北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题11计数原理与概率统计(含详解).pdf

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1、大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题11计数原理与概率统计真题汇总 1 【2 0 2 2年北京卷08 若（2%I）4=a4x4+a3x3+a2x2+ar%+。0，则+4=（）A.40 B.41 C.-40 D.-412.【2020年北京卷03】在（-2）5的展开式中，/的系数为（）.A.-5 B.5 C.-10 D.103.【2021年北京11】（/一 4展 开 式 中 常 数 项 为.4.【2016年北京理科10】在（1 -2%）6 的展开式中，/的系数为.（用数字作答）5.【2015年北京理科09在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）6.【20

2、14年北京理科13】把 5 件不同产品摆成一排，若产品A与产品8相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种.7 .【2013年北京理科12】将序号分别为1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1 张，如果分给同一人的2 张参观券连号，那 么 不 同 的 分 法 种 数 是.8 .【2022年北京卷18】在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0 m 以上（含%5 0 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.8 0,9.7 0,9.55,9.54,9.

3、48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；乙：9.7 8,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙:9.8 5,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E （X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）9.【2021年北京18】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合1 检测法即将上个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，

4、则还需要对本组的每个人再做检测.现有 100人，已知其中2 人感染病毒.（1）若采用“10合 I 检测法且两名患者在同一组，求总检测次数；已知10人分成一组，分 10组,两名感染患者在同一组的概率为高，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E（X）；（2）若采用“5 合 1检测法；检测次数y的期望为E（y）,试比较E（X）和 E（y）的大小（直接写出结果）.10.【2020年北京卷18】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一20 0

5、人40 0 人3 0 0 人1 0 0 人方案二3 5 0 人25 0 人1 5 0 人25 0 人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（H）从该校全体男生中随机抽取2 人，全体女生中随机抽取1 人，估计这3人中恰有2 人支持方案一的概率；（I I I）将该校学生支持方案的概率估计值记为p o,假设该校年级有5 0 0 名男生和3 0 0 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为P i，试比较P o 与田的大小.（结论不要求证明）1 1.20 1 9 年北京理科1 7】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转

6、变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月4,8两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 10 0 人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支 付 嬴(0,1 0 0 0 J(1 0 0 0,20 0 0 大于2000仅使用A1 8 人9人3人仅使用B1 0 人1 4人1 人（1）从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率；（I I ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以X表示这2 人中上个月支付金额大于1 0 0 0元的人数，求 X的分布列和数学期望

7、；（I I I）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于20 0 0 元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于20 0 0 元的人数有变化？说明理由.1 2.【20 1 8 年北京理科1 7】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数1 405 03 0 020 08 0 05 1 0好评率0.40.20.1 50.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.（I）从电影公

8、司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（I I ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有1 部获得好评的概率；（I I I）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“&=1”表示第&类电影得到人们喜欢.“枭=0”表示第无类电影没有得到人们喜欢*=1,2,3,4,5,6）.写出方差。日，优 2,D 3，a 4,琅,。笈的大小关系.1 3.【20 1 7 年北京理科1 7】为了研究一种新药的疗效，选 1 0 0 名患者随机分成两组，每组各5 0 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标和、的数据，并制成如图

9、，其 中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（1）从服药的5 0 名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于6 0 的概率；（2）从图中A,B,C,力四人中随机选出两人，记 J为选出的两人中指标x的值大于1.7 的人数，求孑的分布列和数学期望E （）；（3）试判断这1 0 0 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标），数据的方差的大小.（只需写出结论）f指标y !指标x 1 4.【20 1 6 年北京理科1 6】A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）:A班66.577.58B班6789101112C

10、班34.567.5910.51213.5（I ）试估计C班的学生人数；（I I）从 A班 和 C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（I I I）再从A,B,C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7,9,8.25（单位：小时），这3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为阳，表格中数据的平均数记为n o.试 判 断 即 和 m的大小.（结论不要求证明）15.【2015年北京理科16】4 8 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A

11、组：10,11,12,13,14,15,168 组；12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立，从 4 8 两组随机各选1 人，4 组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.（I ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（I I ）如果=2 5,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（I I I）当。为何值时，A,8 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）16.【2014年北京理科161李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主 场 12212客 场 1188主场21512客场21312主场3128客场

12、3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率；（3）记元是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与元的大小（只需写出结论）.1 7.【2013年北京理科1 6 如图是预测到的某地5 月 1 日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5 月 1 日至5 月

13、13日中的某一天到达该市，并停留2 天sr质量指数0 IH 2B3H 4B5B 6H7B8H 9H10B11H12HBBUH 口 期（I）求此人到达当日空气质量优良的概率；（I I）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）模 拟 好 题 1.为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照40,60）,60,80）,80,100）,100,120）,120,140）,140,160分成

14、6 组，制成了如图所示的频率分布直方()300B.450 C.480 D.6002.二项式(x-的展开式中产 的系数与”的系数之比为（）A.6 B.-6 C.15 D.-153.有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4 种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为 红桃”或“A”的概率为（）A.B.C.D.52 27 13 524.若某地区60 岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为6 0%,加强免疫接种（第三针）的接种率为 3 6%,则在该地区完成新冠疫苗全程接种的6 0 岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）A.0.6 B.0.375

15、 C.0.36 D.0.21 65.下表是某生活超市20 21 年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它区营业收入占比48.6%1 5.8%20.1%1 0.8%4.7%净利润占比65.8%-4.3%1 6.5%20.2%1.8%该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%.其中正确结论的序号是（）A.B.C.D.6.在（x

16、 +a）5的展开式中，炉 的系数是.（用数字作答）7.在（日-6 的展开式中，常数项为.（用数字作答）8 .若（1 -2x）5=劭+ax+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则的+a 2+的=.9 .在（/一：）5的展开式中，的系数为.（用数字作答）1 0 .二项式（1+x）n（n e N*）的展开式中/的系数为2 1,贝 1仇=.1 1 .某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4 张卡片上印有“幸”字，另外4 张卡片上印有“运”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4 张卡片，若抽到的4 张卡片上都印有同一个字，则获得一

17、张1 0 元代金券；若抽到的4 张卡片中恰有3 张卡片上印有同一个字，则获得一张5 元代金券；若抽到的4 张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4 张卡片上都印有“幸”字的概率；450-40 0-350-30 0-250-20 0-(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元.若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由.1 2.某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数；收集了使用该型号电动汽车1年以上的部

18、分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数 .从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为4组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取1 0位归为8组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组 的 客 户,表 示B组的客户.实际平均续航里程数+：。一 /飞-守 注:“实际平均续航里程数”是指+；。I+1 O O OIIlli _0 1 0 2 0 3 0 40 50 6 0 7 0 年龄/岁电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.记A,8两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为用，根据图中数据，试比较，的大小(结论不要求证明)；(2)从抽取的2

19、 0位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于3 50,那么称该客户为“驾驶达人，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人 的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.1 3 .2 02 2年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克戎在我国部分地区爆发.该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒.我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者.一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察.调查发现某位感染 者 共

20、 有1 0位密切接触者，将 这1 0位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测.核酸检测方式既可以采用单样本检测，又可以采用“k合1检 测 法“k合1检测法”是 将k个样本混合在一起检测，若混合样本呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测；若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性.通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为p(0 p 1),且每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.(1)现 对1 0个样本进行单样本检测，求检测结果最多有1个样本为阳性的概率f(p)的表达式；若 对1 0个样本采用“5合1检测法”进行核酸检测.用p表示以下结论:求某个混合样本呈阳性的概率；设总检

21、测次数为X,求X的分布列和数学期望E（xy14.某家电专卖店试销4 B、C三种新型空调，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周4型 数 量（台）1110154 4B型 数 量（台）14913风C型 数 量（台）61112品（1）从前三周随机选一周，若4型空调销售量比B型空调多，求A型空调销售量比C型空调多的概率；（2）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中4型空调台数X的分布列和数学期望；（3）直接写出一组心，的值，使得表中每行数据的方差相等.15.为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽

22、取了部分学生，得到甲校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的频率分布直方图如下.4频率0.48 1 I2乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图73211。0.0.0 1 2 3 4 时间/h组别每天日间户外活动 时 间（单位：h）人数10,1)12021,2)25032,3)6043,470甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表(1)根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；(2)已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机选抽取2人，记其中每天日间

23、户外活动时间不低于2h的人数为X,求X的分布列和数学期望；(3)根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.16.某公司在20132021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：年返修台数年生产台数年份201320142015201620172018201920202021年生产台数(单位：万台)3456691010a年返修台数(单位：台)3238545852718075b年利润(单位：百万元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c注:年返修率=(1)从2013-2020年中随机抽

24、取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率;(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从20132020年中随机选出3年，记f表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求f的分布列和数学期望；(3)记公司在2013-2015年，20162018年，20192021年的年生产台数的方差分别为a,s/s/.若$E(X).(1)对每组进行检测，需 要 1 0 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需 要 1 0 次；所以总检测次数为2 0 次；由题意，X 可以取2 0,30,P(X=2 0)=,P(X=30)=l-=/,则X的分布列：X2030P1111

25、011所以E（X）=20 x卷+30 X黑=等；（2）由题意，V可以取25,30,两名感染者在同一组的概率为匕=?衿=总 不在同一组的概率为巴=招1 1 0 0 1 99则E（y）=25 x+30 x磬 鬻 E（X）.10.【2020年北京卷18】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概

26、率；（II）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为p o,假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为P i，试比较po与p i的大小.（结论不要求证明）【答案】（I）该校男生支持方案一的概率为J,该校女生支持方案一的概率为不3 4（I I）5（n i）P 1Po5o【解析】（1）该校男生支持方案一的概率为看为=3200+400 3该校女生支持方案一的概率为僦而=（I I ）3 人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有

27、一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3 人中恰有2人支持方案一概率为：（1）2（1-;）+=（I I I）pi P/v _,、1 8 1 5 ,1 2 1 0 39 0 1 3(X 1)=30X2 5 +30X2 5 =75 0 =2 5,P/v _ c、1 2 1 5 1 8 0 6(X=2)=30X2 5 =75 0 =2 5,.X 的分布列为:数学期望E(X)=0 x盘+l x 1|+2x摄=1X012P6251325625（I I I）不能认为样本仅使用4的学生中本月支付金额大于2 0 0 0 元的人数有变化,理由如下：从样本仅使用A的学生有3 0 人，其中2 7 人月支付金额

28、不大于2 0 0 0 元，有 3人月支付金额大于2 0 0 0 元,随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 0 0 0 元的概率为p=4=石鼠，c30虽然概率较小，但 发 生 的 可 能 性 为 士.4060故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 0 0 0 元的人数有变化.1 2.【2 0 1 8 年北京理科1 7】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数1 4 05 03 0 02 0 08 0 05 1 0好评率0.40.20.1 50.2 5

29、0.20.1假设所有电影是否获得好评相互独立.（I）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（I I ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有1 部获得好评的概率；（I I I）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“取=1”表示第左类电影得到人们喜欢.“&=0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（=1，2,3,4,5,6）.写出方差优1，a 2,q3,。国，的，的大小关系.【答案】解：（1）设事件A表 示“从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为 1 4 0+5 0+3

30、0 0+2 0 0+8 0 0+5 1 0=2 0 0 0 部，第四类电影中获得好评的电影有：2 0 0 X 0.2 5=5 0 部，从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：=篇=0.0 2 5.(I I)设事件B表 示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，恰 有 1 部获得好评”,第四类获得好评的有：2 0 0 X 0.2 5=5 0 部，第五类获得好评的有：8 0 0 X 0.2=1 6 0 部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有1 部获得好评的概率：._ 50 x(800-160)+(200-50)x160/=200 x

31、800=也3(I I I)由题意知，定义随机变量如下：1 0,第k类电影没有得到人们喜欢，第k类电影得到人们喜欢则又服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影：410P0.40.6E(i)=l X 0.4+0 X 0.6=0.4,D(i)=(1-0.4)2 x 0.4+(0-0.4)2 x 0.6=0.2 4.第二类电影：?210P0.20.8E(=1 X 0.2+0 X 0.8=0.2,D(&)=(1 -0.2)2X 0.2+(0-0.2)2X 0.8=0.1 6.第三类电影：10P0.1 50.8 5E(G)=1 X 0.1 5+0 X 0.8 5=0.1 5,D(3)=(

32、1 -0.1 5)2 x 0.1 5+(0-0.1 5)2X0.8 5=0.1 2 7 5.第四类电影:510P0.2 50.7 5E(S)=1 X 0.2 5+0 X 0.7 5=0.1 5,D(国)=(1 -0.2 5)2X0.2 5+(0-0.2 5)2X0.7 5=0.1 8 7 5.第五类电影：己510P0.20.8E/)=1 X 0.2+0 X 0.8=0.2,D 小)=(1 -0.2)2 x 0.2+(0-0.2)2 x 0.8=0.1 6.第六类电影：10P0.10.9E(岳)=l X 0.1+0 X 0.9=0.1,D(5)=(1 -0.1)2 X 0.1+(0 -0.1)2

33、X0.9=0.0 9.二方差。a，比 2,药，优小 密,。笈的大小关系为:1 3.【2 0 1 7 年北京理科1 7】为了研究一种新药的疗效，选 1 0 0 名患者随机分成两组，每组各5 0 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和 y的数据，并制成如图，其 中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.(1)从服药的5 0 名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于6 0 的概率；(2)从图中A,B,C,。四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x的值大于1.7 的人数，求 的分布列和数学期望E9)；(3)试判断这1 0 0 名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指

34、标y数据的方差的大小.(只需写出结论)甘旨标y17指 标【答案】解:由图知：在 5 0 名服药患者中，有 1 5 名患者指标）的值小于6 0,答：从服药的5 0 名患者中随机选出一人，此人指标小于6 0 的概率为：15 3P=50=10-（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7,而 8、。两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7 的人数己的可能取值为0,1,2,p（,L0）=春1/1C4=等=|,c4?的分布列如下:012P16231612 1答：E 解）=0 x5+lxJ+2x：=l.）6 3 6（3）答：由图知1 0 0 名患者中服药者指标），数据的方差比未

35、服药者指标y数据的方差大.1 4.【2 0 1 6 年北京理科1614,B,C 三个班共有1 0 0 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班66.577.58B班67891 01 11 2C班34.567.591 0.51 21 3.5（I ）试估计C 班的学生人数；（I I）从 A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(I I I)再从A,B,C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7,9,8.2

36、 5 (单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为阳，表格中数据的平均数记为阿，试判断印 和 g i的大小.(结论不要求证明)【答案】解：(/)由题意得：三个班共抽取2 0个学生，其中C班抽取8个，故 抽 样 比 长=盖 J故 C班有学生8+(=4 0 人，(H)从从A班 和 C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5 X 8=4 0 种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；当甲锻炼时间为6.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7时;甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况：当甲锻炼时间为7

37、.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；当甲锻炼时间为8 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=2+3以3+4=34 U o(I I I)m)m.1 5.【2 01 5 年北京理科1614,8两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：1 0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6B 组；1 2,1 3,1 5,1 6,1 7,1 4,a假设所有病人的康复时间相互独立，从 4,8两组随机各选1 人，A组选出的人记为甲，8组选出的人记为乙.(I )求甲的康复时间不少于1 4 天的概率；(I I )

38、如果。=2 5,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(I I I)当。为何值时，A,B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)【答案】解：设事件4为“甲是A组的第，个人”，事 件 以 为“乙是8组的第i 个人”，由题意可知尸(4)=P(B i)=1,i=l,2,：7(I )事 件“甲的康复时间不少于1 4 天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”二甲的康复时间不少于1 4 天的概率尸(A5U A6U A7)=P(A 5)+P(4)+P(A 7)=y;(I I )设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则 C=4 8 i UA 5 8 1 UA 6 B 1 U A7I U A 5

39、 8 2 U 482 U A 7 8 2 U 4 7 8 3 U A6&U A 7 8 6，：.P(C)=P(A 4 B 1)+P(A 5 B 1)+P (A6BI)+P(A 7 B 1)+P(A 5 B 2)+P(4氏)+P(A 7 8 2)+P(A 7 B 3)+P(486)+P (AyBe)=1 0尸(/US)=1 0尸(4)P (B i)=瑞(I I I)当。为 1 1 或 1 8 时，A,8两组病人康复时间的方差相等.1 6.【2 01 4 年北京理科1 6】李明在1 0场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主 场 12 21

40、 2客 场 11 88主场21 51 2客场21 31 2主场31 28客场32 17主场42 38客场41 81 5主场52 42 0客场52 51 2(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6 的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6 的概率；(3)记完是表中1 0个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X为李明在这场比赛中的命中次数，比较E X 与元的大小(只需写出结论).【答案】解：(1)设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6 为事件4,由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主

41、场2,主场3,主场5,客场2,客场4,共计5 场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6 的概率/(A)=A=(2)设李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6 的概率为事件B,同理可知，李明主场命中率超过0.6 的概率A=|,客场命中率超过0.6 的概率 2 =j.Q Q 9 9 1 Q 1故 P(B)=P i X (1 -P2)+P 2 X (l-P1)=|x 1 +|x =i|；元=击(1 2+8+1 2+1 2+8+7+8+1 5+2 0+1 2)=1 1.4EX=x1 7.【2 01 3 年北京理科1 6 如图是预测到的某地5月 1日至1 4 日的空气质量指数趋势图，空气质量指

42、数小于 1 00表示空气质量优良，空气质量指数大于2 00表示空气重度污染，某人随机选择5月 1 日至5月 1 3 日sr质量指数优良的概率；(I I)设 X是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X的分布列与数学期望(I I I)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【答案】解：设 4表示事件“此人于5月 i 日到达该地(i=l,2,1 3)依据题意P(4)=击，AiAj=0(即(I)设 8表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则 P (B)=*(n)x的所有可能取值为o,I,2P(X=0)=5，P(x=l)=各4 P(x=2)=色4.X的分布列为X012p513

43、413413.X的数学期望为E(X)=若 模 拟 好 题(I I I)从 5月 5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.I.为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照40,60）,60,80）,80,100）,100,120）,120,140）,140,160分成6 组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（）频率藏,0.0180.015A.300 B.450 C.480 D.6000.0080.0050.002 4

44、0 60 80 100 120 140 160人均月用电量千瓦时【答案】D【解析】由频率分布直方图可知:数据落在40,60）/60,80）的频率为0.002 X 20+0.008 x 20=0.2,故该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为3000 x 0.2=600故选:D2.二项式（6的展开式中一的 系 数 与 的 系 数 之 比 为（）A.6 B.-6 C.15 D.-15【答案】B【解析】由题设 G+1=c 6-r（-；）r=（-l）rC6X6-2 r.所以含一项为72=（-1）1 d.=-6x3 含”项为A=（一1）。君”=,则系数之比为-6.故选：B3

45、.有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4 种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或入”的概率为（）A.专 B.卷 C.D.|【答案】C【解析】依题意，样本空间包含样本点为5 2,抽到的牌为“红桃”或“”包含的样本点为16,所以抽到的牌为“红桃”或“的概率为n=2，故选：C.4 .若某地区6 0 岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为6 0%,加强免疫接种（第三针）的接种率为 3 6%,则在该地区完成新冠疫苗全程接种的6 0 岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）A.0.6 B.0.375 C.0.36 D.0.2 1 6【

46、答案】A【解析】解：设事件4 为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件8 为抽取的一人完成加强免疫接和J所以P（4）=0.6,P（AB）=0.36,所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的6 0 岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率故选：A5 .下表是某生活超市2 0 2 1 年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表:生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它区营业收入占比4 8.6%15.8%2 0.1%10.8%4.7%净利润占比6 5.8%-4.3%16.5%2 0.2%1.8%该生活超市本季度的总营业利润率为3 2.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论

47、：本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过4 0%.其中正确结论的序号是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题中数据知，其它类营业收入占比4.7%,为最低的，故错；生鲜区的净利润占比65.8%50%,故正确；生鲜区的营业利润率为翟 x 32.5%=4 4%40%,故正确；4 8.6%熟食区的营业利润率为三含X 32.5%0；15.8%乳制品区的营业利润率为黑 X 32.5%=26.68%：20.1%其他区的营业利润率为粤X 32.5%=12.4 5%；4.7%日

48、 用 品 区 为*x 32.5%=60.787%,最高，故正确.10.8%故选：D.6.在（x+近产的展开式中，/的系数是.（用数字作答）【答案】5【解析】由 Tr+l=+=鹏一告，当r=4时为=c扛3 =5 x3,故/的系数是5.故答案为：57.在（-6的展开式中，常数项为.（用数字作答）【答案】15【解析】解：热+1 =C（X2）6-k（-x-1）k=（-l）kCx34k 令3-|k =0,解得k=2,所以常数项为4=圆 向4（-广1）2=1 5故答案为：15.8.若（1 2x）5 =a0+atx+a2x2+a3x3+a4x4+则由+a2 4-a3+a4+a5=【答案】-2【解析】在（1

49、一 2久）5 =%+。/+中，令X=0可得：=1.再令X=1 可得：+Q+。2 +。3+4 +05 =-1，故+。2+。3+。5 =-2.故答案为：一2.9.在（/一 5的展开式中，/的系数为.（用数字作答）【答案】10【解析】(/一 今 5 的展开式的通项公式为4+=.(一 1 y.炉。-3 ，令i o 3 r =4,求得r =2,故展开式中铲的系数为音=i o,故答案为：10.10.二项式(1+x)n(n C/)的展开式中产 的系数为2 1,则n =.【答案】7【解析】由题设，展开式通项为4+1=$/，而x 2 的系数为2 1,所以d=2 1,即丛9=2 1且TIWN*，可得n =7.故答

50、案为：711.某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10 元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；(2)记随机变量X 为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求 X 的分布列和数学期望E(X)；(3)该商家规定，消费者若想再次参