安徽省铜陵2021-2022学年高三上学期12月联考理科数学试题（含答案与解析）.pdf

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1、铜陵一中、安徽师大附中2 0 2 1 2 0 2 2 学年高三上学期1 2 月联考数 学（理科）（时间：120分钟 分值：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共六十分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1 .已知z（l+2 i）=+后，则口=（）A.1 B.7 2 C.2 D

2、.石2 .设等比数列%的前项和为S,则“q 0”是“S 3 S 2”的（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3 .已知 a =log。/0 4,b=log0 4 1.1,c=O.4-0 1.则（）A.b a c B.h c a C.c a h D.a c h4 .以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图（每一刻度长为1）的 是（）想cD-=ex5.若,其中（9 e（O,万），则 sin(6 +V =()44 33A.B.一C.一D.55556.已知在AABC中，a、b、。分别为角A、B、C的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）兀A.a

3、=3,b=4,A=B.。=4,b=3,671C.a =l,Z?=2,A =D.。=2,/?=3,4,兀A=3,2万A=37.等差数列 和%的前项和分别记为S“与7；,若;=3 +4 贝I J -,1 2=()8 .如图，已知圆锥的底面半径为1，母 线 长 为 及，A 3为圆锥底面圆的直径，C是圆弧A 6的中点，。是母线&4的中点，则异面直线S C与30所成角的余弦值为（）A7 2 R V1 0 石 口回3 5 1 0 1 09 .已知函数/（x）=b in%|+|c osx ,则下列说法正确 是（）A.“X）的最小正周期为7 B.7（X）的最小值为日C./?一%）=/（）D.f（X）=6 在一

4、 工 上有解1 0.如图，AABC中，。为A 3上靠近5的三等分点，点/在 线 段。上，设 丽=Z，A Ch，-,_ _ 2 1A F =xa+yb 9则一+一的最小值为()x ycA.6 B.7 C.4 +2 尤 D.4 +2 百1 1 .如图，ABC 为正三角形，且边长为2 0,其中点A、8在平面。同一侧，点Cea,8C与平面a5万所成的角为下,则点A 到平面a的最大距离是()A.1 0 7 2B.2 0C.1 0 7 3D.3 0 x 2 4-cix+4 x 0A.-。0-；一B.,。C.(-oo,-l)D.-U(i,+)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.x-y 01 3

5、.若实数x,y满足约束条件-11 4 .已知曲线y =/e*T+x lnx 在x =l处的切线方程为y =2 x +”，则=.1 5.已知三棱锥产一A B C的四个顶点都在球。的表面上，平面A B C,PA=4,A B =6 A C=,B C =2,若。为 Q4上的点，且 D 4 =l，过点。作球。的截面，则 截 面 面 积 的 最 小 值 是.1 6 .若对任意的正数X、y,不等式（3 0 2 y 一”（1 1 1%-1 1 1 月 到 40恒成立，其中e 为自然对数的底数，则实数。的 取 值 范 围 为.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必答题，

6、每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分17 .已知等差数列%的前项和为S.，且=5,SH=121.（1）求 4 的通项公式以及s“；（2）若数列求数列也 的前”项和T“.18 .已知AABC的内角A,B,C 的对边分别为“，b,c,且 ABC 的外接圆半径为2.若（a+Z?）（si n A+si n 8）=csi n C+b si n A ,（1）求角。的大小；（2）求AABC面积的最大值.19 .已知数列。“满足G=1,%+1=3一7:an+1 +（ir.（1）设 勿=4 1，求数列 d 的通项公式；（2）求数列 q 的前2项和邑20.如图

7、，已知四棱锥产一4 3 8中，四边形A8C D 中，Z A B C =9 0，A B/C D,A B =1，BC=CD=P A =2,直线Q 4 在平面P C D 内 投影恰好是APCD中C O 边的中线尸M，且（1）求证：平面平面P BC；（2）若 N 为 AB上一点，满足A B =3 AN,求 平 面 的 与 平 面 P BC 所成锐二面角余弦值.21.已知函数，f（x）ex+c o s x-a x,8（）为了（力的导函数.汽（1）证明：当。=0 时，函数g（x）在 区 间 0,-内存在唯一的极值点与；若“（x）=x）-&c o s x +?,且”（x）在（0,2%）上单调递减，试探求”的

8、取值范围.（二）选考题：共 10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多答，则按所做的第一题计分.22.已知直线/：S-参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共六十分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知z（l +2i）=6 +6,则 同=（）A.1 B.夜 C.2 D.亚【答案】B【解析】【分析】通过计算求出复数z,从而得到三，再由复数的模的公式计算可得.【详解】由题得 4+图（衽+福）（l-2i）3衽 历 所 以 彳=3 且+好 i，z=T TIT=5 5所=J（穿+囹3故选：B.2.设等比数列%的前项和为S“，则“q 0”是“5 3$2”的

9、（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用 35 2=4和4 9=竭判断。3与0的关系，即可得到答案.【详解】若 4 0,且 外4=4；（），a 3 ，S 3 -S 2=a 3 0,则“q。”是“S 3 S?”的充分条件；若 53$2，则 S?-S2=%0,.4 0,则“S 3 S 2”是“4 0”的必要条件;则 则“4 0”是“邑$2”的充要条件.故选：C.3 .已知。=l og o/04,b=l og04 1.1,c=O.4-01.则（）A.b a c B.h c a C.c a b D.acb【答案】A【解析】【分析】利

10、用对数函数的单调性把4、6C与0,1比较，即可得到答案.【详 解】因为 0。=l og0 0.4 l og0（0.1=1 ,b=l og0 41.1 0.4 =1 .所以bac.故选：A.4.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图（每一刻度长为1）的 是（）_ e2x(x+2)e*e1 1 _ eA.y =了了 B.y =-C.J=D.=-|-|kl%kl 2 区【答案】D【解析】【分析】分析各选项中函数的单调性、极小值、奇偶性及其函数值符号，结合题图可得出合适的选项.【详解】对于A选项，当x0时，y =二，则y，=e%2 1)X X当。工 一时，y 时，y0,此时函数y =J单调递增，则

11、y极小值=y 1 =2 e 2,与题图不符;2x对于B选项，当2 x 0时，y=+2)e：02 困2x当x 0时，ye ,e (x-1)，y=,2x 2x2ev当0%1时，/a,故AABC有两解;sin B=-=-=sin Aa 3 3对 于B选项,3XB由正弦定理可得.DsinA 3 2sin B=-=.a 4递 s in 4,且 小 故 应 只 有 一 解;8对于C选项,2x交由正弦定理可得.D8sin A 2 X 2sin B=-=.-a 1、4,故 ABC 无解;对 于D选项,r因为A=上，则角A为 ABC的最大内角，且a v b,故5 c无解.3故选：B.7.等差数列 4 和 也 的

12、前项和分别记为S“与7；,若M =则 笃”=()/n Jri 十 今 4A.L2514B.2125C.2542D.25【答案】D【解析】%+4，【分析】根据等差数列的性质，将 色 一 上 变形为数列的前项和的比的形式，即可求得答案.仇【详解】4 和 也 为等差数列，收 +仆2 at+a14 y（ai+014）SH 6 x 7 4?比 一 次2）,一女瓦+岳）一四-3X7+4-25故选：D.8.如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长为A8为圆锥底面圆的直径，C是 圆 弧 的 中 点，。是母线S A的中点，则异面直线SC与80所成角的余弦值为（）AV2 R 7 1 0 （、出 口 亚3 5 1 0

13、1 0【答案】C【解析】【分析】以点。为坐标原点，o c、OB、o s所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线S C与80所成角的余弦值.【详解】解：连接。C、O S,因为A 5为圆锥底面圆的直径，。是圆弧A 8的中点，则A C =8C，O为A B的中点，则O C L A 5,以点。为坐标原点，O C、O B、O S所在直线分别为无、z轴建立空间直角坐标系，L S(O,O,1),所以，B(O,1,O)、c(1,0,0),D O,-,1SC =(1,O,-1),B D =,则 c os =一S C B_D 二 2M-M e义叵2_7|To)因此，异面直线S C与

14、 所 成 角 的 余 弦 值 为 好1 0故选：c.9.已知函数/（x）=b inX+|c os x ,则下列说法正确的是（）A.“X）的最小正周期为万B.“X）的最小值为日C.f71 XD./（“=血 在一5万,0上有解【答案】【解析】【分析】Dj r -J T由题可得/（x）是以上为周期的函数，故只需考虑XW 0,-2、时函数的性质，然后逐项分析即得.【详解】71,/(%+)=s i n L+y j+c os t x+171=|c os x+|s in.r|=f(x),227/（X）是以 为周期的函数,当XE0,时，/(幻=|s in x|+|c os x|=s in x +c os x

15、=V2 s inX+71471则 X+471 3乃7T1 g s inX+一714一 _ _ 2 1A F =x a+yb 7则一+的最小值为（）%yA.6 B.7 C.4 +2应 D,4 +2 6【答案】D【解析】.一 3分析】由题意，用向量AD,A C表示出向量A F，根据点F在线段CD上可得到刁x+y =1,再根据基本不等式即可求得答案.【详解】由于。为A 8上靠近8的三等分点，2 -故 A O =AB ,3所 以 赤=x +）石=X通+y恁=三 通+y玩，3又因为点尸在线段C 上，所以X+y =l,2 1 .2 1.3 x .3 x 2 y故一+=（一+一）（二 +丁）=4 +丁 +=

16、，x y x y 2 2y x2 3 x 2 ，由题意可知x O,y 0 ，故一+=4+三+上2 4 +2 6，x y 2y x当且仅 当 拄=至 时，即x =l-3,y =3二 时，等号取得，2yx 3 -2故选：D.1 1.如图，AABC为正三角形，且边长为2 0,其中点A、8在平面a的同一侧，点C e a,BC与平面a所成的角为一7,则点A到平面a的最大距离是（A.1072B.20C.1073D.30【答案】A【解析】【分析】过点A、3分别作AM _L a、BN 上a,垂足分别为点同、N ,连接CM、CN ,分析可知当平面ABC_L平面a时，即当点、C、N三点共线时，点A到平面a的距离最

17、大，计算出NACM的值，即可求得结果.【详解】过点A、3分别作A M L a、BN La,垂足分别为点M、N ,连接CM、CN ,如下图所示:、冗 7T由线面角的定义可知N B C N=3，ZACB=-,12 3当平面ABC_L平面a时，即当点、C、N三点共线时，点A到平面。的距离最大,此时NACM=一 乙 一 包=三，则AM=ACsin工=10&.3 12 4 4故选：A.x A,cix+4 x 0（一 8,-1川一丁，U（L+8）【答案】C【解析】【分析】分类讨论，当a zo时利用函数的单调性可得函数/(X)至多有一个零点；当时，分别讨论函Q 1-数/(x)=lnx+2a v，X G(0,

18、+O O),/(x)=-4 c i x+4,xe(-o o,0,的零点情况，进而可得 2 e，a 1 八-v a 0或或1 2e ，即求.a 2 ea=1 1 6?0【详解】当aZ O时，/(x)=x2-4 a r+4在(F,0上单调递减，又/(0)=4,所以函数/(x)在(8,0上没有零点，/(x)=lnx+20r 在(0,+)上单调递增，所以函数/(x)在(0,+8)上至多有一个零点，故当时，函数/(x)在R上至多有一个零点，不合题意；当a 0,函数/(x)单调递增；%(-2,8)时，/(x)0,即-a 0,即函 数 x)在(-8,0上没有零点,当/(2a)=0,即a =T,函数/(x)在

19、(一8,0上有一个零点，当 勿)0,即函数在(一甩0上有两个零点；1f 1所以要使函数/(X)恰有两个零点则J 2 e,或 卜=_ 上，或J 2e ,C l 1 Q=1 1 。0解得-1 或-6 T 0;2e综上，实数。的 取 值 范 围 是 或 一 -4 )与/(x)=X e (9,0的零点情况，通过分类讨论即可解决.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.x-y Q1 3.若实数x,满足约束条件(2x+y-6取 最 大 值 时 最 优 解 为.y-【答案】(2,2)【解析】【分析】首先根据题意画出不等式组表示的可行域，再根据Z的几何意义求解即可.12-4 o r+4,【详解】实数x

20、,表示的可行域如图所示：x-y =02x+y-6 =0，解得x=2/、)=2,即 4 2,2).z =x+y,则 尸-x+z,z表示直线y=-x+z的y轴截距.当直线y=-x+z过A（2,2）时，z取得最大值，此时最优解为（2,2）.故 答 案：（2,2）14.已知曲线y=+xlnx在x=l处的切线方程为y=2x+”，则=.【答案】-1【解析】【分析】由导数几何意义可得机=1,再由切点坐标求出结果.【降解】y=zneT+xlnx,y=me-1+lnx+l,又曲线y=，e i+x ln x在x=l处的切线方程为y=2x+，可得机+0+1 =2,解得m=1,所以y=e*T+xlnx,切点为（1/）

21、，代入直线方程得可得1 =2x1+“，即=一1.故答案为：-1.15.已知三棱锥产一ABC的四个顶点都在球。的表面上，B4_L平面ABC,PA=4,A B，AC=1，BC=2,若。为2 4上的点，且ZM=1，过点。作球。的截面，则 截 面 面 积 的 最 小 值 是.【答案】3万【解析】【分析】先求出三棱锥的外接球的半径/?=右，过点。作截面圆和。垂直，则此时截面圆的面积最小，求出截面圆的半径，即得解.【详解】解：如图，因为48=百，AC=1,BC=2,所以AB?+AC2=8。2,所以 NBAC=90、设球心为。，AABC的 斜 边 的 中 点 为a ,则。1为AABC外接圆的圆心，%的中点为

22、E,球的半径为R,连接OP,OA,OE,则=1,A E =2=O Q,所以 RMTFTFMV L过点。作截面圆和0。垂直，则此时截面圆的面积最小，0 D =4 +F =也此时截面圆的半径=/后 一 五 2=石，所以截面圆的面积为万产=3万.故答案为：3兀1 6.若对任意 正数X、y,不等式(3 e 2y x)(lnx-lny)-纱。恒成立，其中e为自然对数的底数，则实数。的 取 值 范 围 为.【答案】4 e2,4 w)【解析】【分析令.=2 0,/(r)=(3 e2-/)ln/,则。之/(/)皿，利 用 导 数 求 出 函 数 在(0,+。)上的最y大值，即可得出实数。的取值范围.【详解】对

23、任意的正数X、y，不等式(3 62、一到(1 1 1%-1 )一冲4 0恒成立，则 aN(3 e2 t In,令，=2 0,/(r)=(3 e2-/)ln r,其中 t0,则,I y)y y/G)=ln，=-，令 夕=3金 一 一/ln f,其中r 0,则夕=-(2+ln r).当0 f (),此时函数e(f)单调递增，当时，0 (。0，当0 r(r)=3 e2-r(l+ln r)3 e2+Z 0,即/(，)(),e-因为函数e(r)在1 5,+8)上单调递减，且0卜2)=0,当 4 f(r)0,即/,(r)0；当 0?时，。)3 a b（。=6 时取等）/.a b 4(S A B C =-(

24、ab)-s i n C=V3.ADJ/m ax 2 /m ax1 9.已知数列 q,满足q =l,a+l=3-(”%+笔辿.(1)设 么=。2,1，求数列 勿 的通项公式；(2)求数列%的前2项和S 2,.【答案】(1)b=2H-(2)S2=3-2f l+-3n-6【解析】【分析】(I)先化简。=3_(T)+1+(、)：,再推导出写 等于一个常数，即可求解;+1 9 2 b +1(2)结合第一问，先求出数列%的满足的规律，然后再求和.【小 问 1 详解】一 一 3-(-1)1+(-1)2a,n=2k+,keZ由已知有：an+i=-an+-=-e-lrr【解析】【分析】(1)当。=0时.，求导判

25、断单调性，结合零点存在定理进行判断；(2)”(x)在(0,2乃)上单调递减，则Hx)W 0在(0,271)上恒成立，继续将Hx)0这个不等式进行参变分离进行处理即可.【小 问1详解】。=0时、/(x)=e-*+c o s x,则 g(x)=/()=-e-*-s i n x,rrg (x)=-v-c o s x,令7z(x)=g 1x),则/(力=一”+s i n x,显然x w 0,时，”单调递增，“(0)=1 0,所以存在fe(o,使得“(/)=(),当x e(O )时，(x)0，(x)单调增；又(O)=g，(O)=O,/7圉=8 0=/0,所以存在唯一的点x e(0,3,使得g，(X o)

26、=O.当x e(O,X o)时，g(x)0,g(x)单调增；所以/为g(x)的极小值点，得证.小问2详解】由题意可知（x）=e7+sinx-izr在（0,24）上单调递减，则（x）=-e +cos x-a 0恒成立，所以0（x）在（乃,24）上单调递增;当 x e（0,不）时，/（x）=-ex-cos x 单调递增，夕”（0）=e。cosO=20,根据零点存在定理可知，存在唯一玉0,使得/（%）=e f cosx,=0,（x）=e f-sinx在（0,玉）上单调递减，在（玉,乃）上单调递增，（p x=ex-sin x=-cosX|-sin xt=-V2sin 玉 +0,S）=e-*0,根据零点

27、存在定理可知，存在&e（0,xJ,%不，乃）使得“（w）=0，夕（毛）=0,所以o（x）在（0,%）上单调递增，在（9，七）上单调递减，在（七,不）上单调递增，又0(%)=-e 2+cos/,0(2万)=_e +1,又因为马2万，cosx2 1,所以一e 2所以夕（工2）0（2乃），综上：a i 0(2%)=l于2.（二）选考题：共 10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多答，则按所做的第一题计分.x=a+，sina22.已知直线/：,=b+fcosaa为参数）.T C（1）当。=工 时，求直线/的斜率；6（2）若尸（。力）是圆。：炉+产=16内部一点,/与圆。交于A、8两点，且1

28、PA|、|。“、|尸同成等比数列，求动点尸的轨迹方程.【答案】（1）百;(2)x2+y2=8.【解析】【分析】(1)根据已知条件可得出直线/的斜率；(2)设A、3两点对应的参数分别为口、tB,将直线/的参数方程与圆。的普通方程联立，利用韦达定理结 合 叶=归创归川可得出点P的轨迹方程.【小 问1详解】7 7 C C S C f I-解：当时，直 线/的 斜 率 左=也 =百.6 s i n a【小问2详解】解：由题意，设A、8两点对应的参数分别为4、tB,把直线/的参数方程代入圆。的普通方程中，(a +f s i n a)2+(b +/c o s a)2=16,整理得 f+(2 a s i n

29、 a +2 Z?c o s a)r+z2+/?2-16=0,因为点P在圆。内，故直线/与圆必相交，且|。呼=标+。2 16,所 以,tAt8=a2+b2-6=-PA-PB,又因为|即、|。尸|、归四成等比数列,所以，|。叶=归 郎|/科，贝卜(/+/-1 6)=储+/，即/+6=8,因此，动点尸的轨迹方程为f +)，=8.2 3.已知函数/(x)=|x-2|+|x +2 .(1)求不等式/(x)2 2 x+3的解集；若 的 最 小 值 为 且 实 数。、b、c满足a(0+c)=A,求证：2 a 2+/+2 2 8.【答案】(1)1；(2)证明见解析.【解析】【分析1 分x 2、-2 x 2三种

30、情况解不等式x)2 x+3,综合可得出原不等式的解集；(2)利用绝对值三角不等式可求得了(力的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小 问1详解】3解：当x v 2时，不等式即为一2xN 2x+3,解得不工一:，此时、2；当一2WxW2时，不等式即为4 2 2 x+3,解得此时一2 44,；2 2当X2时，不等式即为2x2x+3，XG0.综上，不等式x”2x+3的解集为1-8,；.【小问2详解】证明：由绝对值不等式的性质可得：卜一2|+卜+2|习(x 2)(x+2)|=4,所以，当一2Wx2时，/(x)取最小值4，即2=4,所以，a(h+c)=4,即aZ?+ac=4,所以，+b+c=(3)+(6T+)2 2ab+2ac-8,当且仅当a=人=c=&时等号成立.