2 8 若，,，4 对，全且=siM 3 t ad s,bcosB s i

16、n 5 c o s 2 g s i n 5 c o s2B又 t an B G(半，1),所以丁卫五G(2，|).3 bcoszB 3 7 20.（12 分）根据北京冬奥组委与特许生产商的特许经营协议，从 7 月 1 日开始，包括冰墩墩公仔等在内的2022北京冬奥会各种特许商品将停止生产.现给出某零售店在某日(7 月 1 日前)上午的两种颜色冰墩墩的销售数据统计表(假定每人限购一个冰墩墩)：蓝色粉色男顾客5a6a6女顾客2a34a3(1)若有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，求 a 的最小值；(2)在。取得最小值的条件下，现从购买蓝色冰墩墩的顾客中任选p 人，从购买粉色冰墩墩的

17、顾客中任选q 人，且p+g=9(p,g 2 0),记选到的人中女顾客人数为X.求 X的分布列及数学期望.附大=(a d-6c 尸体 左)0.05 0.010 0.001(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k 3.841 6.635 10.828解：(1)因为有99%的把握认为顾客购买的冰墩墩颜色与其性别有关，不妨给出零假设顾客购买的冰墩墩颜色与其性别无关，且该假设成立概率小于等于0.010,且由表知产(烂26.635)=0.010,贝|烂=四 6.635,即。2 9.9 5 2 5,又 a6 Z,-e Z,3 6所以a 的最小值为12；(2)因为p+q =9,所以X 的所有可能取值是0,1

18、,2,3,4,5,6,7,8,9,所以 X 的分布列为 P(X=i)=02，=，1，2,3,4,5,6,7,8,9,C36且 X”(9,24,3 6),所 以 反 同=臂=答=6.21.(12 分)如图，四棱锥尸一N8 8 的体积为3,平面尸4。,平 面 N8CZ),/是面积为S 的等4边三角形，四边形48。是等腰梯形，BC=1,E 为棱尸/上一动点.(1)若直线EC 与 平 面 的 夹 角 为 60。，求二面角B-C E。的正弦值；(2)求欢的取值范围.8 解：(1)因为 R4Z)是面积为S 的等边三角形,所以 PA=PD=AD=2,因为平面24 9,平面四边形48CD是等腰梯形,过 P 作

19、 NO的垂线，垂足为。，记 5 c 中点为T,连接0 T,所以OTLNZ),以。为坐标原点，OZ为x 轴，。7 为y 轴，OP为 z 轴，建立空间直角坐标系。一a z,且 8 c=1,0P=3，又四棱锥P-48C。的体积为3,4所以四边形Z8C。的面积为速，07=也，4 2设 E(r,0,毡一3。，又 C(一芈，0),所以5f+4,又直线EC与平面4 8 c o 的夹角为60。，即人 4及 5z+4=22/,解得Z=0,E,尸两点重合，又 E(0,0,5 5C=(-1,0,0),C E=-J，回 C D=(k y,0),设平面8CE的法向量=(用，yi,z i),平 面 CDE的法向量2=(如

20、/，z2),且 i 8C=0,m C E=0,2。0，_ 即辰 CQ=0,xi=0,y+2z=0,-X2-V2+y/Z2=0,2 2一 工 2+/外=0.所以小可以是(0,2,1),2可以是M，1,0),记二面角B-C E-D的平面角为仇则|cos9|=|cosi,W 2sin6=,5即二面角B-C E-D的正弦值为寺;(2)因为。=力4/2一4+4,EC=yj4-一 5t+4,所噜飞孚当且仅当，=1 时 9 取等号，且 f=o 时，=1,EC所噜山2 2.(1 2 分)已知函数危)=和盛工)=叵有相同的最大值.e ax(1 )求 4；(2)证明：存在直线夕=6,其与两条曲线=人)和)，=8(

21、、)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.解：(1)因为广(x)=盛二9()=匕 等，e ax1当。0,g (x)V O,则/(X)在(一8,1)上单调递减，在(1,+8)单调递增，不存在最大值，g(x)在(一8,e)上单调递减，在(e,+8)单调递增，也不存在最大值；当a0时，兀0 在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减，g(x)在(一8,e)上单调递增，在(e,+8)单调递减，所以/(x)有极大值/(1)=-,即/(x)的最大值，eg(x)有极大值g(e)=,即g(x)的最大值，ae所以旦=L 即。=1；e ae(2)由(1)知/()=+，g(x)=/(l

22、 n x)=皿，evx记()=土一6,且e e5|l J 令/(x)0,/(x)0,/)()0,所以存在x )e(一,1),使得Q o)=0,e -b b又d)V O,所以存在 X 1 G(1,-),使得/!(X|)=O,bb即此时y=b与y=/(x)有两个交点，其中一个交点在(0,1)内，另一个交点在(1,+8)内，同理y=b与y=/(ln_ r)=g(x)也有两个交点，其中一个交点在(0，e)内，另一个交点在(e,+8)内，10 若y=6与y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线N=/(x)和y=g(x)的公共点，记其横坐标为通，令y(X 2)=g(X 2)=y(lnx2),则2。(1，e),lux2 G(0,1).记y=b与y=/(x),y=g(x)的三个交点的横坐标从左到右依次为X 3,xi,x4,且满足 X 3 1 X 2 e X 4,/(X 3)=y(X 2)=g(X 2)=g(X 4)，且母=皿，即晟=心1n x2，d X2又 加3)=人质2),y(%2)=y(lnx4),且冷，I ge。1),xz,又4 6(1,e),且/(x)在(0,1)和(1,e)上分别单调，所以工3 =瓜丫2,X 2=lnx4,即X 4=小,所以送=%3%4，X 2为工3，X 4的等比中项，所以从左到右的三个交点的横坐标X 3,X 2,X 4成等比数列.11