2023年高考数学大招5同构与导数放缩.pdf

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1、大招5 同构与导数放缩大招总结同构不等式是近些年高考模拟题的热点题型，经常出现在压轴选择填空和导数大题中，特别是恒成立求参数取值范围，或证明不等式，常规方法可能需要采用隐零点，往往较为繁琐，而用同构，则会达到四两拨千斤的功效.那么何为同构？什么时候用同构呢？顾名思义，同构，函数结构相同时使用，或者通过变形使 不 等 式 两 边 的 函 数 结 构 相 同。例 如 题 目 给 了 条 件F(x)0能 等 价 变 形 为/.?(%)然 后 利 用 的 单 调 性，如递增，再转化为g(x)2/z(x),这种方法我们就可以称为同构不等式，简 称 同 构.王国维先生有人生三重境界：“昨夜西风调碧树，独上

2、高楼，望尽天涯路。”此第一境也。“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”此第二境也。“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。”此第三境也。现在，勇哥逐层递进，给大家讲解同构的三重境界.同构的方法，勇哥从多位老师的文章和书籍中学到很多，如唐鑫老师、陈永清老师，在此表示感谢！同构第一重境界：双变量问题占、W地位完全等价，只需把同一个变量移到不等式同一边即可。给大家一些常见的例子，一看便知.(1)-f kx,-kx2/(xj-kx,/(充2)+o y =/(x)+为 减 函 数.x2 X同构第二重境界：指对跨阶时使用，何谓指对跨阶？简单做一个介绍，e*、x、In x中，指数,增长最快属于第一阶

3、，x其次，属于第二阶，In x增长最慢，属于第三阶。如果题目中既出现，又出现In x,我们暂且称之为指对跨阶.指对跨阶常见模型及处理方法：(1 )积 型同右:ea Inea f(x)=xlnxqe hnh:种司构力式 同 左：-/(%)=xev取 对:a+In&In。+ln(ln b)-/(x)=x+In x(2)商 型：a ln/.r同 左：一 /(X)=一a nb x-三种同杓方式一同 右：工/u)=a nh In e In nx取 对：a-lno /(x)=x-n x(3)和 差 型：e土a b n b两 种 同 构方式J同 左：丁。即 1血-/(x)=eW x同 右：e Inea Z

4、7 In/?-f(x)=x nx同构第三重境界：有些同构式不是很明显的指对跨阶，需要配凑常数或者自变量九此类题型较为含蓄，需要同学们多加练习。举例说明：例 如：(1)a e ln x|llMoxeaY xlnx(2)ax loga x=xax x logrt x xax (log.1)吗m n im(3)2x3 nx m ex x2 Inx2 e f(inx2)elnv-exx v x以上就是同构的三重境界，很多同学看完后可能同构的运用还是不够灵活，要想用好同构,还要掌握两种方法，指对变换与放缩.常见的指对变换有x=em*,x=l n e)基于此，有如下一些变形，需要大家理解并掌握.xe-i,

5、1 =上 心；3=即1x eevxlnx=lnx-elnA,x+lnx=lnxe*,x-ln x =ln一x常见的放缩在本书的前几讲有详细讲解，有如下一些变形，需要大家理解并掌握.2 2(1)eJ x+1 =e v-1 x=e v ex=e v x2,eJ 1+%+42(2 )l n x l n e x l n x ,lnxlnx 1 =xnx x-i,x常见的指对变换与放缩结合有如下几种：Xxex=ev+l n v x +In x+1,=e-l n v x-l n x +l ；-=el n v l n%-x +l ；x e%2ex=ev+2 l n x N x +2 In x +1,x2eA

6、=ex+2 l n r e(x+2 In x)典型例题例1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数.(1)og2x-k-2kr 0:解：k)g 2 XZ-2 之Oo x l o g 2 x N h 2*v o(l o g,x)-2 g 2 x 之.2 ,f(x)=x-2x.(2)ew-l n x/0 ；2解：e2/U-In Vx 0 eU x In x 2AxeU x x l n x 2AxeU x (In x)el n A,A 2 4f(x)=xex.(x2 lnx-mex 0 m tn ni&TJ?,c ,m _ _ In -nt r解：JT In x一m e 2 0 =x

7、l n x N eA ex,f(x)-x e .x x(4)6Z(eav+l)2 x 4-|l n x ;解:aLX+1)2 x +l n x 2x2 l n x +2 1 n x =x2 In x2+l nx2o o x e公 +QX 2 In M.e,n r+l n x2 /W =x e +x(5)t z l n(x-l)+2(x-l)o v +2 eA；解 4z l n(x-l)+2(x-l)ax+2 ev=al n(x-l)+2(x-l)an eA+2 eA,f(x)=alnx+2x.(6)x+al n x +e-N x (x l).解 x+al n x+e-*N x o x+e-*N

8、 x -In x o e T-l n e-*N x -In x ,f(x)=x-nx.e-Jt-2 x-l n x =0 ；解：e-2 x-l n x =0oer-x=x+l n x o e T +l n e r =x+l n x，f(x)=x+nx.x2eA+In x =0 ；解：x2ev+l n x =0%e(=-x e =In o e In e =In ,f(x)=xlnx.x x x x x例 2.(2 0 2 0 新课标 II)若 2、一2 0 B.l n(y x+l),|0D.l n|x-_y|0方法 1 ：由2*-2,3一8-3-可得2*-3-*2V-3T 令 x)=2-3：则/

9、(x)在R上单调递增，且/(x)/(y),所以x,即y-x 0,由于y-x+l l,故l n(y-x+l)l n l =0 .方法2:取x =l,y =0,满足2-2，0,l n|x-|=l n l =0,可排除B C D.故选A.例3 .已知不等式/l o g x(a0,aHl),对V xe(0,+8)恒成立，贝a的取值范围是解：方 法1 :当a l,由题意可得y =罐 与y =l o g”x互为反函数，故问题等价于优 x(a 0,a r1)在区间(0,+8)上恒成立.构造函数/(x)=a*-x,则/(x)=优 In a-1,令/(x)=0,得x =l o g“J-,且此时函数/(x)取到最

10、小值，log-1 1故有a 砒 1 0 g 0 ,解得、；na c当0。e：；故答案为：(e;,+ao)-方法 2 :由指对函数图像可知 a,ax l o g x=xax x l o g(,x =xax l o gu x-0 ,x l o ga x,x -,Inafnxlna-,x构造g(x)=g,g G)=lX X从而l n ag m ax(x)=g(e)=J a e；-例4.(2 0 2 1春碑 林 区 校 级 月 考)设 实 数 丸 0,若 对 任 意 的x e(0,+8),不等式In x N O恒成立，则4的取值范围为解：方 法1：隐零点1,实数2 0,对任意的x e(0,+o o),

11、不等式丸e加一i n x N O恒成立,设/(x)=*_孚，x0.=令7(司=0,得/，=-,A AX A X由指数函数和反函数在第一象限的图象，得到y =/与y =1A2x有且只有一个交点,设交点为(加,)，当X-时，r(x)0,“X)递墙当0 x m时，f(x)0.Ae2r x l n x =l n x-el n v.当X G（O），不等式恒成立当x e(l,+o o),构造/(x)=x e*,/(x)=e*(x+l)0,Axnx,2 构 造 力=止，/(6=上 也1 2/(e)=l .x x e例5.(2 0 2 0成都二诊)已知函数x)=(，g(x)=x e-,若存在玉w(0,+，(2

12、G R，使得/(x J=g(%)=M k,41A.e B.e C.y D.ye e解：/(毛)=8(/)=%/0)即上土=l n x/e w =w e f =左(比0)所以0再 且xX2 0 所以 In 玉=X2，-=-=%，故x x(2强 e*=P e 令力伏)=公1,k),令(4)0,解得一2左 0,解得左(x2+l)l n x2 o(e *+l)l n e“*(x2+l)l nx2r_|_ 1 1 1 1令f(x)=(x+l)l n x,贝i j f(x)=inx+q,=X X X X易 知/(x)在(0,1)上递减 在(1,物)上递增，所以/(无)2/(1)=20,所以“X)在(0,+

13、8)单调递增.则(e *+l)l n e x (x2+l)l n x2 o/(eav)/(x2)eav x2 o ax N 2 1 n x o a 2 2”易证24 2,所以。之2,故答案为：2 .x e e e例7.(2 0 2 0金安区校级模拟)已知函/(x)=e X al n(ar -a)+a(a0),若关于x的不等式/(x)0恒成立，则实数。的取值范 围 为()A.(0,e2 B,(0,e2)C,l,e2 D,(l,2)解：方 法1 ：/(x)=e*-al n(ax-a)+a 0 ev In a(x-l)1 o ev-l n a-In a l n(x-l)-laex-l n a+x -

14、In a e,n(x-1)+l n(x -1),令 g(x)=e +x,显然 g(x)为增函数.则原命题又等价于 g(x-l n a)g(l n(x-l)x-l n t z In(x-l)o nax-ln(x-l).由于九一l n(x-l)2 x-(%-2)=2,所以l n a ,e x-a l n(ax -。)+。0,=(工 一 l)ev a(x-l)l n a(x-1)-a(x-1),u (x l)e In t z(x 1)1 ,a(尤 一1),=(九 一 l)e*In a(x 1)一 1 .e,n 0,x Inftz(x-l),lna x-n(x-i),1 x-2令/(了)=工一出(X-

15、1),F(x)=l=x xIn Q v F(2)=2,tz 0,不等式2求2*Inx+lnaZO恒成立，则实数。的最小值为解:Zoe?Inx+lna2 0 o 2 a e2之ln2 0 2xe之2 ln/(x0)a a ax x x o 2x+In 2x In +In In (x a).由于/(x)=x+Inx为增函数,所以由f(2x)2/(i n得2x2 In2，即a 2之恒成立.V a)a e令g(x)=W，则g(x)=上 字,易得g(X)m ax =g=；,所以实数a的最小值为1 .e e J 2e 2e例 9.(2020山东)已知函数/(x)=ae*T-Inx+lna.(1)当a=e时

16、，求曲线y=/(x)在点(1,7(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积；(2)若求a的取值范围.解：当 a=e 时，/(x)=ev-lnx+l,f(x)=ex/,(l)=e-l,X l)=e+l,.曲线 y=/(x)在点(L/(l)处的切线方程为 y_(e+l)=(e_l)(x l),当无=0 时，y=2,当 y=0时，x=,e-1曲 线 =/(%)在 点(1,/(1)处 的 切 线 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积1 2 2S=-x2x=.2 e-l e-1(2)方法 1 :同构，由 可得 ae i -l n x+l n a.1,即/-卜。m x+l n a N

17、l,即 e T1 1+l n a+x-l 2 l n x+x =e *+l n x ,令g(f)=e+f,则 g(f)=e+l 0 ,g(f)在R上单调递增，/g(l n a+x-l)Ng(l n x),/.na+xnx,BPl n r z l n x x+1.1 x令/i(x)=l n x%+1,hr(x)=1 =-,x x当0 x 0,函数(x)单调递增，当x l时,(x)0,函数(x)单调递减，h(x)0,a.A,故”的范围为 U,+o).方法 2 :由/(x)N1 可得ae T l n x+l n a.1,x 0,a Q,即 i N l n x-In a,设g(x)=e*-x-l,，g

18、(x)=e、-l 0恒成立，.(/)在(0,+8)单调递增，g(x)g(。)=1 0 1 =。，e*x 1 0,即 e x +1,1 r _ 1再设(x)=x _-l n x,hx)-1 -,当0 x l时(x)l时，(x)0,函数(x)单调递增，/(%)/z(l)=O,x-l-l n x 0,即x l l n x,e*-x.则 aexl ax.此时只需要证v N x-l n a,即证x(a-l)之一In a,当 aN l 时，x(a l)O-l n a恒成立，当0 a l时，x(a 1)0 In a,此时x(a-1)In a不成立，综上所述。的取值范围为口,+8).方法3 :由题意可得x e

19、(0,+8),e(0,+o o),易 知/(x)在(0,+8)上为增函数，当 0 a l 时，=0,存在/w(l,J)使 得/(%)=0,当x e。,与)时，/(力 0,函数/(x)单调递减，/(x)f(i)=a+n a a 0,In 6 Z 0,f(x)eX-1-In x,令 g(x)=e，i-I n x ,g,(x)=ex-1-,易知g(x)在(0,a)上为增函数，X g(l)=0,当 xe(0,l)时，g(x)0,函数 g(x)单调递增，.g(x)2g=1,即/(x)N l.综上所述”的取值范围为1,T8),方法 4:/(x)=ae*T-Inx+lna,x 0,a 0,f(x)=aex

20、-,易 知/(x)在X(0,+8)上为增函数，=肥1在(0,+8)上为增函数，y=，在(0,+oo)上为减函数，Xy=aex 与 y=-在(0,+e)上 有 交 点，;存 在 x0 e(0,+oo),使 得x/(入0)=优廿一-=0,X()1 1则 e=一,则 Ina+x。一1 =一1。工0,即 In。=1一%-In%,%当xe(O,Xo)时，/(幻 0,函数“X)单调递增，/(x)/(x0)=ae&T-In x0+In a=-In x0+1-x0-In x0=-2 In x0+1 -x0 1X。X。/.-2 In x0 XQ 2 0%设g(x)=2 1 n x x,易知函数g(x)在(0,+

21、)上单调递减，且g =1-0-1 =0,二当 x e(0,l 时，g(x)N 0,/e(0，l 时，一2 1 n x0-x0 0,xo设(x)=l -x l n x,x e(0,l ,(x)=l L/2(l)=l-l-l n l =0,当 x-0 时，Kx)-+o o ,In a 0 =In 1,al-例 1 0 .已知函数/(x)=ae -2 x l n x .(1)若a=l,讨论/(x)的单调 性；(2)若x)0,求a的取值范围.解:若a=L 则/(x)=e*-2 x l n x,设g(x)=/(x)=e，-2 1 n x 2,则g，(x)=e -7,2 2故存在唯一%0,使得g(无o)=

22、e*-=0,即e =一,X()X()X G(O,XO),g(x)0,g(x)单调递增，所以r(x)=g(x)N g(x 0)=e -Zi n/-2 =2+2/-2 1 n 2-2 2 I-2 x0-2 1 n 2-2 =2-2 1 n 2 0 xol所以/(x)在(0,+8)单调递增.(2)若a 0,当 x l 时，/(x)0,设 h(x)-x e*,则 h(x)=(1 +x)e,令 h(x)-0,贝！|x =-1,x e(7,-1),“(x)0,A(x)单调递增.当 x e(O,l 时，f(x)X),当 x e(l,+o o)时，a x O -l,In x2 0 -l.f(ax)f(l n

23、x2)若 o r e N e -In x?，只需满足u x N l n x),即-4:x 2设f(x)=l 1 H(x l),则“劝=上”,令 x)=0,则x =e,X Xx w(l,e),f(x)0,f(x)单调递增，x e(e,+8),幻 0 .自我检测1 .(2 0 2 0成都模拟)已知函数x)=/，g(x)=x e-若存在e(0,+8),X2GR,使得/&)=g(%)=%(40 ,f 3 =上坐，当x e(0,e)时，r(x)0,/(x)单调递增，当 =1 时，/(1)=0,所 以x e(0,l)时，(x)0 ；当 x e(e,+o o)时，/,(x)0,所以若存在玉G(0,+8),G

24、 R，使得X|)=g(%)=数&)成立，则0 玉0,(x)单 调 递 增，当时，(x)(),且不等式7n xin x-(x +/w)e丁 0恒成立，则加的最大值是()e2A.e B.C.2e D.e22答 案：Dx+ni由题意，m 0,x 0,不 等 式3111 _(+利)6 k W O对。恒成立，等价于,x+mi I n j 工+初 一Inx-e1 0),则/(x)=(x+l)e*0,于是/(x)在(0,+8)递增，.”0,InxWO时，不等式显然成立，ln x 0时，有故9二!工,m m x m令 g(x)=E：%1),g(x)max,g(x)=W (x l),故 g(x)在递增，在3 2

25、,4 8)递减，故g(x)a =g(e2)=5，故加 e 2,即用的最大值是e 2,故选D.3.(2021春渝中区校级月考)已知a l恒成立，则实数。的最小值为()A.B.-2e C.D.e2ee答 案：D九 升1 e+o ln x 2 0 即为尤e Nx一(一a)lnx=e M)/。(厂)，设/(x)=xe1 则上式o/(x)Z/(l n x-“)对任意的实数%1恒成立，显然“X)是(1,”)上的增函数，(x、x-a-nx=-a 如-3 6在(0,+0 0)上恒成立,则实数，的取值范围是()A.0 m 3 C.m 3 D.m m x-3 e =mIn e -3 ex,令，g(x)=m l n

26、 x-3 x ,由g(x+l)g(e),且 1%+Iex,知 g(x)在(l,+8)为 减 函 数.所 以I T lg(x)=-3 m m 0,函 数/*)=已 -1 1 1。+)一1(工 0)的最小值为0,则实数。的取值范围是()A.f o,B.,1 C.1 D.(pI 2 L 2 )答 案：Cx-a=Q/(x)=e-a-l n(x +Q)-l N X-Q+1-(无=1-2。=0,当且仅当 In x +x =In In +l n Q 1所以In =x,即 2-l n x =x,或e?=.则e?+l n x()=4+l n x()=2 .7.已知函数/(x)=x e T In x o r,若/

27、(x)20对任意尤0恒成立，则实数。的最小值是.1答 案：-ye-x eat-1-In x -x)等号成立的条件是l n x+方=1,即。=上 叱 有 解.X令g(x)=上则g，(x)=1上二1吧易得gWn i h i=g(e 2)=.故。的最小值x x e8.已 知 函 数 /(x)=l n x -x +l ,g(x)=axe-4,其 中 a 0 ,求 证g(x)-2/(x)N 2(l n a-l n 2)答 案：证 明g(x)-2f(x)=ax e -4 2(l n x x +1)=axcx 2(l n x 4-x +1)=axcx-2 1 n x eA-2 ,令 Q)=ar _2 1 n

28、 f _ 2,则=t t易知(f)N/?(2 =-2 1 n 2 =2(l n a-l n 2),故 g(x)2/(x)N 2(l n a l n 2).a)a9.已知函数/(x)=x(e 2、-a),若/(x)之1 +x+l n x,求a的取值范围.答 案：f(x)N l +x+l n x o x(e”.-a)2 1 +x+l n x o e2 x+l n -l-x-l n x ax ae2i_ _ inxx由于e-i-1-x-l n x n 2x+ln x +J-In x=1，当且仅当2%+也x =0等号成立,X X所以Q 0 时，若九(%)=/(%)q g(x)N 0恒成立，求。的取值范

29、围.答 案：f(x)-ag(x)0 q(l n工+x +1)=eA+,n x+e a(nx +x +1),当l n x+x+l 0 时，a&+nX+e,由于 e+M+e)e(x +l n x)+e【利用 e，2 e x】x +l n x +1 x +l n x +1 x +l n x +1当且仅当x+l n x =1等号成立，所以.故00 .答 案：证 明e ex e e (e f(x)=-F a(l n x x)+e =-a(x In x)+e =-a In Fe =，-Ql n/+e t=2 ex x x x I%2 2令 g(t)=t-e2 nt+e2(t e),贝【J g*)=l =,

30、易 知g(0 g(e2)=e2-2 e2+e2=0,又 O c a W e?时，f-al n f +e?Zr-e 2 1 n f +e 2 =g(f).所以 O v a W e?时，/(x)+e2 0 .1 2 .已知函数/(x)=n%+3a,(x)=x e2 at+a.x(1)讨论/(x),g(x)零点的个数；(2)若方程x)=g(x)有实数根，求。的取值范围.答 案：(1)广(月=上%:，令/(x)=0,则x当x e(o,、6)时,r(x)0,F(x)单调递增,当x e (五,+8)时，r(x)0,“X)单调递减，所以 fM W/(Ve)=宁 +3 a,当/(五)=灰2+3。0,即。一工2

31、笈时，/(x)无零点,2当。=一：尸时,3sje2,/(x)有一个零点，当-n a 0,g(x)单调递增，x =0是g(x)的唯一零点,当时，若g(x)=O,则x =(，当a 0时，当时，g(x)0,g(x)单调递增,所以g(x)N g+,当g+。0时，即a 4=时，g(x)无零点,7 2 e当。=/=时，g(x)有一个零点，当。时，g(x)有两个零点,当a 0,g(x)单调递增，当 时，g W0,g(x)单调递减，所以 g(x)W g(_ D =_ 3+a,2a)2ae当g m =-W +。时即一时，g )无零点，当。=一7 1时，g(x)有一个零点，当。一 时，g(“)有两个零点.(2)若

32、方程/(x)=g(x)有实数根，即 迎 四+3。=疣2 +。有大于零的实数根,X2 1 n x+1 +2ax=x e2a2 g+1“+1 =0 2小+心即e 2 m m/=2依+山/+1有大于零的实数根，设 (x)=e*-x-l,则(x)=e*1,令(x)=0,则x =0,当尤 (-0 0,0)时，h(x)0,(x)单调递增，所以(x)2 7/(0)=0,即e N x+1,当且仅当x =()时等号成立，设 k(x)=2ax+n x2(x 0),若方程=A(x)+l有实数根，则Z(x)存在零点，2k(x)=2a+-(x 0),当时，则l(x)0,Z(x)在(0,+8)单调递增，所以A(x)存在唯

33、一零点，当a 0,攵(力单调递增,当X W(-L+c o)时,r(x)0,Z(x)单调递减，a所以 Z(x)(-l)=-2-2 1 n(-a),a当:)=2一2山(一。)2。时，即一:4 0时，&(x)存在零点，综上所述，当aw 时，方程x)=g(x)有实数根.1 3 .已知函数/(x)=2 1 n x-1 +竺-eu,g(x)=x2|eavl n j f +j-ar-1 .I 2)I 4j(1)若a=0,求g(x)的极值;证 明：f(x)g(x).答 案：(1)当a=0时，g(x)=x 2(l n x +；-1 .g(x)=2 x|l n x +；)+x,当./时，/。)=0,(_3 当XG

34、 7(3时，g(x)0，g(x)单调递增,7/_3 所以 g(x)2 g e 4 71 N 1 e 2 1 =-7=-12 2 e v e综上，g(x)的极小值为一五力-1,无极大值.2 ax ax(2)因为6心+工2屁万，当且仅当e 5=2时等号成立,4 2/、/ar、2 axa x i 所以若/(无)g(x),只需2 1 n x+依+1 0,l n +q =h w,A C 1 2所以只需证明2 In,+1 tnt+t y设/i Q)=(-2)l n f +f-l,则(f)=2 n f +f-q +L2当O v i v l时,2 r l n/0,t一一+l 0,W)0,r-+l 0,单调递增

35、，tax所以(。之秋1)=0,即2 1 n.+l 0,若/(x)+ae，+l n a 2 0在(0,+x)上恒成立，求。的取值范围.答 案：方法 1：x-l n x+e2 x+l n 0a x+x 4-l n t z In x同时加xt z e2 A+2 x+l n a 2 x+l n xa x+In 伽2)x+l n xJQ x I构造(x)=x+l n x,单调递增，即a e?Z xna.fna N-=-e L。J max，e/、/、In 11 5.已知 函 数/=x e g(x)=x l n x,若/(芯)=8(%2)=，求不 的最大值.答 案：由题意：/(不)=3 e占=/0 =%0;

36、gx2=x2nx2=t 0 x2i,而：g(x2)=x2l n x2=l n x 2 el n2=/(l n x 2),/./()=/(l n x2).In Z In r构造Zi(x)=x e 在(0,+8)单增，/-=lnx2,/.xtx2=x2lnx2=t,-=,In/I 1 In r 1,=.-s._ /max e _ X,x2 e ,1 6.若x e (0,3时，关于X的不等式这3，+2 11 1%4 0恒成立，求。的最大值.e答 案：ax3eu+2 1 n x 0 =a x 0 =公e ax e t t 4 In 4 .X X r X构造/、(x)=x e /(ax)/l n-p-,

37、v l n-G(2,+o o),当a 0时，/(x)在(0,+8)T=2 e用,o x e n 3 一2=心速吧=然所 以：x2 xX /min7?e1 7.已知函数,f(x)=al n(i z x-a)+a(a 0),若关于x的不等式/(x)0恒成立,求的取值范围.答 案：方法 1 ：/(x)=ex-a l n(o x -a)+a(a 0),ex al n a(x-l)-a=In a+l n(x-1)-1,*-e Tn”+x-l n a l n Q +l n(x -l)-l +x-l n t z =l n(x-l)-l +x =en(x)+l n(x -1)令 g(x)=e +x,单增，x-

38、n a In(x-l)=In a In a 2=n a a 0 ,(x l)n(x-l)eA a(x-1)l n a(x -1)-a(x-1)=(x-l)e (l n t z(x -1)-1)a(x-1)n(x-l)e (l n a(xe%人叫构造g(/)=-l)e，g(x)g(l n a(x-l),因为g )单增,/.x I nf-1)=In 2 In t z x-l n(x-l)m i n=2 ,I n x In xa(e+l n -x-I n x-1)-1 +a(l n x+l)l n x t z(ev+l n A-+l)(l n%+1)0a-0=a l .1 9.若函数/(x)=x+e

39、、L 6b(x+x 2 x l n x)有零点，求 6 的取值范围.答 案：%+e“b=b(x+%2 _%i n x)=+e L Tn x =6(l +x In x),*/ev x+l,/.Z?(1 4-x In x)x-/?-l n x+2=Z?(2+x-l n x)x-l n x +2,v x-l n x+2 0=/?l2 0 .若x 0,证 明：(e-l)l n(x+l)x 2 .答 案：需 证：(e*-l)l n(x +l)x 2,即 证：l n(x+l)x J n e J(e 1+1)x e-l eJ-l e-l令/?(x)=m(：+l)(x 0),./1。)金 一1),在(O,+8)单减，即 证：x 0(x 0)显然成立.