考研数学线代向量常考知识点技巧题型汇总.pdf

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1、考研数学线代向量常考知识点技巧题型汇总一、三基与拓展1.1 维向量维向量（坐标维数乂由一个行行矩阵或一个n列列矩阵组成，在没有说明的情形 下,向量专指列矩阵，它具有矩阵的全部性质,s个向量的集合组成|s维向量组（空间维H，切 记 两 种 维 度 的 概 念 是 完 全 不 同 的。向 量 组 对 应 分 块 形 式 的 矩 阵，即A=（%4 L%）。矩阵与向量存在内涵关系，矩阵的每行或每列就是一个向量，一个矩阵就相当于一个向量组。1.2 线性组合（或称线性表示，或称线性表出）2.1.1 线性相关与无关。=3+k2a2+.+knan,如果占,k2,.，k“全为零,称 药,线 性 无 关，反之，称

2、名,4，,%线性相关，也称为向量仅能由向量组1线性表示，或线性表出，记为力一a。零向量可由任何向量组线性表示（如/=0 n 1 /+0%+L 0%）,即与任何向量组线性相关；只 含1个的非零向量的向量组必线性无关（占,=0 w f =0 1两个向量线性相关的几何意义为平行或共线，三个向量线性相关的几何意义为共面，那 么，读者能不能想象一下，三个向量线性相关，其中两个是线性无关的几何图案呢2.1.2 线性相关性与线性表示的关系一个或多个同型向量组成向量组。如 果 向 量 力 能 由（%a2。3）线 性 表 示，意味着（a,%A）线 性 相 关，；如 果 向 量 尸2不 能 由（/4%）线 性 表

3、 示，意味着（,a2凤）线性无关。3如果m%线 性 相 关，（%见?四）线性无关，则有下列结论：由于（%a2 a33+河）伙任意常数）经过初等变换可变成（四2 a3四），故（a2左加+尸2）线性无关；但不能变成（%a2 a3 4），因为夕2不能由（，a2%）线性表示，无法消元；同 理，（/%3 4+以为可经过初等变换变成（%2 3卜 阶,因 此，在 W 0 时，线性无关，在上=0 线性相关，因为零向量与任何I向量组线性相关。我们用高斯消元法求解线性方程组A X =b 的消元过程，实际上是对其增广矩阵（A g）的行向量做线性运算（向量的加法与数乘向量），通过这样的运算（也就是矩阵的初等行变换）把

4、增广矩阵（A S）化为阶梯形矩阵（c,d）时会有几个非零行，也就是会出现几个全零行，这取决于增广矩阵（A g）的行向量之间在线性运算下有怎样的关系。例 如：系数矩阵A为 5 x 5 矩阵时，的行向量有5 个，记作囚。2，。3，4，。5，如 果%，。5能用药，。3线性表示，而%,见，。3之间任一个都不能用另外两个线性表示，那么对（A 13 做初等行变换（也就是对,%，。3，。4，%作线性运算时），就 一 定 可 以 将 所 在 的 行 化 为 全 零 行，于是（川 ）化为阶梯形矩阵（C,d）时就必有3 个非零行。这里所涉及的就是一组向量之间在线性运算下有怎样的关系，这 就 是“向量的线性相关性”

5、的问题。因 此，必须从 向量的线性相关性”入 手，才能搞清楚前面所提的求解线性方程组的深层次问题。幽列居余马P 1242.1.2向量组之间的等价与向量组之间向量个数的关系向量组A:%,02，,4 和向量组B:*昆,4 的每一个向量都分别能相互线性表示，称向量组等价，记为A c 8。它具有自身反射性、相互对称性和传递性。向 量 组 A可 以 由 向 量 组 8线 性 表 示 A -8,也 就 是 存 在 数C.（z =l,2,.,5；j =l,2,.,r），使得4%=+C 2a2 +%氏=(凡夕2“/，)Q C|2 L cr=(/a,L%)=(四 ,L 氏)C ,22 L 2,.J2 r；产 产

6、2 M M O M、%L 或A B n A=BC(CwO)于是得到：重要定理1|设A:(?a?L%)；B:(用 乩L A)是两个“维向量，则A 6当且仅当存在一个sx r矩阵C(工0),使 得：(四%L 4)=(4 A L)C o A =BC。评 注|由这一定理容易推知向量组之间的三个等价关系：反 射 律(A n A);对称律(A 6 3 o 8 6 A)；传递律 A 6 A(A 3 8,3.C n A n C)。重要定理2|如果A(4%L a j B(仇/L(),而且r s，则向量组A线性相国。证 明：设=勺4(i=1,2,L,r),欲证A(at a2 L,.)线性线关，只需证存在不全7=1

7、为 0 的数X,九2，L 毛，使得 X 1/+%2%+L +xrar=0=为%=%沙 护j=力&x =0i=l i=l I j=l J 1 k i=l 7=E 勺 x，=0()=1,2,s)故存在非零解外/=1即 存 在 不 全 为0的x,.(/=L2,L,r).推 论，陶果向量组A线性无关，必有r W s重 要 定 理 3 若 R?1(,a2,.,ar)=p;)=r;B 1、_p _ （_S、B.A n 氏=（%=1,2,L ,r,L ,s）=X =工 b%/=Z=I I j=J j=i=7这说明 知 儿,“.,月能够用囚,。2，“”%,线性表示，而用,四，血 线 性 无 关，根据定理2推论

8、即得 p =R（A）W/?（B）。何词一般考研参考书不重视上诉三个定理及其证明过程，从而给学生在后续的学习中造成许多迷惑，所以建议读者反复揣摩它们，因为它们是掌握向量及其秩的基础。形象记忆法：被代表者（8）的活动范围（空间维度一秩）不能大于代表（A）。1.3 向量组的秩（参见居余马PH9）1.3.1 一个向量组的线性无关向量的最多个数（即极大无关组所含向量的个数）称为向量组的 秩，记为R 或一 个 向 量 组 的 线 性 无 关 最 简 单 的 充 要 条 件 是 对 应 矩阵 4 ,%），使 A,%，）=，线性相关最简单的充要条件是R（A）/?(B)R(B)=2 +1 0 A(A)2/?(8

9、)-1=2故(a”4,L ,%,)线性无 关。形象记忆法：大无小无，小关大关。(部分相关n 全部相关；全部无关n 部分相关。)巳司对此类定理的掌握不能只局限于理论证明，更重要的是需要找到直观解析或几何图案。上述定理从坐标空间的维度很容易直观理解。电 理H机个维向量向量组成的向量组，如果坐标维数n小于向量维数m时一定线性相关。特别地：+1个维向量一定线性相关。7证 明：加个“维向量（名，a2,L,。，构成矩阵片谢乂,a2,L,a,A,x,=（P。2,L,a,“）=7?（A）R（A）/n n加个向量（%a2,L,a“J线 性 相 关。上述定理可以这样形象理解：相当于方程组中有多余一个合理方程。或者

10、可以这样 理 解：单个向量的维数相当于坐标空间的维度，向量组的维数（即向量组所含单个向量的个数）相当于任意矢量：的分量个数，如果：具有三个分量，它又怎能在2维空间中表示呢，除非三个分量不独立，即线性相关。形象记忆法：坐标数大于维数总相关。（坐标数指单个向量的维数）定 理3|设“维向量组A=（%,a2,L,%）,%=第 为 维 坐 标；维向量组玉、尤2B=S，四，瓦）为增加/的坐标维数得到的（称为导出组），即A=%,Xn+M n+s）则（1）A=（a,a2,L，卬）无关n 导出组8=（4，尾，L，耳）无 关；（2）导出组8=（4 四，L,）相关n 4=（即a2，L,%）相关。形象记忆法：高维相关

11、=低维相关；低维无关少高维无关。8定 理4设R(4x“)=/，则元齐次方程AX=O的解空间S的 秩 为R(s)=一八定理目 若A8=0,当A为非零矩阵时B不可逆；当A,3为非零矩阵时，则A列不满秩，B行不满秩。定 理6|向量组A能由向量组8线性表示(A-3),若8不能由A线 性 表 示 则 川=0。证 明：向量组A能由向量组B线性表示(A B),则矩阵方程A=6C有解向量组B不能由向量组A线性表示,则矩阵方程8=AC无解若|A|wO，则方程4*=8有 解*=4一%,AX=8成 立 意 味6 R(B)=O定 理8|若AB=E，则B的列向量线性无关。证 明：考虑8X=0,则8X=0=ABX=0=E

12、 X n X=0 为 5X=0 的解。故BX=0只有零解n 忸 艮0,故8的列向量线性无关。9第 一，对向量组相关性的理解，首先把向量组转化为对应矩阵A,因为秩是它们的公共 量，从而等价于讨论矩阵的秩。第 二，要明白秩是用子式（方 阵）是否为零来定义的，所以矩阵A的秩等于矩阵的行秩也等于列秩，要明白单个向量的维数（坐标空间的维度）和向量组的维数（任意矢量;的分量个数）是两个不同的概念。给矩阵A增加几行后得矩阵8=2，就相当于增加每一 7个向量的维数，这时满秩=max（R（A）=max R ，就是说A=（4,a?，L，4）无k V/7（A）关=3=（4,4 L,凡）无 关；但 反 之 不 成 立

13、，因 为R/?（A）;如果（A）R/?（/!）7?A=3,a2,L,%）相 关，反之也不成立，也是因为火-7?（A）O 71.5 向量组与矩阵秩的联系与区别向量组的秩与矩阵的秩的联系设A是根x矩阵，将矩阵的每个行看成行向量,矩阵的机个行向量构成一个向量组，该向量组的秩叫做矩阵的行秩。离阅局余马P122的相抵标准型将矩阵的每个列看成列向量，矩阵的个列向量构成一个向量组，该向量组的秩叫做矩阵的列秩，行秩=列秩=矩阵的秩。向量组等价与矩阵等价的区别矩阵的等价是指一个矩阵可以由另一个矩阵经过初等变换转化而来。由于初等变换不改变矩阵的秩，因 此，等价矩阵有相同的秩。反过来，两个秩相等的同型矩阵，他们有相

14、同的10等价标准型E7 。再由矩阵等价的传递性和对称性，可知这两个矩阵等价。/tnxm向量组的等价是指两个向量组可以互相表示，由线性表示和秩之间的联系，也可知等价的向量组有相同的秩。但 是，反过来不成立。因 为，两个向量组的秩相等，只说明这两个向量组的极大线性无关组有一样多个向量，并不能说明向量之间是否可以线性表示。例如，向量组%=(1 0 0 0)，a2=(O 1 0 0)，和向量组用=(0 0 1 0)尾=(0 0 0 1)的秩都是2，但它们却不能线性表示，因 此，秩相等的向量组不一定等价。叵 司 两 个 极 大 无 关 组 必 等 价。【例1】设 向 量 组(1)(aP a2,L ,4)

15、的 秩 为,(凡 4 L，力)的 秩 为 马，设 向 量 组(3)(囚，a2，L ,区,四，L ,以)的 秩 为 与，则下列不正确的是()。(A)若 可 由(2)表 示，则r2=r3(8)若(2)可 由 表 示，则【弓(C)若则 弓 (若 弓=与，则 弓 弓解:(A)因 为 若 可 由 表 示,则(3)可 由(2)表 示,而(2)显 然 可 由(3)表 示，因而 向 量 组(2)(3)等 价 n 乃=4 ,(A)正确。(B)因 为 若(2)可 由 表 示，则(3)可 由 表 示，而 显 然 可 由(3)表 示，因而 向 量 组(3)等 价=彳飞,(8)正确。(C)由于(1)与(2)均在(3)中

16、，故 有(4 ;2因 此 若 弓=与，则由与弓推知 4,故(C)不正确。(。)由于(1)与(2)均在(3)中，故有弓；弓|%卜0,3尸2 4卜。，根据克拉姆法则：方程 组：%|+a2x2+x3x3=(z =1,2,3)与方程组：0、X +fi2x2+夕3&=a,（z =1,2,3）均有解。故%才 可 相 互 表 示，因 此：R（A）=H（B）,且（A）,（B）等价。当a=l,且 =1 =R（A）=R（3）=2,上述方程组也都有解，故（A）,（8）也等价,R（4）=R。（2）当a=l,且 匕*一1时，仍然有R（A）=H（3）=2，但方程夕内+同/+夕3七=。3中 系 数 矩 阵（4为打）的 秩

17、为2,其 增 广 矩 阵 的 秩（力自63。3）为3，故 内 不能由8表 示，故（A）,（3）不等价。当aw l,且8=一1时，仍然有/?（4）=/?（8）=2，但方程atx+a2x2+4工3=A 中系数矩阵（四。2a3）的秩为2,其增广矩阵（,a2a3夕2）的秩 为3,故国不能由A表 示，故（A）,（B）也不等价。1.6 向量空间（线性空间）的考研知识点1.6.1概念与拓展向量空间又称线性空间。维向量的全体所构成的集合V，如果V非 空，且集合V中的向量对于线性运算（数乘和加法）封 闭（即：a e匕h e V a +bV,/l a e V）,则称集合V为向量空间。V中的部分向量组成子空间。不代

18、表向量个数，只是向量的维数，向量空间中每个向量的维数必须相同。向量空间的容量用基（相当于1-3维空间中的坐标轴）来描述，如V中极大无关组有厂个向量，则13该 向 量 空 间 的 基=一，则 丫 又 称 维 向 量 空 间，记 为 匕，如果取单位坐标向量组q,02,L,6 （相当于三维坐标空间的;，:/,Z）为 基，称为自然基。再次提醒读者：向量的维数和向量空间的维数是两个完全不同的概念。线 性 空 间 中 任 意 向 量。可 由 基 表 示 出 来（相 当 于 三 维 坐 标 空 间 的 任 意 矢 量1 1 1r=xi+yj+zk）,即a=xa+.+%a=a=%，,，/）丁 =表示式中前面的

19、系数的有序组（斗,，,毛）称 为。在基冈，,下 的 坐 标，记为X=（百,.,茗），也是一个向量（坐标向量X1.6.2向量空间的性质：（1）基变换：自=弓 乌+4”a“KA,=aii+凯K=阱.，瓦 =M Oan L4.、Mann)P称为从基%.,%（旧基）到基 4,，以（新 基）的过渡矩阵。（2）坐标变换:a =4,.,%X=4，.,力丫 =X=PY (自，应)8=7(,.,“)=T(a”.,a)P=7(，,4)P=(%.,%)A P=(a.)A P 仇)B =S，再J F A P=B=pi A P这表明两个不同基下的坐标矩阵A与8相 似，两个基之间的过渡矩阵P正是相似变换矩阵。(4)内 积

20、：设&=M,0=M;则 定 义 内 积：3月)=。/=。占+.+。也对 连 续 实 函 数 空 间：内积定义为g(X)=J7(x)g(x)d xa内 积 的 性 质：(1)长 度：卜|=4a；+.+a=&a,a);(2)交 角。=(a,/?)=arc c o s&4(O0 A-i)则4，L ,夕 相 互 正 交。规 范（标 准）正交基嘀口；”向 四 jQ =I，2，L,%为规范正交基，由于Q TQ =Q Q =E，可 见，Q为正交矩阵，Q正是正交变换矩阵。A:a,=(l,1,1)，【例4】设向量组 ，B:笈=(1,2,1),2=(i,o,-i)r,儿=(2,3,4)3=(1,0,一 则A=(3

21、,4,3y夕=4+2区-3四在向量组A下的坐标为？解：.A 3)=(%2。3)尸111101230=(/%厂(4 A A)10-112-134-120-13-1040-1又=自+2河-3用 得B在向量组B下的坐标为（1,2,-3）7故=川+2尸2-3片在向量组A下的坐标为：王“2%312-32 3 40-1 0-1 0-1-4-22P【例5】已 知 维 向 量%线性无关，出,以 线性无关，%分别与%，%正交。16证 明：a,a2,a3,%线性无关。证 明：设 占,+k2a2+%3 a 3+k4a4=。&）+%（%）+（%，。3）+勺（。|,a j=。=K（%，）+4（%，）+%】（%，）+&（

22、%，4）=。（/,0 2）=0（%，/）（%，2）=K =k2=0又（Z 3,4线 性 无 关=&=%4=0因 此，必，a 2 ,a3,。4线性无关。陈氏第24技 利 用 RREF求向量组的极大无关组及其相互线性表示。设 五 个 向 量主 元 有 两 个主元个数（不 妨 设 为 风 和a?）为 极 大 无 关 组 的 个 数，也 就 是 矩 阵 的 秩，故 可 以 立 即 确 定 一 个 极 大 无 关 组（,%）。把 所 在 的 列 的 系 数 对 应 乘 以 主 元 和。2-。3的线性表示把O,所 在 的 列 的 系 数 对 应 乘 以 主 元 ,和%一%的线性表示把 火 所 在 的 列

23、的 系 数 对 应 乘 以 主 元%和%-%的线性表示这一方法也完全移植到第4章的解方程方法。二、题型题法1.求一个向量由另一个向量组线性表示的方法RREF法求向量线性表示的问题，归结于解方程组问题，通常有两种方法来处理：一种是写出待定的表示式，然后求解方程组；另一种方法是将向量按列写成矩阵（一般把待表示的向量放）7在最后一列），然后化为RREF（简化行阶梯形），这 时，非主元所在的列向量可以由主元所在的列向量线性表出，而 且，表示式中的系数恰好就是非主元所在的列对应的分量。这一方法同样适应判断向量组之间的相关性。【例6】取基/=d,a2=x2,4 =%，%=1，求微分算子D在该基下的坐标矩阵

24、A。解：)%=3x2=0-or,+3-a,+0-+0-4(00 a2 =2尤=0%+0%+2%+0,&4,A=Da3=1 =0-a,+3 a,+0-a3+1 -a430Da4=0=0 a,+0-a,+0-a3+0-a4 10例70 0 0、0 0 02 0 00 1 0,1设%=(1 4 0 2),%=(2 7 1 3)7,a3=(01 -12)=(310 a 4)问。取何值时，/可 由 囚，。2,由 线性表示，并求出表示式。解：方法一：方程法（本质上是初等行变换法X设/?=x1at+x2a2+x3a3,则有%+2X2=34%1+7X2+七=1。x2-x3=a2%+3X2+2X3=4显 然，当

25、a=2 n R（A）=R（A|b）,有 解，x3=0,x2=2,再 +2X2=3=XJ=-1/.p c C y +2a218方法二：RREF法。将向量按列写成矩阵(一般把待表示的向量放在最后一列)，然后化为简化行阶梯形。当a=2=R(A)=R(A，可由名,a2,火 线性表示，上述矩阵进一步化为简化行T203、1203、1203、471100-11-201-1201-1a01-1a000Q.一 2、2324、0-12一2)、0010，阶梯形、U 20 10 0、0 00-1013200100001000010-1200=P -(-1)x(2,+2 x%+0 x 3-oc+2a2/RREF-7区

26、司 可 见RREF是解这类题型的最佳方法，望读者务必掌握。2.求极大无关组和线性表示及秩的方法RREF法将向量依次按列写成矩阵；化为简化行阶梯形；|主元所在的列向量个数=一个极大无关组=向量组(矩 阵)的秩=自由变量的个数。非主元所在的列向量和和主元所在的列向量的关系由非主元列各分量表示。【例 8】设/=(1,1,2,3),%=(1,-1,1,1),。3=(1，3,3,5),。4=(4,-2,5,6),=(3,1,5,7),求该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余向量用它表示出来。解：方法一：初等行变换法。191 1 2 3一 1 1 2 3 一1-1 1 1a20-2-1-2%一%A=1

27、 3 3 5-0 2 1 23-!4-2 5 60-6-3-6a4-4al3 1 5 7_%0-2-1-2_%-3al-1 1 2 3*r=20-2-1-2a2-a10 0 0 0(%_%)=a5=2%+%【例 9】求向量组/=(2 1 2 3),%=(1 1 3 3),%=(。1 4 3),%=(1 0-2-1),5=(1 2 9 8)的一个极大无关组。解：2021 01n11111020234-29 01(3338 J001-2200 2、1 1 1 0 2、1 0-11 -30 1 2-1 30 1 2-2 50 0 0-1 20 0 0-1 2;、0 0 0 0 0,、0 0 00 1

28、1 -20 0可 见：a”a4是一个极大无关组。%=一，+2%a5=a,+a2-2a4【例10设 向 量 组a,a2,L ,a,(r 2)线性无关，令I =a2+a3+L +a,d=a+a3+L +at =a1+a,+L+4z(_)证 明：4,昆,L ,g线性无关证：无具体形式，只能使用定义法k、0+L +匕01=0=(女，+左3+L +)(Z 1 +(1+3+L +()a,+L +(K+L =0Q ai，4，L 线性无关k2+k3+L +A:,=0(1)k,+k3+L +k,=0(2)LA+&+L+%i=0 (t)+(t i=(t-l)(1+Z:2+L +尤)=0t *k、+k?+L +(=

29、0(*)(*)-=021(*)-n&=0，余类推。【例 11】设 A 为三阶方阵，有三个不同的特征值4,4,4对应的特征向量依次为,%，%，令夕=%+%+%,试证 明：0,耶,用B线性无关。证 明:A a=(z=1,2,3)A/3 =A(。+%+%)=4%+4 a 2+4 a 3A/3 =4(4/+4 a o +4 a 3)=+2 2+3 3K 4+&A/+&A2 =O(k I+&4 +31)1 +(1+k-)%2+k 3 M)。2+(1+34)。3 二 由于不同特征值的特征向量线性无关，则k、+左+k j%=0K +&2 4 +23%=0=k=k2=k3=0A2若在444=(友-4)(%-初

30、(4 -4)w。【例 12】设 a,为三维列向量，矩阵A=a，+阴,，其中/,分 别 是 a,6 的转置,叫畿蒜确则小2.证 明：3.基的计算方法【例 12】求,巴 使相互正交22%、解：所求向 量 为 X=九 2x7 at=0=x=-x2-%1 1 P取 4 =-1 或&=o、。）L-1.1、a2=bl=-1、。2,（4，%）1%二-7-7%=一一（%，。2）-2-1【例13】I设 R 的两组基为4:（%,%,%）=11o 01 F11 0;3:（用 血，夕 3）=1 1J 101-1120求,a2,%）至!I （笈，&的过渡矩阵P 和（-1,2,1）在（笈 血，尾）下的坐标。解：方法提示：

31、初等变换方法。因 为：B =A P n F,“.FB=FM-K A P=E P =P（A.E o 耳“片3-P）,即（A M?）.（E M ）231 0o!1A网-0 1 0 I -10 01 i 101-211-2n P1 0 1-1 1 11 -2-21 0 1。=阶 ，闵XnX=4,4用 2=0 1 21 -1 0向量经典模拟题题一.填空题1.设%=（2,1,0,5）,%=（-4,一2,3,0）,%=（-1，0，1，幻，%=（1，0,2）,则 k =时，%,%，%，%线性相关。2.已知 a=（3,5,7,9）,4=（1,5,2,0）,x 满足 2a+3x=/?，则x=。3.当卜=时，向量

32、夕=（1次,5）能由向量/=（1,一3,2）,%=（2,1）表示。4.设a=（1,0,1,2）。夕=（0=0,2），矩阵 A=a 夕，则 秩（A）=.二.选择题1.设向量组：q=（。,“21，。31）,，。2 =（-2，。22，的2）7，%=（.3，的3，%3）,，向 组（II）.尸 一（q ,431，041）,夕2 一（|2，”22，”32，042），63 （13，”23，”33，043）则（A）相 关n（0）相关（B ）无 关n（II）无关（C）（II）无关n（I）无关（D）无 关 o （II）无关 2.设向量用可由向量组如 a?，L ,am线性表示，但不能由向量组（I）:%,七，L ,a

33、”一线性表 示，记向量组（11）:%,%，1,%1，/?,则（A）a,“不能由线性表示，也不能由（II）线性表示。24(B )a,“不能由线性表示，但可由(0)线性表示。(C)%,可由线性表示，也可由(II)线性表示。(D)可由线性表示，但不可由(II)线性表示。3.设有任意两个n维 向 量 组,L,am和1 X,凡,若存在两组不全为零的数4,L,2,和,L,心,使(4+仁)/+L+(4“+km)am+(4-)。+L+(4“-%,)”=0,则(A)如L 和4 L,&都 线 性 相 关。(B )%L,a,“和*L,力“都线性无关。(C)%+*L ,%+&,%-及L 4线性相关。(D)4 +*L

34、,a,“+&,4,L-色线性无关。4.设 向 量 组%,4，%线 性 无 关，向 量%可 由%,%，火 线 性 表 示，而向量夕2不能由四,。2,。3线性表示，则对任意常数，必有(A)+62线性无关。(B ),%,%，3+6 2线性相关。(C)%。2，%4+秘2线性无关。(口)名。2 0，4+女 尸2线性相关。1 5.设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有(A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。(B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关。(C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。三.解答题1.已知向量组名=,2

35、,1).=(21,0),%=(1,-1,1),试求出t为何值时向量%,4,。3线性相关或线性无关。252.设有三维列向量/，问 k为何值时，(1)4 可由线性表示，且表达式唯一；(2)夕 可 由/。2，火线性表示，但表达式不唯一；(3)/不能由,。2，火 线性表示。3.已知m 个向量4,a2，L 线性相关，但其中任意m-1 个都线性无关，证 明：(1)如果存在等式人/+L +(“,=()，则这些系数K，L ,&“或者全为零，或者全不为零。(2 )如 果 存 在 两个等式上0+L +&%,=(),/乌+L =0 ,其 中/尸 0,则-K-_&-_L -_%.4.设 A 是 n阶矩阵，若存在正整数

36、k ,使 线 性 方 程 组=0 有解向量a ,且 A-勿 w 0,证 明：向量组a,Aa,L 是线性无关的。5.求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示。(1)a,=(1,2,1,3),a2=(4,-1,-5,6),a,=(-1,-3,-4,7),a4=(2,1,2,9).(2)a,=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),%=(3,0,7,14),%=(-1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10).x 6.已知三阶矩阵A =y x y，讨论秩(A )的情况。y y *7.设 4 =M。出。也 L ahna2b2L a2bnM Ma也 L anb，试

37、证存在数4，使得4*=万-弘。26向量经典模拟题答案一.填空题7 7 51.k=一一;2.x=(-,-,-4,-6);3.%=-8;3 3 34.秩(A)=1.二.选择题1.(B )2.(B)3.(D)4.(A)5.(A)三.解答题1.当-2,3时，%,火，火线性无关；当 =-2,3时，%，%线性相关。2.(1)当 H 0次H 1时，夕可由夕,。2，%唯一线性表示。(2)当上=1时，月可由4线性表示且表达式不唯一。(3)当=0时，力不能由小a2，4线性表示。3.(1)假设K，L ,心中有一个为零,不妨设为匕，则有上1%+L +kmam=0,而%，%叫，%,线性无关，得&=L =k,=0=K，故

38、K，L ,口或者全为零,或者全不为零。(2)/0，由(1)有4*0,L ,/,产0。于是可得两个等式%工|%+L =0,峪，+L +k,lmam=0,两式相减得(&/|匕/?)4 +L +(Di K/,”)=o，。2，%工，4线性无关，得尢，-占4=0(，=2,L ,加),即有,=)(i =2,L即)，得证。h I;274.设 a+/Aa+L=0.当女N2时,左乘 A*T 得/-A +lAka+L+3%=oQ Aka=0,故有 屋-%=o,又屋一勿w 0.得 4=0,即 4Aa+L+l -a =0依次左乘左T,A I,L,即可得4=L=/1=0,故当左N 2时,a,Aa,L,Aia线 性 无

39、关。当k=l时，由于AiawO,即awO,自然a线 性 无 关，综 上 得 证。3 1 35 .(1)p 2)a3 为一个极大线性无关组，且=-2al+-a2-a3.(2)a，a2,%为一个极大线性无关组，且 a3=3a,+a2+0-a4a5-2/+2+0-4.6.x y yx y yx+2y y yA=y x y一y-x x-y 0-0 x y 0y y xy-x 0 x-y0 0 x-y故当 xwy,且 xw 2），时，秩（A）=3;当x=y=O时，秩（A）=0;当=丁工0时，秩（A）=1;当 x=-2y=0 时，秩（A）=2。4 17.A=；但也,L e ,并设4=也也,L：=。也于 是 屋=M 仇也,L也 4a,M4但 也,L,L :也也,L也 28qa2Man不邓冷矶伉也，L也（*-i）个qa2M4但也,L,2=/4得证。29