（本科）《概率论与数理统计》题库试卷及答案4套.pdf

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1、 概率论与数理统计题库试卷及答案4套一、填 空(每题3分，共15分)1.设 三 事 件 A B,。的 概 率 为 P(A)=P(8)=P(C)=L ,P(A 8)=0,4P(B C)=P(A C)=-；则A,B,。至 少 有 一 个 事 件 发 生 的 概 率 为:82.随机变量X的分布律为X0n/2冗p1/41/21/4则概率尸()x -1=L5.设 相 互 独 立 的 随 机 变 量x、y具 有 同 一 分 布 律，且x 1 0 1 I,则随机变量(1/3 2/3)Z=m inX,Y 的分布律为:二、选 择 题(每题3分，共15分)1.设X N(4,)，则尸 X-4 c r 的值随着b 的

2、增大而().(A)增大(B)减小(C)保持不变(D)增减不定2.设随机变量X和丫的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式P|X-H 2 6().(A)1/12(B)1/9(C)1/6(D)1/203.设是相互独立且同分布的随机变量，X=J ，丫 =。+，则X和 丫 必 然().(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为0(D)相关系数为04.设随机变量X的分布密度函数为f(x),且/(-%)=/(%),F(%)是X的分布函数，则对任意实数a,有().(A)F(-d)=F(a)(B)F(-a)=-F(a)-1L/、1(C)F(-a)=-JU(D)/(-Q)=g

3、+*05.设随机变量XN(l,9),X|,X 2,X 9为X的样本，X、S分别是样本的均值和样本标准差，则 有()X 1 x I x 1(A)X-1 N(0,1)(B)N(0,1)(C)-N(O,1)(D)*N(0,1)三、(12分)设 总 体X的密度函数为。婷,0%10,%1其中e o是未知参数.试求e的矩估计量和最大似然估计量.四、(8分)有一批建筑房屋用的木柱，其 中20%的长度小于3米.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有70根不小于3米的概率是多少？(所用数据见附表)五、(8分)设x与 丫是两个相互独立的随机变量，x与丫相互独立，都服从N(O,T2)分布.求点(X,丫)到原

4、点的距离z=J x?+y2的分布密度函数.六、(12分)已 知(X,V)在区域。中服从均匀分布，D=(x,)|0 x2,0y(2X+3F 5)；Z=X+Y,计算尸ZW1.七、(8分)设 总 体XN(,2.5 2),从中取出容量为9的样本，测得观察值为1=1 1,求总体均值的95%的置信区间.八、(1 0分)一 工 厂 生 产 的 某 种 设 备 的 寿 命X (以 年 计)服 从 指 数 分 布，概率密度为f i,-ex/4,x 0/(%)=14，工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工0,x 0厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净

5、赢利的数学期望.九、(1 2分)设X服从 0,9上的均匀分布，。为未知参数，X|X 2,x“为X的一个样本，X*X：=m a x(X|,X 2,X),y =，证明 y 的密度函数为：fY(y)=0附表：0(2.5)=0.9938,z005=1.645,z0 025=1.96,z000l=3.10,0 y 10,其 它参考答案:一、填空题0,X 11/4,1.0.5 2.0.2 5,13/4,.1,二、选择题1.C 2.B 3.D-1%00 A：0=-=-Yl即e=-为x的极大似然估计量.1 氏)/=1I n(立%,)l n(%,.)z=l i=l四、解：设X为1 0 0根木柱中长度不小于3米的

6、根数，则X Z?(1 0 0,0.8).所求的概率为PX 70V _ 1(V)x A Q由中心极限定理知，,=近似服从标准正态分布N(0,1),7 1 0 0 x0.8x0.2因而有Y _ o n 7 0 _ 2 f)P X 7 0 =R 二 -=1-(2.5)=0(2.5)=0.9 9 3 8V I 6 42 2 x+y五、解：(X,y)的联合分布密度为了(%,)=-re 2b2,-0 0 X,+002 gZ的分布函数为尸(z)=pzz=P/X2+Y2 z=p x2+r2z2=J j /(x,y)ck dy=x2+y2z29 2 C C 1 2n z -re 2b2 dj tdy=-df e

7、 2 0Z的分布密度为/(z)=F(z)=：e-*z0b六、解：/(x,y)=1/4,0,(x,y)D2)fx(x)=f(x,y)dy=f 2 1 /4 dj =1 /2,0 x 20 ,其 它1/2,0 x(/)=|,f(x,y)=fx(x)fy(y)二x与y相互独立.1 3E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0,D(2X+3丫 -5)=4D(X)+9D(Y)=可(3)P(Z I）时，y=io o.而尸(X l)=e-l/4E(y)=1 0 0 e-1/4+(-3 0 0)(1-e-l/4)=4 0 0 e-1/4-3 0 0九、证明：FY(y)=P -y =PX；yO=PXx y0P X2

8、ye -P Xn y0V0,x W 0由于X服从 0,网 上 的均匀分布，故分布函数为：/(%)=x1,Q x 0于是耳(田=尸(区)nynx,因 此 亦(y)=八0 y 1其它 概率论与数理统计试卷2一、填空题(每小题3分，共15分)1.袋 中 有 1 0 只红球，5 只白球，从中同时取3 只球，则取出的是2 只红球，1 只白球的概率为.2.随机变量X 的分布律为1T5X23Pk102T2则 X 的分布函数F(x)=.3.设随机变量(X,均的概率密度函数为f(x,y)=-,则 k=_.Z(l+k)(l+y2)4、设 X 与 相互独立，且 XN(1,3),YN(2,4),则 2X-3Y.5、设

9、由来自正态总体XN(，0.9方容量为9 的简单随机样本，得样本均值亍=5,则未知参数的置信水平为0.90的置信区间为.二、选 择 题(每小题3 分，共 15分)1.设A、B 是任意两个概率不为0 的不相容随机事件，则下列结论正确的是().(A)P(AB)=P(A)P(B)(B)P(A-B)=尸(A)(C)无与否相容(D)X 与否不相容2.下列函数是连续型随机变量的分布函数的是().0 x 00 x 0(A)F(x)=、(B)F(x)=x2120 x 01x 10 x 0-0 x 0(C)F(x)=sinx 0 x ;r/2(D)F(X)=sinx0 71/21X 3.设随机变量Xy 相互独立，

10、具有相同分布，P Y=-l=0.5,p r=i=o.5,则下列式子正确的是().(A)X=Y(B)P X=y=l (C)P X=y=0 (D)P X=Y=0.54 .已知随机变量X6(，p),且 E(X)=2.4,D(X)=0.9 6,则 参 数 小 p的 值 为().(A)n=4,p=0.6 (B)n=6,p=0.4 (C)=8,p=0.3 (D)=2 4,p=0.15 .下列等式一定成立的是()(A)D(X-Y)=D(X)-(y)(B)D(X-Y)=D(X)+D(Y)(C)D(3 X-1 3 D(X)(D)D(X)=Q,则 P X=E(X)=1三、(1 0 分)某工厂，机 器 B i、&、

11、凡 各生产产品总数的2 5%、3 5%4 0%,它们生产的产品分别有 5%、4%、2%的次品，将这些产品混在一起，今任取一件产品发现是次品，问这一件产品是由机器 以 生产的概率是多少？四、(1 0 分)设独立随机变量X和丫的联合概率分布为X1231b911823a9(1)求 a,6 的值；(2)给出X和丫的边缘分布；(3)求在卜=2下 X的条件概率分布。五、(1 5 分)一电子仪器是由两个部件构成，以 X、y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知X和 y的联合分布函数为F(x,y)=Q(l_ e 2)(l-e 2),x 0,y 0；0,其他(1)求分布函数F(x,y)；(2)问 X与 Y

12、是否独立？为什么？(3)计算两个部件寿命都超过2 0 0小时的概率.六、(1 5 分)设(X,K)在以(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求：(1)f(x,y);力。)；(3)(r)：(4)D(Y).七、(1 0 分)设 总 体 X 的概率密度/(x)=+l)x 其中几之1 是未知参数。0,其他X 1,X 2 X”为来自X的一个样本，试求参数2 的最大似然估计量.八、(1 0 分)进 行 2 5 次试验，测得镒的熔化点()均值、标准差如下：元=1 2 63(C),s =7.2(C),己知钵的熔化点服从正态分布，是否可以认为锌的熔化点为1 2 60 (C)(a

13、=0.0 5).(附 表：a =0.0 5,k g(2 4)=2.0 63 9,70 5(2 4)=1.71 0 9,zO O 25=1.9 6,z005=1.64,ZO.IO=1-28)参考答案：一、填空题0X11/51 x 2.1.45/91 2.3.冗2 4.N(4,48)1/22 x 3二、选择题1.B 2.C3.D 4.A 5.D5.(4.504,5.496)三、解：设8=”任取一件产品是由3生产的，A=取到的一件为次品”由贝叶斯公式尸（鸟|A）=P(B 3)P(A|B,)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _P(四)P(A +P(B2)P(A B2)+P(%)P

14、(A J B3)_40%x 2%_ 1625%x5%+35%x4%+40%x2%-69四、解：(1)a=2/91 h=/6；0,其他=f(x,y)=fx(x)-fY(y),因而X,Y相互独立.P X 0.2,y0.2 =P X 0.2 .P y0.2 =飞 e d x J：edy=(2,(%,y)G G六、解：f(x,y)=(0,具他c-w o 2dx=2y,0 y D(Y)=E(Y2)-E(Y)f=i七、解：设孙X2,用是相应于XX 2 X”的样本值M/t)=pj/(x,;2)=/=!(2+l)n(fl x,.)0 x;In L(2)=-1-，In%=0/=i d 2 A +1 /=i=4

15、=-1 =丸的最大似然估计量2=-1 丁 21 n 毛 21 nx ii=z=i八、解：H（）：二网二126 0,Hi：b 2未 知，用t检验法，拒 绝 域 卜|二工 。2%(-1)=%.0 25(24)22.0 6 39x=126 3,s=7.2,n =25 =|z|=126 3-126 0=2.0 8 33 2.0 6 39 拒绝”0，认为锌的熔化点不超26 0 C 概率论与数理统计试卷3一、填 空 题(每小题3分，共15分)1.某门诊有三个诊室，先后有三个患者来看病，病人可随机选择诊室，则每个诊室恰好接待一个患者的概率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2.设随机变量x b(i,；

16、),随机变量y=2 x+i,则P y 1,则y.X5.设 总 体X。(l,p),1,0,1,1,0是 来 自 总 体X的 样 本 观 察 值，则 的 矩 估 计 值为.二、选择题(每小题3分，共15分)1.假设事件A和B满足P(B|A)=1,则().(A)A是必然事件(B)P(8|给=0(C)A n3(D)A u 3(1、2.设随机变量x与y独立同分布，x (2/,3 1,/3),则 必 有().(A)X =Y(B)PX=Y=5/8(C)PX=Y=5/9(D)PX=V=13.设X,(i=l,2,是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量，E(XJ=1 ,0(X,)=4 且 E(X；)存在,z

17、=l,2,对任意整数 0,则()成立.(A)limp1 之X-4 4 =1I 1=1 J(C)lim P,-V X,2-5 f=1T 8 n 台(B)1 lim P-YX.2-421 n(D)limP 卜=1f n.、=14.在假设检验中，原假设为H o,检验显著性水平为a,则下列各式正确的是().(A)尸 接受Hol”o正确=(B)P 拒绝HoM正确=a(C)P 接受 HoM 正确=1 -a(D)P 拒绝 HolHo 正确=1 -a5.设有一批零件的长度服从正态分布N(,b 2),其中，a?均未知，现从中随机抽取16个零件,测得样本均值元=9(c m),样 本 标 准 差 为s=l(cm),

18、则 的 置 信 度 为0.95的置信区间为().(A)(9%。必(16)(B)(9?0。5(16)（C）（9 r0 0 5（15）（D）（9?O.O 25（15）三、（10 分）某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.0 20.1020.0 10.7 530.0 30.15设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的。在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率.左 _ X）四、（1 4 分）设（X,Y）f（x,y）=八0 x l,0 x其它（1）求常数人；（2）求（X,丫）关于x 及 y的边缘密度/x（x）和 万（y）；（3）

19、计算概率尸 x +y i .五、（1 0 分）设总体X 在区间（0,8）上服从均匀分布，X2,X3,X 为 其 样 本.试 求（1）晦（X,）的概率密度函数；吗龈X,）办六、（1 2 分）某箱装有1 0 0 个产品，其中一、二、三等品分别为6 0、30、1 0 件.现在从中随机抽取T 牛，记X =0,抽到i等品其它(z=1,2,3).试求:（1）X 1 与X 1的联合分布律；（2）X,与 X2的相关系数p.七、（12分）某 家 庭 的 日 开 支 X（元）的 任 意 三 次 抽 样 为 4 0 ,2 0 ,30 ,设_ 幺（彳-10）2X/（x）=心 一 1 把2 x 2 1 0 ,求参数a的

20、极大似然估计值（保留三位小数）.0,x 1 0八、（1 2 分）机器包装袋盐，假设袋盐重量服从正态分布，规定袋重标准差不能超过1 2 g,某天开工后要检查机器工作是否正常，从装好的袋盐中随机抽查9袋，测得样本标准差为1 6.0 3g,问按显著性水平a =0.0 5,能否认为包装机工作是正常的？参考答案：一、填空题二、选择题1.D 2.C733.-4.F(，1)5.一4 53.C 4.B 5.D三、解：记 A 表 示“取到的是一只次品，Bi（i =l,2,3）表示“取到的产品是由第，家工厂提供的”则 P田)=0.1 0,P(B2)=0.7 5,P(B3)=0.1 5,P(A|B,)=0.0 2,

21、2(川 约)=0.0 1,尸(4|四)=0.0 3,由全概率公式得P(A)=P(g)P(A|片)=0.0 1 4./1=|y的分布函数为耳(y)=尸(y)4,四、解：由 丁 /(x,y)d x d y =-x)d x d y =(=1 ,得 Z=2 4.(2)，/、产 乙 3 1 2 4 y(l x)d y,0 x l 1 2/(1 x),0 x lfx(%)=L 于(x,y)d y =y=卜 O,其它1 ，其匕“(例”.f 2 4 y(l-x)i r,0 y l f l 2 y(v2-2 y +l),0 y 0,其它1 ，其它(3)i P X +丫 1 =J J /(x,y)d x d y

22、=J 2 4 y(l -x)dxdy-1 2 1 2 y -2 4 y2d y =j。2x+yl0,x 0五、解：(1)令丫=ma x(X 3 由X的分布函数/(x)=44 1xo 0也 0 y 所以y的概率密度为力(y)=犷 一)一0 其它(2)E(n=2E(ma x(X.)-6)2 l /.2 5 5六、解:(1)PXx=1 =卷=0.6,P 1 喂=0.3,P X Q 端 W尸 X =0,X 2=0 =尸 X 3=1 =0.1.1000.10.60.710.300.30.40.6(2)E(X1)=0.6,E(X2)=0.3,E(X,2)=0.6,(X22)=0.3,D(X1)=0.6-0

23、.62=0.24,D(X2)=0.3-0.32=0.21,E(XtX2)=0,_ E(X1X2)-E(X)E(X)_-0.6X0.3 _ _叵Px,X2 J0(X1)(X2)V024V02I 14七、解：构造似然函数：L(a)=口/(七)=an 口(西-10)e/=,2,x 10,z =1,2,/=1/=l其对数似然函数为：n n nIn L(a)=l n =l n a +，l n(x,-10)(xz-IO)2 x.10,z =1,2,，i=l z=i 2 Z=1令 色 In L(a)=-Y(x,.-10)2=0,得 4=.，da aZ(Xj-10)2i=l代入相关数据得石 0.0()4.八、

24、解：检验假设”0：4 122,取检验统计量Z2=(”吁:72(-1),拒绝域形式为力2 2%/5一),热 屋 =6 5 0 7,Z2=。1产=8*3,M.276 6507 =(8)。0 12方值不在拒绝域内，接受H0-.a2 122,综上讨论,认为包装机工作正常.概率论与数理统计试卷4一、填空题(每小题3 分，共 15 分)1.已知随机变量X的分布函数为F(x)=A+8 a r c t a n A,则 A=,B=,概率密度函数/(x)=_2.设随机变量X和 y的数学期望都是2,方差分别为1 和 4,而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式尸|X-y|2 64.3.设 X i，X2,Xi，X 4

25、 是来自正态总体 N(0,32)的简单随机样本，X =a(X L2X 2)2+%(3X 3-4X 4)i J当“=，b=时，统计量X服从%2分布，其 自 由 度 为.4.设总体 X N(卬2),则二分布，E(S2)=,。($2)=.5 .设随机变量X,y 相互独立都服从正态分布N(0,32),而 X i,X 2,，X 9和 冷 分 别 是 来 自总体x和 y 的简单随机样本,则统计量u =a+/+叁服从_ _ _ _ _分布,参数为_ _ _ _ _ _ _.加+为 2+.+/二、选择题(每小题3 分，共 15 分)1.已知x服从参数为”的二项分布且E(X)=3.6,石(X?)=1 4 4,则

26、”的值分别为()(A)6,0.6 (B)12,0.3(C)36,0.1(D)24,0.152.设两个相互独立的随机变量X和 y分别服从正态分布N(0,l)和贝1 J()(A)P X+r 0 =0.5 (B)P X+Y)=0.5 (C)P X-Y0=0.5(D)P X-M 1 =0.53.设随机变量X,y都服从标准正态分布，则()(A)x+y 服从正态分布(B)x?+y 2服从%2分布(C)和产都服从%2分布(D)/y 2服从F分布4.设两个随机变量X与 y 相互独立同分布：P X=-1 =0.5,P X=l =0.5,则下列各式成立的是()(A)P x=/)=0.5 (B)P x=y =i(C

27、)口X+y=0 =0.25 (D)P XY=1 =0.255 .设 X i，X 2，X”是来自正态总体N(0,1)的简单随机样本，又、S 分别是样本的均值和样本标准差，则 有()_ _ X (A)灭 N(0,l)(B)X 7V(0,l)(C)-(D)ZX：32()S 1=1三、(10 分)某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为p 射击进行到击中目标两次时为止.令X表示第一次击中目标时的射击次数，y表示第二次击中目标时的射击次数，试 求 X、Y的联合分布列P U，条件分布列P M，用 口 及条件期望E X|Y=.四、(15 分)某种电子仪器由甲乙两部件构成，以 x,y分别表示甲乙两部件的寿命(

28、以小时计).已知x和 丫的联合分布函数为F(x,y)=0,y 0其它(1)关于x,y的边缘分布函数F x(x)及尸心，)；(2)问x和 y 是否相互独立，为什么？(3)求 X与 丫的联合概率密度/(x,y)；(4)计算两个部件的寿命都超过1 00小时的概率.五、(1 0分)某单位内部有2 6 0部电话分机，每个分机有4%的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要备有多少条外线才能以9 5%的把握保证各个分机在用外线时不必等候.（1.6 5）=0.9 505（1.6 4）=0.9 4 9 5）六、（1 0分）某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布N（

29、,b 2）.为了知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比是否改变，测试了 9个产品，它们含硫量的百分比的均值和方差分别为：元=4.3 6 4 s =0.0 5 4,试求（1）的置信水平为0.9的置信区间；（2）能否认为含硫量的百分比显著小于4.5 5?（显著性水平a=0.05）七、（1 0分）设某种商品每年的需求量X （以万吨计）服从 2,4 上的均匀分布，设每售出1吨这种商品可以获利3万元，假设销售不出而囤积于仓库，则每吨需要花费1万元保管费，问需要组织多少货源，才能使商店获得的期望利润最大.八、（1 5分）设X|,X 2,X”是取自下列指数分布的一个样本，/（尤）=e0,x0尤 0（1）

30、试 求e的矩估计量J；（2）证明d是。的无偏、一致、有效估计.参考答案：一、填空题1.1/2 ,1/兀，1/7 C（1+?）4.X2,a-2,2 T*/（n-l）二、选择题1.A 2.B 3.C三、解：据题意知其中q=l p,又2.1/1 25.t,94.A 5.D3.1/4 5,1/2 2 5,2P ij=口X =i,Y=j=p 2-2,i ii,i=1,2,-这时I -l I e ，|l-e-0-5 x,xQ四、解：(1)Fx(x)=&(x,+(x)=0其它(2)因 为 Fx,y)=Fx(x)6。)，所以X 和 V相互独立d2F 0.25e5(x+y),(3)/(x,)尸-=dxdy 0,

31、x 0,y 0其它(4)尸(X 100,y 100)=J；：J；：/(x,y)dxdy=：J:=必五、解：令v 1,第i个分机要用外线X=/=!2 2600,第，个分机不用外线 则P(Xi=1)=0.04=p(q=1_p=0.96)260如果260架分机中同时使用外线的分机数为X,显然有X=Z Xji=据题意是要求确定最小的整数X,使得P(X 0.95成立.因为二260较大，所以有 X 260P x-2 6 0 p、P(Xx)=P(-L 0.9 5,故取 6=1.6 5,于是x=A J260Pq+260P以 p=0.04 q=0.96及力=1.65代入，即可求得 a 15.61取工二1 6,所

32、以总机要备有16条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不必等候.六、解：(1)的置信水平为0.1的置信区间为(x Z()(8),x H y=%(8)=(4.297,4.397)V T假设 H()：2 网=4.5 5,备择假设 Hi：o=4.55由 口 三 华.aXaX的分布函数为/(x)=50,2x4其它期望利润为 X(X,a)=+J 3 a dY=2/；XAX-a(a-2)+3 (4 -a)=2 f xdx Q+13QJ 2 2令 dEL(X)二 ,得 2-7+1 3 =0,解得 a=2.6da八、证明：(1)总体均值广 +广 4-s c 1 EX=j xf(x)dx=x e dx=0所 以。的矩估计量几泊1 3 一(2)1。因为EX二七一Z X j=e ,所以X是。的无偏估计2。由辛钦大数定律，对任意的 0,1 l i m P|Xil (4V)2J+2奈 +骨1 =铲1(。)n_ 1 1D(X)=D(-Y Xi)=n02=n/=i n n所以X是。的有效估计.