微积分课后习题答案.pdf

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1、习 题 1-1,1.求 下 列 函 数 的 自 然 定 义 城：(1)y=：v1;(X HO -lS x 0 fx3解 由 ，即,IX H 0、且 X f 0故定义域为D=(-oo,0)U(0,31.Y-I(2)y=arcsin ;唐由 一i s-0|x|-l0 x3 xl X 3fc X-1解所以定义域为lx 0“一 1#1为 1 .r 2 73k.2 c .v O,自 备-白切”4.2*7t+g M .-4*JTn,M 5C.xk 2 A兀+M 仁(。4-co),声 手T I J xk)|=2 ATC+A f./(x)在(。9+8 ).习 题1-21.求 下 列 函 数 的 反 困 数：，

2、“2X y=v r -.1-x 2+1(1)/=；-;l+X 2*解 由7T7 *2x=(2x+l)j-,2+11 X解由 y=-1 -x=y+刘-1 +x*-2xO-y)=y,1,x 0一V1,x-l VO 1,x lf x -1)=彳 0,x 1=0 =0 1,JC 1O OIy f=JC|1 W x M 1 =1,1.6-曰4，(；)一年 +2 r，*./,/t f=9 JS JJ r=2,八 =/(9)=乎+2/=多+杀，-/(r)=5,+,_/0心1 =5(，2+1)+金 -7.朱口/,0 )=1 cos JV 9 o )=s ln 菱.f x).-1+cos-v=N (1 sin

3、二 专)，-*-/。14-COS A?=2(1 sinN 专)=21 1 0 2(*.yx-v)2i AT2).8./(.v)=sin.v,/,(x)!=1-x2,次。(“)及 妥 定 义 俎.罕,/W(K)=1&2 =sin(x).?(x)=arcsin(1 x 2)故|1一*2|式i _ 定义诚为 _ J 2,)2习 题1-31.火车站行李收费现定如下：当行李不超过5 0 kg时.按2.某人手中持有一年到期的面额为3 0 0元和5隼到期的面每 千 克0.1 5元收费，当 超 出5 0 kg时 超量部分按每千额为70 0元的两张票据,皴行贴现率为7%,若去银行遗克0.2 5元，试咫立行事收费

4、/（x）（元）与行李贵量工（kg）之间的国数关冢.行一次性票据转让，银行所甘的贴现金额是多少？解传题意，该 函数关系是O.I5 x,0 5 0r+l(r+l)50.1 5 x,0 x5 0.-D_ 3 0 0 ,70 09 .收音机每台百价为9 0 元.成 本 为 6(1 元,厂方为鼓励销售商大量采购，决灾凡是订购量超过1 0 0 台以上的,每多 订 购 I 台，&价就降低1 分，但最低价为每台75 元.(I)将每台的实际首价p表示为订购量x 的函我；(2)将厂方所荻的利润L表示成订购量.r的函数；(3)某一商行订购了 1(1 0 0 台,厂方可获利润多少？9 0,x1 0(l解 依 想 念，

5、得 p=9 0-0.0 l(x-llN),l(l0 x1 60 0(2)由(1)及已知条件，海3 0 x,xlOOL=(3 1-0.0 1 x)x,l(M)x1 60 01 0 .设 某 商 品 的 成 本 函 数 加 收 入 函 数 分 别 为C(g)=7+2 q+/，R(q)=lUq,试 求：。)该 薪 品 的 利 涧 函 数；(2)销 量 为 4 时 的 总 利 询 及 平 均 利 涧;(3)销 量 为 1 0 时 是 盈 利 还 是 号 损？解 利 涧 的 数L(q)=R(q)-C(q 刖-7-q1;(2)(4)=8X4-7-42=9,(3)v L(10)=8X10-7-102=-27

6、 8x=0 .limf l-oo=o.县 g limn g=2 .导JJJL limf t -8=1.5,设 数 列 x,有 界，又 lim.%=0,证 明：lim x,j.=0.证因 为 X有 界，a.3 A/0,使 得 对 一 切aW N均 有|*,|o,m、0,当”，、时，总 有伉 TH|JW*从 而|J.-0|=|x.|-b，|1-lim.1*0,f W证 蛆XU T=。，.(),1M 。，当 AN|时.总 有匕一|一。|0,当 Q M时，总有凡 一 小 .现在取 M =max M,M，则 西*N j时，同时成立xn.ra e 与|xa-|N时,无 论”2*-1,还是n=2 k,均 有

7、 k M，由 上 式，从而总有|x,-|：X存 在.2.用 函 数 极 限 的 定 义 证 明：2.用函数极限的定义证明：(3)lini!=1 ；*f 2.V-12.用 函 敏 机 限 的 宝 义 证 明：(2)lim s l2rY=o：千2|2.用 函 牧 枢IP艮 的 定.义 证 明：(4)lim-|x-l|=|1 4-x-2 p l-|x-2|一，江所以，任给 0,要 使|x-2|X-1|O,mJ=min(发 2 6T,当I一 2 Q时，有当0|x-l|8时.书 口 为贵 川 言卜吁21-4.)司 6,贝U|x 2 l v 万吩 I A 4 1V O.OOI 2J 9 1 A T v 3

8、 总 彳 导|j,-4 1 V o.O d AP|4|v 0.0 0 1 ,夕尔|A T 2|-|A-4-2|5|jr 2|=嗟i X O E-白。*S 5 W-E3./(O O =1!m =l i m=1,J C O -O/K (I+)=l i mxI，=l i m=+1,-O -X _ V-0-4-0 x./X O+O)x ./Vo o)_M IB-S.TdE.e：设 口 51攵 /(X)“f*o Brt-Pa,贝 U ./TAT)J S.A-O/=r-3r?-.皿/l im 贝 U /e o.B O,田 o v|“一 ”0 1 V s vP.七 口 力r|八)一K|v a.A v y(j

9、c v K +a ,K J义 /VZ m ux I X E I I X +T I .贝U|/*)|v，八/“g*，y 公产C70(“o,4)-T*1=r-5-6.*U i*斤 l i n.e 八 刁三，聿导斗缶型“日 方 生 军 纪.艮H W -V -小邑？-W-8X率 X -4-0 0 J；-贝e 1/1X O O 。1 U e X -1JK,-兄题3-feta JC ,.Tt.1 -+-O O .jntl e 十oo.1.至(1)小白勺欢/兀，小；(X)1/(2)*4无分小；4 7(3)无多小足-A 迎 签 工；(7)(4)K个 K-小g jF是小；(x)(5)K个无，大的户一犬J8L无方

10、K.(x)角卒(1)才 艮 为 兀 为 刁、白 勺 启 X也 出 不 工 苍 京；(2)华旦5作为无为小啦睡一啦就欢，府诠正确；(3)*R堆 无 药 小 合 勺 穴.文 田 土 工 研；(4)转询平工确，例，当”0时，X2 0,“3-0.也C x2/X3)8 ；(5)珏转不正确，削，当”一0 心，(l/x2 QO,(1/AT2)8,谆(I/AT2)4-(1/JC2)0.4.次 下 葬 极P艮 并i兑 明 理 由：(3)lim-.o 1 cos”解 由于lim（I COSN）=0,所 以x 0lim-=oo.*f 0 1 一 cosx注：也 可 五 接 写 成 lim-=oo,但 不 方 巨 写

11、 成X f 0 1 -COS.Vli m 二 =oo V o 1 -cos X 05.屈I 姜攵 y=ATCOS-V（一8 9+0 0）百 刁亍劣?当 X+O C ,茎攵是否R无方必？为什么？解,=c o s x 在（一 O *共为，名 犬 巨 我 维U*=2k7t（人 三Z）,T更W|yC 2 Arre）|=|2 Arn cos（2k7t）|=|2AJT|M.口&-尔|k =（.k Z；）.Z7T坦产=C O S 当Xf +8日+书P不反/为大?py X=2兀+矍（“右 N）.当x +oo n oo,v +8,TA.y （x-）=|（2 兀+爰）cos（2兀+专）|=O,三 百 返 明 y

12、=.v c o s x 冯 x+8 Brt不w迁方大.6.-lit.V-X0 B t,月(X)是 有 界*,/(X)是 无 穷 大V.证 明：7.议XTX。时,|g(.)|?“(M是 一 个 正 的 常 数)J(.vj是 无/(x)士 g(x)是 无 穷 大 .穷 大 计.证 明：x)以 幻 是 无 穷 大 量.游因 为 当X TX。时，g(x)是 有 界 景，箝r 是 无 穷 小 ,故 咎g(Yx)是 无 穷 小*.又fix)解因 为 当x 7 4时，一“J_ (有 界 量)，-L是无穷g(x)M/(x)习 题A*)#(x)-/(x)土出1.计算下列极限；(1)lim之口；当 L 1 内1嬴

13、小 量，所 以1.计 算 下 列 极 限:（2）lim*T 1工2-24+1x2-1是 无3大/r2-3”3解|而 二3二0mW+l 3+1皿,.x2-2 x+1解 lim-；-_ l.i.ni x-1 _ 二0 一0n x-i x+i 24.已 知 lim/(x)=4 及 liin g(x)-L lim A(x)-0.水:.r r阿瑞(2)limA(x)f(x)g(x)lim烈2h(x)(4)lim|/(x)./f(x)|:x-r解(1)=-r*f(x)lim/(x)4(2)limJ T T Ch(x)lim h(x)x-c/(A)g(.v)lim|/(x)gxx-w解(3)lim/(x)-

14、g(x)=lim f(x)-limg(x)=4.X T C X-C XTC(4)lim/(x)A(x)=lim/(x)lim A(x)=0.K T C H T C E T C(5)lim =8(注意到 lim-=0).x-c h(x)x-wg(x)丫 z 2 v+A5.lim-二 4,求 A 的 值.x-3 X 3一m.x 2-2x t A.x2-9-2(x-3)解 法 1 因 lim-=lim-jr-*3 X 3 JC 3 X 3i S/,4+3 /=Inn(x+3)2 =4,*T 3 1 _ X-3 _解 法 2 因 为 lim(.r-3)-0,limA 一 小“3 xf3 x-3所 以

15、lim(x2 2x+A)=9 6-t-A=0 x-*3故 k=-3.6.若lim(三?_姑-圻=0,求。、力的值.X x+1/解-x2+1.(l-fl)x2-(o+6)r+(l-Z)x+l X+1要 使 题 设 极 限 为0.当 且 仅 当1 -u=0,a+b=0,即 a=1,b=-.i,计rr伽;4.S I0.Vd；M钊“-i,用时习 题 1-81.计 算 下 列 极PR：(1)limt a n 3 x；x-O X 11m 小生=llm si9 更.3家 x x-o 3x cos3x1.计 笄 下 列 极限：(2)lim x c o tx；x f 0解 lim.vcotx=lim cosxM

16、 T。S In x=1.1.水 下 列 极PH:.Ian.r-sinx(3)hm-;J Xtan A sin sin i 1 J*hm-hm 1r-*X x-0 X cosx)=1(I T)=0.1 .计 舁 卜 步。极F艮：1.-i-t-：(s)2arcsin x(7)Inn；.v-o 3xJ kq .Zarcsinv 2,.arcsinx解 lim hmA-o 3x 3-v-o x令sin/)/而s in x sinbi-/soil,h-=lim4M(l tlim=lim-JHI H-X HO I23-5 .孝J E衩 尸 艮 才 存 在 贝iiE 明 ：(1)I i m“(-1-1-2

17、I+-)=1;-R 1 工+兀 ft?+2兀 n2 4-mt Jn-n-M ”(2 T-/,-1-+-)W 一导 ,“+”九 11十 九 2+2冗，2+兀/，工+兀6 .举J用极P艮 存 在 注 贝;）证 明 牧 手!JV 2,T 2+外，、，2+V 2+V2.白 勺 极 刑 艮 石 在，升 水 出 修 板 尸 艮.iiE 显然 x e +X,K“J5L华 调 土 瞥 加 的.文x =豆 =+I,无 殳 若x 鼻+1,贝！J-*+1 =2 +x v 2+4 2 +10时，X-.P与x-x 相 比.哪 一 个 是 高 阶 天穷 小？解q 由4于工 i x2-xy.x-x1 0 Alim-=h m

18、-=-=0,XT X-X1 x-*0 I-X 1因 此.当.V T 0时，X?一冥3是 比x-K?高 阶 的 无 穷 小.2.JtU.V I d-,无至小 1-A-J=T(1-.v 2)JC H JSlW h?ws?i t o为1(l-x,)1lim lim (1 x)-I.x-I 1 x JT-1 2W 以 当Z 1 2.1 XI。*(I N)工W T介兀/o P.3 CO I )(1_ Ilm J9+2 +7512 ，3ME.lim(I 4-CO9*2.*M -ln(I+“)-x.in X 4 X ,4!M6 ,A 、.-.二二=U m-=Ilm 1 +工)“一 2JT JT-2 x x

19、J一：b (工于aI.s ln.v 4-.r 2 co*)-*jU Jd.1.当*T 0 心，、+3 +V S (0 。)为 x g三 所 无 穷 小.g人t介几句小.5.利 用 等 价 无 穷 小 性 质 求 下 列 极 限:(1)|iiarctan3x.解Ij|1|arctan3x _|jm 3A2。5x 1。5x_ 3_=Jln(1+S.v s in AT)t n AT角率 X O 日+.3 AT s in JV O-?5 X 2 O.eg 一 ,ln(1 4-/)”,tain M lin iV A ln(1 4-3 c s in AC),3ATs in x limtn n .v 25.

20、JME 等 价 无 方 小IX质 求 下 列 板PR:lim(S in V，)，a n V;“r。1-C O S 2,s(sin-v 3)tanx.(sin.v3)tanxlim-L-a lim-LO 1 -cosx2*-*o 2sinl Tsin 3-x ：mX 2_ 11 I I I _ /.x-*o .2 X22sin1-2佝5.利用等价无穷小性质求下列极限:(4)呵 与 工x 0 X5.土J用 书 母 无 如 J、，住 而 次 下*J极P艮：3 jr|5 x +s in%2*3v *o tan.v+4 x 2习 题 1-10sin2xI i X-A xaw(6)版式=lim.V-*.V

21、ta n x ,41.研 究 下 列 函 数 的 地 续 性，并 画 出 函 数 的 田 形.X1,0 W I/(幻=；I 2-x,1 x52(2)fix)-1X1解/(x)在 0,1)及(1,2|上 是 初 等 函 数,足 迹 埃 的.在 分 段 点x=1处，/(l-0)=lim x=l=f(),*T l 0/(1+0)=lim(2-X)x-l*0=/(1),I I,X|解 足 见/(x)在(-1,1),(-8,-1),(1,+)上 都 连 续.在 x=-l 纯，f(-l-0)=U/(-l+0)=-l,故 x=T 为/(x)的 跳 跃 间 断 点；在 分 段 点X=l5t,/(l-0)=li

22、m x=1=/(l),JfT/(l+0)=lim!=!=/(1).所 以/(A)在X=I池 也 连 域，从而/(X)在 其 定 义 区 间|0.2上 父 处 连 埃.所 以/(x)在x=l处 连 续,从 而f(x)在 其 定 义 区 间(-X,-l)u(-1,+x)内 义 义 遂 续.习 题 1-111.求 函 数7二3+3广*3的连续区间，并求极限婷+1-6lim f(x),lim /(x),lim f(x).XTO X-3 XT22,求下列极限：(1)l i m，x2-2 x+5 ；r-0解 定 义 域 是(x+3)(x-2”0,即X 3和X/2.是初等函致，易知它的连块区间是解 扁 *-

23、2 x +5 =-,0-0 +5(00,-3),(-3,2),(2,0 0),lim/(x)=/(O)=J,x-l 2(x+3)(x2-l),r2-1lim f(x)=lim -=lim -*-/3 7(X+3-2)X+3X-2lim /(x)=limJ=w.e，e x-2解(3)lim ln(2coS2x);s ilim In(2cos 2x)=In(2cosj)=In 1X6二点.2.求 下 列 极 限：(2)l i m (s i n 2 a)85 解1讪(疝2。)3 =而：=1.O T-2.求 下 列 极 限：(5)n子；(6)lim l n(l x Ox f o s i n(l +x2

24、)解l i m I n -I n l i m =I n 1 =0 x-0 X x-0 X解x T 0s i n(l +x 2)s i n l3.证 明 方 程x5-3.r=1至少次一个根介于I和2之间4.证 明 方 程s i n x+x+H O在 卜 内 至 少 有 一 个 实根.证ie/(.t)=xs-3.r-l,显 然/(x)在 1,2|上 连 操.证 令/(x)=sinx+x+1,则/(x)在卜:用上逋埃;又/(1)=-30,由零点定理知，至少存在一点Je(l,2),使得/(4)=0,即 方 程X5-3X=1至少有一个根介于1和2之间.且：尸+；，由零点定理知/(X)在 内 至 少 有

25、一 个 零 点,即s i n x+x+l =O在 内 至 少 有 一 个 根.5,证 明 曲 线 户 产-3 x2+7x-1 0在K=1与x=2之 间 至6,设f(x)=”-2,求证在区间(0,2)内至少罚一点卬少 与x轴有一个交点.证 y=x4-3 x2+7x-1 0在 1,2 1上连续，川)=-5 0,由零点定理知至少存在一点 六(1,2),使 (9 =0,这说明曲线y=x4-3 x2+7x-1 0在x=1与x=2之间至少与x轴有r个交点.证令研x)=e-2-x,显然加x)在|0,2|上埼境州=-1-4。.由零点定理知至少存在一点q (0,2).及 研/)=0.即e*-2=X|.若 x)在

26、I网 上 城 谈,。修 孙)=n 证 由 叁 议 条 件，根 据 最 值 定 理,如/(K)在|马，K”|上 存 在 最 大 值M与 最 小 值mm /(x()M(/=1,2,w),K_ /(X,)+/(X2)+.+/(XB)从 而 ni -4 M .在K|,X.运用介值定理.如有在使/(：)=+/(-2)+/()上袋少存在一点；，段/(=/(：+。).证 由感设，P(x)=/(x+o)-/(x)也是|Q.o|上的连填函数.又 p(l)=/(a)-/(o)；夕 二%)-加)=-0(0).若 (。)=0,则4 0或 广。即为所求；若夕(0)M,则由各点定理，知 在|0.上至少存在一点3便夕)=0

27、,即有/=解+).9 U E.：r /)造 30,+8)4 ,O-lim /K)=/.1,.V-8贝U y(-v)(o o.+R)K=*T K-ilE.lim ./(AT)=X.j f -*-K t=5*c=l,当|K 才，rI/(-V 一 X I V 丹=I.即 I y(AT)|y+2 +J尤 2+4X-4)+CJ-2 +4 x -4 +2 8(4)=j 32_力=2 (6 2 l +1+IV x T T J 2 2令f =J l +x +I n I f +/t2-11)+C 7 5+l n(/l +x+y/xy+Cdx _ j de x _ J de x J 2 +e-由(2 +e x c

28、 i(2 +e x)2 e x(2 +e“)2f r=x-i -1 -+-1-1dZe x1 +e x(l+e v)2x l n(1 +x)+-+C1 +e x(6 )J J +2)x =J 哗 +2)&(=J 侬/+2)d e x e 2x e xl n(e*+2)+j 1 de、e x e x(e x +2)l n +2)1 1 1I n。+2)x 1 .一、=-+l n(e x +2)+Ce x 2 2(7)J -resin 5=J XCarcsinxd a F C Si o X=1 xJarcsinxV I-X 2=Xarcsinx-J earcsinx6tv=X0arc$inx-J

29、X-d arcsin x=XGarcsinx X-C arcsin x-J aarcsin x-YJ l X2 arcsinAdx=(X J l 一1 2)0arcsinx+CJ 12 2(8)J =J =J(_ L _ 1)血0 x(1+0 2 x)e 2 x(l+0 2 x)e 2x 1 +02x=-a r c t a n e、+Ce x2.(1)sinx,dx+sin x+cos xcosx,axsin x+cosf sinx+cosx,=J -_ dx=x+Csinx+cosx(2)sin x-cos x_ j d(sin x+cos x)sin x+cos x sin x+cos x

30、In I sinx+cosxl+C(3)x)=Jsin%sinx+cosx-dx=COSA:,axsin x+cos xJ-d (sin x+cos x)+j(cos x+sin x)-sin x 丫sinx+cosx sinx+cosx-In I sinx+cosxl+x-Jsinxsin x+cos xdx，产(x)=；(-In I sin 尤 +cos x I +x)+CG(x)=JCOSA：sinx+cosxdxsinx.-dxsinx+cosxj d(sin/+cos 1)+J(sin x+cos x)-cos x也sin x 4-cos xsinx+cosx=-In I sin 尤

31、 +cosxl+x-Jcosxsinx+cosxdx/.G(x)=；(In I sin x+cos x I +x)+C3.(1)G(x)=Jdxsinx+cosx_ 与dx 透n,7 i 2 Jsin x-cos+cos x-sin4 4dx /兀、sin(x+4)=tan(g+卷)I+C(2)、fl+2sin xcosxG(x)+2F(x)=J-dxsin x+cosxf sin2 x+cos2 x+2sin xcosx,=J-axsinx+cosxf(sin x+cos x)dx=-cos x+sin x+C(3)F(x)=J s i n x c o s x dx=G(x)+2F(x)-G

32、(x)x 1sinx+cosx 2=-L(sin x-cos x-In I tan(+)I)+C2 2 2 84.(1)令 f =LxXyjxi-1 11 ,t2-a r c s i n 111+C-a r c s i n I l+Cx(2)令 t=yjx2-1,tdt_ J dtX一 (1+1 2)dx|y/x2-1 (l +0)f1 +=X2=a r c ta n t+C=a r c ta n -1+C 令 Vdx _ j dx _ j yxTdx元 J x 2-1 Xyf x+1 yjx-i x(x+l)y/x-lX +l ，2+lt 2 =-=X=-X-l t2-1_ J tdx _

33、J 2dtx(x+l)1 +Z 2=-2a r c ta n /+C-2a r c ta n +C5.(1)令r =L,(x 0)时,XdxJ 4 J l +%2dtG0)J/2+1 212_ g|2+1)2-2jt2+l +C1 1 3(+1)2+C+C（2）令f =l,（x o）时，J 色J =J _ 2 L（z 0）XX4 J 1 +X 2 1 L 1 /2 +1 丫 t2=（t1=ld t 2=_i）dt22 J f 2+1 2 J f 2+1|2+i）；2 而7 T +c=去七+式-2万薪-（1+X 2）2+J l +X 2+C3x 3 xdx 1 、a 1 r.-（1+尤 2）2+

34、，1 +%2+CX 4 J 1 +4 3X 3 X习 题 五（A）3.根据定积分的几何意义，说明下列各式的正确性。(2)I1 xdx=2/xdx-i-i解：/凶 公 表 示 图1中阴影部分的面积，它是图1中第一象限面积的2倍，而第一象限一1阴影部分的面积可以表示为小xdx,.J1|x p x =2f xdx。-1-I-1(4)2yj4-X2dx=Tt0解：，4 _、公 表 示 图2所示的四分之一圆的面积,故产J 4一心，=3兀 2 2=兀。0044根据定积分的性质，比较下列各组定积分值的大小。(1)x2dx xdx0 0解：因为O Wx Wl,所以X2 2 X 3(等号成立的X只有有限个)，又

35、因为X 2,X 3是连续函数从而可积，由定积分的性质可知。X 2 d x 2 J 3dX。0 05.利用定积分的性质，估计下列定积分值。（2）/=J 4（l+s i n 2x）d x工4兀 5T T解：令 f M =l+sin2x,x,21则/(x)=2sin xcosx=sin2x。令/(%)=。得4 47 1兀 3 兀 5兀 3X=X=兀 而 /()=/()=2,/(K)=l,/()=因此 1/(%)2,故 2 2 4 2 2 4 27 1 1 4(l+sin2x)dx 2n 1,IL4rsinx.(4)/=J 2 clx0 X”、sinx s 兀 解：令/(x)=丁,，/、cosx(x-

36、tanx),八 八 、八则 尸(x)=-0。令 八x)=0得X2X=0,x=：。因 为f(x)在 0,：上 单 调 递 减，所 以/=/邑)1 2 2 2 min 227 Tf =Vh m-s-i-n-x-=I1 ,g.p 2,/(x)Lx-o X 7 11,f2；sinx,/兀/.1 J 2 dx 0 X 26求下列函数的导数。(1)一d J r si.n r2 J/rdx o解：色 Jsin t2dt=sin x2.dx o(2)d fxve-以didx 解：一d Jf r e-t-d,t -e-x1-e-x/1 x J2)、=e-x1-1e-x.dx 0 X 0 x f 0 1 x-0Q

37、)=lim2xjx f(t)dt+x2/(%)=a2 f (a).J 411小巴 lnX pi 1 1(4)l i mI=lim 一二十-L=lim-=lim =-(x-l)2 -2(x 1).I 2(x2-1)-4x 48.利用适当代换，证明下列各题。若/。)=尸 二-力，证明/(幻=/己)。|l+f 2 Xl nJ_证明：令加=1 则f=L,从而/(x)=J：-(-Mm=f t*n m dm=f(-).t m i +(1),加2 W2+1 xm(3)若/(x)在 一a,a上连续，证明 J f(x)d x-a/(一万心=0。-a-a证明：J f(x)d x-1 1/(x W x J f(x)

38、dx+ia/(xW(x)-a-a-a-a1 7(-x W(r)令.=-x a f(t)dt=J =J f(x)dx-aa-a-a一 原 式 J f(x)dx+a f(-x)d(-x)=fx d x-a f(x)dx=0 o,-a-a-a-a9.设/(x)连续，x 0,且人2/力=%2(1+%)，求/(2)。03解：两 边 同时对 X 求 导 得：/(X2)-2%=2x(1+X)+X2=2冗 +3x2,?./(X2)=14-X.令=点,则/(2)=l+g。1 1.用牛顿-莱布尼兹公式计算下列定积分。16!x-2dx=byjx-2 d(x-2)=-I6c/(x-2)t=(x-2)2 =02 2 3

39、 2 3 2 3(4)2-dx=i2-=J2 J (arctan)=0 4+X2 4 0 i+(f)2 2 0 21x 2 arctan 2 2 07 C8(6)J4 2 1 d x j 2(1)+1 公3 (x l)(x 2)3 (x 1 )(x 2)4为+卜(13 x 2 3 x 2)dxx-14 4=31n(x-2)3-In(x-l)3=41n 2-In 3J：R+己氏反1 2 a 16 3-(%+9)2 +X29 3-0160=12(9)f1 edx=f0 edx+e-xdx=-e-x=2(l-e-i)-i-i o 10(1 0)L2兀J s i n x r f x =J nr f(-

40、c o s x)=-c o s x =0o o 0(1 2)J :aicsin 6d x=j；a r c s i n yf x-J =2 J；a r c s i n xd(a r c s i n y/x):J x(l-x)；2可-()2；=2-(a r c s i n V x)2234,.耳、,.&、7兀 2=(a r c s i n )2-(a r c s i n-”=-1 2 2 1 4421 2.用变量代换法计算下列定积分。dxx J l +%2f工s e c/.f工 dt f a.s m tdt R-d(cos t)x =ta n r J 3-dt=J 3=J 3-=J 3-K ta

41、n r 兀 s i n f 兀 s i n,t n 1-c o s,t4 4 4 4i O S/)&2 1-c o s r l +c o s/2&1 -c o s t4 41d(l +c o s。2&1 +c o s r4兀 兀=-ln(l-cos/)3 1 ln(l+cos/)兀 24,3兀4,四+内In(3)J1 x21-x2dx=2J1 xl-xidxx=s i n r 2/3s i n 2/c o s a.力=l a(s i n 2/)2d r-1 0 0 2 012f a-1-C O S 4，,J 2-dt=0 2戋 沁4 M qdx n s e e r-ta n/,卜*8&(6)J

42、 -x-s e ct J 3-dt=J 3 cos tat-GX2Q X2-1-:s e c 2f-ta n f :2(7)j 烝 x =lnz dt=f-(1 _ L _)dt=I nt e-l n(r +l)e=l-l n(e +l)+l n 2o 1 +e*i t(t+1)i t Z +1 1 1(9).dxi Xyjl+I n x=2(6-1)(H)J 4 ta n x l n c o s x tZ x 令，=I n c o s xoPI f 6 1一：_ _dt=-Jl n 2 tdt=-(I n 2J l-e2r 0 8(1 2)s/s i n xdx-b c o s xjs in

43、 xdx工2 J s i n x 二 s i n 3 M x =5|c o s =J：c o s x0 0 0（1 3）J,n 2 J e.ldx 令x =l n（f2+1）|_ L _.2tdt=2J1 1 2J=2/（1 -1 ）dt=2-0-0,2+l o Z2+1 0 12+1 21T C =l n 2 2+_0 21 rl n 3 f i 2x 2 I n 3+l I n 3 f J-I -J 2-dx=-J 2-dx=-J 22 4 0 1 x 2 8 0 1 x2 8 013.用分布积分法计算下列定积分。（1）n2xe-xdx=-Xn2xde-x=-xe-x-n2e-xdx=-e

44、-x=o（）0 0 2 0 2（2）J亡X3e-x2（/x=1 J磕x2e-.r2dx2=-l jl n 2xe-dx=-o2 o 2 o 4（3）/=J：e 2x c o s xdx=1J：c o s xde ix=1 c o s x e 2x +J：e ix s i n xdxo 2 o 2 o ./=（-2+e兀）。IH i 八 、1 L 2x ,八 J 冗2+1-1（5）J In（l+x 2）d x=xln（l+x 2）-J*x-dx=ln2-2j-dx00 o 1 +X 2 Q 1 +X 2-dx=l n 2-2 l-a r c ta n x1 +X2dx=-Jn x d x +iJ

45、，l n x d r =-（x-l n x-iedx=2-ie14.计算下列定积分。（1）f1 e 2x-dx=f1 72x7（1（2x -1）=L j i e C d x ；-2tdt=tde t,2 x 2 o 2 o o2 2=t-e（-x e tdt=10 o1 4 X .1 f 1 +九.1 1 +X ;，1 X（1 X 4 1 4 X）.（2）J 2%l n-ta =-J 21 n-ax2=x 2-I n-1 -J 2x 2 .-dx0 1 x 2 o 1 x 2 1x o 1 +x （1 x）2+上）小 上1 X2 8 2 0 1 X2In3 1 1 fiz 1 1、，In3 1

46、 1 n 3 1=+J 2 -+-)dx=-+-=-8 2 2 0 1+x 1-x 822231n38(4)2 tan 2 xsecxsec2xdx=2(J：sec3xdx-J3 secAdx)o of IL f IL-f IL令/=J 3 sec 3 xdx=J 3 sec xd tan x=tan x-sec x 3-J 3 tan 2%sec xdx0 0 Q 0=2 3-J：(sec2 x-l)secxdx=273-J；sec3 xdx+J：sec xdx=2 J3-1+J：sec xdx0 00 07 1故：/=阴+J 3secx公。又J 3secxdx=lnbecx+tanx|3=

47、ln(2+6)2 0 0 0.原式=273+lln(2+V3)-ln(2+&)=2 6 ln(2+有)22.求下列曲线围成的平面图形的面积。(l)y=e*,y=e与无=0：解：如图 3 所示，面积S=1lnydy=lny-y：-=111 1(3)y2=2x,y=x-4;解：如图 4 所示，面积 S=j4(y+4)-：y2dy=j4d(:y2+4y !y3)=18-2 2-2 2 6(4)y=L y=x与 x=2；X解：如图5所示，面积S=h(x 2)公=也2 x 2(5)y=X2,y=x与y=2x；解：如图6所示，面积S=Ji(2x-x)dx+卜(2方一%2)6比=o 1 623.求由抛物线y

48、=-2 +4x-3及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。解：y =-2x+4 y(0)=4,y(3)=-2o 过点(0,-3)的切线为y=4x-3,过3,3点(3；。)的切线为y=-2x+6。当4x-3=2x+6时=x=d，.两切线的交点为(不,3)。2 2如图7所示，面积S =I 2(4X-3)-(-%2+4 x -3)d x +J3 (-2 x 4-6)-(-X 2 +4 x-3)c b c032=J；X 2dx+卜(x2-6 x +9)d x =o1424.求y=si n x与)，=c o sx在x=0与x=2兀之间所围成的图形的面积。71=(si n x+c o

49、sx)4 +(-c o sx-si n x)05兀T(+(si n x、+c o s x)KT2K5K=4显425.设y=x2,xw 0,l ,问，为何值时，图中阴影部分的面积S与S之和S最小？最大？1 2解：如图 9 所示面积5 =5+5=J (f 2-X 2)d x +J l(X 2-f 2)d x =f f 3-t 2+l12 0,3 35，=4 n-2/=2,一 1)令5 =0得/=0/=1。又S(0)=1,S(L)=L,S(1)=312 3 2 4 3二当t=l时,S最小为！;当t=l时,S最大为3.2 4 32 9设 某 产 品 投 放 市 场 后 都 转 化 为 商 品，当 销

50、售 量 为。(百台)时，其边际成本函数为。(。)=4 +；Q(万元/百台)，其边际收益函数为*(。)=8 Q(万元/百台)。求：总成本函数C(Q)和总收益函数RQ);(2)问月销售量为多少台时，才能获得最大利润。并求出获得最大利润时的总收益R和平均收益后。假 若 固 定 成 本=1(万元)。解：(1)由题意C(Q)=J 0(4 +：Q)d Q +C =：0 2+4 Q +l,H(Q)=J 0(8 _ Q MQ=8 e _：。0 4 8 o 2(2)乙=/?_0 =_:。2+4 2_ 1,/=_2。+4,令/=0得 唯 一 驻 点2 =3.2.o 4又L =_，0所以当Q=3.24o n 4 8