高中新课标数学-空间向量的坐标与空间直角坐标系-导学案.pdf

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1、1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系学习目标1 .在理解空间向量基本定理的基础上掌握空间向量正交分解的原理及坐标表示.2 .能正确地运用空间向量的坐标，进行向量的线性运算与数量积运算.3 .初步学会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题.重点难点重点：掌握空间向量坐标表示并能进行向量的线性运算与数量积运算.难点：会用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题知出梳理一、平面向量坐标表示及其运算已 知 a=(X1,3),b=(x2,y2),写出下列向量的坐标表示a+b=(+x2,y,+y2)；a-b=(-x2,%-%)；2 a=(：玉，a b=X%2+yxy2aZ/b o%一工2%=；a b

2、xxx2+(y2=0设 a=(x,y),则|a 3=+y2 或 a|=J)+,2如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(尤 i，y)、(x2,y2),那么|=J(X -x,)2 +(乂 一必尸；c o s。=。石=+.(0 W 6 W 乃)后寿后丁学习过程一、情境导学我国著名数学家吴文俊先生在 数学教育现代化问题中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数，欧儿里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的 腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法.”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了

3、使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算.在平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标，空间向量是否可以引进类似的坐标，这就是本小节我们要研究的内容。二、探究新知问题1：如图所示，己知方=evO B=e2,0C=6 3,且 OA D B-C E G F 是棱长为1 的正方体，。尸遇遇一4 1 O 1 G B 1 是一个长方体，为 为 0 C 的中点，0 尸尸2,。(1)设 元=a,0 C；=b,将向量a与b都用e 1，e 2,6 3 表示;(2)如果p 是空间中任意一个向量，怎样才能写出p在基底 e i，e z，0 3 下的分解式？1.空间中向量

4、的坐标一般地，如果空间向量的基底 捐 中,、e 狷 都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底;在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果P=%+、2+z 则称有序实数组(x,y,z)为向量p 的坐标，记作p=(x,y,z),其中x,y,z 都称为p 的坐标分量.1 .已知向量p 在基底 a,b,c)下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i厕 向 量 p 在基底 ij,k 下的坐标是()A.(1 2,1 4,1 0)B.(1 0,1 2,1 4)C.(1 4,1 2,1 0)D.(4,3,2)2.空间向量的运算与坐标的关系空间向量

5、a,b,其坐标形式为2=(勺,);叫)由=(4,)72).向量运算向量表示坐标表示加法a+ba+b=(x+x,y+y,z+z)1 21 2 1 2减法a-ba-b=(x-x,y-y,z-z)1 2 1 2 1 2数乘Xaka=(Xx Ay,?iz)i i i数量积aba b=x x+y y+z z1 2 12 1 2特别地,(1)如 果 是 两 个 实 数，那么/z a+vb=(/x +u r ,/iy+vy,/z z +vz ).12 12 12|a|=V H =VX1 +y i+zi-(3)cos =2-=2+2 g 粉 b和).+y i+yf+zf2.已知向量 a=(3,-2/),b=(

6、-2,4,0),则 4 a+2b 等于()A.(l 6,0,4)B.(8,-l 6,4)C.(8,l 6,4)D.(8,0,4)3.向量 a=(2,-3,遮),b=(l,0,0),则 c o s=.3,空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直设 a=(x i,y i,Z ),b=(X 2j2,Z 2),则有 a/7b =当其中为了向邦)；xi y zia J _b=ab=0=x iX 2+y i)2+z iZ 2=0.名师点析若不明确x iy p#),则可以用以下结论进行求解，%2=即 ab(a#)=b=/a=(X 2j2,Z 2)=x i,y i,z i)=y2=Ay1 9=Az .4已知 a=

7、(2,4,5),b=(3,x,y),若 a/7b,R!|()1515A.x=6,y=1 5 B.x=3,y=-C.x=3,y=1 5 D.x=6,y=y问题2：由空间向量坐标的定义可以看出，当单位正交基底的始点是同一个点O,而且空间向量的始点也是O时，空间向量的坐标实际上是由它的终点位置确定的。（1）如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？（2）我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置，在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序时数来刻画点在平面内的位置，那么怎样才能刻画空间中点的位置呢？4.空间直角坐标系为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基

8、础上，通过原点。，再作一条数轴z,使它与x轴,），轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直.轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看k 轴的正半轴沿逆时针方向转9 0。能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系0 xyz,0叫做坐标原点.每两条坐标轴分别确定的平面xOy,yOz,zOx叫做坐标平面，三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成八个卦限，如图所示.点 睛（1）空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有了一一对应关系，空间一点M的位置完全由有序实数组（x,y,z）确定,因此将（x,y,z）称为点M的坐标，记作M（x,y,z）.此时4,y,z都称为点M的坐标分量，且x称为点M

9、的横坐标（或x坐标）,y称为点M的纵坐标（或y坐标）,z称为点M的竖坐标（或z坐标）.（2）八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点：I ：（+,+,+）；n ：（-,+,+）；n i：（-,-,+）；r v：（+,-,+）；v ：（+,+,-）；I：（-,+,-）；VH：（-,-,-）；V I I I：（+,-,-）.在 空 间 中 建 立 了 空 间 直 角 坐 标 系 之 后，向 量 前 的 坐 标 与P点 的 坐 标 相 同，即OP=x e i +y2+z e 3=（x,y,z）P（x,y,z）.5.点 尸（1,2,1）关于工。2平面的对称点的坐标是（)A.(l,-2,1)(2)如图，在

10、棱长为2的正方体A8CEM 8 C。中，取。点为原点建立空间直角坐标系,。,例分别是AC,。的i i i i 1中点，写出下列向量的坐标：AM-,0 B；=.5.空间直角坐标系中两点之间距离公式及中点坐标设A(5,),z),B(t J；*?)为空间直角坐标系中的两点，则。4=(为别口1),。8二(必 力,22),所 以 四=OB-O 2=(x2,y2,Z2)-(x i,z i)=(x 2-x ij2-y i,Z 2-z i),A B =|而|=J(%2-X 1)2+(y2-y i)2+(Z2-Z1)2.设线段A B的中点为M(x,y,z)4 l6 i?=a j,z),.i iO M=-(0 4

11、 +0 8)=a(+x 2,y i+y 2,z i+z 2)=(空，空，空)，所以点M的坐标为(空，空,警).6.已知点A(-3,l,5)与点3(4,3,1),则A B的中点坐标是()A.g,l,-2)B.g,2,3)C.(-12,3,5)D.(|,2)例 1(1)已知向量 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2)4iJ(2a+3b)-(a-2b)=.(2)已知 a+b=(2,&,2K),ab=(0,&,0)4iJ cosa,b等于()AiD.四6c.立3Bi对于空间向量坐标的计算有以下两种途径:(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.本探究中

12、例题就是用给出的向量坐标直接套用数量积相关公式求解.对于(1)问中运算方法还可以先求出2a+3b与a-2b的坐标再计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量按坐标形式设出来，然后通过建立方程组,解方程(组)求出其坐标.变式中的求参问题便属于这一类型题目.跟踪训练1 若向量2=(1,1K)1=(1,2,1)4=(1,1,1),且满足条件仁也(21)=-2,则尸,例 2 已知空间三点 A(-2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c 近，求 c;若Aa+b与ka-2b互相垂直，求k.变式：若将本例改为“若Jta-b与ka+2b互相垂直”，

13、求k的值.判断空间向量垂直或平行的步骤.(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.(2)对 于2=(,)y )由=(4,丫 产2),根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直;根据4=入2，)；=到2片=冠2(右R)或空=Z,都不为0)判断两向量是否平行.2.求出参数值后还要再回归到原题检验解的可行性，解决平行或垂直时用的坐标,含参数的还要注意分类讨论思想的应用.跟踪训练2正方体ABCD-ABCxD中,E是 棱D D的中点尸,0分别为线段B J K B D上的点，且3尻万=西,若P Q L A E,而=2而，求z的值.例3棱 长 为1的正方体ABCD-A B C D中,E,EG分

14、别是D D ,BD,BB的中点.iiii 1 1 求证:E/UC尸;求8$丽,德乂3）求C E的长.通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.跟踪训练3如图，在直三棱柱（侧 棱 垂 直 于 底 面 的 棱 柱 中，CA=C 8=1,/B C A=9 0。,棱4 4 =2囚 为4 4的中点.1 1 求8N的长；（2）建立直角坐标系，求c o s v砧，瓦二 .达标检涮1.已知M(5

15、,-1,2)4(4 2-1),0为坐标原点，若 丽=肉，则 点B的坐标应为()A.(-l,3,-3)B.(9,l,l)C.(l,-3,3)D.(-9,-l,-l)2.在空间直角坐标系中，点P(-2,l,4)关于点例(2,-1,-4)的对称点的坐标是()A.(0,0,0)B.(2,-l,-4)C.(6,-3,-12)D.(-2,3,12)3.(多选)已知a=(2,-3,l),则下列向量中不与a平行的是()A.(l,l,l)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)4.已知向量a=(l,l,0),b=(-l,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是.5.已知 A(2

16、,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则 同-AC=，向 量 荏 与 前 的 夹 角 为.6.在棱长是2的正方体A8CC-A B C D中,E,尸分别为AB4 c的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求1 1 1 1 1E F的长.(2)证明:EF平面A4 D。;(3)证明:EF_L平面A CD.I i参考答案:知识梳理学习过程问题 1：答案：l)a =e i+e2+e3,b=er-2 e2+e3(2)若 p=xet+ye2+ze3,PPJp=尤,y,z1.解析:由题意知 p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i=12i+14j+1 Ok,故向量 p 在基

17、底i j k 下的坐标为(12,14,10).答案:A2.解析:cos=.2乎+。+?_-=1 答案：同|切 I-2 2J 22+(-3)2+(V 3)2 xyJl2+02+023 解析:4a+2b=4(3,21)+2(24,0)=(12,8,4)+(4,8,0)=(8,0,4).答案:DA仁 (x 6,4.解析:因为ab，则J=3=三,解得 is3%y l y =v答案:D5.解析:/%=。=。/)1=2,且DA,DC,DD两两互相垂直，设 5 DA=e)=(1,0,0),-D C=e2=(0,1,0),-=ea=(0,0,1).9A M=4。+DM=-ZM+：DDi=-2e+e3,.AM=

18、(20J).1-f -1 1 -1 1 ，-O B 1 OB+8B -DB+B=-DA+-DC+DD1=ei+e2+2e?,西=(1,1,2).答案:A(2)(-2,0,1)(1,1,2)6.答案:B例 1 ft?tJf：(l)(2a+3b)-(a.2b)=2a2+3a-b-4a-b.6b2=2x62-22-6x72=.244.由已知得 a=(l,V2,V3),b=(l,0,V5),故 cos=-=詈 卷=乎.|a|D|V6xy4 3答案:-244(2)C跟踪训练1 解析:据题意，有1=(0 0,1)=(2,4,2),故(+2A-4).又因为伏a+b)_L(依2b),所以(g+b)a2b)=0

19、,即(k-1,2 2)G+2,A,-4)=2R+hl0=0.解得 k=2 或仁|.变式：解:由题意知 所-b=(k+l,七-2),如+2b=伏-2,左,4),(ka-b)_L(ka+2b),(A:a-b),(Za+2b)=0,即(k+1)&2)+r-8=0,解得k=-2或k g,故所求k的值为-2或 申跟踪训练2 解:如图所示，以。为坐标原点Q A Q C Q A 所在宜线分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系小”,设正方体棱长为 1,则 4 1,0,0)才1 0,0,?,8(1,1.0),5(1,1),9(0,0,1),由题意，可设点P的坐标为3,4,1),因为 3瓦？=西，所以 3(a

20、-l,a-l,0)=(-a,-,0),所以3*3=”解 得 污，所以点尸的坐标 为 信*1 ).由题意可设点。的坐标为S也0),即-(右)乎0,解得冶,所以点Q的坐标为C，却).因为8 )=2DQ ,所以(-1,-1,0)=2,0 )，所以(=-1,故 A=-4.例3 (1)证明:以D为坐标原点J MQC QR所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,贝l j。(0,0,0),(0,0,i),C(0.1,0),F(l,i,0),G(l j i).所 以 酒C黄)，而=(海0),西=(1叫，帚(0也).因 为 而-CF=i x i +9(力+(.)x 0=0,所 以

21、品1乐 即EFCF.4 4 4 4，乙，解:因为即CG=;x l+l x O+(-i)x l =l2 2 2/2 4说=)2+)2+($2=/而|=1 2+0 2+&2 =苧,FF.CG；V1 5所以 cos=_=查 区=77-呵5 1 TXT(3)解:|CE|=|而|=02+(.1)2+(1)2=-跟踪训练3解:如图，以C为坐标原点,CA,CB,Cq所在宜线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得 B(0,1,0),M l,0,1),；.丽=(1-0)2+(0-1)2+(I-。/=6,.线段 BN 的长为V I(2)依题意得 4(1,0,2)旗0,1,0),C(0,0,0

22、),B.(0,1,2),AB=(-1,1,2),Bi C=(0,-1,-2),AA7B-BC=(-1 )X0+1 X(-1)+(-2)x(-2)=3.X|A?B I=V6,|B?C|=V5,r.cos =A|B B 1C=答.I硒 际I达标检测1.解析：O M =AB=O B-O A,O B=丽 +a=(9,1,1).因为O为坐标原点，则点8坐标为(9,1,1).答案:B2.解析:设对称点为P,则点M为线段相、的中点，设/(.r,y,z),由中点坐标公式，可得x=2x2-(-2)=6,=2x(-1)-1 =-3,z=2x(-4)-4=-12,所以 P(6,-3,-12).答案:C3.解析:若a

23、b,b#),必有b=2a.则b=(-4,62)时,b=2(2,3,l)=-2a,所以ab.经检验,其他向量均与a不平行.答案:ACD2 24.解析:依题意得(Aa+b(2ab)=0,所以 2|a|-Z:a b+2a b-|b|=0,2 2 7而|a|=2,|b|=5,a-b=l,所以 4k+h2-5=0,解得 k=.答案w5.解析:.荏=(0,3,3),尼=(-1,1,0),/.AB|=3,|前|=夜,A B 前=0 x(-1 )+3x 1 +3x0=3,cos=A B A C=.又 e 0,7tl,.-.=g.I 市 I 而 I答案：3三6.解:如图建立空间直角坐标系，则 4(2,0,2),4(2,00)1(2,2,0),C(0,2,0),)i(0,0,2),0(0,0,0),：E,尸分别为AB A C 的中点,，E(2,l,0),F(l,l,l),EF=(-1,0,1),二|而|=V1+O +1=V2.(2),：AD=(-2,0,2)=2EF,：.EF/ADi,又 A)iu 平面/L4ii),E尸，平面 AADD,二尸平面 AADD.运=(0,20 =(2 0 2),：.CD-EF=GJEF 砸=0抑 EF_LCO,EF_LAQ,又 CZ)n 4 Q=D 且 EFC平面 4 C D；.EF_L平面 ACD.