十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国专题05导数及其应用解答题（解析版）.pdf

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1、大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题05导数及其应用解答题 ，真题汇总 .1.【2022年全国甲卷理科21】已知函数f(x)=-lnx +x a.(1)若f(x)2 O,求 a 的取值范围；(2)证明：若/(X)有两个零点勺户2,则环乂 逐2 1.【答案】(-8,e+l(2)证明见的解析【解析】(1)/(的定义域为(0,+8),/(X)=(1-X -1+1=i(l-l)e+(1-i)=(5+1)令/(x)=0,得 x =1当x e(0,1),/(%)04(x)单调递增/(x)/(I)=e+1-a,若f(x)0,则 e+1-a 0,即a e+1所以

2、a的取值范围为(-8,e+1(2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设X i 1 x2要证匕2 1,即证必 /)因 为/(/)=/(冷)，即证/。2)/(7)即证lnx +x 混 一 底 一 0,尤C(l,+8)即证号 x ex 2 lnx 1(x -)0下面证明久 1 时，x ex O J nx 1(x -)1,则g (x)=(;-5)eX -(ex +x e；(一$)=*1 7)ex-e“l-)1 e*1 x-1 ex 1=(1 )(-e4)=-(-ex)x x x x设a(x)=W(x l)，0(x)=(；-)ex=r e 0所以9(x)0(1)=e,而 0,所以g (K

3、)0所以g(x)在(l,+8)单调递增即 g(x)g(D=o,所以一 x t oX令/i(x)=I nx 1(x ),x 1,1 1 12x x2 12%2-(.x-l)22x2 0所以h(x)在(1,4-8)单调递减即h(x)h(l)=0,所以 I nx -1(x -i)0,所以x/2 0,当 6(-1,0),(x)=若+a(l-%2)0,即f (%)0所以/(%)在(一 L 0)上单调递增J Q)0所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(%)g(0)=1+a 0,B P/(x)0所以/(%)在(0,+8)上单调递增/(%)/(0)=0故/(%)在(0,+8)上没有零点，不合题意3 若a

4、 0,所以g(盼在(0,+8)上单调递增g(0)=1+Q 0所以存在m E(0,1),使得g(?n)=0,B P/(m)=0当 6 (0,m)J(x)0J(x)单调递增所以当x G (0,m),/(x)+o o,/(%)T+00所以f (%)在(m,+8)上有唯一零点又(0,m)没有零点，即/(%)在(0,+8)上有唯一零点(2)当 6(-1,0),g(x)=ex+a(l-%2)设九(%)=g (x)=ex 2 ax/i (x)=ex 2a 0所以g (x)在(1,0)单调递增,1.5(1)=-4-2a 0所以存在九E(1,0),使得。(n)=0当 6(1,n)tg(x)O,g(x)单调递增,

5、g(x)g(0)=1+a o所以存在t 6 (-l,n),使得g(t)=0,即f (t)=0当X W (1,单调递增，当%G (。0),/(%)单调递减有X T-1,/(x)T-8而f(O)=0,所以当x 6 (t,0),/(x)0所以/(%)在(一 1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点即吟在(-1,0)上有唯一零点所以a 0,此时/(%)无最小值，故a 0.g(x)=ax -I nx 的定义域为(0,+o o),而g (x)=a-：=三二当x I na时，/1(x)I na时，/(X)0 故/(x)在(I na,+8)上为增函数，故/(x)m i n=/(I na)=a-alna.当 0

6、 x 时，g,(x)：时，g (x)0,故g(%)在(，,+8)上为增函数，故 g(x)m i n=%)=1 -吗.因为f(x)=ex-Q X和g(x)=ax -I n%有相同的最小值，故 1 一 ln=Q-alna,整理得到p =I na,其中Q 0,a 1+a设g(a)=霍-I na,a 0,则g (a)=舟-故g(a)为(o,+8)上的减函数，而g(l)=0,故。(。)=。的唯一解为a=1，故 三=I na的解为a=1.综上，Q=l.由(1)可得/(%)=ex%和9(%)=%-I n%的最小值为 1 I ni =1 ln1=1.当bl 时，考虑e*-=b 的解的个数、-I n%=b 的解

7、的个数.设S(%)=ex-x b,S Q)=ex 1,当xV O 时，S (x)0 时，S (x)0,故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以 S(%)m m =S(0)=l b V O,而5(-6)=e-b 0,S(b)=eb-2b,设(b)=eb 2 b,其中b 1,则(b)=e0 2 0,故(b)在(1,+8)上为增函数，故(b)u(l)=e-2 0,故S(b)0,故S(%)=e-匕有两个不同的零点，即e x =b 的解的个数为2.设7(%)=x I nx b,T(x)=当 0 V XV 1 时，T(x)1 时，T(x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(

8、L +8)上为增函数，所以 T(%)m i n=T(l)=l-VO,而T(ei)=e_6 0,T(eh)=eh-2 b 0,T(x)=%-I n%-b 有两个不同的零点即x -I nx =b 的解的个数为2.当b =l,由(1)讨论可得x-lnx =b、e*-x =8仅有一个零点，当bvl 时，由(1)讨论可得 I n%=力、砂一%=8 均无零点，故若存在直线y =b 与曲线y =/(%)、y=g(%)有三个不同的交点，则 b 1.设/i(x)=e*+I n x 2 x,其中%0,故/i(x)=e*+：-2,设s(x)=e*x 1,x 0 则s(x)=e*-1 0,故s(x)在(0,+8)上为

9、增函数，故s(x)s(0)=0 即e*x +1,所以 x +：-1 2 2-1 0,所以九(x)在(0,4-8)上为增函数，而九=e-2 0,h(1)=e?-3-4e-3-40-故九(X)在(0,+8)上有且只有一个零点出,&V%。1且：当 0 V%V%。时，h(x)V 0 即 e 一 ln%EP/(x)3 时，h(x)0 即 e x x I n x H Py(x)g(x),因此若存在直线y =b 与曲线y =/(%)、y=g(x)有三个不同的交点，故b =/(&)=g(%o)1，此时e -x =b 有两个不同的零点%1，3(4 1 0%0)此时-I n%=b 有两个不同的零点 o，%4(O

10、x0 1 1,故:;=X o-:即*1 +x4=2x0.4.【20 22年新高考2 卷 22】已知函数/(久)=x e。*一 e 当a =1时，讨论x)的单调性；(2)当x0时，/(X)l n(n+l).【答案】f(x)的减区间为(一 8,0),增区间为(0,+8).a|(3)见解析【解析】(1)当a =1 时，f(x)=(x l)ex,则/(x)=%ex,当 V 0 时，/(%)0 时，/(%)0,故/(%)的减区间为(一 8,0),增区间为(0,+8).(2)设九(%)=x ea x-ex+l,则无(0)=0,又九(%)=(1 4-ax)eax ex,设g(x)=(1 4-ax)eax-e

11、x,则g (%)=(2a+a2x)ea x-ex,若a 3，则g(0)=2 a-l 0,因为g(x)为连续不间断函数，故存在%o e (0,+8),使得V x e (0,x(j),总有g(x)0,故g(x)在(0,勾)为增函数，故g(x)g(0)=0,故/i(x)在(0,配)为增函数，故九(盼。0)=-1，与题设矛盾.若 0 a W a 则/i(x)=(1 +ax)eax-ex=ea x+ln 0,总有ln(l+%)V%成立，证明：设S(x)=ln(l+x)-x,故6(乃=-1 =言0，故S(x)在(0,+8)上为减函数，故S(x)5(0)=0即 ln(l+x)%成立.由上述不等式有e+i n

12、(i+*_ ex e +s-ex=e 2a x -ez 0.故 0总成立，即/i(x)在(0,+8)上为减函数，所以九0)h(0)=-1.当a 4 0 时,有h 3 =eax-ex+axeax 1-1 4-0 =0,所以九(x)在(0,+8)上为减函数,所以九(久)h(0)=-1.综上，a 0,总有在*_ e*+1 1,t2=ex,x =21 n t,故 2t ln t t 2-1即 21 n t 1 恒成立.所以对任意的n N*,有 21 ni整理得到：ln(n +1)I n n ln 2-I n i +ln 3 ln 2+ln(n +1)I n n=ln(n +1),故不等式成立.5.【2

13、0 21 年全国甲卷理科21】已知a 0 且a 彳1,函数/(x)=a(尤 0)(1)当a=2时，求/(尤)的单调区间；(2)若曲线y=/(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求 a的取值范围.【答案】(1)(0,4 上单调递增；专,+8)上单调递减；(2)(Le)u(e,+8).(1)当a=2时，f(x)=，,f1(x)=廿=x e 2；M n 2),令r(x)=0得X=卷，当o X 0,当x 作时，f(x)0,函 数 在(0喧 上单调递增；嗫,+8)上单调递减；(2)/(x)=：=lax=xa xlna=alnx Q 4=竽设函数 g(x)=竽则g(x)=与磬，令g(x)=0,得:r=e,在

14、(0,e)内g(x)0,g(x)单调递增：在(e,+8)上g(x)0,g(x)单调递减；-g(X)m a x =g(e)=p又g(l)=0,当尤趋近于+8时，g(x)趋近于0,所以曲线y=/(*)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=*有两个交点的充分必要条件是0 等 这即是0 g(a)0(e),所以a的取值范围是(Le)u (e,+o o).6.20 21 年新高考 1 卷 22 6 知函数/(%)=x(l-I n x).(1)讨论f Qr)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数，且b ln a -a ln b =a-b,证明：2 -+1 0,当x (1,+8)时，/

15、(X)L因为X G(0,1)时,f(x)=x(l I n x)0,x E(e,+8)时,/(x)=x(l I n x)0,故T 2,若尤2 2 2,4-x2 2必成立.若无2 V 2,要证：xx+x2 2,即证冗i 2冗2，而0V2-元2 V 1，故即证人1)/(2冗2)，即证：/(X2)/(2-X2),其中IV%2 V 2.设g(x)=f W-/(2-x),l x 2,则g Q)=/(x)+f(2 x)=-I n x -ln(2%)=-ln x(2 x),因为1VAT V2,故0%(2 元)0,所以。(冗)0，故9。)在(1,2)为增函数，所以g(g(l)=0,故/()“2-x),即/(冗2

16、)/(2-尤2)成立，所以与+尤2 2成立，综上，1+%2 2成立.设%2=垃1，则七 1，结合岬口=等1,5 =尤1 3 =也 可 得：X1(l -l n xx)=x2(l -l n x2)，即：1 -In X i =t(l In t I n x t),故 n x1=z l z”,t-i要证：工1 +%2 V。，即证(t 4-l)%i e,即证 l n(t +1)+l n%i 1,即证：l n(t +l)+；1,即证：(t-l)l n(t+1)-t i n t 1,则S(t)=l n(t +1)+-1 -In t =l n(l +1)-高，先证明一个不等式：l n(x +1)0；当 工 0时

17、，u (x)0,故(工)在(一 1,0)上为增函数，在(0,+8)上为减函数，故l 4(X)m a x =(0)=0，故 ln(x 4-1)1时，l n(l+i)i 故5(t)0 恒成立，故5在(1,+8)上为减函数,故S(t)5(1)=0,故(t-l)ln(t+1)-tint 0成 立,即为i+x2 e成立.综上所述，2 +；e.7.【2021年全国乙卷理科20】设函数，(元)=ln(a-已知尤=0是函数y=工/(冗)的极值点.(1)求 a；(2)设函数。(吗=第.证 明:g(x)L【答案】1;证明见详解(1)由/(X)=ln(a-x)n fx)=士，y-xf(x)n y=ln(a-x)+士

18、，又x=0是函数y=的极值点，所以y，(O)=Ina=0,解得a=l；(2)由(1)得f(%)=ln(l%),0(%)=啸=端号，无 1 且尤工 0，当%W (0,1)时，要证g(x)=0 Jn(l 一 x)V 0,xln(l x)xln(l x),化简得x 4-(1-x)ln(l x)0；同理，当 二 (8,0)时，要证g(x)=胃；2金 V 1，4*x 0/.xln(l x)xln(l x),化简得x 4-(1-x)ln(l-x)0；令九(%)=%+(1 无)ln(l x),再令t=l 一无，则t W (0,1)U(1,+8),%=1-t,令g(t)=1 一 七 +tint,g(t)=-1

19、+Int 4-1=Int,当(0,1)时，g(%)g(l)=0：当t w(l,+8)时，5(x)0,。(%)单增，假设g(l)能取到，则g(l)=0,故g(t)g(l)=0；综上所述，g(x)=鲁普):)=(x-l)ex-ax2+b.(1)讨论人)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(乃有一个零点 a 2 a；0 a)O J(x)单调递增；当0 a 0,/(为单调递增，若%e(ln(2 a),0),则尸(尤)0 J(x)单调递增;当a=弓时，ro)O JO)在R上单调递增；当a ,时，若x e(-8,0),则r(x)O,f(x)单调递增，若X 6(0,ln(2 a),则r(x)0

20、J(x)单调递增；(2)若选择条件：由于工 a -,故1 2a 2a l,f(0)=b-l 0,而/(6)=(-1 b)eb ab2&2aln(2a)1 aln(2a)2+2a=2aln(2a)aln(2a)2=aln(2a)2 ln(2a),由于工 a,1 2a 0,结合函数的单调性可知函数在区间(0,+8)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于 0 a 土 故 2a 1,则 f(0)=&-l 2 a-l 0时,e2 4,4a 0,而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点.当b 0,H(x)单调递增,注意到(0)=0,故H(x)2 0恒成立，从

21、而有：ex x+l,此时:/(x)=(x-l)e*ax2-b (x l)(x+1)-ax2+6=(1 a)x2+(b-1),当龙时，(i。)/+(万一1)0,取g =侣+1，则f g)0,即：0)0,i-a而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点./(ln(2a)=2aln(2a)-1-aln(2a)2+b 2aln(2a)1-aln(2a)2+2a=2aln(2a)-aln(2a)2=aln(2a)2 ln(2a),由于0 a ：,0 2a 1,故aln(2a)2-ln(2a)J|x3-f-l,求Q的取值范围.【答案】(1)当(-8,0)时，ro)V0J(冗)

22、单调递减，当“(0,+8)时，r(%)0，/(%)单调递增.(2)产+8)【解析】(1)当Q =1时，/(x)=ex+x2-x,/(%)=。，+2%1,由于r，o)=ex+2 o,故r(%)单调递增，注意到r(o)=。，故：当九G(一8,o)时，r(元)o j a)单调递增.(2)由/(%)2 ；炉+1得，e，+a/九；第 3 +1,其中无之0,.当尸0时，不等式为：1 1,显然成立，符合题意；X 1工3 1 _ -|.当x 0时，分离参数a得，Q?_ F；一 ,1 、e*-*_*_ i (x-2)(e*-#T-l)记g(x)=-，9(O =-令/i(x)=e*1 x2 x -l(x 0),则

23、/i(x)=ex-x-l,h(x)=ex-l 0,故”(x)单调递增，h(x)h(O)=0,故函数比(为单调递增，h(x)h(0)=0,由八(x)2 0 可得：矿一：*2 -x -l 0 恒成立，故当x 6 (0,2)时，g(x)0,g(x)单调递增;当尤6(2,+8)时，gx)0,g(x)单调递减;因此，g(x)m a x =g(2)=综上可得，实数a的取值范围是FF，+8).1 0.【2 0 2 0 年全国2卷理科2 1】已知函数人X 尸s i n 2 x s i n 2 x.(1)讨论兀C)在区间(0,功的单调性;(2)证明：|f(x)|乎；(3)设 N*,证明：s i n2x s i

24、n22 x s i n24 x.s i n22Mx OJO)单调递增，当*G(p y)0-r.ro)o/(x)单调递增 证明见解析；证明见解析.【解析】(1)由函数的解析式可得:/(x)=2 s i n3x c o s x,W J：/(x)=2(3 s i n2x c o s2x -s i n4x)=2 s i n2x(3 c o s2x -s i n2x)=2 s i n2x(4 c o s2x -1)=2 s i n2x(2 c o s x +l)(2 c o s x -1),r(%)=0 在 e (0,7T)上的根为：%!=p%2 =拳当*e(o,g 时，r(*)o,/a)单调递增，当x

25、6&时，r a)O J(x)单调递增.(2)注意到/(工 +7 T)=s i n2(x +7 r)s i n 2(x +JT)=s i n2x s i n 2 x =(算),故函数/(X)是周期为兀的函数，结合(1)的结论,计算可得：/(0)=/(7T)=0,/0囹X经苧，/(小倒x(一 务 一 苧，据此可得：f(X)m a x=苧，/a)m i n=-苧，即l f(x)l W 苧.(3)结合(2)的结论有：sin2xsin22xsin24x-sin22nx=sin3xsin32xsin34x-sin32nx32=sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)-(sin22n _

26、1xsin2nx)sin22nx32 0,得 或 -也 令 f(x)。或/(I)或c ；时，八 一 1)=C-O J(-T)=c+Ao j)=c-：O,/X l)=c+A o,又f(-4c)=-64c3+3c+c=4c(1-16c2)在(一 8,-1)上存在唯一一个零点，在(-1,+8)上不存在零点，此时/(%)不存在绝对值不大于1 的零点，与题设矛盾：当c 一时寸，f (-1)=c 一 ；0 J(-T)=C+；0 J 弓)=c 一 ；0 J(l)=c+；0,由零点存在性定理知/(x)在(1,-4c)上存在唯一一个零点&即f(x)在(1,+8)上存在唯一一个零点，在(-8,1)上不存在零点，此

27、时/(%)不存在绝对值不大于1 的零点，与题设矛盾；综上，/(x)所有零点的绝对值都不大于1.1 2.【2020年山东卷21】已知函数/(x)=ae*T-Inx+Ina.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在 点(1,/(D)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若/(x)1,求 a 的取值范围.【答案】(1)告 1,+8)【解析】*)=ln x+1,.(x)=e、T.=l)=e-1./(I)=e+1,.切点坐标为(1,1+e),函数 f(x)在 点 处 的 切 线 方 程 为 y-e-1=(e-l)(x -1),即y=(e l)x +2,切 线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二;,

28、0),e 1.所求三角形面积为 x 2 x I言 1=3不(2)解 法 一:/(%)=aexr-Inx+Ina,:.f (x)=aex-1 p B.a 0.设=r(),则g(%)=a e i +W 。，g a)在(o,+8)上单调递增，即r(w 在(o,+8)上单调递增,当a=1时，/(I)=0,./(x)m ln=/=1,.：/(x)1 成立.当a 1时，i 1,ea-1 1,./(；)/(1)=a(e-1-l)(a-1)0,使得，(劭)=aexo-1-=0,且当*e(0,阳)时/(无)0,aex-1=,A Ina+x0 1=lnx0,X。因此/O)min=/(亢 o)=ae&T-lnx0+

29、Ina=+Ina+XQ 1+Inez N 21na-1+2/,XQ 21na+11,1,：/(%)1 恒成立；当0 a 1 时，/(I)=a+n a a 1 不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是 1,+8).解法二：/(x)=aexl Inx+Ina=e/n a+x-1 Inx+Ina 1 等价于eina+x-i+in a+x-1 Inx+x=elnx+Inx,令g(x)-ex+无，上述不等式等价于g(lna+x-1)g(lnx),显然g(x)为单调增函数，.又 等价于Ina+x-1 2 b i x,即Ina 2 Inx-x+1,令Zi(x)=Inx-x+1,则h(x)=-1=?在(0,

30、1)上 0/单调递增；在(1,+8)上/0,即a 2 1,二的取值范围是 1,+8).1 3.【2020年海南卷22】已知函数/(X)=ae*T-In尤+Ina.(1)当a=e时，求曲线在点(1,/(D)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若/(x)1,求的取值范围.【答案】(1)(2)1,+oo)【解析】(1)/(x)=ex-Inx+1,/(x)=ex-p k=/(I)=e 1./(l)=e+l,.,.切点坐标为(1,1+e),函数 f(x)在点(1 0.设g(X)=r(x),则g(x)=ae、T +0,.g(x)在(o,+8)上单调递增，即r(w 在(0,+8)上单调递增，当a=1

31、时，/(I)=/(1)=1,：/()1 成立.当a 1时，i 1，二 e：i 1,=a(e-1-l)(a-1)0,使得/(阳)=a/。-I-=0,且当*e (0,g)时/(%)0,x0aex-1=,Ina+x0-1=-lnx0,X o因此f (%)m in=/(Xo)=aex-1-lnx0+Ina=+Ina+x0-1+Ina 2lna-1+2-x0=21na+11,1 恒成立：当0 a 1时，/(l)=a+Ina a 1 不是恒成立.综上所述，实数”的取值范围是口,+o o).解法.：f(x)=aex1-Inx+Ina=e,n a+x1-Inx+Ina 1 等价于eina+x-i+in a-|

32、-x-1 Inx+x elnx+Inx,令g(x)=ex+x,上述不等式等价于g(bia+x-1)g(lnx),显然9(%)为单调增函数，又等价于E a +x-l N b i x，即bia 2 Inx-x+1,令/i(x)=Inx-x+1,则/t(x)=-1=?在(0,1)上力 0出单调递增；在(1,+8)上於 0,即a 2 1,二。的取值范围是 1,+8).1 4.【2 0 1 9年新课标3理科2 0】已知函数/(x)=2 x3-ax2+b.(1)讨论/(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得/(x)在区间 0,1 的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出a,6的所有值;若不存在，说明理由

33、.【答案】解：(1)/(x)=6 x 2 -2 a x=6 x (x-争.7 2 C L令/(x)=6x(x-*)=0,解得 x=0,或三.a=0 时，/(x)=6X2 0,函数/(x)在 R 上单调递增._ 2a 2a4 0 时，函数/(X)在(-8,0),(,+8)上单调递增，在(0,)上单调递减._ 2a 2aaVOR寸，函数/(x)在(-8,),(0,+8)上单调递增，在(5，0)上单调递减.(2)由(1)可得：4=0 时，函数/(x)在0,1上单调递增.则 f (0)=b=-1,/(1 )=2 -a+b=I,解得 b=-1,a=0,满足条件._ 2a 心()时，函数/(x)在0,5

34、上单调递减.1 即时，函数/(x)在0,1上 单调递减.则/(0)=b=1,/(1 )=2-a+b=-1,解得 6=1,=4,满足条件.0 6,.(1)=2-+6=1,联立解得：无解，舍去.a0 时，函数 f (x)在0,1上单调递增，则 f (0)=b=-1,/(1 )=2-a+b=l,解得 b=-1,a=0,不满足条件，舍去.综上可得：存在，b,使得/(x)在区间0,1的最小值为-1且最大值为1。，6 的所有值为：或；：1 5.【2019年全国新课标2 理科20 已知函数/(x)=/x-禺.(1)讨论/(x)的单调性，并证明/(x)有且仅有两个零点；(2)设 xo是/(x)的一个零点，证明

35、曲线=枢 在 点 4 (xo,bixo)处的切线也是曲线=的切线.【答案】解析：(I)函数/(x)=/、-鬻.定 义 域 为：(0,I)u(I,+8)；1 7f (x)=-4-7-(x 0 且 xW l),J x(x-1)2：.f(x)在(0,1)和(1,+8)上单调递增，在(0,1)区间取值有2，4弋入函数，由函数零点的定义得，eL e11 1 1,/(7)0,/(-)0,：.f(x)在(0,1)有且仅有 一个零点，在(1,+8)区间，区间取值有e,/代入函数，由函数零点的定义得，又，e)0,/(e)/(e2)=/内，则有y =1；曲 线/在 点4 (x o,I n xo)处的切线方程为：y

36、-l n xo=Cx-x o)即：y=x-+l n xoxo目n 1 2即：y x-xo 而一1而曲线y=e，的 切 线 在 点 一,一)处的切线方程为：y G Tn),x0 x0 xo xo x o1 9即：1，=丁人一;T，故 曲 线 在 点 力(x o,勿刈)处的切线也是曲线y=，的切线.x0 x0-1故得证.1 6.【2 0 1 9年新课标1理科2 0】已知函数/(X)=sin x-I n(1+x),/(x)为/(x)的导数.证明:7T(1)/(x)在 区 间(-1,-)存在唯一一极大值点;(2)/(x)有且仅有2个零点.【答案】证明：(1)/(x)的定义域为(-1,+8),1/(x)

37、=c o&r京，/(x)=-si n x+112令 g(x)=-si n r+则 g(x)=-c o sx V 0在(-1,，)恒成立,(1+%)2(14-%)3：.(X)在(-1,/)上为减函数,又二r函数广在(x o,(0)=1,/哆)=-1+寻 宇 -1 +1=0,由零点存在定理可知,7 T(X)在(-1,5)上存在唯一的零点X 0，结合单调性可得，/(X)在(-I,X 0)上单调递增,7 T 7 T-)上单调递减，可得，(X)在 区 间(-1,-)存在唯一极大值点;(2)由(1)知，当 居(-1,0)时，/(x)单调递增，/(x)f(0)=0,.f(x)单调递增;7 1 7 1 1由于

38、/(X)在(刈，-)上单调递减，且/(X 0)0,f (-)=f(X I)=0,/(X)单调递增；当x e 5，J)时，/(X)单调递减，f(x)/(X I)=0,/(x)单调递减.当 x C (,I T)时，c o sx-I n(1 +学)=1 -/e=0,f(n)=-/(1+n)-M 3 0.于是可得下表：X(-1,0)0(0,X i)XI(“三)27 T27 T(2T，兀)7 1f(X)-0+0-/(X)减函数0增函数大于0减函数大于0减函数小于0结合单调性可知，函数/(x)在(-1,今上有且只有一个零点0,由函数零点存在性定理可知，f(x)在(泉n)上有且只有一个零点X 2，当 x e

39、 pi r,+)时，f(x)=si ar -I n(1+x)1 -I n(1+n)1 -/3 0,因此函数/(x)在 n,+)上无零点.综上，/(x)有且仅有2个零点.1 7.【2 0 1 8年新课标1理科2 1】已知函数/(x)-x+al n x.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)存在两个极值点X I，X 2,证明：-0恒成立，即/(x)0时，判别式=.2-4,当0 a W 2时，A l时，x,/（x）,f（x）的变化如下表:Xa-V a2-4(0,-)2Q-JQ2-42Q-JQ2-4(2 a+V a2-42)a+V a2 42Q+JQ2-4(-，+28)f(x)-0十0-f(x)

40、递减递增递减综上当a W2时，f（x）在（0,十 8）上是减函数,当 a 2 时，在(0,a-Ja2-4 a+V a 4-1-),和(-2 2+8）上是减函数,a V a2-42a+y a2 4则（）上是增函数.2（2）由（1）知。2,0 X l 1 x-X 2f,1 i则 l n x-I n -x-，xi xi即 l n xl n x x i-,X1即证2 在(0，1)上恒成立,X11设人(x)=2 阮L X+点(0 x l),其中/?(1)=0,求 导 得 (x)=2 -1-4=-d字+1=_ 止？/(1),即 2 加 7+三 。,故 2l n xx p则-2y 得 O VRVIVJQ，X

41、=,x2可得 f(X2)+f()=0,即 f (xi)+/,(X2)=0,%2曲 Ff(%l)-f(%2)1 、口曲、工一/(%2)_/(2)Y G要证-a-2,只要证-1)x2构造函数刀(x)=2alnx-ax+,(x l),h(x)=出 与 止 WO,x X2:h(x)在(1,+)上单调递减，：.h(x)/(1)=0,.2Rx-o x+1)成立.X%2即-V4 -2 成.X1-X21 8.【2018年新课标2 理科21】已知函数/(x)-ax2.(1)若。=1,证明：当 x2 0 时 一，/(x)1；(2)若/(x)在(0,+8)只有一个零点，求 a.【答案】证明：(1)当a=l时，函数/

42、(x)=/-/.则/(x)=缁-2小令 g(x)=/-2 x,则 g (x)=/-2,令 g(x)=0,得 x=/2.当 x(0 加2)时，g(x)0,：.g(x)2g(历2)=e,n2-2-/n2=2-2/n20,：.f(x)在0,+8)单调递增，：.f(x)5/(0)=1,解：方 法 Q a=聂 在(0,+8)只有一个根，即函数y=a 与 G(x)=聂的图象在()，+8)只有一个交点.G(x)=F .当 在(0,2)时，G(x)0,：.G(x)在(0,2)递减，在(2,+8)递增，当f()时，G(x)f +8,当 f+8 时，Q(X)+0,：.f(x)在(0,+8)只有一个零点时，a=G(

43、2)=竽.方法二：当a W O时，/(%)=-办2 0,/(%)在(0,+8)没有零点.当a 0时，设函数(x)=1 -ax2e x.f(x)在(0,+)只有一个零点=力(x)在(0,+)只有一个零点.h(x)=ax(x -2)e 当 x W (0,2)时，h(x)0：.h(x)在(0,2)递减，在(2,+8)递增，加=八(2)=1-襄，(x0).当人2)V0时，即 冬 由 于 分(0)=1,当x 0时，/,可得(4 a)=l-喋=1 一2罪 1 -=1 一/X).h(x)在(0,+8)有 2 个零点当h(2)0时，即a V弓，h(x)在(0,+)没有零点，当人(2)=0时，即。=9，h(x)

44、在(0,+8)只有一个零点，练上，/(x)在(0,+8)只有一个零点时，a=.1 9.【2 0 1 8年新课标3理科2 1】已知函数/(x)=(2+x W)I n(1+x)-2 x.(1)若 a=0,证明：当-I V x V O 时，/(x)0 时，/(x)0；(2)若x=0是/(x)的极大值点，求a.【答案】(1)证明：当=0 时，/(x)=(2+x)/(1+x)-l x,(x -1).(=l n x+1)一备/=可得x e (-1,0)时，(x)w o,x e (0,+8)时，f(x)与o:.f(x)在(-1,o)递减，在(0,+8)递增，：.f(x)可(0)=0,:.f(x)=(2+x)

45、I n(1+x)-在(-1,4-o o)上单调递增，又/(0)=0.当-I V x V O 时，/(、)0 时，/(x)0.(2)解：由/(x)=(2+x+ax2)I n(1+x)-2x,得f G)=(l+2 ax)I n(l+x)+臀2=谒-(1+2鬻+沙 心+1),令/?(x)=tz x2-x+(l+2 ax)(1+x)I n(x+1),h(x)=4ax+(4ax+2a+l)I n(x+1).当a2 0,x 0时，h(x)0,h(x)单调递增，：.h(x)h(0)=0,即，(x)0,./(x)在(0,+8)上单调递增，故x=0不是/(x)的极大值点，不符合题意.当。0 时，h (x)=8a

46、+4/(x+1)+1a,显然力”(x)单调递减，令(0)=0,解得a=J，当-l x 0,当 x0 时，h(x)0,即/(x)0,当 x0 时，h(x)0,即，(x)0,(x)在(-1,0)匕单调递增，在(0,+8)上单调递减，；.x=0是/(x)的极大值点，符合题意；1+6。1+6。若一看4 0,h(e-1)=(2 a-1)(l-e)0,：.h(x)=0在(0,+8)上有唯一一个零点，设为xo，.当 O0,h(x)单调递增，：.h(x)h(0)=0,即/(x)0,：.f(x)在(0,xo)上单调递增，不符合题意；1 1若 a V-5，贝 (0)=1+6。0,：.h(x)=0在(-1,0)上有

47、唯一一个零点，设为xi，.当xi x 0 时，h(x)h(0)=0,：.h(x)单调递增，：.h(x)h(0)=0,即，(x)0 时，/(x)=(2/+1)(a/-1)=2“(，+)J Z a1令/(x)=0,解得：x=l n,a1当f(x)0,解得：x/”,1当f(x)0,解得：x1 1A xG (-,/k)时，f(x)单调递减，xG (/?-,+8)单调递增；aa当 a 0 时，/(x)=2“(，+J)(，一 工)0时，/(x)在(-8,1n-)是减函数，在(I n-,+8)是增函数;a a(2)若“WO 时，由(1)可知：/(x)最多有一个零点，当 a0 时，/(x)=ae2x+(a-2

48、)/-x,当-8 时，？”-(),，-*0,当 X f -8 时，f(x)f+8,当X f 8,e 级 f+8,且远远大于/和X,.当 4 f 8,f(X)-+OO,工函数有两个零点，/(X)的最小值小于0即可，1 1由/(X)在(-8,0L)是减函数，在(山+8)是增函数，a a1 1 I 1/./(x)min f (/H)=a X ()+(a-2)X l rr-V O,1 1 1 11-br-0,a a a ai设 =后则 g =+/-1，(Z O),求导 g(t)=*+l,由 g (1)=0,：.(=-!,解得：OV aV l,的取值范围（0,1）.方法二：(1)由/(x)ae2x+Ca

49、-2)，-x,求导，(x)=20+(a-2)/-1,当 a=0 时，/(x)=-2 -l 0 时，/(x)=(2ev+l)(aev-1)=2 a(/+*)令/(x)=0,解得：x=-Ina,当 f (x)0,解得：x -Inch当 f (x)0,解得：x Tna,：.xE(-8,-lna)时，/(x)单调递减，xG(-Ina.+8)单调递增；当 aVO 时，/(x)=2a(/+)(，一工)0 时，f (x)在(-8,-in a)是减函数，在(-Ma,+)是增函数；(2)若 aW()时，由(1)可知：/(x)最多有一个零点，1 1当 0 时，由(1)可知：当 时，/(%)取得最小值，/(x),=

50、/(-Ina)Q a当 a=l,时，/(-/.)=0,故/(x)只有一个零点，当 ae(1,4-0 )时，由 1-1 一/1(),即/(-历 a)0,a a故/(x)没有零点，当(0,1)时，1-/A 0,f (-Ina)-2 e 2+20,故/(x)在(-8,-历。)有一个零点，,3假设存在正整数“o,满足o/(1),则/(o)=e。(aen 4-a-2)-oe。o2刖 oO,3由/(一 一 1)-Ina,a因 此 在(-Ina,+8)有一个零点.4的取值范围(0,1).2 1.【2017年新课标2 理科21】已知函数/(x)=ax2-ax-xln x,且/(%)20.(1)求 a；(2)证