湖北省2023届高三数学6月新高考摸底联考试卷附答案解析.pdf

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1、湖北省2023届高三数学6月新高考摸底联考试卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .若复数z满足(l

2、+i)z =|l+i|,则z的虚部为()A _ 旦 B.-立 C.7 2 D.-41-2 2【答案】B【解析】【分析】求出z =3-立i即得解.2 2【详解】由(l+i)z =|l+i|=&,得=点高邛一争,所以Z的虚部为-3.2故选：B.2 .已知全集0=.4 U 3 =(0,2 ,4小电8 =(1,2 ,则5=()A.(0,1 B,(0,2)C.(0,1)D.0【答案】A【解析】【分析】由交集与并集的概念求解【详解】由U=4u 3=(0,2 ,N c Q.3 =(l,2 ,得 5 =(0,1 ,故选:A3.某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0,1,2,9这1 0个数字中的一个，

3、小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（）A.0.0 9 B,0.1 2 C.0.1 8 D.0.2 7【答案】D【解析】【分析】根据分布计数原理及组合数的定义，结合古典概型的计算公式即可求解.【详解】先从3个位置中选1个，从0到9这1 0个数字中选一个数字放入，剩下的两个位置再从剩下的92 7 0个数字中选一个数字放入（两个位置数字相同），有C；C：C；=2 7 0种方法，所以所求概率尸=而=0.2 7.故选：D.4,若 3*=4-=1 0,z =lo g J，则（）A.x y z B.y x zC z x y D x z y【答案】A【解析】【分析】利用对数的单调性证明x

4、y l,即得解.【详解】解：因为3*=4 =1 0,则x=lo g J 0 lo g 3 9 =2;l=lo g$4 y=k）g J 0 k）g J 6 =2,则 y y l,从而z =lo g,j y z.故选：A.5.若（2 x+l）的展开式中项的系数为1 6 0,则正整数”的值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】2【分析】利用二项式定理计算即可.【详解】由二项式定理知：含F项为C：(2 x)3产3=8 X (-2).1 3 ,7 3 x2 x14由题意一 1)(-2)=1 6 0 ,w(?-l)(w-2)=1 2 0 ,解得=6 ；故选：C.6 .在平面直角坐标系/为

5、中，角。的大小如图所示，则9 sh i 2 J +si n 2 e=()【答案】C【解析】【分析】根据已知求出ta n =2,化简9 si n泪+si n 2 9 =啊空2 1 3 ng即得解.3ta n26 +l【详解】解：由题图知ta n f e +C =匕 吆=5,则ta n 0 =2,4)l-ta n 0 3所以 9 si n 2 6+si n 2。=9 smi+2 sm&o s9 =9 ta n，”小 世=4 8si n 0 +c o s 0 ta n 0 +1 1 3故选：C.7 .在平面直角坐标系xQ y中，抛物线C:/=2 py(p 0)的焦点为工尸是。上位于第一象限内的一点,

6、若C在点P处的切线与x轴交于“点，与丁轴交于N点，则与归目相等的是()A.M N B.FN C.P M D.ON 3【答案】B【解析】【分析】设尸(。,土(a 0),求出四|=4+2，得到|P F|=|印|O N|,|P F|P M|=|脑V|,即I 2p)2p 2得解./2 【详解】解：如图，设 尸a,J(a 0)I 2PJ2所以C在点p处的切线方程为y -=-2 P /根据抛物线的定义，得附成+导又F(0,),网=y-+2 212Pl 2P/2 /(2 由尸,0,N 0,一，1 2PJ U)1 2p)故选：B.x2 _ x,由y =,得歹=，2p P-(x-a),从而“化0,从0,-吗，(

7、2 J I 2p)勺所以|=忸 必|。叫；得M是PN的中点，则MFL PN,从而|P F|P M|=I九 则 W.O/M Xr8.已知函数/(x)=x-：-2 1 n x,当x l时，/卜2)8 7/(x)恒成立,A.(-8,-2 B.(-,2 C,(-0,-1【答案】D【解析】【分析】构造函数g(x)=/(x 2)-8 (x),x w(l,+a),求导后可得则实数2的取值范围为()D.(-8,1 4(x)=-1)24 Z)X +1，再构造0(x)=/+(2-4 Q x +l,根据对称轴与1的关系分情况X3讨论，结合g(l)=O分析即可【详解】设g(戈)=8 2/(x)=x y 2 1 i i

8、 x -8 z x-2 1 m j,x w(1,+8),则g，(x)3 鸿网吗.小写Lu缪二三生岁包1.令。)=/+(2-4 4+1,其图象为开口向上、对称轴为直线x =2/1-1的抛物线.当2%-L,l,即4时,夕(x)在(1,+夕(1)=4-4/1.0,所以g(x)0在(L+o o)上恒成立，于是g(x)g(l)=0恒成立；当2 7 1 1,即4 1 时，因为A =(2-4/l)2-4=1 6/l(/l-l)0且0(1)=4-4 2 0,所以存在x0 e(l,+o o),使得x e(l,X o)时，0(x)0,所以g(x)0在(L%)上恒成立,即g(x)在(LV)上单调递减,所以g(x)7

9、x 43-(-2)3 7x 48-(-2)8do=-F-1-F-F +-7X49-29-818,则D错误.故选：AB.12.已知双曲线C:-=l(a 0,b0)的右焦点为尸，左、右顶点分别为4,&,则()a oA.过点4与C只有一个公共点的直线有2条B.若C的离心率为在，则点F关于C的渐近线的对称点在C上C.过F的直线与C右 支 交 于 两 点，则线段N的长度有最小值D.若C为等轴双曲线，点P是C上异于顶点的一点，且|44|=|尸4|,则/尸4 4=三6【答案】B C D【解析】【分析】对于A，过4与C只有一个公共点的直线有3条，故可判断；对于B,由题意可求得。=届,6=2。,/(屈,0),取

10、渐近线方程为y =g x ,可求得F关于渐近线的对称点为(-工，卡)，代入C的方程验证即可；对于C,当直线MV与x轴垂直时，线 段 长 度 最 小，即可判断；对于 D,双曲线C为即=a2(a 0),设尸(%,%)(%#0),则x：-)，；=a2,(x0-a)：+y；=4/,解得x 0=2a,%=土 屈，即可判断.【详解】对于A，过4与C只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与x轴垂直的直线1条,共3条，则A错误；对于8,/=5,，2=5/=/+/,y=4/,所以，=屈,6=2。,/(技,0),渐近线方程不妨取8by=x,即2x-j：=0,设厂关于渐近线2x-y =0的对称点为(加/),

11、则 m =解得-3a忑4aF,代入C的方程，得_94a2 54，所以点尸关于双曲线C的渐近线的-=15对称点在双曲线C上，则B正确;对于C,过双曲线C右焦点F的 直 线 与 双 曲 线 右 支 交 于 两 点，当直线MV与x轴垂直时，线段M V长度最小，故C正确：对于 D,双曲线 C 为等轴双曲线，B P C:x2-y2=a2(f l0),设 P(x 0,%)(%#0),则 x：-y；=/，又|蜀=|尸4|,则(%-d+尤=4/，联立解得/=2。,%=品，易得/尸44=5,故。正确.故选:B C D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.已知A.C是边长为1的等边三角形，设

12、向 量 满 足 荔=3,X =3 +3则 桓+q=.【答案】布【解析】【分析】方法一：由题意可知:第=就-万=，所以 sc卜W =1，W=1,由|,4 1=|。+可=1可得2a-b=-再计算|3 +W的值即可；方法二：加3 a+3|;=|2 a+a+f t|2=|2.4 8 +,4 C F计算即可.【详解】法一：而=而-初=+/-=刃,则,q=q=i,k=1,而 阿=|“+=1,两边平方，可得WJ=T，|3+砰=9+0万+1 =7,所以卜?+口 =.故答案为：币.法二：因为M+W=,+Z+山0 2您+就 =4荷+4前 正+定=4 +2 +1 =7,9所以卜Q+q=g .故答案为：币.1 414

13、.若函数/卜）=。+6（。0 0,。羊1,6羊1）是偶函数，则一+一的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.a b【答案】4【解析】【分析】利用偶函数的性质可得ab=l,然后利用基本不等式即得.【详解】由/（x）为偶函数可得/（-*）=/（X）,即H=+,a b所以（/+6，）（而），-1=0.因为x w R,且a 0,b O,aw l,bl,所以4 7 =1,则+3 2 2 RX9=4,a b a b1 4 1 1 4当且仅当一=一，即。=一,6=2时，一+一取最小值4.a b 2 a b故答案为：4.15.利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分100分）

14、，获得样本数据的特征量如下表：人数平均成绩方差男生327016女生88036则 总 样 本 的 平 均 分 为,方差为.参考公式：”个数再,巧户3,，X”的平均数为三=一2七，方差为巧-可2 =（J+x；+x：卜 戒 2参考数据：8X（3 6 +8 02）+3 2X（1 6 +7 02）-4 0X7 22=1 4 4 0.【答案】.72.3610【解析】3 2 2【分析】由于=x7 0+x8 0可计算得到总样本的平均数：利用男生和女生数学测验成绩的方差3 2 +8 3 2 +8可计算得到X；+X：+X：和*3 +X*+X；o，代入方差公式可求得结果.3 2 8【详解】总样本的平均分手-x7 0

15、+x8 0 =7 2；3 2 +8 3 2 +8设3 2名男生数学测验的成绩分别为%,%，玉，/2,8名女生数学测验的成绩分别为王3/3 4,，4)；，男生数学测验成绩的方差s：=1:+$+x)-3 2 X 7 0 1 =1 6 ,女生数学测验成绩的方差s；=；卜*+X：+说)一8 x 8 0 2 =3 6 ,X；+x；H ,+X j 2 =3 2 x(1 6 +7 0),XJ J+xj +x：。=8 x(3 6 +8 0 j,总样本的方差为$2 =J LX 3 2X(1 6 +7 02)+8X(3 6 +8 02)-4 0X7 22 =3 6.故答案为：7 2；3 6.1 6.在直三棱柱.4

16、 8 C-4耳q中，阳=2,月8 =&,平面a经过点A,且 满 足 直 线 与 平 面a所成的角为3 0 ，过点4作平面a的垂线，垂足为耳，则8H长 度 的 取 值 范 围 为.【答案】衣3【解析】【分析】根据题意，得到点目的轨迹，再解三角形即可.【详解】因为平面a,连接力/,则H I M,故H在以4为直径的球面上.又4 4,与平面a所成的角为3 0。，所以/四 =3 0,过H作 的 1幽 于 点。1,如图1所示，万则易得=T,HA=C,H0=L，所以H在如图2所示的圆锥.4。的底面圆周上，其轨迹是以。I为圆心，a”=史 为半径的圆，2在“BH 中，A B =HA =5 又易得6 0 版B 4

17、 H 1 2 0,由余弦定理，得 刷=A B1+A H2-2A B A H -cos/B.4H=6-6cosZB A H e 3,9,即 即 e G,3 .11图1图2故答案为：6,3 四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.S M+11 7.在q,g，%成等比数列，=一 二 一，5 6 =2 S,+4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中,an 2并完成解答.问题：在公差不为0的等差数列%中，其 前 项 和 为=1 6,是 否 存 在 正 整 数 使得 工 2。+2 0?若存在，求出所有的正整数k；若不存在，请说明理由.【答案】答案见解析【解析】【分析

18、】设数列 4的公差为d,选择：由%成等比数列，得%=d,又 勾=1 6,可得d,q,从而求得%,S”，由耳 2 4+2 0得产-3k-1 0 取=2,得生=2 q,又 生=q+d,q+3d =1 6,求得,由 S*2at+2 0a”z得犬-3k-1 0 0,解不等式根据上为正整数可得答案；选择：由J =2 S4+4,4+34 =1 6求得，4,由$2%+2 0得-3k-1 0 0,解不等式根据左为正整数可得答案.【详解】设数列 为 的公差为d,选择：由q,%，成等比数列，得；=%，即(4+2 d =4(q+8 d),得d=,又d工0,所以q=d ,又。4=1 6 =+3/，所以d =4,q=4

19、,所 以%=4%S“=+12所以与 2%+2 0,即2%优+1)-8 2 0 0,整理得F-3 i o o,即-2 k 5,又A为正整数,所以正整数k存在，可以取1,2,3,4.S”+1 c c c /、选择：由一=一-,取 =2,得2 s 2 =3 4,即2(。+生)=范，所 以%=2 q,又%=q+，所以q=d,又q+3/=1 6,所以d =4,q=4所 以%=4”,S“=2”(+1),经验证满足条件所以豆 2%+2 0,即2%(女+1)-8 2 0 0,整理得k2-3 i o o,即-2 女5,又k为正整数,所以正整数k存在，可以取1,2,3,4.选择：S 6 =6 q+1 5 d,S4

20、=4 q+6 d,又S e=2 S,+4,所以6 4+1 5 1 =2(4 q+6 d)+4,化简得2 q+4 =3d又+3 =1 6,所以d =4,q=4,所 以%=4”,S“=2”(”+1),所 以&2为+2 0,即 兼 任+1)-跳-2 0 0,整理得产一3 1 0 0,即-2 左 2 =.0+即2-2.4 B mc o s/.4 8 Z），所以1 8 =36 +B Z)2-2X6X5DX C O S4 5 0.化简得8。？-6啦 应)+1 8 =0，解得B D =36，所以，B D =AD=3 RAB=6,所以，BD2+.4JD2=AB2则NM B=9 0.又DE =2 BE，则 Z)

21、E =2&，所以，AE1=DE2+AD2=(2 V 2)2+(37 2)2=2 6.则/=而，又A E =E C ,所以【小问2详解】由 /ADB=90:,A E=426,D E=2垃,AD=3 垃,得 s i nZ E.4 Z =匹=等,c o s Z E A D=A E V 2 6 A E3也7 2 6在 N I C。中，由余弦定理，得 C D?=/Z)2+N C 2-2 MYN C-C O S/E 4)=5 0,则 C D=5 /L在中，由正弦定理，得二一s i n/M CC DsxnZEA D则s i n/3 C =2亚X冷45及 51 9.某省为调查北部城镇2 0 2 1年国民生产总

22、值，抽取了 2 0个城镇进行分析，得到样本数据（4k）（i =l,2,2 0）,其中西和其分别表示第i个城镇的人口（单位：万人）和该城镇2 0 2 1年国民生产总值（单位：亿20 20 20 20 20元），计算得=1 0 0，E=8 0 0,（x,-可2 =7 0,（乂一刃2 =2 8 0,（若 一 项K-力=1 2 0.i=l i=l f=l i=l i=l（1）请用相关系数r判断该组数据中y与X之间线性相关关系的强弱（若卜仁0.7 5,1 ,相关性较强；若14|r|e 0.3 0,0.7 5）,相关性一般；若r e -0.2 5,0.2 5 ,相关性较弱）；（2）求关于x 的线性回归方程

23、：（3）若该省北部某城镇2 0 2 1 年的人口约为5 万人，根 据（2）中的线性回归方程估计该城镇2 0 2 1 年的国民生产总值.n（）（%-刃参考公式：相关系数:=一、，对于一组具有线性相关关系的数据才 （%-刃,Y/-I ii=1,2,）,其回归直线3 =良+6的斜率和截距的最小二乘估计分别为n.（怎-冷（乂 一 刃%-a=y-bx2（）21=1【答案】（1）y与x 之间具有较强的线性相关关系小、.1 2 2 2 0（2）y=x+7 7（3）估计该城镇2 0 2 1 年的国民生产总值4 0 （亿元）【解析】【分析】（1）根据题中数据和公式可以求得，=0.8 5 7,结合题意理解分析；（

24、2）根据题中数据和公式运算求解；（3）根 据（2）中所求公式代入求解.【小问1 详解】205 7）-，）1 2 0 1 2 0题意知相关系数而整T丽及耐J X（x，x）Z（x-y）V -i/-I因为），与X 的相关系数r 满足M W 0.7 5,1 ,所以y与X 之间具有较强的线性相关关系.【小问2详解】20.1 2 0b=X-=V/_ 2 7 0i=i1 27一一心叽巴雪吗所以A 当+型2 0 7 2 0 7 77【小问3详解】15由（2）可估计该城镇2 0 2 1年的国民生产总值？=亍x5 +-=4 0 （亿元）.2 0.如图，在直三棱柱，4 8 C-BXC ,A C L B C,A C

25、=B C =2,CCX=3,点D,E分别在棱AA,和棱C Q（1）设F为8c中点，求证：4尸平面3 D E；（2）求 直 线 与 平 面B D E所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析e6【解析】【分析】（1）取既中点G,连接F G、D G,即可得到尸G 4 D且F G =4D,从而得到4 F D G,即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【小问1详解】证明：取8 E中点G,连接F G、DG,则 FGIICCJIAA,，且 F G =侬 7 4=?=2,所以F G/&D且F G =4。，所以四边形4DGF为平行四边形，所以A F D G .又&F u平面B D

26、 E，DG（Z平面BD E,所以4尸平面ME.16【小问2详解】解：因为直三棱柱N B C-4 A G中4 C J.8 C,所以C 4、CB、CG两两垂直.分 别 以 之、而、元 的 方向为k 轴、J轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,贝 同0,2,0),E(0,0,2),D(2,0,l),J(2,0,0),所以诟二(02,2),丽=(2,-2,1),函=万=(-2,2,0),设平面4DE法向量为=(x j,z),则.而=0，7.丽=0，f-2y+2z=0-(即、:八，令V=l,得到平面5Q E的一个法向量=7,1,1.2x-2y+z=0(2)设直线4 4与 平 面 石 所 成 的

27、角 为。，贝 ij sin 6=卜 os(4 )|=x(-2)+lx2 +lx0+l+J4+4+0一 6所以直线AXBX与平面BDE所成角的正弦值为旦.61721.已知椭圆C的焦点为石（一加,0）,6（虚,0）,且C过点卜万,1）.（1）求C的方程；（2）设A为椭圆C的右顶点，直线/与椭圆。交于P,。两点，且 尸 均不是。的左、右顶点，“为的AM 1中 点.若=5,试探究直线,是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.I 5【答案】二+广=1：4 2（2）直线/过定点（|,0）【解析】【分析】（1）由题意可得 =行，。=2,即可求方程；（2）由题意可得以P_L,40,即 有

28、 方.而=0,分直线/的斜率存在和直线/的斜率不存在两种情况求解即可.【小问1详解】解：设椭圆C的长半轴长为。，短半轴长为b,半焦距为c,因为|明=加 一 （一J）+=3,职上1,所 以|.|+|矶=4=2 4,即a=2.又因为c=6,所以6-=a c2=2，又椭圆。的焦点在工轴上，且中心在坐标原点，所以C的方程为三+乙=1.4 2【小问2详解】AM 1 ,.,因 为 荷f 则|尸。|=2|4 0|,又因为“为P 的中点,所以月P _ L/0,易知点月（2,0）,设尸（不，凹），。卜2，必）当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为 =h +y=kx+m,x2+2/=4,由,得（2斤2 +1）/+

29、4痴才+（2病 一4）=0,所以 =4(2 左？+1)(2 m 2-4)=8(4A-2-w2+2)0,18由韦达定理可得占+x2=,xlx22 m2-42 4 2+14 P =(&-2,句 +加)，力0 =(巧 2,云:+m)，则 A P A Q =(x1-2)(X2-2)+(A Xj+/M)(AX2+m)=(左 二 +1 卜 吃+(/cm-2)(xt+x2)+/w2+4 =2(m2-2)俨 +l)-4 h w(h w-2)2k2+ni2+4 =0,化简可得3 m2+8卜符+4y=0，即(胆+2%)(3 m+2 )=0.若m =-2k,则直线/的方程为=4(-2),此时直线/过顶点A ,不符合

30、题意：若加=-gk,易知满足A=8(4*z-m2+2)0 ,此时直线/的方程为y =k(x-|),直线/过定点(|,0当直线/的斜率不存在时，设直线/的方程为x =f(/w 2),则尸f2 y2所以f_+2 L=l，4 2则乂2=2-：，”=”2,乂),/。=(-2,-乂)，A P A Q =(t-2)2-y；=(r-2)2-2 +1 r2=|r2-4 r+2 =0,因为.工2,解得7 =g,直线，过点(1,0).综上，直线/过定点2 2.已知a.0,函数/(K)=QK+匕g-lnx .x(1)讨论函数/(X)的单调性：(2)如果我们用一 7表示区间(见，)的长度，试证明：对任意实数a.l,关

31、于X的不等式/(X)0两种情况讨论得解；(2)令g(x)=/(x)-(2 a+l),证明g(l+!):0,令人(a)=g(2 a+2),aw l,*o),证明g(2 a+2)。即得解.19【小问1详解】解：/（x）=ar+-lnx,定义域为（0,+8）,ft(a+1 1/(叼=_ _i-=X Xx(a +l)(x +1)(QX-a-1)X若a=O,/（x）=_（x：l）0恒成立,所以/（x）在（0,+8）上单调递减;若。0,/（、）=戈-a当 x w(o,l+)时，/(x)0,所以/（X）在o+/J上单调递减，在1 +：,+8）上单调递增.综上，a=0时，/（K）在（0,+“）上单调递减：a0

32、时，/（X）在（0,1 +；）上单调递减，在1 1 +：,+8上单调递增.【小问2详解】证明：令g（x）=/（x）-（2 a+l）=ar+-l n x-2 a-l,则g（l）=0,因为a，由（1）知，g）在（M +；）上单调递减，在1 1 +：,+8）上单调递增，又 1 +亍1,所以gl+：）o,令（q）=g（2 t+2）=2a?-1-ln（2 a+2）,a 6 l,+a）,./x 2 4。2 +4 7 1 .由“（a）=4 a-=-0 怛成立，所以（。）在（1,+8）上单调递增.3 又e3 1 6，所以2 1，即ffi5/!（l）=-ln4 =n 0,1 6 4 V 2 4所以力（a）（l）0,即g（2 a+2）0.因为2 a+2 2,1 +工2,所以2 a+2 1 +工，a a所以存在唯一玉（1 +1,2。+2）,使得g（x J=0,所以g（x）0的解集为（l,x j,即/（x）2 a+l的解集为（1,占），又（l,x j的区间长度为玉-l（2 a+2）-l=2 a+l,原命题得证.20