湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-12解答题（压轴题）.pdf

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1、湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-12解答题(压轴题)一.二次函数综合题(共6 小题)1.(2022益阳)如图，在平面直角坐标系xO.y中，抛物线E：y=-(x-m)2+2m2(w0)的顶点P 在抛物线尸：)，=苏 上，直线x=r与抛物线E,尸分别交于点4,B.(1)求 a 的值；(2)将 A,B 的纵坐标分别记为邛，用，设S=)X-)，B,若 s 的最大值为4,则，的 值是多少？(3)。是 x 轴的正半轴上一点，且 P。的中点M 恰好在抛物线产上.试探究：此时无论，为何负值，在 y 轴的负半轴上是否存在定点G,使NPQG总为直角？若存在，请求出(1)请直接写出点A,

2、B,C 的坐标；(2)点、P(m,)(0 w 0）.（1）若。=1,6=3,且该二次函数的图象过点（1,1）,求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系x O y中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x i,0）、B（X2,0）,其 中x i 0 仅|陵|,且该二次函数的图象的顶点在矩形A B F E的边E F上，其对称轴与x轴、B E分别交于点M、N,8 E与y轴相交于点P,且满足 ttmZABE.4求关于x的一元二次方程a+bx+cO的根的判别式的值；若N P=2 B P,令7=吃喈c,求T的最小值.阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，

3、可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程?+b x+c=0 （0）的两个根加、X2有如下关系：Xl+X2=上，XU 2 =”.此关系通常被称为“韦达定理”.a a二.三角形综合题（共2小题）7.（2 0 2 2郴州）如图 1,在AB C 中，AC=B C,Z A C B=90 ,A B=4 c m.点。从 A 点出发，沿线段A B向终点B运 动.过 点。作 A 8 的垂线，与 AB C 的直角边4 C （或 8 C）相交于点E.设线段A。的长为a （c m）,线段QE的长为a（c m）.（1）为了探究变量。与/?之间的关系，对 点。在运动过程中不同时刻AQ,O E的长度进行测量，得出以下几组

4、数据：变量a (cm)00.51 1.522.533.54变量h(cm)00.51 1.521.510.50在平面直角坐标系中，以变量的值为横坐标，变量/?的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2.图 1 图2 1 图2 2根据探究的结果，解答下列问题：当=1.5 时，h=；当=1 时，a=.将图2-1,图 2-2中描出的点顺次连接起来.下列说法正确的是.（填“4”或 B”）A.变量人是以a为自变量的函数B.变量a是以人为自变量的函数（2）如图3,记线段O E与 A8C 的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（5?）为分别求出当0 W a

5、2 和 2 a W 4 时，s 关于a的函数表达式；当s=工时，求 a的值.2图38.(2022岳阳)如图，ABC和aOBE 的顶点 8 重合，NABC=/OBE=90,ZBAC=NBDE=3G,BC=3,BE=2.(1)特例发现：如 图 1,当点。，E 分别在A8,BC上时，可以得出结论：&D=,CE直线AD与直线CE的位置关系是；(2)探究证明：如图2,将 图 1 中的绕点8 顺时针旋转，使点。恰好落在线段4 c 上，连 接 EC,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3,将 图 1中的OBE绕点B 顺时针旋转a(19 af=BE时，求 ta

6、n(60-a)的值.图3图2三.四边形综合题(共I 小题)9.(2022益阳)如图，矩形ABC。中，AB=15,BC=9,E 是 CO边上一点(不与点C 重合），作 AFL8E 于 F,CGL8E 于 G,延长 CG 至点 C,使 C G=C G,C F,A C.(1)直 接 写 出 图 中 与 相 似 的 一个三角形;(2)若四边形A FC C 是平行四边形，求 CE的长;(3)当 CE的长为多少时，以 C,尸，B 为顶点的三角形是以C 尸为腰的等腰三角形？四.相 似形综合题(共1小题)10.(2022常德)在四边形ABC。中，NBA力的平分线A尸交BC于凡 延长AB至 使 BE=FC,G

7、是 A尸的中点，G E 交 B C 于 O,连接GD(1)当四边形A8CD是矩形时，如 图 1,求证：G E=G D：B O*G D G O-F C.(2)当四边形A8C。是平行四边形时，如图2,(1)中的结论都成立.请给出结论的证明.湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-12解答题(压轴题)参考答案与试题解析一.二次函数综 合 题(共 6 小题)1.(2 0 2 2 益阳)如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛 物 线 氏 =-(x -m)2+2m2(w 0)的顶点P在抛物线F：y=a?上，直线x=f 与抛物线E,尸分别交于点A,B.(1)求。的值；(2)将 A,B

8、的纵坐标分别记为泗，ya,设$=甲-)如 若 s 的最大值为4,则，的值是多少？(3)。是 x 轴的正半轴上一点，且 的 中 点 M恰好在抛物线产上.试探究：此时无论机为何负值，在 y轴的负半轴上是否存在定点G,使NPQG总为直角？若存在，请求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)由题意可知，抛物线E：y=-(%-m)2+2W2(W 0)的顶点尸的坐标 为(m 2 m2),；点 在抛物线尸：尸 加 上，2 c 2 am=2irr,(2),直线元=，与抛物线E,尸分别交于点A,B,yA=-(/-/n)2+2/n2=-+2 加 什 团 2,)记=2 落s=yA-yB=-P+lmt

9、+m2-2a=-3+2加 什 机 2=-3 (f-my 2+-bn2,3 3V-30 且 4层-川 2=。，2.,.M(-4(2(-/2m-m,0).2如图，过点。作 x 轴的垂线K M 分别过点P,G 作 x 轴的平行线，与 KN分别交于K,，N K=NN=90,/QPK+NPQK=90 ,V ZPQG=90 ,：.ZPQK+ZGQN=90Q,Q P K=/G Q N,:丛P KQs 丛 QNG,：.PK：QN=KQ：G N,即 PKGN=KQQN.VPK=-加-tn-m=-V？-2m,KQ=2in2,GN=-yl2m-m,(2m)(yl2m m)=2tn2*QN解得 QN=3 M +4.2

10、：.G(0,-3 7 2+4)22.(2022娄底)如图，抛物线y=-2 x-6 与 x 轴相交于点A、点 B,与 y 轴相交于点C.2(1)请直接写出点A,B,C的坐标；(2)点 P(m,n)(0 w 8。最大=&-；2方法二：如图2,作P Q J _ A B于0,交BC于点、D,:B(6,0),C(0,-6),直线2 C的解析式为：y=x-6,A D (2,m-6),:.PD=Cm-6)-2m-6)=-L 2+3/n,2 2.,.SA P Bc=l pD，0 B=y X 6*(-y m2+3 m)=()乙 乙 乙 乙 乙当 m=3 时，Szx P BC ia大=1；2 如 图3,当aA C

11、 F E 时，AE/CF,.抛物线对称轴为直线：、=乜 坦=2,2.点的坐标：(4,-6),如图4,当。ACEF时，作 FG_LAE 于 G,：.FG=0C=6,当 y=6 时，-kr2-2x-6=6,2.xi=2+2,/7 X2=2-2A/7：.FI(2+2我，6),F3(2-277.6),综上所述：F(4,-6)或(2+2阴，6)或(2-2 我，6).3.(2022湘潭)已知抛物线=/+法+c.(1)如图，若抛物线图象与x 轴交于点A(3,0),与 y 轴交点8(0,-3),连接43.(I)求该抛物线所表示的二次函数表达式；(I I)若点P是抛物线上一动点(与点4 不重合)，过点P作PHA

12、.X轴于点H,与线段A B交于点M,是否存在点P使得点M是线段P H的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2)如图，直线y=&+与 y 轴交于点C,同时与抛物线y=x2+bx+c交于点。(-3,30),以线段CQ为边作菱形CFE,使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求 b 的取值范围.图fc=-3,I 9+3b+c=0.fc=-3T b=-2，.,.y x2-2x-3；(I D存在点P,使得点M是线段P”的三等分点，理由如下:,:B(0,-3),A(3,0),直线AB的解析式为：y=x-3,设点 P(.m,w2-2m-3),M(.m,m-3),A

13、 P H=-机 2+2H?+3,HM=3-m,当 时，-疗+2加+3=3(3-in),化简得，m2-5根+6=0,7 2 2 1 =2,H T 2 3 f当?=2 时，y=22-2X2-3=-3,：.P(2,-3),当，=3 时，y=32-2X3-3=0,此 时P(3,0)(舍去)，当 时,2-”/+2?+3=3（3-/*）,2化简得，2mz-7m+3=0,，加 3=3（舍去），m2=92当 m时，y=（A）2-2X A -3=-2 2 2 4:.p（A,-!_）,2 4综上所述：P（2,-3）或（工，-立）；2 4.c=36-9,：.y=x2+bx+-9）,把 x=-3,y=0 代入 y=x

14、+得O=4X（-3）+，o 7 7 =4,，OC=4,VZCOD=90,00=3,0C=4,：.CD=5,四边形CQFE是菱形，:,CE=CD=5,：.E(5,4),当-_ L o时，2当 x=0 时，y=3b-9,：.G(0,3 Z7-9),:该抛物线与线段C E没有交点，：.3b-94,乌3当b 0时，当 x=5 时，y=2 5+5匕+3 b-9=8/7+1 6,：.H(5,8 6+1 6),.抛物线与C E没有交点，.,.8&+1 6 4,：.b型 或6V一 旦.3 24.(2 0 2 2衡阳)如图，已知抛物线产7-X-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部

15、分不变，得到的新图象记为“图 象W”，图 象W交y轴于点C.(1)写出图象卬位于线段4 B上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=-x+。与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出人的值；(3)尸为x轴正半轴上一动点，过点P作加了轴交直线B C于 点 交 图 象W于点N,是否存在这样的点P,使aCM N与 O B C相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)当x=0 时，y=-2,：.C(0,2),当 y=0 时，/-x-2=0,(x-2)(x+1)=0,XI=2,X2=1,A(-1,0),B(2,0),设图象W 的解析式为：y=a(x+1)(x-2)

16、,把 C(0,2)代入得：-2=2,：.a=-1,.*.y=-(x+1)(x-2)=-J+X+2,，图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-/+x+2(-l x .在线段C B上方的抛物线上有一动点P,过点P作P E _ L B C于点E,作P F A B交8 C于点F.(1)求抛物线和直线B C的函数表达式.(2)当 的 周 长 为 最 大 值 时，求点 尸 的 坐 标 和 尸 的 周 长.(3)若 点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、”为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)：抛物线

17、y=o?+2 x+c经过点A (-1,0)、B(3,0),.fa-2+c=01 9a+6+c=0解得(A11 c=3.抛物线的解析式为=-/+2 x+3,令x=0,可得y=3,：.C(0,3),设直线B C的解析式为y=+b,则 b=3,l3k+b=0.fk=-l,I b=3 直线B C的解析式为y=-x+3；(2)如图一中，连接 P C,OP,P B.设 P(m,-Z M2+2W+3),OB=OC=3,NO8C=45,:PF AB,：.ZPFE=ZOBC=45 ,：PE1,BC,0石 尸是等腰直角三角形，尸 后 的值最大时，：月的周长最大，,:SAPBC=SAPOB+SAPOC-SOBC=J

18、LX 3X(-机2+2%+3)+JLX 3 X%-J1X3X32 2 2=-n+-m2 2=-(m-)2+-Z-,2 2 8；一 旦 0,2二，=3时，P8C的面积最大，面 积 的 最 大 值 为 止 匕 时PE的值最大，2 8T x 3 a x p E=2 88 _ _.尸所 的 周 长 的 最 大 值=%巨+谑 _+9=%巨+9,此时尸(反，.!.)；8 8 4 4 4 2 4(3)存在.理由：如图二中，设 M(l,f),G(m,-m2+2m+3).当B C为平行四边形的边时，则有|1-刑=3,解得m=-2或4,：.G（-2,-5）或（4,-5）,当B C为平行四边形的对角线时，.1 （1

19、+机）=1（0+3）,2 2 m 2,：.G（2,3）,综上所述，满足条件的点G的坐标为（-2,-5）或（4,-5）或（2,3）.6.（2 0 2 2株洲）已知二次函数=,+云+。（。0）.（1）若。=1,6=3,且该二次函数的图象过点（1,1）,求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xO y中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A （xi,0）、B（X2,0）,其 中xi 0|X2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形A 2F E的边E/上，其对称轴与x轴、B E分别交于点M、N,3 E与y轴相交于点P,且满足 tan Z A B E=.4求关于x的一元二次方程a+bx+c=Q的根的判别

20、式的值；若N P=2 B P,令喈c,求T的最小值.阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为 当判别式,（）时，关于x的一元二次方程0?+法+。=0 QW0）的两个根X I、X 2有如下关系：力+冷=上，X U 2=”.此关系通常被称为“韦达定理”.a a把 x=1,y=代入得，l =l+3+c,/c=-3；（2）方 法（一）由 o?+6 x+c=o 得，-b-Vb 2-4ac s b+v b-4ac人 I -,A Z ，:2a 2a A B=X 2-X Ia2.抛物线的顶点坐标为：（-也，%2也_）,2a 4a2：.AE=b _4 a c,0

21、M=旦，4a 2aV Z B A E=9 0 ,.,.t an/A B E=3,A B 4 b2-4ac.vb-4ac 3.-94a a 4A/?2-4 c le=9；（方法二）由o?+云+c=。得，b rVX1+X2=，X 1X 2=,a a二阳-X 2|=（X 1+X2）2-4X 1.X2=4（）2-4（=:ac下面过程相同；：b2-4ac=9,*A Z.-b-+-3，2aJ O P/MN,NP ON,萨 f b.b+32a 2a:b=2,A 22-4 4 c=9,/.c=-4a，当=2 时，T&j、=-4,a即 4=工时，T&小=-4.2二.三角形综合题（共 2 小题）7.（20 22郴

22、州）如图 1,在 A B C 中，AC=BC,ZAC B=90 ,A B=4 c m.点。从 A 点出发，沿线段A8向终点B运 动.过 点。作 A8的垂线，与 A B C 的直角边A C （或 B C）相交于点E.设线段AO的长为a（c m）,线段。E的长为/?（C 7 H）.（1）为了探究变量“与力之间的关系，对 点。在运动过程中不同时刻A。，OE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a(cm)00.511.522.533.54变量h(cm)00.511.521.510.50在平面直角坐标系中，以变量a 的值为横坐标，变量的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量人的值为横坐标，变量。的值为纵坐标

23、，描点如图2-2.图 1图2-1 图2-2根据探究的结果，解答下列问题：当“=1.5 时，h=1.5；当=1 时，a=1 或 3.将图2-1,图 2-2 中描出的点顺次连接起来.下列说法正确的是 A.（填 A”或 B”）A.变量是以。为自变量的函数B.变量。是以/?为自变量的函数（2）如图3,记线段QE与ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积 C ent1）为 s.分别求出当0W a2和 2aW 4时，s 关于a 的函数表达式；当$=工时，求 a 的值.2图3【解答】解：（1）从图1 中，当“2 时，ADE是等腰直角三角形,：.DE=AD=1.5,从图2,当九=1时，横坐标“对

24、 应 1或 3,故答案为：1.5；1或 3；如图，图21 图22当自变量a 变化时，力随之变化，当 a 确定时，力有唯一一个值与之对应，所以/?是 a的函数；当自变量才确定时，a 有两个值与之对应，所以。不是/?的函数，故答案为A；(2)当 时，D E=A D=a,SADEA D-DEa2；2 2当 2 a W 4 时，D E=A B -A D=4 -a,-5=y BD DEy(4-a)2)(i 9f aJ(002)；.S=，；y(4-a)2(2 a 4)当S=2时，当0W a W 2时，21 2=12 a 2.41=1,42=-1 (舍去)，当 2 V,E 分别在AB,B C 上时，可以得出

25、结论：地=_ 百 _,CE 直线A D与直线CE的位置关系是 垂 直；(2)探究证明：如图2,将 图 1 中的 OBE绕 点 B 顺时针旋转，使点。恰好落在线段A C 上，连 接 EC,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3,将 图 1 中的 O8E绕点B 顺时针旋转a (19 a F=BE时,求 t a n (60 -a)的值.【解答】解：(1)在 Rt/SABC 中，NB=90,8c=3,/A=30,:.AB=B C=3 M，在 中，ZBDE=30,BE=2,:.BD=MBE=2M，；.EC=1,A D=,.迫=愿，此时4D_LEC,EC故

26、答案为：垂直；(2)结论成立.理由：V ZABC ZDBE=90 ,:.NABD=NCBE,:AB=MBC,BD=MBE,AB=DB,BC EB/ABD s 4CBE,.血=迪=,ZADB=ZBEC,EC BCV ZADB+ZCDBS0 ,.NC)B+/BEC=180,：.ZDBE+ZDCE=S0，,：NDBE=90 ,：.ZDCE=90Q,：.ADA.EC；(3)如图3中，过点B作BJLAC于点J,设交AK于点K,过点K作KTLAC于点K.图3V ZAJB=90 ,ZBAC=30 ,A ZABJ=60 ,：.NKBJ=60 -a.；AB=3后AJ=B J=上,2 2 2当DF=BE时,四边形

27、BEFC是矩形，：.ZADB=90 ,AD=VAB2-BD2=V(3V3)2-(23)2=设 K T=w,则 47=盗，AK=2m,.NKTB=/AB=90,t n n n KT ADBT BD m _ VTsBT 泰，：.BT=对直m,52 m 3 5.,”=45-6 标11 _.K=2,=90-12 后,11 _ _.KJ=AJ-AK=9-9 0-1 2 21715-81,2 11 22t a n （60 -a）=B.T 11解法二：证明 N C4F=60-a,通过t a n （60 -a）=里求解即可.AF三.四 边 形 综 合 题（共1小题）9.（2022益阳）如图，矩形A B C D

28、中，48=15,BC=9,E是CZ）边上一点（不与点C重合），作 于凡 CGL BE 于 G,延长 CG 至点 C,使 C G=C G,&C F,A C .（1）直接写出图中与AFB相似的一个三角形；（2）若四边形AFCC是平行四边形，求C E的长；（3）当C E的长为多少时，以C,尸，8为顶点的三角形是以C 尸为腰的等腰三角形？【解答】解：（1）（任意回答一个即可）;如图1,A A F B s A B C E,理由如下:图1.四边形ABCD是矩形,：.DC/AB,N BC E=N ABC=90 ,:./BEC=/ABF,：AFA.BE,：.Z AFB=90,；.N AFB=N BC E=90

29、 ,:.XAFBSXBCE：tAFBs/C G E,理由如下:CGLBE,：.ZCGE=90 ,：.ZCGE=ZAFB,：NCEG=NABF,XAFBs XCGE：LAF BsXBG C,理由如下：:ZABF+ZCBG=NC BG+N5C G=90,NABF=NBCG,V ZAFB=ZCGB=90 ,:.AFBsABGC；（2）,四边形4FCC是平行四边形，:.AF=CC,由（1）知：XAF B sg G C,.AF=AB 即空=前 记、而T 了设 AF=5x,BG=3xf：.CC=AF=5x,V CG=CG,：.CG=CG=2.5x,:/AFBs/BCEs ABGC,CG CE 叩 2.5x

30、 CE,前 BC，3x V，CE=7.5；（3）分两种情况：当（7尸=8（7时，如图2,图2,：CGA.BE,：.BG=GF,：CG=CG,.四边形BCFC1是菱形,：.CF=CB=9,由(2)知：AF=5x,BG=3x,：.BF=6x,：/XAFB/XBCE,AF BF 即 5x=6x,前 C E V C E 5x=9,菽 C E)，C E=；5当C T=B/时，如图3,图3由(1)知：XAFBs 丛BGC,AB=BF=15=5BC CG T设 8F=5a,CG=3a,：.CF=5a,：CG=CG,BELCC,：.CF=CF=5a,：.FG=4a,a n/CBE=_=里，BC BG C E

31、3a,9 4a+5a；.CE=3；综上，当C E的长为9或3时，以C ,F,B为顶点的三角形是以C F为腰的等腰三5角形.四.相 似 形 综 合 题(共1小题)10.(2022常德)在四边形ABC。中，N B A O的平分线A F交8 c于F,延长A B到E使8E=FC,G是4尸的中点，G E 交 B C 于 O,连接G.(1)当四边形ABC。是矩形时，如 图1,求证：GE=GD-,B O-G D=G O F C.(2)当四边形AB C D是平行四边形时，如图2,(1)中的结论都成立.请给出结论的证明.四边形ABCD是矩形,，N BAO=N ABC=90 ,AD=BC,平分 N BAQ,：.Z

32、BAFZDAF=45 ,A ZAFBZBAF=45 ,：.BA=BF,：BE=CF,：.AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD,AG=AG,：./EAG/DAG(SAS),:.EG=DG,ZAEG=ZADG,:ADFC,AG=G尸，：.DJ=JCfGJ LCD,:GD=GC,:/GDC=/GCD,V ZADC=ZBCD=90a,/ADG=/GCO,：./OEB=/OCG,：NBOE=NGOC,:OBEsOGC,BE=OB而 O G：GC=GD,BE=CF,；BOGD=GOFC；(2)解：过点。作。兀L8C于点7,连接GT.图2 四边形ABCD是平行四边形,:.AD=BC,AD/BC,：.ZD

33、AG=ZAFBfA E平分ND45,：.ZDAG=ZBAFf：.BAF=ZAFB,：.AB=BF,：.AE=AB-BE=BF+CF=BC=ADf.,AG=AG,AAEAGADAG(SAS),，ZAEG=ZADG,tCADZ/FT,AG=GF,:DJ=JT,VGJDT,:.GD=GT,:.NGDT=NGTD,V ZADT=ZBTD=90 ,ZADG=ZGTO,：./OEB=/OTG,:NBOE=/GOT,:OBESOGT,.BE=OBe,GT 0G，：GT=GD,BE=CF,；BOGD=GOFC解法二：延长EG交A于点，在。M上取一点M 使得GN=GM.证明推出 GM=OG=GM ZAMG=ZGOF,再证明 BOESGOM可得结论.