浙江六校竞赛联考加试答案.pdf

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1、2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(初赛)暨 2022年全国高中数学联合竞赛模拟考试加 试(A 卷)参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次.一.(本 题 满 分 40分)设 为 整 数，%吗,，勺为实数.证明：存在整数左0,1,使得对于任意实数x e 0,1,均有a。+a/-+a”“S%+%+I-证明：设则1=0a。+djX+a2x2+F=S。+(S-S0+(S2 S)x2+卜(Sn Sn4)x=50+(5,-50)

2、X+(S2-5I)X2+-+(5 -S JX=SO(1 -X)+E(X-X2)+.S“T(XT-x)+S,x.20 分设邑=maxS0,S1,S“,则S0(l x)+4(x s,i(x n-xn)+Sxn 1,使得按题目中表述定义的数列仅含有完全平方数.先证明加1为 3 的累.假设加一1为偶数，则%=5加-1应当能被4 整除，故加三l(mod4).但%=5?2+3加一1三3(mod4)不可能为完全平方数，矛盾.于是，加-1为奇数.10分假 设 奇 素 数 3整除机-1,注意到，an-an-=*一*(modp),故在模。的意义下该数列的形式为1,1,4,4,7,7,10,10,.事实上，归纳可以

3、证明：a2k=alk_x=3k-2(modp)(k-1).由gcd(p,3)=l,得数列%(modp)含有模p 的所有余数，与平方数只有空 个 模 的余数矛盾.这表明，加一1为 3 的幕,.20分令 h,k 为整数，满足加=3 A +l,a4=h2,则 5x3=(一 2)(+2).又gcd(人 一 2 +2)=1,故 -2=1,3：，5，在前两种情况下得k=0,在W+2=5x3,5,3t最后一种情况得=2.于是，加=2 或 10.30分下面反过来验证成立.假 设?=2或 1 0,令f=1或 3 使得加=J +1 .整数列4 也,定义如下：瓦1 也=2,b“&+*(4).显然,对=1,2,3,有

4、=照.注意至U,若加=2,则为 =9且仇=3；若加=10,2则%=4 9且 =7.以上两种情况，均有&=6：.4 0分若 之5,则Y+3=（他-+T）2+也）2 =（广+1）色3 +2 n）=m（b,3+）因此，可归纳证明对所有的2 1,均有%=；.综上所述，满足条件的所有整数加=2,10.50分四.（本题满分50分）已知l i/4 2 0 2 2（i,/e N ）,求最大的实数。，使得对任意大于2022的正整数及实数小弓,乙，存在集合 1,2,的一个子集S满足i W|SCI +L1+2022|j 对所有Z =l,2,-2022恒成立且证明:J 740461meS m=l 0首先，记左=202

5、2,一方面，取 =2（4+1）,乙 =1,1 mk-；rni=-1,%+2 4 742(%+1)此时t W=2（攵+匕m=l由d|s n J +l,f+左 区/,及 左+2知,在1至左+1中，S至少有i个元素，至多有/个元素，在+2至2（4+1）中，S至少有z,个元素，至多有J个元素,于是 E/meS另一方面，当。=g|jtE c Q,qeA 40,gw/n A+l k+A+l则 力#(S,+。,)，不妨设6 sBim=l m=l m=l m=在1,2,，左+1中任取i个互不相同的元,与，阳，再在剩下的元素中任取j-i的互不相同的元斗,彩，,一 厂取5=aa=t/m(modZr+1),a e m 0,a m v“,(modk+1),a e 1,2,1 w -Y(Sm+Tm)2(+1)占 m m=2,+1)自小综上所述，4 0 4 65 0 分4