2021年上海高考数学冲刺直通车09直线与圆的方程（专练）教师版.pdf

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1、考点0 9直线与圆的方程考点练一、单选题1.（2 02 0上海市建平中学高三月考）直线x 2 y +3 =0 的一个法向量为（）A.（1,2）B.（1,-2）C.（2,1）D.（2,-1）【答案】B【分析】设直线x-2 y +3 =0 的 个法向量=（。/），则2。+匕=0,即可得出结果.【详解】设直线%2 丁 +3 =0 的一个法向量=（a,b）,则2。+匕=0，取。=1,则。=一2,.可取直线x 2 y +3 =0 的一个法向量为=（1,2）,故选：B.【点睛】本题考查了法向量、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.（2 02 0.上海高三专题练习）在坐标平面内，与点A

2、（l,2）距离为I,且与点8（3,1）距离为2的直线共有)A.1 条B.2条C.3条D.4条【答案】B【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为丫=1+13,即 kx-y+b=0,J k-2+b ,3 k-l+b n 4所以4=/,=i,4=/-；=2,解之得k=0 或&=J k+1 yjk-+1 3所以所求直线方程为y=3 或 4 x+3 y-5=o,所以符合题意的直线有两条，选 B.3.(2 02 0.上海高三专题练习)若 A(s i n 3,c os0),B(c os0,si n 0)到直线 x c o s。+y s i n，+=0(nB.m nD.m n【答案】A【分析】直

3、接利用点到直线的距离公式结合三角函数有界性计算得到答案.|sin 6cos6+cos Osin。+pl cos2 +sin2 0+p 详解m=J-,=-sin28”，n=.l=-p,Vcos2(9+sin2 0 Vcos2/9+sin2sin2(1,-1)=左+1=0,解得氏=1.故答案为：一1.5.(2020上海黄浦区格致中学高三期中)如果直线/将圆：/+卜2一2 一4)=()平分，且不经过第四象限，贝U的 斜 率 取 值 范 围 是.【答案】0,2【分析】转化条件为直线/过圆心。,2),结合直线斜率的概念数形结合即可得解.【详解】圆：f +y22x 4)，=0可变为(x iy+(y 2)2

4、=5，由题意，直线/过圆心(1,2),在平面直角坐标系中作出直线/,如图；当直线/过原点时，直线斜 率&=E；=2,数形结合可得，/的斜率取值范围是 0,2.故答案为：0,2.1 06.（2 019上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）若直线/的方程为x c o s a -y+3 =0（aeR）,则其倾斜角的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.门 兀 3 n【答案】0,-U ,7tL 4 j L 4 ）【分析】由斜率与倾斜角的关系即可求得.【详解】解：x c o s e y +3 =0,即丫=%以%。+3,，宜线的斜率左=c o s a

5、 ,即1,1,设直线的倾斜角 为/贝J i 3 7 r A即 匹0,-U,故答案为:710,u43 44三、解答题V2 V27.（2 02 1.上海高三专题练习）双曲线二4 =1的实轴为44,点P是双曲线上的一个动点，引a r b AQAP,4Q_L&P，4。与4。的交点为。，求点。的轨迹方程.【答案】2x2 b2y2=a4（x c i）【分析】上.=7/、x +a x+a y2 V n2设 Q（x,y）,（小,%），4（-。,0），&（。，0），由已知条件可得 ，即 j。2=1，y%x a XQ c i-=-1x-a x-a乂点p在双曲线上，代 入 可 得，丁，.与=1,即为点。的轨迹方程.

6、x-a a【详解】设Q（x,y）,PA（-a,0）,4（a,0）,由题意可知与 w士a,x+a,否则点p （或点。）和点A（或点4）重合，不符合题意；Q 4 Q _L4 P，4 Q-L&P,上x +a 利用垂直斜率关系可得上x-a x0-a两式相乘得-T -,=1 x-a xQ-a2 2 2 2又点P在双曲线5 3 =1上，.王 冬=1,a2 b2 a2 b2V _ b22 2 2x0-a a即,.2;2将 其 代 入 式 得 勺=1，化简整理得：a2x2-b2y2=a x a)x-a a 所以点。的轨迹方程为：82 y士【点睛】方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：

7、(1)直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；(3)代入法：如果轨迹点Q(x y)依赖于另一动点？(毛,%)，而尸(毛，为)乂在某已知曲线上，则可先列出关于x,y,%,%的方程组，利用x,y表示出七,%,把 后,先 代入已知曲线方程即可得到动点Q的轨迹方程;2 28.(2 0 2 1 上海高三专题练习)已知椭圆工+乙=1,试确定的m取值范围，使得对于直线y =4x +z,4 3椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.【答案】加取值范1忖 为【分析】根据对称性可知

8、线 段 钻 被直线y =4、+垂 直平分 从而可得直线 钻 的 斜 率&=-5,直线,与椭圆有两个交点，目.A B的中点M在直线，=叙+加，可设直线A B的方程为、=-3+，联立方程组3炉+4/=1 2,整理可得 1 3/一8%+1 6(/-3)=0 可求中点，由 =642-4X13X16(/3)0 可V =r 4求的范围，由中点M在直线y =4 x+m可得 加，n的关系，从而可求加的范围.【详解】设椭圆上关于直线y =4 x+m对称的点4苞，y),B(x2,y2),则根据对称性可知线段AB被直线y=4 x+m垂直平分，故直线AB的斜率k =-宜线AB与椭圆有两个交点，且 AB的中点M(X o

9、，%)在宜线y =4x +机，3x2+4/=1 2故可设直线AB的方程为y =联立方程组d 1 ,4y =x+n14整理可得 1 3d -Snx+1 6(2-3)=0 +x2=,y +%=一;(%+X2)4-2M=-,A =6 4n2-4x l3x l6(/?2-3)0,解得：一 巫 巫，o=-%=-j y 代入 y =4x +z,解得：m =.2 71 32 71 3 -0),再利用求点关于直线的对称点的方法，求对称点，再代入抛物线方程，求直线和抛物线方程.【详解】如图所示，由题意设抛物线c的方程为且x 轴和y 轴不是所求直线，又 L过原点，因而可设L的方程为产质(后0),设48 分别是A、

10、B关于L的对称点.A (x,了)关于 y=f c v 对称于 A(-l,0),则 1 _ x +1 工，nA(I 2 2P-1 2k公+1 k2+)同理8 16k 8(包一1)k2+l k2+,又A、所在抛物线C上，所以（一 一 亚-）2=2 p 空 1公+1 公+1由此即 片 若 半评告由此得p=：广；（%-+1）左从而告=患强整 理 得 口。，W甘 也 Wk _ 1 +逐 k _ 1 -石、,2 ,所 以 直 线/方 程 为 产 上 芭 刈 抛 物 线 方 程 为），2=述 工_ 2 V 5 2 V5”仝、2 5P=P=l,q2=t-,所以P 2=(j )+_ 1)(Y)=：+：_*=_；

11、+*4 4 4因为 =7+4 在。,”)上单调递增，所以y =，：+4 1 1 +4=1,所以归邳 1,所以I PB I 的取值范围是(1,+8).【点睛】关键点点睛：若a、b、c 是常数列，则x +y +l =0，|P8|的最小值即为点8（1,0）到x+y +l =0 的距离，若。、力、。是成等差数列可得直线/恒过点例（1,-2）,可得2 4 J _,点 p在以4 Wh c为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值，第三问属于难题，设一=7=4。0,已知方程可化为a bx+qy-q2=0 ,夕。0,点 尸在/上可得20 利用P A _ L/，斜率成积为一1，可 得%=夕（%+1），联立两式可得看=

12、一2/,2将篙代入 P B2=（X。1）2+为2=（X。1）2+/（X。+1）2 可得I l+g-)U +令 l +q 2=f l,g2=i,将 P 4 用f 表示，求最值即可鱼 月 圆 的方程一、单选题1.（2020上海市建平中学高三月考）已知点8（4,0）,点 P 在曲线V=8 x上运动，点。在曲线I PB I2（x 2 +y 2=i 上运动，则:茹 的 最 小 值 为（）A.6【答案】BB.4C.7 5D.6【分析】设圆心为F,可知F为抛物线V=8 x的焦点，并 且 微 最 小时，依 经过圆心F,设P(x,y),则|P3=(x-4)2+V=*-4)2+8x =/+16,|PQ=x +2+

13、1 =x +3,可得|,换I PQI x +3元后利用基本不等式求最值即可.【详解】解：设圆心为F,则F为抛物线V=8 x的焦点，该抛物线的准线方程为x =2,设P(x,y),由抛物线的定义：|PF|=x +2,要 使 最 小，则|PQ|需最大,如图I PQI最大时，经过圆心凡 且圆尸的半径为1,：.PQ=PF+l=x+3,且|p 3|=而二诉了 =川 不 记.罂=三土II X+3I D D|2 25令x +3=r(t N3),则=，一3,二-=t+6 4,当，=5时取“=，此时x =2.I PQI t，周T的最小值为4故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛

14、物线的定义、圆的标准方程,属于中等题.二、填空题2.（2021 上海高三专题练习）若圆C以 椭 圆 工+工=1的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C的方程16 12为.【答案】。-2）2+丁=16【分析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知标=1 6,尸=12则0 2=4,所以椭圆右焦点为（2,0）长半轴为4.根据题意可知，（2,0）为圆心，4为圆的半径.，则圆的方程为（x-2 +y 2=i6.故答案为：（x-2 +y 2=i6.3.（20 21.上海高三专题练习）函数/（x）=忘7，;尤；的图象绕着原点旋转弧

15、度。（08 万），若得到的图象仍是函数图象，则。可 取 值 的 集 合 为.【答案】10,父 J耳，万L 3L 3【分析】先画出/（x）=J匚J,-gwxvg的图象，在旋转过程依据函数的定义可得。可取值的集合.【详解】图 图(2)/（x）的图象为如图（1）所示的一段弧，弧所在的圆的方程为：x2+y2=l,其中界）也用.在图象绕原点旋转的过程中，当5从 图（1）的位置旋转到（1,0）,如 图（2）所示，根据函数的定义，在这7T个旋转过程所得的图形均为函数的图象，故o e v不.在图象绕原点旋转的过程中，当5从 图（2）的（L 0）位置旋转到无轴下方，而 4 在X轴上，如 图（3）所示,TT 27

16、r根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图象，故一不符合.3 3在图象绕原点旋转的过程中，A在x轴下方，如 图（4）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图象，故告万符合.故答案为：0,y U =Y，7 T .【点睛】关键点点睛：在图象旋转的过程中，依据函数的定义来判断是关键.三、解答题4.（20 21 上海高三专题练习）如图所示，A、8 两处各有一个垃圾中转站，3 在 A的正东方向1 6 k m 处，A B的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电,要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：k m）与它们每天集中的

17、生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得 A、B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30 吨和5 0 吨.北BA居民生活区(1)当 A P =15 km 时，求 N A P 3 的值；(2)发电厂尽量远离居民区，要求 P A 6的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？【答案】a r c c o s -：(2)PA =54,PB =3后.【分析】(1)根据已知条件先计算出 族 的 长度，然后利用余弦定理求解出c o s N A/归 的值，从而N A P 3的值可求；(2)建立平面直角坐标系，根据条件分析得到P的轨迹，由此确定出 P A B的面积最大值，从而可求解出发电厂与两个

18、垃圾中转站的距离.【详解】(1)根据条件可知：A P-30 =BP-5 0,所以B P =9 k m，A P?+B尸-A B?2 A P B P225 +81-25 62x 15 x 9所以 c o s/A P 8=,所以 N A P 6 =a r c c o s；27 27(2)以AB中点为坐标原点，垂直于AB方向为 轴，建立坐标系如图所示：设尸(x,y),A(-8,0),B(8,0),因为A P-30 =B P 5 0，所以=所以 J(x +8+y 2=1j(x 8)2+y 2,所以 1 6/-5 44x +10 24+16产=0,所以x 2 34x +6 4+y 2=o,所以(x 17+

19、y?=225 ,所以P的轨迹是圆心为(17,0),半径为15的位于x轴上方的圆，所以当 P A 5的面积最大时，此时P的坐标为。7,15),所以 A P =(17-(-8)2+152=5取，B P=J(17-8y+15 2=3扃-【点睛】结论点睛：平面上给定两个定点AB,设 尸点在同一平面上旦满 足 震=4(4 0,2声1),则p的PB直线与圆、圆与圆的位置关系轨迹是个圆.一、单选题-尤=6+G cos 0,1.（2 0 2 0 上海高三专题练习）直线y=、x +正 与 圆 心 为D的圆 仁 （。G0,2万）交与A、3y =l+j 3si n66 4 3 3【答案】C【解析】解析：数形结合/I

20、 =c _ 3 O N 2 =3O +万一夕4由圆的性质可知/1 =/2。.a-30-=3（T+;r-/?。故a +夕2.（2 0 2 0 上海高三专题练习）已知x,y e R,且 +2+2彳0,则（）.A.X2+y2+6x+8 0C.x2 4-y2+4x+3 0D.x2+y2+4x+3 0Q f+丁+2%0 （x +1）2 +J i ,表示圆心为6（一 1,0）,半径为弓=1的圆内部的点，范围记为pQ%2+y+6x+8 0 （x+3）+y?0 /.（x +3）2+y2 1表示圆心为G（-3,0）,半彳仝为4=1的圆外部的点，因为I G G I=2 =。+弓，所以两圆外切，尸在B中所表示的点的

21、范围内，所以B成立；Q V+V+3 0 （x +2尸+V 1表示圆心为C 3（2,0）,半径为4=1的圆内部的点，因为I彳一弓I V G G I=1 0二（x+2）2 +/1表示圆心为。3（-2,0）,半径为与=1的圆外部的点，因为|4一GliaGJ=l0）始终平分曲线 0,2万）的周长，则+：的最小值为_.y=sma+l a b【答案】3+2应【分析】消去曲线的参数可知曲线为圆，且直线过圆心，则可得。+匕=1,再利用基本不等式可求最小值.【详解】消去曲线的参数可得（x-2 f+（y-l）2=l,可知该曲线是以（2）为圆心，半径为1的圆，因为直线内:+如-2 =0（。力0）始终平分该圆周长，则

22、圆心（2,1）在直线上，代入得a+b=l，1 2（1 2 b 2a 八 c b2a _ _ _/r-a b a b）a b a hI G当且仅当2=3，即。=&-1/=2-夜 时，等号成立.故答案为：3+2 0.a b【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查基本不等式求最值，属于中档题.4.（2020 上海高三专题练习）若圆G：/+/一2 g:+苏 一4=0与圆C2IX2+）1?+2x-4叩+4/-8=0相交，则加的 取 值 范 围 是.12 2【答案】m一一或0?+（丁一2加 =9,二。1的圆心为0,0）,半径为2,圆G：圆心为（一1,2机），半径为3,:圆。与圆G相交，二圆心之间的距离小于两圆

23、半径之和，大于两圆半径之差，故有：3-2 JO+1）2+（0-2）2 3+2,B|J 1 7（m+l）2+（0-2w）2 51 2 2 1 2 2解之得：-m一一或0加 2.故答案为：m一一或0 m 2=。即可.y/1+k【详解】当切线的斜率不存在时，切线方程为x=0.当了=&时，代入双曲线方程，得y =J 5，即4（、反,后），B（厄-吟,此时N A 0 5 =9 O,同理，当了 =一正时，ZAOB=90.当切线的斜率存在时，设切线方程为y =H+。，则J；）=及,即 加=20+攵2）.由直线方程和双曲线方程消掉 ,得（2 -2攵治_9 2 +2）=0,由直线/与双曲线交于A，8两点.故2-

24、4 2 H o.设A（XQJ,则 x+x22kb-从+22-k1/、/YM=（依+上）（应+。）=内9 中2+妨 a/+W、）+、=-k2ch2 F-2 k2_ +F2k?2hT2+2bc1 -k,22h22 K 2 K 2 k2b2-2 k22-k2故为+必必-h2-2 lb2-I k2 b2-2-2 k2-1-=-2-k2 2-k2 2-k2由于=2（1 +公）,故 了2+%=。，即 0A 06 =0，ZAOB=90.综上可知，若/交双曲线于A，3两点，则N A O B的大小为定值9 0.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，圆的切线方程，直线与双曲线的位置关系，此类问题可以先取特殊值探索，比

25、如此题中，可以先分析切线斜率不存在的情况，然后有针对性的验证王马+X%=。即可6.(2 02 0上海高二专题练习)求经过两圆G:厂+y1+4 x+y +1 =0 与C2:x +y2+2 x +2 y +1 =()的两个交点且半径最小的圆的方程.【答案】x2+/+|x+yy+l =0【分析】根据两圆的方程求出两圆相交弦所在的直线方程，结合待定系数法、圆的几何性质进行求解即可.【详解】设圆G 和 圆 的 两 个 交 点 为 A，B，则 直 线 的 方 程 为f +/+4%+y +1一(%2 +/+2+2 +1)=0,即 2 x y =(),设所求圆方程为x 2 +y 2+4 x+y +l +4 2

26、 x-y)=0.化简得：x2+j2+(4 +2 2)x +(l-2)j +l =0(4 +2 2 A 7则半径最小时，圆心 一 ,一一 J在直线2 x-y =0 匕解得4 =一 二.故所求圆的方程为x 2 +y 2 +g x +y+i =o【点睛】本题考查了过两圆交点且半径最小的圆的方程，考查了圆的几何性质，考查了数学运算能力.一、单选题1.(2 02 0 上海高三专题练 习)”是抛物线/=无上一点,N 是圆(x +l+(y 4)2 =1 关于直线x y +l =0 的对称曲线C上一点，则|M N|的最小值是()A.2 B.7 3-1D.小L -2【答案】D【分析】利用点关于直线对称得到曲线。

27、方程，设M(a2,a)计算|M C|=数性质得到答案.2 z i =i/+1,，解得32 l+i=oI 2 2【详解】设圆心（1,4）关于直线时称的点为C（x,y）,则x=3y=0曲线C为（x 3 y+y 2=i,设M（2,a）,故|AfC|=（片3）+4 =yja4 5a2+9=,当储=|时，|MC|有最小值为 半，故|MN|的最小值 为 平 一 1.故选：D.【点睛】本题考查了圆关于直线对称，抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力,应用能力.2.（2019上海浦东新区高三三模）定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（xi,yi）,Q（x2,”），则4（P，Q）=阳-划+M

28、 叫做尸、。两点的“垂直距离”，已知点M（xo,州）是直线or+外+c=0外一定点,点N是直线以+力+c=0上一动点，贝UM、N两点的“垂直距离”的最小值为（）国+如+dA-fnax（a,b）B yla2+h2C.H+WD.cixo+byo+c【答案】A【分析】设N(,-,-1),则M、N两点的“垂直距离 为：a a bt C t|r-c-a r0|y0+r|ar0+bya+cI-x0|+|-%产 m rr;/i I i.ix.由此能求出M、N两点的 垂直距离 的最a a h 间 b maxa,b)小值.【详解】由题意，点（%,%）是直线如+切+。=0外一定点，点N是直线or+切+c=0上一动

29、点，可设N（,一 ,一 口，则M,N两点的“垂直距离”为：a a b _ _ _ J _ c-词|%+）/叫+皿+c|a a 0|tz|b max（|a|M）a xn+Z?y0+c|所 以 两 点 的“垂直距离”的最小值为 J.故选A.m a x（|7|,p|）【点睛】本题主要考查了两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档试题.3.（2 0 18 上海高三一模）在平面直角坐标系x O y 中，已知两圆G +/=口和Q：/+y?=区，又点A坐标为（3,-l）,M、N 是 G 上的动点，。为 G 上的动点，则四边形AM

30、QN能构成矩形的个数为（）A.0个 B.2个 C.4个 D.无数个【答案】D【分析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦M N也是以AQ为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形AWQN能构成矩形的个数为无数个.【详解】解：如图所示，任取圆。2 上-点 Q,以AQ为百件画圆，交圆&与M,N两点,设。（7,），则AQ中点坐标m +3 n-12，三有，+/=14.以 AQ 为直径的圆的方程为（x-/w）（x-3）+（y-）（y +l）=0 ,即 2 一（3+机）+卜2 一（一“=一3加,用C,的方程减去以AQ为直径的圆的方程，可 得 公 共 弦 所 在 的 直 线 方 程,（加+3 n -1

31、I即（3+z）x+（-l）y =12-+3 m ,将 AQ中点坐标（六 二，-J 代入上式得:_ 1_、，-f m +3y,八 一1 nr+6 m +9+n2-2n+l左边=3+m）+/7-1-=-V 2 J 2 26 m-2 +2 4=3 m +12 =右边,2所以公共弦M N也是以AQ为直径的圆的直径，则MN=A Q,根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形A M Q V是矩形,由。的任意性知，四边形AM Q N能构成无数个矩形，故选D.【点睛】本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题二、填空题4.(2020 上海浦东新区华师大二附中高三月考)已知囚、的与自、坊是4 个不同的实数

32、，若关于x 的方程I工4 I+1 x-g R x-a|+|x-b21的解集A不是无限集，则集合4 中元素的个数构成的集合为【答案】1【分析】将该题转化为两个函数图像的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于x 的方程|x|+|x-l|=|x-a|+|x-b|,也即是函数/(x)=|x|+|x-1|和 g(x)=|x-a|+|x-0|的图像的交点问题画出分段函数的图像，通过取特殊值可以判断出有1个交点，而。个交点和2 个交点都是不可能的，需要用反证法去证明.设点A(0,l),C(a,b-a),D(b,b-a),借助斜率公式、绝对值三角不等式以及不等式的性质，导出矛盾，从而说明。个交点和2 个交点

33、是不可能的，最终得出集合A 只能有1 个元素.详解)转化为f(x)=|x-4|+1 x 出 I和 g。)=x-b+x-b2图像交点,-2 x+l,x 0为了简化问题，我们可以研究|x|+|x-l|=|尤一。|+|%-勿，/(x)=|x|+k 1|=1,0%1-2 x+a +b,xa设a b,g(x)=|x-4 +|x-向=匕-a,a x b设A(0,l),8(1,1),C(a,b-a),D(b,b-a),由图像易知，1个交点容易得至!,1 5 3如。=,6=2 时，可求得唯一一个交点为(一,二)2 4 2而 0 个交点和2 个交点都是不可能的.假设有0 个交点,.I b ci-11 c.I b

34、 a 11 由题意 I 砥 c l=-2 kBD=-2,-l-l-,一 1b-a-21-11 J-,明显矛盾,b-a b-a-小 一、.-a 1 b-1=-（0,2）,J-，-,b-1 b-a2 b-a-2 不可能有2个交点.其他0个 交 点 和2个交点的情况均可化归为以上两类.综上所述，解 集A不是无限集时，集 合A的 元 素 个 数 只 有1个.故答案为：1.【点 睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况.5.（2020上海高三其他模拟）已知直 线/与 单位圆。交 于A（石,）,3（工2，%）两

35、点，且 圆 心。到/的距离为则为+R+昆+必|的 取 值 范 围 是.【答 案】，屈【分 析】山圆 心。到/的距离 为 乎 可 得Z AO B=1,设 点A（%,%）到 直 线x+y=0的距离为ki+yj由（马,）到 直 线x+y=0的距离为d2人+%|ir则卜+x|+昆+%|=3 (4+4)，设直线0 A与直线x+y=0的夹角为。，分A 8在宜线x+y=0的同侧和异侧两种情况进行讨论即可.【详解】直线/与单位圆。交于A（%,X）,B（马，为）两点，且圆心。到/的距离为 坐，半径为1,可得Z A O B =-，如图直线x+y=0与圆交于E,F 两 点,则点A（玉,y,）到直线x+y=0的距离为

36、4=）费，点B（x2,y2）到直线x+y=0的距离为4 =是洪，设直线0 4与直线x+y=0的夹角为。，2万当A B在直线x+y=0的同侧时，Z A O E =0,3e 0,，则Z.BOF=-0 xy+|+|2+y2|=V 2（t/1 +J2）=V2 s i n，+s i n（芳 一 夕=V s i n（9 +?）,6 0,-,TT当A,B在直线x+y=0的异侧时，如图乙A O/uaew 0,-，则Z B O F =-0+凶|+昆+%|=及（4 +4）=&s i n +(y。-,若 A C_BH0,则实数。的取值范围为.【答案】9+、丽14【分析】化简集合4=。,)，)|-窈*+y 1,其表示

37、两平行线线上及其中间部分的点(如阴影部分所示)，集合5表示以M(2a,a+1)为圆心,Ja2为半径的圆及其圆内的点，而A 8 0.即表示该圆与阴影部分有交点，因此，即可利用宜线与圆的位置关系来解决此题.【详解】集合 A=(x,y)|(x+W+x+y-20，集合 A=(x,y)l-瓒k+y 1),所以其表示两平行线x+y=-2,+y=l线上及其中间部分的点，如下图阴影部分所示，B=I(x,y)|(x-2a)2+(y-a-1)2 a2,其中(x 2a了 +(y a I)-=a2 万,由 a .0，解得“万或a,0,在此条件下，其表示以M(2，a+1)为圆心，卜二为半径的圆及其圆内的点,其圆心在直线

38、x-2y+2=0匕依题意A 8#0,即衣示该圆与阴影部分相切或者相交,当a N1时，圆A/应与直线x+y T =0有交点，即跑竿1二U 4解得:。w 0:2y/2 V 2 2 Wa W0时，圆M与阴影部分恒有交点，满足题意；a +2=0有交点，即 12+吃1 +21“二解得:-19土眄 0,对任意a0,b 0,若经过点（a j（a）、9,一/伍）的直线与x轴的交点是（c,0）,则称c为a、。关于函数/（x）的平均数,记为.（1）若/（x）=l（x。），求（a,，）的表达式；（2）若/（,）=疯，求出所有满足条件的“X）的解析式；C I（3）若对任意a 0,b 0,且#b,都有成立，求证：/（a

39、+b）/（a）+/（b）.【答案】（1）M/（a 力；（2）于（x）=k G（x0,人为常数且氏0）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用（a,1）、（九 1）、（c,0）三点共线，结合斜率公式可求得c的表达式，即为所求;（2）利用点（a,/（a）、9,一/）、（痴,0）三点共线，结合斜率公式可得出:步=（兴，进而可得出函数/（力 的解析式;（3）利用点斜式可求得经过点（aJ（a）、9，一/（b）的直线方程,可求得c =b-a)f a%)+/优)由Mf（a,b）惑可推导出函数y =/区 在（0,+功I,为增函数，进而可得出/（a）0）,由于点A（a（a）、C（c,0）三点共线,即点A(a,l)

40、、3(瓦一1)、C(c,O)三点共线，由斜率公式可得上Q=a+bc=-2因此，Mf(a,b)=-.(2)c=Mf(a,h)=y/a b,由已知,(aj(a)、J拓,0)三点共线,0-f(a)0+f(b)-/伍)由斜率公式可得/上=我匕，即 可 而 _ 折 广 扬(6_阿，整理可得 工 妙=工9，yja!bf(a)/(/?)对任意的正实数。、。口b,今 二42 成立，y/a y/bf(x 即对任意的%0,今 2为常数，7 x由于/(x)o,可设=z(其中左为常数且左o),yjx所以，f(x)=k 6 (x 0，左为常数且Z 0)；记 点 A(aJ(a)、B(瓦-f(b)、C(c,0),直线 AB

41、 的方程为 y-f(a)=t(x-a)(x 0),直线A B 与x 轴的交点是(c,0),可得/(“)=/()+)(j),a-h所以，c=、/、0,b 0,Ha1 人都有c =J a+b(b-a)f(a)2ab bf(a)+af(b)2ab/()+/()a+b /(a)+/(。)a+b整理可得a2 f (Z?)abf(6 z)aiff(b)+b2 f (a)0 ,则，)0 ,设。6,则/,所以，函数y=/(0在(0,+8)上为增函数,a b x所以,/()3 可 得 a)也出a+b a a+h,同理可 得/)0,b 0,且此 6都有A f/(a,Z?)/(。)+/团.【点睛】关键点点睛：本题考

42、查函数的新定义问题，解本题的关键在于利用三点共线结合斜率公式求出c关于。、。的表达式，在求解本题的第(3)问，要 充 分 结 合 条 件 但 当推导出函数丁=/在a+b x(0,+。)上为增函数，进而结合函数的单调性与不等式的基本性质来证明结论.8.(2 0 2 0上海高三其他模拟)己知双曲线G：?=1与圆。2：/+/=4 +6 2s 0)在第一象限交点为4乙,以)，曲线：”.x2+y2=4+b2,xxA(1)若4=屈,求b；(2)若b =布，G与x轴交点是、FP是曲线上一点，且在第一象限,并满足|P周=8,求/6P 6；(3)过点S(0,2 +3)且 斜 率 为 的 直 线/交 曲 线 于M

43、、N两点，用b的 代 数 式 表 示O N，并求出OM ON的取值范围.【答案】(1)2；(2)；(3)QM-ON=Z?2+4：卜，6 +2后).【分析】(1)根据双曲线和圆的方程，将点A的坐标代入，得到方程组，求得匕的值；(2)方 法-：结合双曲线的定义，得到产 骂的三边长，利用余弦定理求解；方法二：根据归周=8,和双曲线的方程，联立方程组，求得尸的坐标，进而利用向量的坐标运算和向量的夹角余弦值公式求解；(3)根据自线/的方程，判定是圆的切线，切点为M，并利用支线。用 的方程与圆的方程联立求得 的坐标，注意到直线/与双曲线的斜率为负值的渐近线平行，利用数形结合思想，可得只有当力 “=2时,直

44、线/才能与曲线有两个交点，然后联立圆和双曲线的方程，求得A的纵坐标关于匕的函数表达式，进而解不等式求得0从2 +2逐，最 后 利 用 向 量 的 数 量 积 的 运 算 得 到ON的取值范围.【详解】(1)若乙=木，因为点A为曲线 与曲线G的交点，(224*=1 k=v 4 b2，解得(力,+=2*/?=2 ；(2)方法一：由题意易得6、6为曲线的两焦点，因为a=2,b=#?鹿=五2+/?2=7 =3,乂；P在第一象限，由双曲线定义知：|尸鸟|=归耳|一2访|尸制=8,2。=4,.|尸 鸟|=4,乂 :b=y/5,；I 耳6 I=6.在片居中由余弦定理可得:c o s N 6 P g =I呐2

45、+归用2-任 用22 阀H明1 1L -=1 .方法二：b=5 可得彳 4 5 ，解得P(4,g),(X+3)2+J =6 4(-7,-7 1 5),尸玛=(一1,一 店):.cosPF、,PF.)=PF】P F 2PF-PF21 11 6b A2+4 设 直 线 :广 一5、+了可得原点。到直线/的距离d所以直线/是圆的切线，切点为例,2?4所以无M=，并设/0 M：y =X，与圆/+/=4+联立可得/+=%2=4 +力2,h h b所以得冗二 ,y =2,即M S,2),h b直线/的斜率为-1,双曲线的渐近线方程为丁=捺尤，所以直线/与双曲线的斜率为负值的渐近线平行，所以只有当以为/=2

46、时，直线/才能与曲线有两个交点,7-4所以有-4,得0 /+）,2 _ =0 D.J x+y _ 1.Jf+y2 T =0【答案】C【分析】由图像可知曲线的方程是V+y 2 =1或 兀+丁一1 =0（尤2+丁2 2 1）,即可得出结论.【详解】由图像可知曲线的方程是Y+y2=1或x+y -1 =。（2+丁21）故选c【点睛】本题考查了根据图像求曲线的方程，解题关键是掌握圆的标准方程和宜线方程，考查了分析能力，属于基础题.二、填空题r2 v23.（2 0 2 0 上海徐汇区高三一模）已知双曲线：二-二=1的左右焦点分别为6、F,直线/与 的左、4 5右支分别交于点P、Q（P、。均在x轴上方）.若

47、 直 线P/。6的斜率均为3且 四 边 形 的 面积为20n，则女=.【答案】0【分析】斜率相等，两条线平行，然 后 用 余 弦 定 理 求 出 和QK，根据四边形P Q FE的面积为20#建立等式解出ta n 0即可.【详解】按题意作出图如下:由双曲线方程可得：a=2,c=3,因为直线P 6、OF2的斜率均为上所以直线PF/Q玛，在三角形。片鸟中，设Q K=x,则=2a+x=4+x,设。鸟 的倾斜角为6，则由余弦定理得cos（4 6）=厂+36-(4+x)2xx6解得QK=x=-同理可得：尸=-所以四边形?。鸟耳的面积2-3cos。2+3cos。一S=-(PF,+QFAxF.F,xsin0-

48、2、1 2,1 2 2(2+3cos。-:-x 6 x sin 6=20/62-3cosJ 2解得sin。=或者sin6=多色（舍去），故女=tan6=J5 3 18故答案为：J5【点睛】两直线平行转化为：斜率相等或者向量平行；两直线垂直转化为：斜率之积为-1或者向量数量积为0；4.（2020.上海高三其他模拟）已知曲线C：丫 =_如,直线/：y=2,若对于点A（0,机），存在。上的点P和/上的点Q,使得AP+AQ=0,则?取值范围是【答案】一；【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过AP+AQ=0,说明A是尸。的中点，结合 了 的范围，求出冽的范围即可.【详解】解：曲线C:y=-内=，是以原点

49、为圆心，3为半径的半圆（圆的下半部分），并且yw -3,0 J,对于点A（0,小），存在C上的点尸和/上的。使得A P +A Q =O，说明A是PQ的中点，。的纵坐标y=2,故答案为：一 L.2 2 2【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想.三、解答题2 25.（2 0 2 0上海高三一模）双曲线：三=1的左、右焦点分别为4、F2,直线/经过尸2且与r的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.（1）设P为r右支上的任意一点，求1巧的最小值；（2）设。为坐标原点，求0到/的距离，并求/与的交点坐标.【答案】|P 4 1mi n=9；。到/的距离

50、3；/与r的交点坐标为（4.1,0.67 5）.【分析】（1）设P（Xo，y。），山两点距离公式有12=1尤。+4，结合已知天之4,即可求I P Z I的最小值;3（2）根据双曲线方程写出渐近线方程为y=?X,由题设知/：3x+4 y-1 5 =0,由点线距离公式求。到/4的距离，联立双曲线、直线方程即可求交点坐标.【详解】（D根据题设条件，可得耳（一5,0）.设2%,%）,其 中%24,且%2=；_ 91 61叩=m+5）2 +%2 =.+4,x04所以当a=4时，|尸团的=9.3（2）嚣（5,0）,r的两条渐近线方程为=?X,4J|3x 0 +4 x 0-1 5|.根据题设，得/：3x+4