不等式知识的综合应用·重点难点提示.pdf

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1、不等式知识的综合应用 重点难点提示本节的重点是求函数的最值及有关二次函数、二次方程、二次不等式的相互关系的讨论.难点在于如何有效地克服在取值、求解中容易出现的疏漏和错误，以及二次函数的图象、性质、判别式的合理而巧妙的应用等.不等式知识的综合应用-知识点精析本节包括应用不等式的性质与几个重要不等式求函数的最值、比较大小、求函数的值域、定义域、考察函数的单调性和图象的特点判定二次方程根的分布，讨论参数取值，及用于非不等式问题转化为不等式问题.这一 部分内容是体现培养分析问题和解决问题的能力的主要内容，务必切实从有关例题与习题中得到启示与提高.1.利用不等式求最值利用不等式求最值，主要利用公式若 a

2、fO(i=l,2,n)当ai+az+a产S(常 数)时,积&a?.&有最大值,其最大值为高，Q当且仅当2曰2=，=时取得；(2)当&a”=P(常数)时，和ai+a2+a”有最小值，其最小值为a 诋后当且仅当aFa2=a0时取得.利用此公式求最值，必须满足三个条件，缺一不可：a O(i=l,2,，n)；和或积为常数；a 产 a z=*=a”能够成立.利用此公式求最值，按大纲要求只需掌握n=2,3 时的情形.2.判定一元二次方程根的分布设二次函数 f (x)=a x2+b x+c (a W O).若 f (m)f (n)V0,则方程f (x)=0 在(m,n)内必有一实根；(2)若 f (x)=a

3、 x 斗 b x+c(a 0)且 f (x)=0 的两个实根为 X 1、x2,当 m V n VP q 时电)0M酗=mXnp 0t烟=晴 一 正 神 1 一负粮j-。的f大 于 匕 而 另 于 匕f(m)0f(n)0(5)A 0QE(x)=0的两根都在(m.田内jm-x-0(0AOk不等式知识的综合应用-知识点应用【例1 求 函 数 眄 而 可 的 定 义 域.解依题意得:1.3。一 心+4)z*4 02kscC2k+D”低 Z)-一 4即一 4 V x W 一 兀.故所求函数定义域为x|-4x-n）；1例 求 函 数3 空一的值城.K解 y _由 x T 2 0 得 xNl当:g 8Px.

4、甜，y.g当 x=l 时,yi=O.故所求函数的值域为EPy0,b 0 且aWb,a W l,试比较卜I-白 卜 卜 卜(？卜 大 儿解 a b 0 JBJa-bOflO-1ao(-)*1&同1,券 0 0占 2 V la0 1-(沪 1，1 1*()*2当0aVl时卜卜印卜卜卜的X.七卜M书 也H卜(V 0 1 4-1,0 a l时卜 卜 阳|-卜 卜 仁 门-|-1-白卜&喟，卜 卜 自 卜H喟I I综上所述有：卜 卜 丹 卜 卜 卜 匕)注本题是指数函数与对数函数性质的综合应用，应熟练掌握.例4 求下列各式的最值(l)y=6 x(4-x2)(0 x 2)；一，16所布+记 可解(1)V

5、0 x 2 .*.0 4-x2 4:y2=3 6 x2(4-x2)2=18 2 x2 (4-x2)(4-x2)18 18 小310243F当 且 仅 当 2 x?=4-片时W=竿 (0,时又 032万 y.一 .3注如本例这样去做：y=6 x(4-x2)=6 x(2+x)(2-x)=3 x(2+x)(4-2 x)上*C2+i)+f4-2M).：=24.，y*2 4.解答错了！本题右边的常数2 4不是最大值.因为当且仅当x=2+x=4-2 x时取得最大值，容易看出不存在这样的实数x.为了寻求等号成立的条件，注意到y 0.我们考虑先求的最值.这种方法我们称之为“平方法”.y=2(1+D+吟：炉-4

6、/4X 16-4=8当且仅当2(1 2 苦 可即 形 财 等 号 成 立，广 短+君 产 的 最 小 值 为 8.此%士L【例 5】若 x,y G R 且 xV y l,求(1-xy)(1+xy)的最大值和最小值.解 V x2+y2 2|xy|，12 2|xy|41 3.(1-0 X I*y)-I-W 1 -二二4 43（t-域。*0）的最小值为-当 且 仅 当 国 什 冏8博 成立.昭，立M-T42y-y 2，显M T42.,y 2或，显K-T且”了或，衣y点2万2又 xy、O x2y2 0.当x=0 或 y=0 时(1-xy)(l+xy)=l 即最大值为 1.1例6】若 如 bR*且a+b

7、=3,求+布 帮 最 大 值.解V.jG/n）z+i/n 2 rV Ti7+Vi*b 2l骐+Ig7=l那2当且仅当婷=2ya=3HP.x=l痛 时v=-r 2.Igx+ladlMftg*.i!Wx=1,y=李.4 4L098】fix。.y 0 ,不等式左 求a 的最小值.解法1显然a0,由题意，不等式a%&恒 咐Jx+yM 空 近 的 最 大 值 蝴 卧 于 或 等 于a而 (锻 中卢-1+Y 收注 我 的小值，用 贼 求 第g的最大值，这 弄 思 想 梯 得L而这样的命题也时常出现.睢2大病而2(万 守可令 =v n。,=a n 6 0 0 J 曲+歹 亦”2-a =碗8 4-co0=五

8、A e +5 .it tQ =y4 4.a.=J2.注 挖 掘 了 衣.衣，百万三者间的唯含关系.利用三角代换(注意角的范围应符合题设条件)又找到了一个好解法.【例 9】N为何值时方程女 4-GoglN)2B4-21ogiN=0tti8W W5 5TVxiVO,0 x20时，题中一元二次方程所对应的函数片0+Q,092+2 U g iN S*：1恻口向哂 映.痴(一 元2i二次方程的两根分别落在(T,0)与(0,1)内=(logil*_24kg,N 0=3-Qogi_N)a+214giN 0fi0)=21ogiN 0式恒成立，由得N 1,此时成立由f t -K h g ib K 3 吗 K V 228/.1 N 0 1a 0有 白。=。原方程化为2 1g2x+3 (I g a)l g x+l g a-4=0A=9 1g2a-8 (l g2a-4)=l gL，a+3 2 0又题意要求xl /.l g x0令 l g x=t 则 t0原方程为 2 t43 (I g a)t+l g-4=0t 0则有注 本 题 在 的 情 况 下，运用了韦达定理去解，简明灵活.也可以仿上题由二次方程根的分布的方法去解.