五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题27不等式选讲(含详解).pdf

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1、2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题2 7 不等式选讲一、解答题1.(20 22年高考全国甲卷数学(文)第23题)已知a,b,c 均为正数，且+6+4 2=3,证明:(1)a+b+2c 0 求 a 的取值范围.3.(20 20 年高考课标I 卷 文 科 第 23题)已知函数f(x)=|3x+l|-2|x-l|.画 出 =/(=的图像;4求不等式/U)/(%+1)的解集.X4.(20 20 年高考课标n 卷 文 科 第 23题)已知函数/(x)=x-a2*4 5 *7+x-2a+l.(1)当。=2 时，求不等式/(%).4的解集;若/(%)-4,求 a 的取值范围.5.(20

2、 20 年高考课标I I I 卷文科第 23 题)设。，b,cW R,a+b+c=0t abc=l.(1)证明：ab+bcca l的解集；(2)若“()时不等式八 幻 ”成立，求a的取值范围.2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题2 7 不等式选讲一、解答题1.(20 22年高考全国甲卷数学(文)第23题)已知a,b,c 均为正数，且+6+4 2=3,证明：(1)a+b+2c 0,b 0 9 c 0,由(1)得 a+/?+2c=a+4c 3,B P 06/+4C-,a+4c 3由权方和不等式知工+1 =上+2 史攵=-_2 3，a c a 4c a+4c a+4c当且仅 当

3、工=二，即a=l,c=1时取等号，a 4c 2【题目栏目】选修部分不等式选讲,权方和不等式【题目来源】20 22年高考全国甲卷数学(文)第23题2.(20 21 年高考全国乙卷文科第23题)已知函数/(1)=卜一4 +卜+3 .当。=1 时，求不等式 力 2 6 的解集；(2)若/(力 一“，求 a 的取值范围.【答案】(,T U 2,+o o).1*+0 0).解析：当 a=l时，/(x)=|x-l|+|x+3|,|x-l|+|x+3|表示数轴上的点至打和一 3 的距离之和,则f(x)6表示数轴上的点到1 和-3 的距离之和不小于6,故x WT或 x 2 2,所以“X)2 6 的解集为(3,

4、-4U2,M).A-3012X(2)依题意 f(x)ci,即,一 a+|x+3 Q 恒成立，|x tz|+|x4-3|=1 x|4-1 x 4-3|习q+3,故,+3 a,所以。+3 一。或 a+3 .2所以a 的取值范围是(一+8).【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、儿何意义法.【题目栏目】选修部分不等式选讲 含绝对值不等式的解法【题目来源】2021年高考全国乙卷文科第23题3.(2020年高考课标I 卷 文 科 第 23题)已知函数f(x)=|3X+1|-2|X-1|.(1)画出y=/(x)的图像；求 不等式/(x +1)的解集.x【答案】详解解析；卜 8,J.【解析】因为 15x

5、 1,x 1 ,作出图象，如-x-3,x /(X+l)的 解 集 为 一 二.【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力,属于基础题.【题目栏目】选修部分不等式选讲 含绝对值不等式的解法【题目来源】2 02 0年高考课标I卷 文 科 第2 3题4.(2 02 0年高考课标H卷 文 科 第2 3题)已知函数/(x)=|x-+2 a +l|.(1)当a =2时，求不等式/(%).4的解集;(2)若/(x).4,求a的取值范围.【答案】或(2)(,T U 3,3).解析：(1)当a =2时，/(x)=|x-4|+|x-a当xW 3时，/(x)=4-x+3-

6、x =7-2 x 4,解得：当3 x 4,无解；当x 2 4 时，/(X)=x-4+x-3=2 x-7 2 4,解得：x；综上所述：/(%)4 的解集为卜|x 4 1 或 x 2 ).(2)f (x)=|x-tz2|+|%-2tz+l|(X-4Z2)(%2+1)|=|-tz2+2-1|=(Z-1)2(当且仅当2 a-I W x W/时取等号)，4 ,解得：aW-1 或。的取值范围为（，,1 U3,+x）.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.【题目栏目】选修部分不等式选讲,含绝对值不等式的解法【题目来源】2020年高考课标II卷 文 科 第 23

7、题5.（2020 年高考课标IH卷文科第 23 题）设。，b,cR,cr+b+c=0,abc=l.（1）证明：ab+bc+ca4.【答案】（1）证明见解析证明见解析.解析：,.,(Q+Z?+C)2 =/+/+/+2ab+2ac+2bc=0,cib+he+cci-*.儿=1,二。也。均不为0,则0?十 2+0 2 o,cib+be+cci-5 (Q-+b+c2)0,/?0,c-=4 be be be当且仅当人二c 时，取等号，:.aN 正，即 maxa,.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.【题目栏目】选修部分不等式选讲不等式的证明【题目来源】2 02 0年高

8、考课标I I I 卷 文 科 第 2 3 题6.（2 02 0江 苏高考第2 3 题）设x e R,解不等式2|x +11 +1 x|4 4 .【答 案】【答 案】-2,-【解 析】x-J -l x 0-2x-2-x 42x+2-x 4 2 x +2+x42 2.,.24x+(y l)2+(z a)?；成立，证明：。在一3 或。2-1.4【答 案】【答 案】(1)一；(2)见详解.3【官方解析】(1)由于(x l)+(y +l)+(z +l)2=(x -1)2 +(y +1)2 +(z +1)2 +2 K x _ l)(y +1)+(y +l)(z +1)+(z +l)(x -1)3 (x-l

9、)2+(y +l)2+(z +l)2 故 由 已 知 得(x l)2+(y+i y+(z +l)2 g ,当 且 仅 当x=,y =z =-J时等号成立.3 3 34所以(x 1)-+(y +1)，+(z +1)_ 的最小值为.(2)由于(x 2)+(y l)+(z a)F=(x -2)2 +(y I)?+(z a)2 +2 (x -2)(y -l)+(y l)(z a)+(z a)(x-2)3 (x-2)2+(y-l)2+(z-a)2故 由 已 知 得(x-2 +(y i f +(z-？:)一,当且仅当4 ci 1ci 2 a 2x =,y =,z =w 时等号成立.因此(x-2)2 +(y

10、-1)?+(z-)2 的最小值为(2 +C，r由题设知Q+“广1,解得。/_3 或3 3【解法2】柯西不等式法 (x-1尸 +(y +(z +1)2(12+12+l2)(x-l)+(y +l)+(z +1)2=(x+y +z +l)2=4 ,故(x l)2+()，+l)2 +(z +l)2 2 g,当且仅当x =g,y =g，z =-;时等号成立.4所以(X-1)2 +(y +1)2 +(z +1)2 的最小值为 y.(2)(x-2)2+(y-l)2+(z-o)21,所以(x 2)2+(y -l)2+(z -a)2 (12 +F +12)i .当且仅当4 c i 1n 2a 2x =,y =，

11、z =-时等号成立.3 3 3(%2)+(y 1)+(z 6!)J(l-+1-+1)=(x -2 +y 1 +z a)=(a +2)-成立.所以(a +2)2 2 l 成立，所以有aW 3 或 a21.【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型.【题目栏目】选修部分不等式选讲 不等式的证明【题目来源】2 019年高考全国H I 文 第 2 3 题8.(2 019年高考全国I I 文 第 2 3 题)已知函数/(x)(1)当。=1时，求不等式/(x)0 的解集；(2)当XW(YO,1)时，/(x)0 求a的取值范围.【答案】【答案】(1)(8,1)；(2)1,

12、+8)【官方解析】(1)当 a =1 时，/(%)=|%-1|X+|A-2|(X-1).当 x l 时，/W=-2(x-l)2 0；当 时，/(x)，0.所以，不等式/(x)0 的解集为(YO,1).(2)因为/(a)=0,所以a N l.当 a 2 1,XG(-o o,1)时，/(%)=(-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-l)0所以，a的取值范围是 I,”).【分析】(1)根据a =l，将原不等式化为|x-l|x+|x-2|(-1)0,分别讨论x l,lWx 2,x22三种情况，即可求出结果；(2)分别讨论a 2 1和 a 1两种情况，即可得出结果.【解析】(1)当a =l时

13、，原不等式可化为|x-l|x+|x-2 (%1)0；当x 0,显然成立，此时解集为(-8,1)；当lWx 2时，原不等式可化为(x-l)x+(2-x)(x-l)0,解得x l,此时解集为空集；当时，原不等式可化为(x l)x+(x-2)(x l)0,即(-1)2 0,显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(-8)；(2)当1 2 1 时,因 为x e(-o o,l),所以由/(x)0可得(a-x)x+(2-x)(x-a)0,显然恒成立；所以a21满足题意；当。1时，。、，因 时，“X)0显然不能成立，所以a12yx-a)-x),x 2.【答案】【答案】见解析【解析】当x 2,解得x

14、 2,即x!时，原不等式可化为犬+2 尤 一 1 2,解得x l.2综上，原不等式的解集为 x|x l .【题目栏目】选修部分不等式选讲 含绝对值不等式的解法【题目来源】2 01 9年高考江苏第2 3 题1 1 .（2 01 8 年高考数学江苏卷第2 4 题）选修4-5：不等式选讲（本小题满分1 0分）若 x,y,z 为实数，且 x+2 y+2 z=6,求f+丁+z?的最小值.【答案】4证明：由柯西不等式，（X2 4-/+z2）（l2 4-22+22）（x+2 y +2z）2.因为x+2 y +2 z=6,所以f+y 2 +z 2 ,当且仅当2 =2 =三时，不等式取等号，此时x=2,y=-,

15、Z=-,1 2 2 3 3 3所以V+y 2+z 2 的最小值为4.【题 目栏目】选修部分、不等式选讲均值不等式与柯西不等式【题目来源】2 01 8 年高考数学江苏卷第2 4 题1 2 .（2 01 8 年高考数学课标I H卷（文）第 2 3 题）【选修4 一5：不等式选讲】（1 0分）设函数%）=|2%+1|+卜 _1 卜（1）画出y =/（x）的图象；（2）当义w 0,+o o）时,fxjax-b,求+/?的最小值.yjk 由 知，y=f x 的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a 3且匕2 2时，在（）,+o o）成立,因此a+8的最小值为5.3%,

16、【民间解析】(l)/(x)=|2 x+l|+|x1|=121x 2 Q ,此 时。2 3,。+8之3 当 0 W x 2【题目栏目】选修部分不等式选讲 含绝对值的成立问题【题目来源】2 01 8 年高考数学课标HI 卷(文)第 2 3 题1 3.(2 01 8 年高考数学课标H 卷(文)第 2 3 题)选修4 5：不等式选讲(1 0分)设函数 fx)=5-x+a-x-2.(1)当a =l 时，求不等式/(X)20 的解集：(2)若x)W l,求。的取值范围.【答案】解析：当。=1 时，2 x+4,x W 1,f(x)=2,-1 2.(2)f(x)W l 等价于|x+a|+|x-2|2 4.而|

17、x+a|+|x-2|2|a +2 ,且当x=2 时等号成立,故/(x)W l 等价于|a +2|2 4 .由|a +2|N 4 可得aW6 或。22,所以。的取值范围是(,-6 U 2,+o o).【题目栏目】选修部分不等式选讲 含绝对值的成立问题【题目来源】2 01 8 年高考数学课标n 卷（文）第 2 3 题1 4.（2 01 8 年高考数学课标卷I （文）第2 3 题）选修4-5：不等式选讲（1 0分）已知/（X）=|X+1 1-1 O T-1 1.（1）当。=1 时，求不等式/（幻 1 的解集；（2）若 X W （0,1）时不等式/（X）X 成立，求。的取值范围.2,x 1.故不等式/（幻 1 的解集为 x|x ；.（2）当X G （0,1）时I x+l I-|办-1|X 成立等价于当 X G （0,1）时I O X-1|0,-1|1 的解集为0 x 一,所以一21,故a a0 2.综上，a的取值范围为（0,2 .【题目栏目】选修部分不等式选讲 含绝对值的成立问题【题目来源】2 01 8 年高考数学课标卷I （文）第 2 3 题