十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国专题18不等式选讲（解析版）.pdf

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1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题18不等式选讲.，真题汇总 .1 .【2 0 2 2 年全国甲卷理科2 3】已知a,b,c 均为正数，旦。2+按+4。2=3,证明:(l)a 4-h +2 c (a +h +2 c y,所以Q 4-h +2 c 0,b 0,c0,由(1)得a +b+2 c =a +4 c W 3,即 0 a+4cW3,所 以 士 2 J,a+4c 3由权方和不等式知工+=兰+之 史 孚=-2 3,a c a 4c a+4c a+4c当且仅当3=：,即a=l,c =；时取等号，a 4c 2所以工+工2 3.a ca a q2 .

2、【2 0 2 2 年全国乙卷理科2 3】已知a,b,c 都是正数，且 港+谓+得=1，证明：(l)a/)c 0,6 0,c 0,则成 0，质 o，C2 0 所 以 驾 与 生.总 总即(a bc)g，所以ab cj,当且仅当浸=1，即a =b=c =J时取等号.(2)证明：因为 a 0,b 0,c 0,所以b+c N 2 V ，a +c lyfac3 a 4-h 2 Vab333所 以 与 3 =士，_ L a b c3 3 3 3 3 3a b c a 2 b2 c2 Q2+应+c 2 1-卜-+-W .+,T-,=，b+c a +c Q+b 2 7 abe 2 yjabc 2 7 abe

3、2 7 abe 2 yjabc当且仅当a =b=c时取等号.3.【2 0 2 1年全国甲卷理科2 3】已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2%-l|.【答案】图 像 见 解 析；aN当(1)可得f(x)=|%-2|=父 芸，画出图像如下:X ,X 6(2)/(%+a)=|x+a-2|,如图，在同一个坐标系里画出了(九),。(乃图像，y=fx+a)是y=/(%)平移了|a|个单位得到，则要使f(霓+a)g(x),需将y=/(%)向左平移，即a 0,当旷=/(尤+。)过4 6，4)时，弓+2|=4,解得a=号或一：(舍去),则数形结合可得需至少将y=/(x)向左平移三个单位，.

4、a y.4.【2 0 2 1 年全国乙卷理科2 3】已知函数/(x)=|x -a|+|x +3.(1)当a=l 时，求不等式2 6的解集；(2)若/(x)-a,求 a的取值范围.【答案】(1)(o o,-4 U 2,+c o).(2)(,+o o).(1)当a=l 时，/(x)=|x-l|+|x+3|,|%-1|+阿+3|表示数轴上的点到1和一3的距离之和，则/(x)6表示数轴上的点到1和-3的距离之利不小于6,当*=-4或M =2时所对应的数轴上的点到1,-3所对应的点距离之和等于6,.数轴上到1,-3所对应的点距离之和等于大于等于6 得到所对应的坐标的范围是x 2,所以/(%)6的解集为(

5、-c o,-4 U 2,+c o).(2)依题意f(x)a,即|x a|+|尤 +3|Q恒成立,|x-a|4-|x+3|=|a-x|+|x+3|a+3|,当且仅当(a-x)(x+3)0时取等号，二 =|a+3|,故|a+3|-a,所以a+3 -a或Q+3 _*所以a的取值范围是(一a+8).5.【2 0 2 0 年全国1 卷理科2 3】已知函数f(x)=|3x+l|-(1)画出y=/(*)的图像;(2)求不等式f(x)f(x +l)的解集.【答 案】(1)详解解析；(2)【解 析】(1)因为/(x)=x+3,x 15x 1,x-X-3,x 4,解得：x -当 3 x 4,无解；当X Z 4 时

6、，/(x)=x-4+x-3=2 x-7 4,解得：x y；综上所述：八无)2 4 的解集为1：比三号或欠2 .(2)/(无)=|x-a2|+|x-2a+1|(x-a2)-(x-2a+1)|=|-a2+2a-1|=(a-I)2(当且仅当2 a-l W*W a2时取等号)，(a-l)2 4,解得：。-1或V4.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【解析】(1),(a+b+c)2=a2+&2+c2+2ab+2ac+2bc=0,ab+be+ca=1(a2+垓+c2).：abc=1,.a,瓦 c均不为0,则a?+62+c2 0,/.ab+be+ca=-|(a2 4-b2+c2)0,b Ofc V

7、4,即 max(a,b,c8.【2019年新课标3 理科23】设 x,y,zG R,且 x+y+z=l.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2 的最小值；(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2/成立，证明：a W-3 或 a 2-l.【答案】解：(1)x,y,zG R.且 x+_ y+z=l,由柯西不等式可得(12+12+12)(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2(x-1+jH-l+z+l)2=4,可 得(X-1)2+(y+1)2+(z+1)21,4即 有(X-1 )2+(尹1 )2+(z+1)2的最小值为(2)证明：由x+y+z=l,柯西不等式可得(12+12+12)

8、(X-2)2+(y-I)2+(z-a)2(x-2+y-1+z-a)、=(a+2)2,可 得(x-2)2+-1)2+(z-a)22 J琴 乃,即 有(x-2)2+y-1)2+(z-a)2的最小值为小合由 题 意 可 得 N解得-1 或 aW-3.9.【2019年全国新课标2 理科23】已知/(%)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当Q=1 时、求不等式/(x)0 的解集；(2)当 尤(-8,1)时，/(x)0,求Q的取值范围.【答案】解：(1)当。=1 时,/(x)=|x-l|x+|x-2|(x-1),V/(x)0,，当 x V l 时，f (x)=-2(x-1)2V O,恒成立，A

9、x l；当 1 时，/(x)=(x-1)(x+|x-2|)2 0 恒 成 立,.vG0；综上，不等式的解集为(-8,1)；(2)当 时，/CO=2(a-x)(x-1)0 在(-8,1)上恒成立；当 a 0,不满足题意，4 的取值范围为：口，+8)1 0.【2019年新课标1 理科23】已知a,b,c 为正数，且满足a bc=l.证 明：111(1)一 +7+2+C2；a b c(2)(a+b)(b+c)3+(c+a)3224.【答案】证明：(1)分析法：已知a,b,c 为正数，且满足abc=1.要 证(1)一 +7+-a2+Z?2+c2；因为 abc=1.a b c就要证:abc abc ab

10、c 0 0 c+4 72+/?2+C2：abc即证：bc+ac+ab W a2+/?2+c2；BP：2 bc-2 ac+2 ab 2 2+2/?2+2 c2；2。2十2人2+2。2 -2 hc-lac-2 ah0(a-b)2+(6 7-c)2+(.b -c)2与o；T a,b,c为正数，且满足a b c=l.，(a-6)2 2 o；(a-c)2 2 o；(6-c)2 2 0恒成立；当且仅当：a=6=c=l时取等号.即(,a -h)2+(4-c)2+(力-c)2力0 得证.111故 一 +7+-)2 V a f o：(6+c)2 V b c：(c+a)2 yfac当且仅当=b,b=c；c=a时取

11、等号；即：a=6=c=l时取等号；/.(a+b)3+(力+c)3+(c+)3力3 (a+b)(b+c)(c+a)3 Xyab*yfbc*yac=2 4a/?c=2 4；当且仅当。=b=c=l时取等号；故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 2 2 4.得证.故得证.11.【2 0 18年新课标1理科2 3】己知/(x)=|x+l|-ax-1|.(1)当。=1时，求不等式/G)1的解集；(2)若 花(0,1)时不等式/G)x成立，求a的取值范围.2,x l2%,-1 X 1,-2,x 1,.俨 1 或-1 X 1解得X*,故不等式/(x)1 的解集为 J+8),(2)当(0,1)时不等式/(

12、x)x 成立,/.|x+l|-cu c-1|-x0i即 x+1-ax-11 -x0,G P|ax-11 1,，-1 ax-11,/.0tzx0,2：.0 xa 0 2,故的取值范围为(0,2.1 2.【2018年新课标2 理科2 3 设函数/(x)=5-附|小-2|.(1)当。=1 时，求不等式/(x)2 0 的解集；(2)若/(x)W 1,求 a 的取值范围.2x+4,x 1【答案】解：(1)当。=1 时，/(x)=5 小+1|小-2|=2,-l x 2 .、2x+6,x N 2当 xW-1 时，/(x)=2/4 2 0,解得-1,当-1VXV2 时，/(x)=2 2 0 恒成立，B|J -

13、l x 2,当 x22 时，/(x)=-2 6 2 0,解得 2 1画出y=/(x)的图象；(2)当 x0,+8)时，/(x)Wax+b，当 x=0 时，/(0)=2W 0a+6,：.b2,当x 0 时，要使/(x)W ax+6恒成立，则函数/(x)的图象都在直线y=a x+6的下方或在直线上，V/(x)的图象与y 轴的交点的纵坐标为2,且各部分直线的斜率的最大值为3,故 当 且 仅 当 且 6 2 2 时，不等式/(x)Wax+b在 0,+)上成立,即a+b的最小值为5.1 4.【2017 年新课标 1 理科 23已知函数/(x)=-x2+ax+4,g(x)=|AH-1|+|X-1|.(1)

14、当 a=1时，求不等式/(x)2 g (x)的解集；(2)若不等式/(x)g(x)的解集包含-1,1,求。的取值范围.【答案】解：当 a=l 时，/(x)=-X2+X+4,是开口向下，对称轴为犬另的二次函数,(2%/%12,-1 x 0,b 0,证明:(1)(a+b)(a5+f 5)4；(2)a+b2.【答案】证明：(1)由柯西不等式得：(。+6)(a5+b5)2 (V F官+析 庐)2=(/+/)2 2 4,当且仅当V a b$=y/ba5,即ab 1时取等号，(2),：a3+b3=2,(a+h)(a2-ah+b1)=2 Ca+b)(a+b)2-3 ab=2,(a+6)3-3 ab(a+b)

15、=2,.(a+炉-23(Q+6)=abf由均值不等式可得：(：”)示2=ab0(彳)2,3(a+b)2(a+b)3 -2 W 虱铲 1 z(a+h)2,4.a+6 W 2,当且仅当a=b=l时等号成立.16.【2 0 17年新课标3理科2 3】己知函数/G)=|x+l|-|x-2|.(1)求不等式/(x)21的解集；(2)若不等式/(x)加的解集非空，求?的取值范围.(-3,x -12 x-l,-l x 2 当-1 2 时，2 x-1 2 1,解得近2；当x 2 时，3 2 1 恒成立，故 x 2；综上，不等式/(丁)2 1 的解集为x|x21.(2)原式等价于存在xR 使得/(x)-f+x

16、2 加成立，即(x)-f+x g，设 g(x)=f(x)-x2+x.%2+%3,x -1/+1 x 2当xW -1时，g(x)=-/+工-3,其开口向下，对称轴方程为x=*1,：.g(x)W g(-1)=-1 -1 -3=-5；当-l x 2 时，g(x)=-X2+3X-1,其开口向下，对 称 轴 方 程 为(-1,2),3 9 9 5.g(x)W g(-)=4+2 1=4当x 2 2 时，g(x)=-/+x+3,其开口向下，对称轴方程为x=*1 的解集.由分段函数的图象画法，可得/(X)的图象，如右：(I I )由|1,可得当 x W-1 时，|X-4|1,解得 x 5 或x 3,即有 x

17、W-1；当-l l,解得x l 或即有-1XVq或1 l,解得 x 5 或 x 5 或q W x V 3.综上可得，x V,或l x 5.1贝以(x)|1 的解集为(-8,石)U(1,3)U(5,+8).18.【2 0 16年新课标2理科2 41已知函数/(x)=|x-|+|x+1|,M为不等式f (x)2的解集.(I )求 M；(I I)证明：当 a,b e w 时，|a+6|V|l+a臼.11 1【答案】解：当XV-挪，不等式/(x)V2可化为：-x-x-j -I,1；-1工 V2，当 一 处 夕 时，不等式/(不)V2可化为：-=1 2,此时不等式恒成立，.1 d /i11当时，不等式f

18、 (x)2可化为：之+x+讶，解得：x l,1A-x 2综上可得：M (-1,1 )；证明：(I I)当。，b e M时，(A2-1)(62-1)0,即 a2b2+a2+b2,即 a2b2+2 ab a2+b2+2 ab.即(a b+l)2 (a+h)2,即|a+b|V|l+a b|.19.【2 0 16年新课标3理科2 4已知函数/(x)2 x-a+a.(1)当a=2时，求不等式/(x)W6的解集；(2)设函数g (x)=2 x-1|,当x 6 R时，/(x)+g(x)3,求a的取值范围.【答案】解：(1)当。=2 时，/(x)=2 x-2+2,：f(x)W 6,2|+2 W 6,|2 x-

19、2|W 4,|x-l|W 2,，-24-I W 2,解得-14W 3,不等式/(x)W 6的解集为3-lxW 3.(2):g(x)=|2 x-1|,A/(x)+g(x)=|2x 1|+|2x-a|+a23,2|x勺+2,一 3+2 3,k-今+,一当a N 3时，成立，当a 0,(4-1)2 2(3“)2,解得2W aV3,.a的取值范围是2,+8).2 0.【2015年新课标2理科24】设，b,c,d均为正数，且+b=c+d,证明:(1)若 ab cd,则口+方 +；(2)迎+诉 后+是H-旬V|c-切的充要条件.【答案】证明：(1)由于(8 +VF)2=。+人+2vH反(v?+Vd)2=c

20、+d+2yfcd.由 a,b,c,d 均为正数，且 +b=c+d,abcd,则即有(日+北)2(+Vd)2,则 V5+yb/c+Vd；(2)若V5+V 5,则(亚t+&)2 (&+VS)2,即为 a+6+2c+d+2R,由 a+b=c+d,贝lj abcd,于是(a-b)2=(o+b)2-4ab,(c-d)2=(c+d)2-4cd,即有(a-b)2V(c-d)2,即为|a-b|V|c-必；若|a-b|V|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即有(a+b)2-4abcd,则有(VH+VF)2 (Vc 4-Vd)2.综上可得，d+y/b y/c+是-b 0,b 0,且一 +二 =正江a b(I)

21、求。3+方的最小值;(I I)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【答案】解：(I);Z X),b 0,R-+7=a b 而 T+如偏当且仅当a=6=近时取等号.V a W 2 2 4 a b 尸 扬 =4 V 2,当且仅当a=b=a时取等号，：.a3+b3的最小值为4V2.(II)；2a+3b2,2a 3匕=2 y/6 ab,当且仅当 2a=36 时，取等号.而 由(I)可知，2面 耐W i g.=4近 6,故不存在a,6,使得2a+36=6成立.2 2.【2014年新课标2 理科24】设函数/(x)=|x+1|+|x-a|(a 0).(I)证明：/(x)2 2；(II)若/(3

22、)0,/(x)=|x+J+k-a|2|(x+!)-(x-a)|=|+|=d+|2 J a-=2,故不等式/(x)2 2 成立.(II)V/(3)=|3+：+|3-a|3 时，不等式即a+1 V 5,即/-5 a+l 0,解得3 a V 珂 红.a2当 0 aW 3时，不等式即6-a+-0,求 得 出Q21+V5 5+v n综上可得，”的 取 值 范 围(丁，一).2 3.【2013年新课标1 理科24】已知函数3 (x)=|2x-l|+|2x+a|,g(x)=x+3.(I)当 a=-2 时，求不等式f(x)-1,且当xG-,Q时，f(x)g(x),求a的取值范围.【答案】解：(I)当a=-2

23、时，求不等式f(x)g(x)化为|2x-l|+|2x-2-x-3 l结合图象可得，y VO的解集为（0,2）,故原不等式的解集为（0,2）.（I I ）设 a -1,且 当 四 一 去 时，/（x）=l+a,不等式化为1+0 0+3,故x N a-2 对 x 一多彳 都成立.故-2,解得a 1.b c a【答案】证明：(I )由。2 2 2 a b2+c22 bc,d+J2？。得:a2+/?2+c2 2 ab+bc+ca,由题 设 得(。+6+c )2=1,即2+.+/+2 帅+2 儿+2d=1,1所以 3(ab-bc+ca)W1,即 ab+bc+caW 可.a2 b2 c2(I I )因为丁

24、+b2 2 a,一+c 2 2 b,一+心 2。，b c aa?/2 W 02 力2 3故丁+(a+b+c)2 2 (a+b+c),即丁+a+b+c.b c a b c a.a2 b2 c2所以丁+1.b c a.模 拟 好 题 .1.已知函数/(%)=|2x+a|+|x-1|(1)当a=4 时，求不等式/(%)V 6 的解集：(2)若/(x)a2-x-1|对任意的 G R恒成立，求 a 的取值范围.【答案】(1)(3,1)(2)-1 a 2【解析】(1)当a=4 时,f(x)6 化为|2x 4-4|+|x-1|6当 V 2 时，不等式化为 2%4 (%1)V 6,解得 3 V x 1 时，不

25、等式化为2尤+4+%-1 V 6,无解，综上所述：当a=4 时；不等式f(%)a2 x-1 得次|(2x+Q)-(2%-2)|=|a+2|(当且仅当(2x+d)(2x-2)W 0 时,等号成立),又因为Q2|2x+a|+|2%-2|对任意的 W R 恒成立，所以层 0,即 Q 2 时，有 Q2W Q+2,Illa2 a 2 0,解得 1 4 Q W 2综上所述：的取值范围为一1 WQW2.2.已知正数 a,b,c 满足a3b3+力 3c3+c3a3+=4.(1)求证：0 abc 3(ab+be+ca).【答案】(1)证明详见解析；(2)证明详见解析.【解析】(1)证明：3b3+b3c3+c3a

26、3 37a666c6=3a2b2c2,当且仅当a=b=c时，等号成立，设abc=%,a?b3+b3c3+c3a3+abc=4 3(abc)2+abc.即 3/+%-440,解得一g w x W l,:a,b,c 为正数，abc 0,A O abc 1.c 1,1 _L 1 _ 。+力+c(2)石+豆+;=r，由(1)可得，0 0,abc二(9 +)2 之(a +b+c)?=a2 4-b2+c2+2 ab+2 ac+2 bc,YQ2+川+0 2 z+be +c a,当且仅当Q=b=c 时，等号成立.，(二+!)2 3(a b+be +c a),当且仅当a =b=c 时，等号成立.ab be ca

27、3.已知函数/(x)=|x+1|+|x-2|.(1)解不等式吗 6；(2)若关于x 的不等式/(x)x2+m 在 0,4 上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(-8,-|)u g+8)(2)(-o o,-9【解析】由|%+1|+氏-2|6 得 :6 1%4-1-%4-2 6 1%+1 +无-2 6,解得X T，,不等式的解集为(-8,-|)U Q,+8).(2)由题意知,当x e 0,4 时，|%+1|+比 一 2|2*2 +7 n恒成立.若 0 W%V 2,则 尢 +1 4-2-x x24-zn,即 m x24-m,即 m 【解析】(1)由题意,函数/(%)=x-4|+2 x 4-2|-|

28、x-1|,当 /(-I)3；当一1%/(-1)=3；当 1 4 V 4 时，可得/(%)=4%+2 x+2 +l%=7,可得/(%)7 ；当 N 4 时，可得 f(x)=%-4 +2%4-2 4-l-x=2x-l,可得 f(x)/(4)=7,所以函数/(%)的最小值为3.(2)解：由6=3,可得Q+b+c =-3=g 3=-2,所以 4 =(a +b+c)2 =Q2+方 2 +2 ab+2 ac+2 bc J5.已知/(%)=|x-2|+卜+,的最小值为?n.(1)求m 的值；(2)若正实数a,b,c 满足a +b+c =m,证明：a2 4-2 b2+c2|.【答案】(琮(2)证明见解析【解析

29、】(1 )/(x)=|x-2|+|x+1|(x-2)-(x+1)|=|.当且仅当一 g w x S 2时等号成立，二m =|.(2)v a 0,/?0,c 0,a +f e +c =由柯西不等式得：(a2+2 b2+c2)-0 2 +俘)+(a +b+c)2,a2+2 b2 +c2 I，当且仅当a =2 b=c=1时取等号.6.已知a,b,c 均为正实数，且a b c=l.证明：(l)a3+b3+c3 3；(2 乎+卓+”.a3+l b3+l c3+l 2【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(l)V a,b,c 都为正整数，Rabe=1.a3+b3 4-c3 3 1Q3b3c 3=

30、3,当且仅当Q=b=c=1时=成立.言 +*口3+1)之 眄(2)法一：由题意得，离+X b3+i)zc 3L/g)j a3,-(3)8 十，得 痣+六久/+。3)一 注 3 一；|,当且仅当Q=b=C=1时=”成立.法二：由 C a uc hy 不等式，得(?+忘 7 +日工)+1)+(+1)+(c3+1)(a3 4-f e3 4-c3)2.令t=必+3 +之3,则 4+与 芯+)2=2 L=t +3+2 -6.a3+l b3+l cr+l-a3+h3+c3+3 t+3 t+3令g(t)=1 +3 +磊-6,则g(t)在3,+8)上单调递增.z.x、3 日 心 C?6 。6 、3,5(t)-

31、r 即再r+京石+国7.已知/(x)=|x +4|x m|.(1)若m=2,求f(x)V m的解集；(2)若a 0,b 0,c 0,abc=1,对于V x W R,(Q+b)2 +(a+c)2 +(b +c)2 N/(%)恒成立，求实数加的取值范围.【答案】(l)x|x V 0 -1 6,8【解析】若m=2,则f(x)=|x +4|x -2|2,(%+4)-(x -2)2 时，无解；当一4cx 2 时，(%+4)-(2-)4ab+4ac+4bc=4(ab 4-ac +be).又因为abc=1,所以 4(ab+QC+be)4 x 3 x y/ab-ac-be=12,当且仅当Q=b=c,ab=be

32、=ac时，即Q=b=c=1 等号成立，所以(a+bY+(a+c)2+(b+c)2 的最小值为 12；因为 Vx ER,(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2 f(x)恒成立.即f(%)=|x+4|x-m|4+?n|0 时等号成立，解得一 16 m 4.【答案】昌 阁(2)证明见解析【解析】3%4-2,x 1(1)当m=2,Q=1 时，/(x)=|x 4-4|+2x-1|=6-%,-4%1,3x 2,x W 4当x 2 1 时，f(x)W 15 化为 3工+2 W 1 5,解得当一4 x l 时，/0)4 15化为6-万4 1 5,解得一4 V x|(x+4a)一 (%-：当且仅当x+4a与异

33、号，且14al=4，即a=时，等号成立.9.已知函数/(x)=|x+2|-m,m&R,且 f(x)W 0 的解集为-3,-1.求 加的值；(2)设 a,h,c 为正数，且a+b+c=m,求万 3a+1+/3b+1+V3c+1 的最大值.【答案 1(2)372=4Q+-a14al+2|4a|-=4a【解析】(1)由/(外三0,W|x +2|m,所以7I m 2x m 2又f(x)W O 的解集为所以厂m-2=-3,解得m=1(2)由(1)知a+b +c =1由柯西不等式得(V 3 a+1 +/3 3 +1 +,3 c +1)2 (V 3 a+I)2+(V 3 f c +I)2+(V 3 c +I

34、)2)-(l2+I2+I2).所以 3 a +1 +V 3/j +l +73 c+I)?(3(a+b +c)+3)x 3 =1 8，所以V 3 a+1 +V 3 b +1 +V 3 c +1 3 V L当 且 仅 当 痂 FI =V 3 F T 1 =V 3 F T 1.即a=b =c =g 时等号成立.故V 3 a+1 =y/3 b+l=，3 c+1 的最大值为3 鱼.1 0.已知函数f(x)=|2 x -m 2 +|2 x +1 -2 m|.(1)当m=3时,求不 等 式 的 解 集;(2)若f(x)4恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)幻口6(2)(-o o,-l u 3,+o o

35、)【解析】(51 4-4 x,x|(1)解：当m=3 时，/(%)=|2 x 9|+|2 x -5|=4,|%,94%-1 4,%5当工工 时，令 1 4-4 x 2 1 0,解得x W l.当3 X 1 0 无解.当 2 3 时，令 4x-1 4 2 1 0,解得x 2 6.因此，不等式/(x)1 0 的解集为卜氏W 1或x 2 6 .(2)解：因为/(%)4恒成立，所以f(%)m i n 4.因为f(x)=2 x-m2 4-|2 x +1 -2T H|(2X-m2)一 (2 x 4-1 -2 m)|=|m2-2 m +1|=(m -l)2当且仅当2 z n -1%4,解得m 3或z n 4

36、 一 1.所以实数m的取值范围是(-8,-l u 3,+0 0).1 1.已知函数/(x)=3|x l|-|x +3|.(1)求不等式f(x)1 4 的解集；(2)若方程封竹=/(乃存在非零实数根，求实数人的取值范围.【答案】(1)(一 8,4 U 1 0,+8)(2)-4,2)U (2,4【解析】2%+6 x 工一3(1)由题意/(%)=4x 3%1X/(x)1 4,所以 或或L*二 Mk-2 x 4-6 1 4 i 4x 1 4 L2 x 6 1 4解得x 4-4或*N 1 0,即不等式/(x)1 4 的解集为(-o o,-4 U 1 0,+c o).(2)由题得方程k|x|=3|x -l

37、|-|x +3|存在非零实数根.所以k =耳产1=弓-3|一 弓+1|存在非零实数根，又 1 C 一3|一 弓+1|三|(：一3)(：+1)|=4,当且仅当(：-3)(：+1)0,即 0 x S 1或 3 x0时等号成立,又:0,贝 1 停一3|一|+1|4 2,所以一 4 4 停一3|一 1+1|14 且|：一3|一 口+1 1 2,所以一4 f c 4且k力2,综上,实数我的取值范围是一 4,2)U (2,4 .1 2.已知函数/(x)=|2 x -a|-a|x -2 .当a=一 1时,求不等式f(x)0,求a的取值范围.【答案】(1)(-,3)(2)(-8,1【解析】(1)当Q=1 时，

38、/(%)=2 x+1|4-|x -2|；当xW-g时，f(%)=-2%-1 4-2-%=-3x 4-1 -p当一：x V 2 时，/(x)=2x4-14-2 x=x+3 8,解得：%5,1%2；当x N 2 时，/(%)=2x+l+x-2=3 x 1 8,解得：x 3,/.2 x 3；综上所述：不等式f(x)0,即|2x-a|a(2-x)；当 2x aN O 时，2x QN a(2%),即(a+2)x-3a 0 恒成立；2-a 0A a+2-3a 0,解得：a 0当 2%-a VO 时，Q-2%NQ(2-X),即(Q-2)x Q N 0 恒成立；a 4a-2-a 0 ,不等式组解集为0；2(a

39、 2)-a 0综上所述：实数。的取值范围为13.已知函数f(%)=|2-3|+|3 x-6|+2 a +2.(1)当。=一 1 时，求不等式/(%)2 的解集；(2)若关于久的不等式/(公-忱-2|W小有实数解，求实数。的取值范围.【答案】(1)储)(2)(-oo,-1 U 3,+oo)【解析】(1)由题意得，|2%3|+|3%6|2,当x ,时，不等式化为3 2x+6 3x p x !；当(w x S 2 时，不等式化为2%-3+6-3 乂 l,当%2 时，不等式化为2万-3+3万-6 2,解得x(冷，A2 x Y，综上，不等式/(x)2 x-3 +2x-4|有实数解,V12x 31 +1

40、2x-4|之|(2x 3)(2%4)|1,*.a?2a 2 N 1,解得：。工一1 或。2 3,即a 的取值范围是(一8,-1 u 3,+8).14.己知函数f(%)=|x-1|-2x-3|.(1)求不等式)-2的解集；(2)若存在x,使不等式a?-。八 乃+|%-3|成立，求实数a的取值范围.【答案】慨,7(2)(-1,2)【解析】Ix 5,x 13%-7,1 x 3由/(%)-2可得 1时无解，1 W xW 3 时，解得：|x 3时，解得3 x 4 7,综上，解集为生7.(2)由已知：存在x,使不等式次a|x-1|-|x-3|成立，即。2 _ a (|X -1|一|X 3|)m ax，又|

41、x-3|(x-l)-(x-3)|=2(当且仅当x 2 3 时取“=”号)，/.a2 a 2,-1 a kx(k 0)恒成立.(1)求k的最大值0；(2/)设a 0,b 求证：a+727b7 +2a+b 3ko【答案】加=g证明见解析【解析】(1)当xW 2 时，/(%)=2-x 4-4-x =6-2 x；当 2 V x 0)恒成立，则由图象可知：当、=收过点(4,2)时，k取得最大值收),，feo=(2)由 知:只 需 证 明 岛+熹.令:二洲比解得:-+Q+2bb 2n-m2a+b 3mQ 1 力、2 目 门a-+-,L、|J-Fa+2b 2a+b 一 3 a+2b2mn+丁“当且仅当弓=手

42、，即巾=n 时取等号),1 6.已知函数/(%)=|x+a|一 忱一1|(1)当a=2 时，解不等式/(0 2；(2)若不等式/(久)2 =鬟；，或:其：，或：；从而，原不等式的解集为,+8)(2)当 6 0,2时,/(%)|x-4|恒成立,即|%+a|-1|V 4-%恒成立 当 1%2时，有|久+a|3 恒成立，即一 3%4-a 3 3 x a 3 -%恒成立V l x 2,故一4 a 1.当 04 1 时，有|%+Q|5-2%恒成立，即 2 x 5 x+a5 =x 5 a5 3 对1成立.VO x 1,故-4 4 a 4 2.综上所述，所求实数a的取值范是(-4,1).1 7.已知函数/(

43、x)=|2 x -1|-|x +1|.(1)解不等式f(x)2；(2)若关于x 的不等式/(x)+3|x+l|a 2-2 a 的解集不是空集，求a 的取值范围.【答案】(1)x-gx 当工工一1 时，x +2 0,无解；当-l V xvg时,3%V 2,得%即-当x N 凯寸，x -2 2,得 4,即三x V 4.所以不等式的解集为 R -g 3,则由题可得次一 2 a 3,解得：。3.所以Q 的取值范围是(-8,-1)u (3,+00)1 8.已知/(%)=|x 4-1|+|1-2 x|.(1)解不等式/(乃4一(2)令f(%)的最小值为M,正数a,b 满足a +2 b =M,求证：dzb2

44、+y.【答案】(1)核卜2式不工：；(2)证明见解析.【解析】(1)当 g 时，f(x)=-x ,2%+1=-3 x g W 3 一%,2 x -I；当一决寸，/(x)=%4-1-2 x+l=-x 4-1 -x,得一当 决 寸，/(%)=x +14-2 x-l=3 x +|-x,得 六%工 综上，原不等式的解集为 x卜(2)由(1)可知I,当x 4；当 一 x 4 时，/(x)=-x +|2；当 x 泄，/-(x)=3 x +|2.故/(x)的最小值M=2,则a +2 b =2.于是2 =a +2 b 2 2 72 ab,WO 0 a h 3 a2b2-1-=-H-+-x 2 =.ab Bab

45、 8ab 4ab y j 8ab Bab 4ab 4 4ab 4 4 4当且仅当a b =押 a =1,b=泄 取“=”所以，a2b2+4?.ab 41 9.已知函数f(%)=|x 4-1|+2 x-1|.(I )解不等式f(x)4 2%+2；(II)设函数/(x)的最小值为f,若aO,bO,且a +b =t,证明：三+三 2 1.【答案】(I )卜及式33；(II)证明见解析.【解析】(I)不等式等价于 一 3 久；1 3；%+2 或 一或 3 x ；W；x +2 ,解得 6。或g W xV l 或 1 W X W 3.所以不等式f(%)2 x +2的解集为%|%3).3%+l,x 1(I

46、I )法一：由f(%)=-%+3,-1 V X 1即Q+b =2.法二：f(x)=x+11 +2|x 1|=(x+11 +x-1|)+x-1|x +1 x +1|+11-1|=29当且仅当=1 时，取得等号，则/(%)的最小值为2,即a +b =2.x 4.a2.b2 a2(b+l)+b2(a+l)ab(a+b)+a2+b27大 一 -=;-=;-a+1 b+1(a+l)(b+l)ab+(a+b)+l(a +4 4=-=-X-=1ab+3 ab+3 (/a +)+3当且仅当a =b =l,不等式取得等号，所 以 工+与 2 1.法二：由柯西不等式可得：5+含=(三+2”2+6)2=1.当且仅当

47、a=b=l,不等式取得等号，所 以 止+/2 1.a+1 b+12 0.已知函数/(%)=|2x+3|+卜 +,.(1)求不等式f(%)4%+7 的最小整数解m；(2)在(1)的条件下，对任意a,b G(-m,4-o o),若a+b=4,求叩=三十二的最小值.a-1 0 1【答案】(1)m=-l；(2)8【解析】(I)当x S-|时，原不等式化为 3x ：W4x+7,解得工2-a 所以x=-*当g x W-决寸，原不等式化为x+1 4 4x+7,解得x Ng,所以T 旧 时，原不等式化为3x+、4x+7,解得久2：，所以x g.综上，原不等式的解集为卜a+8).所以最小整数解m=-1.(2)由(1)知Q,b 6(1,4-00),又Q+b=4,所以W _ b2+滔 _ a3+/?3-a2-h2 _ (a+b)(a2-ab+b2)-(a-l-b)2-2abct 1 b1(a-1)(6 1)ah(a+b)+l_(a+b)(a+b)2 3ab(a+b)2 2ab _ 4(16-3ab)(16 Zab)ab-(a+b)+l ab 348-10ah 4 n,18=-=-1 0 H-.ab-3 ab-3v a 1,b 1,(a l)(b-1)=ab-3 0,又把=4,当且仅当a=b=2 时等号成立，41 o：.0 ab-3 8,所以W的最小值为 8