数学高考真题卷--北京理数（含答案解析）.pdf

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1、2 0 1 8 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷(理)本试卷共1 5 0 分.考试时长1 2 0 分钟.第一部分(选择题 共 4 0 分)一、选择题共8小题,每小题5 分，共 4 0 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.已知集合 A=x|x|,则(A)对任意实数a,1)GA(B)对任意实数a,(2,1)年/(C)当且仅当a 时，(2,1)初(D)当且仅当a 咛时,(2,1)3第二部分(非选择题 共 1 1 0 分)二、填空题共6 小题,每小题5 分，共 3 0 分.(9)设 a 是等差数列,且a=3,a/S 则 4 的通项公式为.(1 0)在极坐标系中，直线夕c o s

2、。si n 夕=a(a 0)与圆夕N c o s 。相切，则.(1 1)设函数M m o s(3 X-看)(3为).若M W F(”对任意的实数X 都成立,则3的最小值为.(若x、y 满足则2 y-x 的 最 小 值 是.(1 3)能说明“若/U)f(0)对 任 意 的(0,2 都成立，则 F(x)在 0,2 上是增函数”为假命题的一个函数是.2 2 2 2(14)已知椭圆断三+=1(a)0),双曲线巾:9-9 二 L若双曲线N的两条渐近线与椭圆.的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则 椭 圆 物 的 离 心 率 为;双曲线平的离心率为三、解答题共6小题,共8 0分.解答应写出

3、文字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题13分)在力勿中,a=7,6=8,co s B=-.求 4；(I D 求 4 C 边上的高.(16)(本小题14分)如图,在三棱柱AB C-AB G中，3 平面力叫D,区F,G分别为AAh AC,AtQ,防的中点，A B=BC AC=AA.(I)求证:九工平面颇；(II)求二面角B-CD-Q的余弦值；(III)证明：直线 处与平面也相交.B(17)(本小题12 分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表：第 第 第 第 第 第影一 二 三 四 五 六类大 大 大 大 大 大型电影14 0 50 3002 008 00510部数好0.1

4、0.2评 0.4 0.2 0.2 0.15 5率好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(I )从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(H)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(I I I)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“口二 1”表示第A类电影得到人们喜欢，“鼻耳”表示第4 类电影没有得到人们喜欢5=1,2,3,4,5,6).写出方差“，鼻，乳，打，久，九的大小关系.(18)(本小题13分)设函数 f(x)=a -(4 a+l)x 抬a

5、+3 e.(I )若曲线片/U)在点(1,f(l)处的切线与x 轴平行，求 a;(I I)若 M 在x盘处取得极小值,求a的取值范围.(19)(本小题14 分)已知抛物线C：/之 经 过 点。(1,2).过点。(0,1)的直线1与抛物线。有两个不同的交点A,B,且直线P A交 y 轴于M,直线P B 交y 轴于N.(I)求直线/的斜率的取值范围；(I I)设。为原点,Q M =AQ d,Q N=/jQ O,求证弓+为定值.(2 0)(本小题14 分)设 A 为正整数,集合A=a|a =(ti,0，2)，管 W 0,1,A=l,2,.对于集合A中的任意元素 a =(x,x2,素 和 =(必,%，

6、%),记欣 a,)=(否+必-|为-必|)+x2+y2-x2-y2)+x+y-x-yn|).(I )当3 时，若 a=(l,1,0),=(0,1,1),求若 a,a)和/a,)的值；(I I)当N 时，设 8 是力的子集,且满足:对于8中的任意元素a,当 a,相同时，欣 a,)是奇数;当a,不同时，欣。，f)是偶数.求集合8中元素个数的最大值；(III)给定不小于2 的 设 8是/的子集,且满足:对于6中的任意两个不同的元素a,B)=0.写出一个集合氏使其元素个数最多，并说明理由.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213142 f(x)F i n x(答案不 V 3-ADBDC

7、CCD a,W-3 1 33 唯一)1,2(D A【考查目标】本题主要考查集合的交运算、集合的表示方法、简单的绝对值不等式的解法，考查的核心素养是数学运算.【解析】A=x x =(-2,2)，序 N,0,1,2,.：/。5=0,1 ,故选 A.【解题规律】关于集合及其运算的问题，首先要从本质上认识集合，即集合的代表元素是什么(点、数、图形等)，都有什么样的特征，其次认真理解集合的交集、并集、补集的概念及其表示方法，集合与元素的关系及其表示方法，集合与集合的关系及其表示方法，子集、真子集和集合相等的定义等，这些概念、关系和表示方法,都可以作为求解集合问题的依据、出发点,甚至是突破口.(2)D【考

8、查目标】本题主要考查复数的除法运算、共规复数等基础知识，考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】白 考 其 共 辄 复 数 为 对 应 的 点 为(；,)，故选D.1 1 2 Z 2 2 2 Z Z(3)B【考查目标】本题主要考查程序框图中的直到型循环结构，考查考生识图、读图、用图的能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】运行程序框图,k=L s=l;s=l +(-1)X 衿,上；5字(-1)2乂衿,公3；满足条件,跳出循环,输出的2 2 2 3 6，故选B.6(4)D【考查目标】本题以音律体系中的“十二平均律”为背景，有机将我国古代音律方面的成就与

9、数学中的等比数列结合在一起,考查考生的阅读理解能力、运算求解能力和分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学建模、数学运算.【解析】从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 冠，第一个单音的频率为f,由等比数列的概念可知,这十三个单音的频率构成一个首项为f,公比为 好的等比数列，记为 a ,则第八个单音频率为a=f(也)旧 工 故 选 D.【解后反思】1.等比数列的判定方法：定 义 法:皿=g(常数)(G N*)=&是等比数列；an等比中项法：a#0,W+i=a”a”2(e N*)=a 是等比数列；(3)通项公式法:a“=c g (c,斤 0 且 都 是 常 数,=

10、是等比数歹U;2.由 a“T=g a”,q W O,并不能立即断言&为等比数列,还要验证a,0.(5)C【考查目标】本题主要考查三视图以及线面垂直的证明等知识，考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】将三视图还原为直观图,几何体是底面为直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,如图所示.易知，B C/AD,B C=l,AD=AB=P A=2.,AB V AI）,为 _ L 平面 AB CD,故为 必6 为直角三角形，平面 AB CD,B Cu 平面 AB CD,：.P AL B C,又 B CL AB,且 P A C A B=A

11、,仇平面 P AB,又如u 平面 P AB,.B CL P B,.：战?为直角三角形,容易求得P C A C D M,P D&区故A 0 9不是直角三角形,故选C.(6)C【考查目标】本题主要考查单位向量、向量的模、向量的数量积，向量垂直的条件,考查的核心素养是数学运算.【解析】*|a-Z b =12a+b ,.*(a-3Z)2-(3a+Z)2,.,.a-a b 冉S 戈44 a ,b+t),X*l a|=|b -,.,.a ,b=0,.：a _ LZ?;反之也成立.故选C.【名师点睛】本题属于基础题，解决本题的关键在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，熟练掌握数量积的运算性质.解决向量的问

12、题,归纳起来就是:见模就平方,见向量相乘就展开,见特殊图形就建系.(7)C【考查目标】本题主要考查点到直线的距离公式，三角函数的辅助角公式，函数求最值等问题，试题比较新颖,考查考生化归与转化思想,运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由题意可得心:ose-msin8-2|msin8-cos6+2|血2+（,也 必（:08）+21y n；sin（仇）+2|Vm2+1Vm2+1y/m2+ly/m2+l(其中C O S,m.,sinVm2+1Ki n（：1 2-Vm2+l|一 lm2+l+2 V7n2+1+2Nm2+1 vm2+l vm2+l扁，.：当

13、松)时，d取最大值3,故选C.(8)0【考查目标】本题主要考查线性规划问题，考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及逻辑推理能力和运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】点 D在直线x-y=上,a x+y=表示过定点(0,4),斜率为-a 的直线，当a O时,x-a 片2 表示过定点(2,0),斜率为工的直线,不等式x-a jW 2表示的区域包含原点,不等式a x+y)4 表示的区域不包含原点.a直线a x+y=A.与直线x-a y=2互相垂直.显然当直线a x+y=A.的斜率-8 为时，不等式a xy表示的区域不包含点(2,1),故排除A;点(2,1)与点(0,4)连线的

14、斜率为g当-a0即 时,表 示 的 区 域 包 含 点 1),此时x-a y 4表示的区域不包含点(2,1),故排除C,故选D.(9)a 3 -3【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式等基础知识，考查的核心素养是数学运算.【解析】设等差数列的公差为d a/为5=a i+d+&留拈d=36,.=6,.：a.4+(T)6 =6/7-3.(1 0)1 /2【考查目标】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程，点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系等知识,考查考生的数形结合思想、化归与转化思想以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】利 用*=0 CO S

15、y-p s i n。，可得直线的方程为x+y-a=O,圆的方程为(x T)t/=l,所以圆心(1,0),半径r=1,由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即 喟=1,.：。=1 大/2或 1 7 2,又。为，.：V2a=A/2.(1 1)|【考查目标】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由于对任意的实数都有M x)W F()成立,故当x 三时，函数/(x)有最大值，故/(9=1,一 924 4 4 4 6n(A ez),.：0=8 衣毛(4 6 2),又 3 的，.：以 必 言.(1 2)3【考查目标】本

16、题主要考查线性规划问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】作出不等式组仁j 丫 所表示的平面区域如图中阴影部分所示,令z 2y-x,作出直线2y-x=O,平移该直线，当直线过点4(1,2)时,2y-x 取得最小值,最小值为2 X 2 T 4.解后反思解决线性规划问题的方法是图解法,解题的一般步骤是:由约束条件作出可行域;作出目标函数对应的直线;数形结合求出最优解.(1 3)f(x)书in x(答案不唯一)【考查目标】本题主要考查函数的单调性，考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象.【解析】这是一道开放性试题,答案

17、不唯一,只要满足f(x)，f(O)对任意的X6(0,2 都成立,且函数f(x)在 0,2 上不是增函数即可.如f(x)-sin x,答案不唯一.(1 4)7 3-1,2【考查目标】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查数形结合思想，考查考生的逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】设椭圆的右焦点为尸(。,0),双曲线川的渐近线与椭圆 在第一象限内的交点为A,由题意可知/(f,与)，由点4 在椭圆材上得,白若=1,3+3 才02力才方；：方二/一 占(才一曲/丹才犬力/(3 一冷，4才 一 8才?+/项靖.一 8*14)，2 ZH,m l

18、 T r H.：e 新 幼+1(舍去)或e 怖/T,.：椭圆 的离心率为遍-1,:双曲线的渐近线过点4(|,亨)，.：渐近线方程为y/3 x,.彳力3,故双曲线的离心率e(1 5)【考查目标】本题主要考查正弦定理、同角三角函数的关系、诱导公式等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I)先求出sin 6,再利用正弦定理求出sin 4 由 c o s 8 0 得 出 为 钝 角，进而得出N4为锐角，求出角/;(II)利用诱导公式求出sin C 再解三角形求出4C边上的高.【解析】(I)在中，因为cos 8=,所以 sin B=ll cos2By.由正弦定理得sin 缺 电o 2由题设

19、知,所以所以N/二.(II)在被7中，因为 sin C=sin(A+协=sin Acos 炉c o s/si n B_ 3 yf3所以A C 边上的高为a si n I X旭江.14 2【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.基本步骤是：第一步，定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来,然后确定转化的方向；第二步,定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边、角之间的互化；第三步，求结果.(1 6)【考查目标】本题主要考查点、线、面的位置关系，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力，

20、考查的核心素养是直观想象、数学运算和逻辑推理.【解题思路】对于第(I )问，根 据 8,平面AB C,E,b 分别为AC,4G的中点,从而证明AC1EF,又由AB=B Cn ACL B E,从而得证;对于第(I I)问，可以建立空间直角坐标系,分别求出平面6 缪与平面CDQ的法向量,再利用向量的数量积公式求解即可;对于第(I I I)问,可通过向量出和平面及笫的法向量的关系判断.【解析】(I )在三棱柱AB C-4 B C中，因为C G _ L 平面AB C,所以四边形4 4 箫为矩形.又 反 尸 分 别 为 4 G 的中点，所以4 dM因为4?如所以4C _ L施所以a L L 平 面B E

21、F.(II)由(I )知 ACL EF,AC1,B E,EF/CQ.又 C GJ_ 平面AB C,所以ML 平面AB C.因为6住 平 面AB C,所以EFL B E.如图建立空间直角坐标系 E-xyz.由题意得如0,2,0),D f(1 8)【考查目标】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值问题、导数的几何意义等知识内容,考查考生的运算求解能力、推理论证能力,考查的核心素养是数学运算和逻辑推理.【解题思路】(I )对函数f(x)求导,利用F 力,求出a的值；(H)分 a ,两种情况讨论函数的极值情况即可.【解析】(I)因为 F(x)=a x 4a+l)x 幽a，3 e;所以 F(x

22、)=a x-(2a l)x+2-e f (1)=(1-a)e.由题设知F 丸 即(l-a)e 或 解 得 a=L此时 A D-3 e 0.所以a的值为1.(II)由(I)得 F (x)=L-(2 a+1)x+2 e*=(a x T)(才-2)e 若 吟 则 当 XC$2)时,f (x)0;当 x G(2,+8)时,y，(x)为.所 以 f(x)在产2处取得极小值.若 a W：,则当 x W (0,2)时，x-2 0,a x T W x T 0,所以 f(x)K).所以2不是/(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(i +吟.【易错点睛】(1)本题利用导数的几何意义求曲线在点(1,H D)处

23、的切线方程，切记,需检验切线是否与x轴重合；(2)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点；(3)解决求参数范围的问题,首选方法是参变量分离,这样可避免不必要的讨论.(1 9)【考查目标】本题主要考查抛物线的方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系,考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(I )先利用点在抛物线上求出p,设出直线的方程,直线方程和抛物线方程联立,得到一元二次方程,利用判别式及已知条件求出斜率k的范围；(II)根据条件写出直线P A的方程,进而求得点M的纵坐

24、标，同理得点N的纵坐标，利用的二月而，丽=丽,得 出 心 ，结合根与系数的关系,求出定值.【解析】(I)因为抛物线/之加过点(1,2),所以2 尸4,即 0=2.故抛物线C 的方程为/N x.由题意知，直线1的斜率存在且不为0.设直线1的方程为y=kx+(A O).由 巧=产 _ ，得人办(2 人1)户1 至依题意 4-(2 A-4)M X A2X 1 X),解得 k0 或 o a e J,x*-l,x-X2=-Xk=Q (A-l,2,，ri),.i=(x i,x2,x|Xi-X2-x=O,则 4=$U S U U对 于Skk=1,2,T)中的不同元素a,经 验 证,a,)1.所以2,中的两个元素不可能同时是集合6的元素.所以8中元素的个数不超过n+.取 e*=1xl Xi,-,取 且 壮尸 琢=0(=1,2,/?-1).令B=eh鬼,而 U&U以,则集合8的元素个数为 1,且满足条件.故8是一个满足条件且元素个数最多的集合.【名师点睛】新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,调动所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解决问题的目的.