福建省高一数学竞赛试题.pdf

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1、如教9孙凶蔽2009年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5 月 10日上午8：30-11：00）题 号一二总分1-56-1 21314151617得 分评卷人复查人答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.一、选 择 题（共5小题，每小题5分，满分25分）1.己知集合尸=*|2-1卜1 ,则使（PCM）2（PDH）的集合例=)A.x|0 x lC.x|x l1 2B.D.2009年福建省高一数学竞赛试题 第1页x 0 xgx|-x 0 ,且a w l)满足：对任意实数 演,x2,当不 吗 时，总有则实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(2,2拘 D.(

2、1,26)4.若点尸(叫6)是直线工+夕=与 圆 必+力=2 -4的一个公共点，m m m则 外 的 取 值 范 围 是()A.一L+o o B.C.D.4)4 J L 4 9 J 1 4 45.定义在K上的函数/(x)的图象关于点(-,0)成中心对称，对任意的4实 数 X 都 有 /(x)=-/(x +1)，且/(-1)=1，/(0)=-2,则/(1)+/(2)+/(3)+，(2009)的 值 为()A.-2 B.-1 C.2 D.12009年福建省高一数学竞赛试题 第 2 页共 8 页二、填 空 题(共 7 小题，每小题5 分，满分35分)1,x 06.设 函 数 /(x)=0,r=0,则

3、 方 程 X2/(X-1)=-4 的 解-1,x 0,且。工1)的值域为R,则实数Xm 的取值范围是。10.对 于 i=l,2,，有|x,|l)时，总有/(x-4)44x成立，求r的最大值。2009年福建省高一数学竞赛试题 第5页共 8 页1 5.已知圆C：(x-2 y+(y-2)2=2,过原点。作圆C的两条切线。4、O B,切点依次为Z、B,过原点。引直线/交圆C于。、E 两 点,交直线4 8于点尸。2 0 0 9 年福建省高一数学竞赛试题 第 6页共 8页1 6.已知定义在区间(0,+c o)上的函数y =/(x)满足下列三个条件：对 任 意 的 x 0,一 0，总有/卜/9/(y)=/(

4、x+y)成立;(2)2)=0；(3)当0 x 2 时，总有/(x)w O。求/(3)+/(g)的值。2009年福建省高一数学竞赛试题 第 7 页共 8 页1 7.已 知 集 合 是 集 合 5=1,2,3,，2009的含有m 个元素的子集，且对集合”的任意三个元素x,y,z 均有x+y 不能整除z。求 m 的最大值。两蟒2009年福建省高一数学竞赛试题 第8页共8页2009年福建省高一数学竞赛试题参考答案(考试时间：5月10日上午8：30-11：00)一、选择JK(共5小 每 小 题5分，满分25分)1.已知集合尸=丫|2 川 1 ,则使(P c A/)q(P 5/)的集合”=()A.x|0*

5、1 B.1 x|0 x-j C.x x ；D.1 r|JX1 j【警】A【解】由(P c A/)2(P u A/),知 =尸，X P=x|2 x-l|l =x|0 x l).故，Af=x 0 x 0,且awl)满足:对任意实数不，弓，当玉s 时，总 有/缶)-/(!)0,则实数。的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(2,2y/3)D.(1,2拘【答】D【解】由条件知，“X)在(-，上为减函数，又g(x)=/y+3在 卜 呜 上 也 是 减 函 数，所以，a l.a l因此，g()-la2 _ la2+3 0解得1 0 ,得M o：mN f 0 06.设函数f(x)=,0,x=0,则

6、方程/3-1)=-4的解为-1,x 0 a,或x2xl=-41=或X2 x0=-4 x-l0,且a w l)的值域为R,则实数/的取值范围X是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。【答】(田，4【解】设g(x)=%+%-4。fi/(x)=log-(x+-4)(a0 且awl)的值域为R 知，g(x)X X的值域中包含全体正数。显然制工0符合要求92M9年福盛窖育T学竞奏闻“考答案第3 页 共 8 页若 m0,则 x+已-2 而或 x+x xg(x)的值域为,-2 6 _ 4卜 2 6-4,+8）。2,yin 4 V 0,0V/M 4。综合得，初的取值范围是(Y 0,4。1

7、 0.对于=1,2,，力，有|不|1,且|X,|+|0|+|耳|=21+|玉+/+/|，则正整数 的最小值为 O【答】22【解】由I玉|+|o|+X|=21+|.+4|知,I玉|+|。|+|,卜 21=|玉+芍+9 2 0。又|x jv l(=1,2,n)所以，之22。又当石=。=二玉=近，玉2=玉3 u-.n f =一百时，9I芯|+|x,|+|x.|=22x访=21,|苦+三+4 1 =0,符合题设要求。因此，n的最小值为22.11.设国是不超过 x 的最大整数，则log,l+log3 2+logs 3+log,500=.【答】2142【解】若1。83 可=为整数，且。2 0),RlJn2

8、1og3xM+l,35x3+1.若”=0,则3。3 1 符合条件的整数x 有 2 个；若”=1,则3 YX 3,符合条件的整数x 有 6 个；若”=2,则32X V3 3,符合条件的整数x 有 18个；若”=3,则3 3 4 x 3 符合条件的隹数x 有 54个；若=4,则3 4X 3,符合条件的整数x 有 162个；若”=5,则35Vx且关于x的方程/(x)=2在区间(-3,；)内有两个不同的实根。(1)求/(力的解析式；(2)若(r l)时，总有/(x-4)M4x成立，求,的最大值。【解】(1)记g(x)=/(x)-2,则g(x)=x2+mr-l,g(0)=-l0.由方程/(x)=2在区间

9、(-3,J内有两个不同的实根，得g(x)=0区间(-3,；)内有两个不同的实根。1由g(0)=-l 0Il l.4 分8(5)=1+尸 _10劣 R解得5cm又m w Z,所以附=2,/(x)=x2+2x+l.8 分(2)由/(x-4)4x 知，(x-3M4x,x2-10 x+9$0,BP(x-lX-9)0.由于xwl,r(r 1)时，总有x-4)s4x成立，所以，xel,rj(r l)时，总有(X-1XX-9)40成立.因此，1 0).2 M 9年,建杳充一数学壹奏试考答案第6 页 共 8 页由(x+3 0,得知=3 j,OF=y/l+k2|xF-0|=V1+2 l 尸 4r 1+i 1 1

10、 1 +*.2 2(1+*)1 .OF 3 H 7r由(x-2)2+(y-2)2=2,得Q+r v w+A u+G u O.y=kx设。a，M),取，口)，8 分则 3+x?=+?,天弓=-TJ 0D=-J+k2 J x,-0 1,OE=y/l+k2-|Xj-0|1 +斤 1+上显然玉 0,X2 0og 4 1 1 1,1 1%+3_2(1+4)1OD 0E 认+卢 石 V 1+F 玉。3 J1+淤因 jit，-1 -+-=。-OD OE OF注：第(2)题中，也可以用平面几何方法解答。可酌情给分。1 2 分1 6.已知定义在区间(0,+8)上的函数y=/(x)满足下列三个条件，(1)对任意的

11、x 0,一 0,总 有/*/(y)O =/C r+y)成立;(2)/=0；(3)当0 2a+2f 3a+2 (夕-l)a+2,qa+2；a+r 2 a+r，3 a r ，(q-l)a+，a+r+1,2a+r+l 3a+r+l,，(q-l)a+，+l；、a+(a-l)2a+(a-l),，(-l)a+(a-l)；2a,3a 4 a,，qa .4 分由于。是M中的元素，于是，在上述各行的任意相邻两个元素中，最多只能有一个元素被包含在M中。因此，在前，行中，每行最多有等个元素在集合M中，在后a-r行中，最多有 上 个元素在集合“中。m 2 ，夕 1/、八，9+1、q 4 .q r+r+q a-q r,2009因jltS,-2-x r+|万|X(Qr)M 1,+5(4-/)=1 +-=1 H o又，m为正整数，因此mM 1005。.8分显然集合AT。=1005,1006,1007,2009 满足条件，且 含 有1005个元素。I所以，羽的最大值为1005。.1 2分.加年糕建窖育一数学竞赛试参考答案第8 页 共8页