突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题40 圆锥曲线中的最值与范围问题(含详解).pdf

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1、专题4 0圆锥曲线中的最值与范围问题【高考真题】1.（2 02 2浙江）如图，已知椭圆巨丫2=.设A,B是椭圆上异于P（0,1）的两点，且点Q（0,j在线段A81.解析 设。（2后c os。，s i n。）是椭圆上任意一点，P（0,1）,则、r e (|V|44 144I P(2|2=12 c os26 +(l-s i n 6)2=13-1 ls i n2-2 s i n 6 =-l 1 1 s i n 6*+I+|=.f J履-力=无 一 为-我 一V 43 3 2(2攵+1)西-1(2左+1)巧一】=2百 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2、_ _(2 2 +1居 T (2女 +2 T=2/5_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 再一(2 +1)2元 工 2 一(2 +1)(西 +巧)+13石而71 6万底F/P 6石仙小臼 6g.2|3左+1|5 3k+-5|3*+1|5当且仅当 时取等号，故 的 最 小 值 为 竽.2.(2 02 2全国甲理)设抛物线C:y 2=2 px(p0)的焦点为F,点n(p,0),过尸的直线交C于M,N两点.当直线M Z)垂直于x轴时，|M F|=3.(1)求C的方程;(2)设直线仞。也 与C的另一个交点分别为A,B,记直线 的倾斜角分别为%夕.当。一 月取得最大值时，求直线A B的方程

3、.2.解 析(1)抛物线的准线为x=-5,当例。与x轴垂直时，点M的横坐标为p,此时I 尸 卜p+=3,所以P =2,所以抛物线C的方程为y 2=4 x；Q)设M字H,半 乃，A，由4 ,直 线 的 口,x=m y+由o,yty2=,y =4 xk=)L*4 _ y3-4 _ 4由斜率公式可得M L兄 一 应 一)1+，那 一 目 一：一 必+必，4 4 4 4直线=土 心.y +2,代入抛物线方程可得步 一 也 二I.,-8=0,My 0,%为二一8,所以为=2%，同理可得乂=2 ,4 4所 以 如=-=Z 7 7 r、3+丁4 2(必+为)设 kM N=2kA B=2 k 0,则 t a

4、n(a-)=14-t a n a t a n /?|+2k2r2kt a n a -t a n _ k又因为直线MM A 8的倾斜角分别为a,夕，所以3B=t a n/=誓，若要使a-最大，则夕0,y j,旦4 ,当且仅当!=2女即忆=正 时，等号成立，所以当a一 户最大时，J 巫,k 2 2设直线AB:x=Vi y +，代入抛物线方程可得_/-4&，-4=0,A0,y 3 y 4 =-4 =4 仍=T6,所以 =4,所 以 直 线=x/2 y +4 .【方 法 总 结】1.最值问题的常用方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、

5、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解：二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.范围问题常用方法(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围.在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都

6、用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围.【题型突破】1.(2 0 2 0.新高考全国I I)已知椭圆C：兴+为=1 3/0)过点M(2,3),点 A为其左顶点，且 AM的斜率为(1)求 C的方程；(2)点 N为椭圆上任意一点，求/!代的面积的最大值.2.(2 0 2 0 浙江)如图，已知椭圆G：5+产=1,抛物线C 2：丫 2=2 内0 0),点 A是椭圆G 与抛物线C 2的交点，过点A的直线/交椭圆G 于点8,交抛物线C 2 于点M(B,M不同于A).(1)若=去，求抛物线C 2 的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线/使M为线段A8的中点，求 p的最大值.3.如图所示，点 A,B 分

7、别是椭圆著+显=1长轴的左、右端点，点尸是椭圆的右焦点，点 P在椭圆上,且位于X轴上方，P A LP F.求 点 P的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴AB 上的一点，点 M到直线AP的距离等于|M 8|,求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值.4 .(2 0 2 1.全国乙)已知抛物线C：/=20，加 0)的焦点为凡 且尸与圆M：/+，+4)2=1 上点的距离的最小值为4.(1)求 p的值：(2)若点P在 M 上，P A,P 8 是 C的两条切线，A,B 是切点,求a a i B 面积的最大值.5.已知抛物线C i：产=4 1 和 C 2：x 2=2 0 y(p 0)的焦点分别为F t，B，点尸(

8、一1,一1)且 F|F 2,O P(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 2 的方程；(2)过点O的直线交G 的下半部分于点M,交 C2的左半部分于点N,求 P M N 面积的最小值.6 .在平面直角坐标系中，。为坐标原点，圆。交 x 轴于点Q,尸 2,交 y 轴于点8”&,以 S，B2 为顶点，Fi，F 2 分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点(1,乎)(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过点(一2,0)的直线/与椭圆E交于M,N两点，求 的 面 积 的 最 大 值.7 .已知椭圆C i：/+救=1(“6 0)的焦距是2,点 P为 G 上一动点，且满足P与点A i(一。，0),A2(a,0)连线

9、斜率之积为一去(2)当点尸在x轴上方时，过 P点作椭圆G 的切线/交抛物线C 2：炉=旷于4,B 两点，点 P关于原点O的对称点为。.求 Q 4 B面积的最小值.8 .椭圆C：捻+=1(必 0)的离心率为半，短轴一个端点到右焦点的距离为由(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线/与椭圆C交于4,B 两点，坐标原点。到直线/的距离为竽，求 4 0 8 面积的最大值.9.已知椭圆的两个焦点为尸|(一 1,0),B(l,0)，且椭圆与直线y=x 一小相切.(1)求椭圆的方程；(2)过 B 作两条互相垂直的直线伍/2,与椭圆分别交于点P,。及 M,N,求四边形PMQN面积的最小值.1 0.已知椭圆

10、方程若+弓=1,若抛物线/=2 内。0)的焦点是椭圆的一个焦点.(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点厂的直线/交抛物线于A,8两点，分别在点A,8处作抛物线的切线，两条切线交于 P点，则以B 的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线/的方程；若不存在，请说明理由.11.设椭圆C：，+=1(g0)的左顶点为A,上顶点为8,已知直线A B 的斜率为3|AB尸小.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/：1 与椭圆C交于不同的两点M,N,且 点。在以M N为直径的圆外(其中。为坐标原点)，求m的取值范围.12 .(2 019全国H)已知E，&是椭圆C：宗+g=1(。泌 0)的两

11、个焦点，P为 C上的点，O为坐标原点.(1)若 P O B 为等边三角形，求 C的离心率；(2)如果存在点P,使得尸F i L P B，且 F i P B的面积等于16,求的值和a 的取值范围.13.在平面直角坐标系x O y中，设椭圆:+*=l(a Z 0)的离心率是e,定义直线尸吟为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为丫=4小，长轴长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)0为坐标原点，A 为椭圆C的右顶点，直线/交椭圆C于 E,尸两不同点(点E,尸与点A 不重合),且满足4 E L A F,若点P满足2 赤=无+5,求直线A P的斜率的取值范围.14.已知椭圆C：:+=l(a 心

12、 0)过点(0,5)，离心率为6=孝，记椭圆C的右焦点为F,过点厂且斜率为4 的直线交椭圆于P,。两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点”(x o,0),求的的取值范围.15 .已知椭圆C：，+/=1(4 0)的离心率6=坐，直线x+小)-1=0 被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为小.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4,0)的直线/交椭圆于A,3 两个不同的点，且 2=|MAH M8|,求的取值范围.16 .如图，已知M(l,2)为抛物线C：产=2 1g 0)上一点，过点。(2,2)的直线与抛物线C交于A,B两点(A,B 两点异于M),记直线AM,的斜

13、率分别为m，k2.求 秘 2 的值;(2)记 AM。，的 面 积 分 别 为 52)当左6口，2 时，求费的取值范围.3217.已知椭圆及热+g=l(a b 0),Fi，F 2 为其左、右焦点，Bi，B2 为其上、下顶点，四边形Q Bi 尸 2 良的面积为2.(1)求椭圆E的长轴A 4 的最小值，并确定此时椭圆E的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆E,设过定点例(-2,0)的直线/与椭圆E相交于P,Q两点，若 两=2 版,当/eg，9 时，求尸。的面积S的取值范围.18 .已知A,B 是 x轴正半轴上两点(4在 8的左侧)，且依阴=a(a 0),过 A,B 分别作x轴的垂线，与抛物线y2=2

14、px(p 0)在第一象限分别交于D,C两点.(1)若。=,点 A 与抛物线)2=2 px 的焦点重合，求直线CO的斜率；(2)若。为坐标原点，记 O C C 的面积为S i，梯形ABC。的面积为S 2，求3 的取值范围.19.已知抛物线C l：2=py过点(2,1),椭圆C 2 的两个焦点分别为Q，尸 2,其中用 与抛物线G 的焦点重合，过 F l 且与长轴垂直的直线交椭圆C 2 于 A，8两点，且|A8|=3.(1)求抛物线G 与椭圆C 2 的方程；(2)若曲线C 3是以坐标原点为圆心，以|。吊|为半径的圆，动直线/与圆C 3相切，且与椭圆C 2 交于M,N两点，若的面积为S,求 S的取值范

15、围.2 0.已知椭圆C:+疥13泌 0)的左、右焦点分别为F”Fi，离心率为右P是椭圆C上的一个动点.当P是 C的上顶点时，的面积为小.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设斜率存在的直线Pg与 C的另一个交点为Q,是 否 存 在 点 0),使得|7 尸|=|7。|?若存在，求出，的取值范围；若不存在，请说明理由.专题4 0圆锥曲线中的最值与范围问题【高考真题】1.（2 02 2浙江）如图，已知椭圆巨丫2=.设A,B是椭圆上异于P（0,1）的两点，且点Q（0,j在线段A81.解析 设。（2后co s。，si n。）是椭圆上任意一点，P（0,1）,则、r e (|V|44 144I P(2|2=12

16、 co s26 +(l-si n 6 )2=13-1 l si n2-2 si n 6 =-l 1 1 si n 6*+I+|=.f J履-力=无 一 为-我 一V 43 3 2(2攵+1)西-1(2左+1)巧一】=2百 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(22+1居 T(2女 +2 T=2/5_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 再一(2 +1)2元 工 2 一(2 +1)(西 +巧)+13石而7 1 6万底F/P 6石仙小臼 6g.2|3左+1|5 3k+-5|3*+1|5当且仅当 时取等号，故 的 最 小 值 为 竽.

17、2.(2022全国甲理)设抛物线C:y 2=2p x(p 0)的焦点为F,点n(p,0),过尸的直线交C于M,N两点.当直线MZ)垂直于x轴时，|MF|=3.(1)求C的方程;(2)设直线仞。也 与C的另一个交点分别为A,B,记直线 的倾斜角分别为%夕.当。一 月取得最大值时，求直线AB的方程.2.解 析(1)抛物线的准线为x =-5,当例。与x轴垂直时，点M的横坐标为p,此时I 尸 卜p +=3,所以P=2,所以抛物线C的方程为y 2=4 x；Q)设M字H,半 乃，A ，由4 ,直 线 的 口,x=m y+由 o,yty2=,y =4 xk=)L*4 _ y3-4 _ 4由斜率公式可得M L

18、兄 一 应 一)1+，那 一 目 一：一 必+必，4 4 4 4直线=土 心.y +2,代入抛物线方程可得步 一 也 二I.,-8 =0,My 0,%为二一8,所以为=2%，同理可得乂=2,4 4所 以 如=-=Z7 7 r、3+丁4 2(必+为)设 kM N=2kA B=2 k 0,则 t a n(a-)=14-t a n a t a n/?|+2k2r2kt a n a -t a n _ k又因为直线M M A8的倾斜角分别为a,夕，所以3 B=t a n/=誓，若要使a-最大，则夕0,y j,旦4 ,当且仅当!=2女即忆=正 时，等号成立，所以当a一 户最大时，J 巫,k 2 2设直线A

19、 B:x =V i y +，代入抛物线方程可得_/-4&，-4=0,A 0,y 3y 4 =-4 =4 仍=T 6,所以 =4,所 以 直 线=x/2y +4 .【方 法 总 结】1.最值问题的常用方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解：二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2.范围问题常用方法(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核

20、心是在两个参数之间建立等量关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围.在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围.【题 型 突 破】1.(2 02 0新高考全国I I)已知椭圆C：兴+为 日.的。)过点(2,3),点 A为其左顶点，且 AM的斜率为;.(1)求 C的方程；(2)点 N为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.1.解析 由题意可知直线A 例的方程为y 3

21、=笈 一 2),即X-2 y=-4.当y=0 时，解得x=-4,所以a=4.由椭圆 C：靛+g=l(a b 0)过点 M(2,3),4 9可得而+户=1,解得炉=1 2.所以C的方程为+=1.Io 12(2)设与直线AM平行的直线方程为x2y=m.如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此 时 的 面 积 取得最大值.35 6 7 xx-2y=m,联立”上.X_ 可得3(m+2 +4)2=4 8,化筒可得1 6 炉+1 2 冲+3m 2-4 8=0,A 6+Y 2=L所以/=1 4 4 加一4）0）,点A是椭圆G 与抛物线C 2的交点，过点A的直线/交椭圆G 于点

22、2,交抛物线C 2 于点M（8,M 不同于A）.若 P$，求抛物线C 2 的焦点坐标;（2）若存在不过原点的直线/使M为线段A8的中点，求p的最大值.2 .解 析（1）由0=点，得抛物线C 2 的焦点坐标是 七，0）.（2）由题意可设直线/：x=my+t（fn/O9饮），点A（&,y o）.将直线/的方程代入椭圆C i：5+y=l,得（加+2）产+2 冲+p2=0,所以点M 的纵坐标yM=一 谕 豆将直线/的方程代入抛,物线C 2：y22 p x,得y 2 2 p，y 2 p f=0,所以加M=-2 p f,解得=？（二+2）,因E 此II x o=2P-(/+2)2i n1由5+）3=1,得

23、5=4（加+5）+2（m+2 1 6 0,当且仅当忆=隹时，p取到最大值3.如图所示，点 4 8分 别 是 椭 联+m=1长轴的左、右端点，点尸是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上,且位于x轴上方，P A LP F.（1）求点P的坐标;设 M 是椭圆长轴A8上的一点，点 M 到直线A 尸的距离等于|M B|,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.3.解 析(1)由已知可得点A(6,0),F(4,0),设点 P 的坐标是(x,y),则而=(x+6,y),FP=(x4,y),：P A LP F,：.A P F P=0,则 36+2。-1 (x+6)(x 4)+/=0,3可得 2J2+9X 1 8=0

24、,得 x=或 x=-6.由于)0,故 尸 方 于 是 尸 邛 工.点P 的 坐 标 是 鸣.(2)由(1)可得直线AP 的方程是 一小)，+6=0,点 8(6,0).设点M 的坐标是,0),则点M 到直线AP 的距离是也受，于 是 也 要=依 一 6|,又一6 W?W 6,解得 M=2.由椭圆上的点(x,y)到点M 的距离为乩得 J2=(x-2)2+)=4 x+4+2 02+1 5,由于一6 W x W 6,由贝戈)=芥1)2+1 5 的图象可知，当x=时，d取最小值，且最小值为4记.4 .(2 02 1 全国乙)已知抛物线C：x 2=2 py(p 0)的焦点为F,且 F与圆M：/+()，+4

25、)2=1 上点的距离的最小值为4.(1)求的值；(2)若 点 P在 M 上，P A,P8 是 C 的两条切线，A,8 是切点，求以8 面积的最大值.4.解 析(1)由题意知M(0,-4),从0,),圆M 的半径r=l,所以|M F|-r=4,畔+4-1=4,解得 p=2.(2)由知,抛物线方程为=4 y,由题意可知直线48 的斜率存在，设 A(M,5),B(X2,5)，直线A8 的方程为y=f cv+Z ,y =+b联 立 得)消去y得(一 4 丘一4 b=0,d=4 y,则/=1 6 炉+1 6/0(，xi+xz=4kf x X 2=4h,所以一劫=11+的即4 2|=*/1+乃4(为+X

26、2)24x1x2=4y1 1 +k27 k2+b.因为/=4y,即所以y =,则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为y-j=，(x x i),即y=2x4-同理得抛物线在点B处的切线方程为y=-iL 中=2 k联立得X T不xj4 则XX2,y=-h即 P(2 k,-b).因为点P在圆例上，所以4&2+(4 6)2=1,且一岸2 七1,一0一丛1,一，舄 3业 5,满足你)式.设点P到直线AB 的距离为d,则d=7=,yj+k-所以 SAMB=1|AB|J=4-/(k2+h)3.1-（4 一6）2 一+8-1 5由得，F=44/?2+1 2/？-1 54令 t=lc1+b,则/=因

27、为/-一块+1 2 6 1 54在 3,5 上单调递增，所以当人=5时，取得最大值，f max =5,此时&=0,所以,且 3 加 5.PAB面积的最大值为2 冲.5.已知抛物线Ci：V=4 x 和 C2：N=2 p)，(/0)的焦点分别为Q,B，点 P(1，-1)且/71 尸 2,0。(。为坐标原点).(1)求抛物线C2 的方程；(2)过点O的直线交Ci 的下半部分于点M,交 C2 的左半部分于点N,求 P M N 面积的最小值.5.解 析(l)V F i(l,0),B(0,),.锅=(-1，福决=J，2)(-l.-1)=1-1=0,；.p=2,.,.抛物线C2 的方程为/:切.(2)设过点

28、。的直线M N的方程为y=f cr(k b 0),焦距为2 c,则。=c,.4=6+/=2 6 2,.椭圆 E 的标准方程为5+=l.椭圆E 经过点(1,坐)，/+去=1，解得从=L，椭圆E 的标准方程为会+)2=1.(2).点(-2,0)在椭圆E 外，.直线/的斜率存在.设直线/的斜率为&,则直线/：y=M x+2).设 加，yt),N g,m).，=4(x+2),由“*2 消去y,得(1+2 F)/+8 后 2 犬+8产-2=0.,+产=1,8 2 81c2 1.x i+x 2=Y：f 7 亲，工 因=尸 在，/=6 4 3 4(1+2 店)(8 3 一2)0,解得 0 W 产3#3尸*=

29、3尸 犯当(=3，即.=3(事任，2)时，S有最大值，S m a x=0 g,此时.A M N 的面积的最大值是手.?27.已知椭圆C1：%+方=1(6 0)的焦距是2,点 P为 G 上一动点，且满足P与点4 1(m 0),A2(af0)连线斜率之积为弓 求桶圆G 的方程;(2)当点P 在无轴上方时，过 P 点作椭圆C i的切线/交抛物线C2：/=于 4 B 两点，点 P 关于原点O 的对称点为Q.求QAB面积的最小值.7.解 析 设 心，)冰 眼)，则馅2士=春=凸即料碧=1，.2日 凡且 c=l,.2=2,b2=i,即椭圆G 的方程为5+y2=i.(2)设切线/的方程为 y=Ax+z,A(

30、xi,yi),B g ”),+v=1,由 0,即，/+8 用一1 0,即 m 4+J 万或)?V 4 行，由题知力?0,且加2之 ,I 论 ,AB=yjl-lrlx X2=yl 1 +k2-yjk2+4m.点 O 到直线A 8 的距离d=-=,Y 1 +AT；点Q 为点尸关于原点的对称点.S&ABQ=2SABO 产+8,一 2显然函数y o)=i?i7 W2+8/W 1 .a r-5-(*1)为增函数，5”6让/(1)=2.8.椭 圆 C：，+/=1(“0)的离心率为半，短轴一个端点到右焦点的距离为小.(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率存在的直线/与椭圆C 交于A,3 两点，坐标原点。到直线

31、/的距离为坐 求aA O B 面积的最大值.1=亚8.解 析(1)设椭圆的半焦距为。，依 题 意 知 3 Lz=小,；.c=b=,.,所求椭圆方程为1+y2=.(2)设 yi),3(X2,72)设直线A B的方程为y=kx+m.由已 知 潴r乎 得 病4尸+)把y=kx-m代入椭圆方程，整理，得(3R+l)/+6h x+3加23=0./=3 6 3加一4(3攵2+1)(3小-3)=36乃一 2m2+120.-6km 3(m2 1).X 1+X 2=3Q+1，X2=3必+1 ._ _ .361cm2 12(m2l)|A3|=(1+攵-)3-方)-=(l+&)(3.+)2 3 1+12(R+1)(

32、3十+1 一加2)3(/+1)(9依 +1)(3丁+1)2=(3.+12女2|2 12=3+9/+6尸+1=3 +“W O X+z x 3+6=49%+至+6当且仅当91，即 仁 兴 时等号成立.K3当 一=0 时,AB=y3,综上所述H8|max=2./.当H8I最大时，ZkAOB的面积取得最大值S=XHBLaxX少=牛.9.已知椭圆的两个焦点为Fi(1,0),F2(l,0),且椭圆与直线y=x一小 相切.(1)求椭圆的方程；(2)过B作两条互相垂直的直线八，12,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最小值.9.解析 设椭圆方程为a+b=l(aZ0),因为它与直线y=x一小

33、 只有一个公共点，f v 2 y2_|_2L所以方程组J/a 只有一组解，.y=x3消去y,整理得(。2 +1 2-2 4。2犬+3。2 q2 2=0.所以/=(2,ia2)24(a2+ft2)(3a2a2b2)=0,化简得“2+62=3.又焦点为尸 1(-1,0),F2(l,o),所以“2 =1,联立上式解得“2 =2,按=1.所以椭圆的方程为+y 2=i.（2）若直线PQ的斜率不存在（或为0）,则 5-=叫她若直线P。的斜率存在，设为我（�）,则直线MN的斜率为一；.K所以直线PQ的方程为y=f c r+k,设尸（M,%）,。（及，），2）,联立方程得彳.y=kx+k,化简得(2R+1

34、)r+4&2、+2乒-2=0,则 X l+X 2 4 公2 R+12公一2*凶=2产+1所以I 尸。尸后而比_间=皿迹室产田=2 啦 义 舞 p-U 1同理可得|M N|=2 噌 X有 适所 以 5I P QHM N I _ V(N+l)2 _.v n+2 R+l _2 4X(2+酒(2 d+1)4 X 2 3 +5 F+2 4 X12 2 A4+5 产+2)1 0.已知椭圆方程若+9=1,若抛物线好:?）。）的焦点是椭圆的一个焦点.（1）求该抛物线的方程；（2）过抛物线焦点厂的直线/交抛物线于A,8两点，分别在点A,B处作抛物线的切线，两条切线交于尸点，则B A B 的面积是否存在最小值？若

35、存在，求出这个最小值及此时对应的直线/的方程；若不存在，请说明理由.2 210.解 析（1）由椭圆知序=4,b2=3./.c=ya2-b2=y43=L又抛物线x2=2y(p0)的焦点是椭圆的一个焦点.；.=1,则 p=2,于是抛物线的方程为V=4y.由抛物线方程炉=4);知，F(0,1).易知直线/的斜率存在，则设直线/的方程为y=ilr+l.y=k x+1,由，消去y 并整理，得/一 4去一4=0.且/=(-4 外24(-4)=16公+160.设 A(X1,力)，8(X2,y2),则 X|+X2=4A,XIX2 4.对 y=求导，得y=,.,.直线4 P 的斜率ksp=.则直线A P的方程为

36、yy=(x-x),即y=y x 同理得直线B P的方程为旷=米一宗.设点尸(即，州)，联立直线4 P 与 8尸的方程，得，即尸(2k,-1).AB=y I +lcx X2I=7 1 寸(Ni+x2)2缶必=、1+&2，(4k)2+16=4(1 +&2),所 以 的 面 积 S=5x4(l+公)X2,1+R=4(1+公,24,当且仅当k=0 时等号成立.故以B 面积的最小值为4,此时直线/的方程为y=l.11.设椭圆C：点+=1(。60)的左顶点为A,上顶点为2,已知直线A B 的斜率为斗|AB|=小.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线/：x=m y-与椭圆C 交于不同的两点M,N,且 点。在

37、以M N 为直径的圆外(其中。为坐标原点)，求加的取值范围.11.解 析(1)由已知得A(4,0),8(0,份，b_可得。2=4,加=1,a2+b2=y59则椭圆C的方程为?+y 2=l.(2)设 M(X 1,v),N(M，y 2),x=m y 1,由，十？_ 得(加2+4)y 2 m y 3=0.A=(2 2 +12(4+m2)=16/2+4 8 0,2m-3M+，2=汴，V=和，由题意得NMON为锐角，e p d A/d 7V 0,O M O N=x X 2-y yi G,又 x X 2=(my 1 )(rny2 )=trryyyi-tn(y+”)+I.-3 2/?2 1 -4/7/2；山

38、及+乂丫2=(1+m2)yiy2-m(yl+y2)+1 =(1 一+1=4 十/。解得一(?0)的两个焦点，P为 C上的点，O为坐标原点.(1)若 P O B 为等边三角形，求 C的离心率；(2)如果存在点P,使得且 QP 匕的面积等于16,求 6 的值和a的取值范围.12.解 析 连 接 PE(图略).由A P O F?为等边三角形可知，在 Q P B 中，NQ P6=90。，|尸砌=。，|P Q|=，5 c,于是 2 a=|P Q|+1尸 尸 2 I=(5 +1 )c,故 C的离心率为e=y3.由题意可知，若满足条件的点P(x,y)存在，则 如 2 c=1 6,工=-1，即由1=16,x2

39、+y2c2,又 捻+=1./?4由及&2 =/+/得 尸=3.162又由知9=方，故/=4.由及“2 =+得/=g c 2 按)，所以c22,从 而 屋=坟+/2 坟=3 2,故 心 4也当h=4,“2 4 啦 时，存在满足条件的点P.所以=4,a的取值范围为件近，+).13.在平面直角坐标系g中，设椭圆点+方=l(a 0)的离心率是e,定 义 直 线 为 椭 圆 的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=4 小，长轴长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)0为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线/交椭圆C于 E,F两不同点(点E,尸与点A不重合),且满足A E L A F,若点P满足2 办

40、=成+5,求直线AP的斜率的取值范围.13.解 析(1)由题意 得:=卓=44，2 a=8,2=62+/,联立以上3个式子，可得。2=16,加=12,/=4.所以椭圆C的标准方程为(2)由(1)得A(4,0).易知直线/不与x轴平行.当直线/_ L x 轴时，不妨设点E在点F上方.因为A E L A F,所以直线4E的倾斜角为13 5。，所以直线AE的方程为y=-x+4.,L-4，4 .由 5+武 得 7/-3 2 x+1 6=0,解得x=或x=4(舍去)，所以X E=X F=(XE,疗 分别为点E,F的横坐标).由 协=仍+并 得 噌，0),直线AP的斜率为0.当直线/不垂直于X 轴时，设

41、E(xi,yi),尸(X2,yi),直线/：y=k.x+t(t-4k,厚0).y=kx-Vt,由y2 消去y 并整理，得(3+4 尸)/+8m+4 f2-4 8=0.i 6+12=1则/=(8 切2-4(3+4 尸)(4 产-4 8)0,即 16 叫一产+12 乂),(*)8kt 4/24 8 占,为+12=一三战后，X|X2=3+4.因为 A E LA/7,所以戏 =(汨-4 (X2 4)+y1y2=(x i -4)-(X2-4)+(fcn+f)(t e+07 产+3 2 k/+16 R=(1+!)XX2+伏/4)(即 +x2)+16+a=3+必2 =，即 7 户+3 2%/+16 F=0,

42、A b所以(7 f+4 Z)(/+4 A)=0,解得/=一7且 7 满足(力式.所以2 源=防+/=(.+及，+”)=(一蒜,儡)，所以 一儡,/).3/3+4 F则直线AP的斜率kA P=-i-3+4 43t _ k16 R+4 灯+1 2-8 忐+778 攵+7K当M 0时，8 攵+-2 8&=一4/讪，此时一 心 X。;当先 0 时，8 攵+.2 2、18k=4 H,此时 胆.K 1 k v 5 0综上可得，直线AP的斜率的取值范围为一噤噜1 4.已知椭圆C：:+=1(。4 0)过点(0,例，离心率为e=坐,记椭圆C的右焦点为F,过点尸且斜率为的直线交椭圆于P，Q两点.(1)求椭圆C的标

43、准方程;%=小,(2)若线段P Q 的垂直平分线与x 轴交于点M(x o,O),求用的取值范围.14.解 析(1)由题意可知普,0 2=+/,解得4a2=6,按=2,d=4.故椭圆C的标准方程为R袅L(2)依题意，尸(2,0),直线F。的方程为2),联立方程组彳上 16 消去 y 并整理得(3 乃+1)(12 k%+12 k 2-6=0,y=k(x 2).4=(-12)2-4(12 公一 6)(3 3+l)=2 4(R+l)0,设尸(X 1,力)、Q(X2,J2).故|+尤2=3 R+112-4 4 yi 2 k(x】+.工 2)4k_3 左？,设 PQ的中点为N,则6/2 -2k A3 A2

44、+r 3/+i)因为线段尸。的垂直平分线与x轴交于点M(x(),0),当=0时，那么x()=0；当厚0时，kMN-k=,即-2k3 公+16 F-k=-1,解得 x()=4 R 43R+1 -3 产+13+51 4因为R 0,所以3+万 3,0 -T3+表 0),解得 6=1./从 3又 0 2=7=1 一/=得“=2.2所以椭圆C的方程为，+y2=l.(2)当直线/的斜率为。时，2=|加4 卜 附 3|=12.当直线/的斜率不为0时，设直线/：x=my+4,A(M,yi),8(必 丁 2),x=m y+4,x2 c 得(加2+4)2+12=0.z+产 1,由 J=6 4 72-4 8(/n2

45、+4)0,得 trr 2,所以9 2=TZA=M A -M B=ym-+m2+y2=(m2+1)切 例=，露=12 0 一 房/3 3 3 9由 nt2 12,得 0.+4 启 所以7a 0)上一点，过点。(2,-2)的直线与抛物线C交于A,B两点(A，8两点异于M),记直线A M,8M的斜率分别为么，k2.求出必的值;(2)记 A M。，*的面积分别为Si，S2,当用何1,2 时，求职的取值范围.0 21 6.解 析(1)将点M(l,2)代入抛物线C:V=2 p x 得 2=2,所以抛物线C的方程为炉=4占设直线AB的方程为x=/0)，F i，尸 2 为其左、右焦 2 oU|)，2 十 4

46、C l O点，B l,B 2 为其上、下顶点，四边形的面积为2.(1)求椭圆E的长轴A/2 的最小值，并确定此时椭圆E的方程;(2)对于中确定的椭圆,设过定点M 2,0)的直线/与椭圆E 相交于P,。两点，若加=痴 0,当a eg，匀时，求 OP。的面积S 的取值范围.1 7.解 析(1)依题意四边形尸由尸2 员 的面积为2 尻、.北庆一？，；A 4 2|=2。=2 9 2+d 企/荻=2 啦,当且仅当b=c=1 时等号成立，此时。=g,，长轴4 4 的最小值为2小,此时椭圆E 的方程为5+产二1.x=ty-2,(2)依题意，可设直线/：x=/y 2,联 立 得 得(产+2 A24/y+2=0

47、.由/0,得户2.5+尸 1，设尸(乃，|),2(X2,”)，r,4f+”=再 立，由根与系数的关系得J 2 由 称=幺 破，得力=勿2,(i+入)2=，初由胃得：+2=磊,.y=Z+1+2 在%(g,上单调递减，.2+T+2 22+2尸9-21361 O-y z20.2巾 正 一 2户+2OP。的面积 S=SAOM0SA OM p=5 QM Iy i y 2 l=l y i y 2 l=M(力+%)2 4)1 再=设机=炉 工，则 me呼，,)，-=，2+2,.S=番=2/；,.,y=m+，在/(邛2,媳)上单调递减，.S关于小单调递增，.OPQ的面积5 婚，1 8.已知A,8是 x轴正半轴

48、上两点(4在 8的左侧)，且|A 8|=a(a 0),过 A,8分别作x 轴的垂线,与抛物线y n Z p x g。)在第一象限分别交于D,C两点.(1)若。=夕，点 A与抛物线炉=2 昭的焦点重合，求直线C 的斜率;(2)若。为坐标原点，记 O C Q 的面积为S，梯形A B C。的面积为S2,求普的取值范围.0 21 8.解 析(1)由题意知4整0),则 喂+，0),碾，/，则 C0+”，yp2+2pc,又 a=p.所以h。=号 子=小 一 1.2 2(2)设直线CO 的方程为丫=履+仇厚0),C(x i,y i),D(X29”),y=kx+b由 L c ，得 ky22py+2P b=0,

49、)r=2px所以/=4p 2-8 p 的 0,得 kh2=女 0,y yi=女 0,可知&0,b 0,因为|C/)|=，I -%2 l=W 1+R,点 O 到直线CO 的距离d I,Q l+6所以s 同.八 尸.君又 5 2=耳+抄 枕 1一阅=；半 4=半，所以募=5乙K A.02因为0 V 助 法，所以O V?V 即费的取值范围为(o,19.已知抛物线C l：彳 2=0,过点(2,1),椭圆C 2 的两个焦点分别为Q,尸 2,其中尸2 与抛物线C i 的焦点重合，过人且与长轴垂直的直线交椭圆C 2 于 A,B 两 点,且H B|=3.(1)求抛物线C,与椭圆C2的方程；(2)若曲线G 是以

50、坐标原点为圆心，以|0向 为半径的圆，动直线/与圆C 3 相切，且与椭圆C 2 交于M,N两点，若 O M N 的面积为S,求 S 的取值范围.19.解 析(1)由 于/=py(?0)过点(2,1)，则 4=p,即 G 的方程为炉=4)，,根据题意可得椭圆焦点坐标B(0,1),所以椭圆中c=l,其焦点也在y轴上.设 C 2 的方程为5+g=1 3 。0),y 2 /:+记=1，b2 2b2 r-由 b 得工=+7|A B|=3,又/=+,解得。=2,b=事,ly=l所以C 2 的方程为9+与=1.由(1)得|。川=1,则 C 3 的方程为/+y=i.因为直线/与圆G 相切，所以圆心。到直线/的