考研数三考研历年真题.pdf

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1、考研数三最新全套考研历年真题全部打包下载w o r d 版2004 年考研数学(三)真题解析一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)s i nxli m-(c o s x-b)=5 i A(1)若,贝i j a b=-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.Qi n xli m-(c o s x-b)=5 li m s i nx-(c o s x-6)=0【详解】因为,且1。,所以li m(ex-t z)=0“TO,得a二L极限化为li m n (c o s x-b)=li m(c o s x-b)=l-b=5一/一。x o x ，得b=-4.因此，a 1,b

2、-4.【评注】一般地，已知 且=A,(1)若 g(x)T 0,则 f(x)T 0;(2)若 f(x)-0,且 A H 0,则 g(x)t 0.(2)设函数f(u,v)由关系式f x g(y),y =x +g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)*0,3 2f _ g(v)则 H M v g2(v)【分析】令u=x g(y),v=y,可得到f(u,v)的表达式，再求偏导数即可.U/、r +gW【详解】u=x g(y),v=y,则 f(u,v)=g(),d f _ 1 =gy)所以，8 g(n),而九 g2(v)xex2f(x)=-/(x-1)q0,0-1302、-30,A=A-1从而“/）

3、=2,即二次型的秩为2.【详解二】因 为/（修，*2，）=（匹+-2）2+（2-工3）2+（%+%）2=+2X22+2X32+2X1X2+2X1X3-2x2x3=2(X+g%2 +g%3)2+|(、2 _%3)2O 2 3 2=2必 +-y211必=xi+/%2 +5 X 3,其中y2=2-3所以二次型的秩为2.1(5)设随机变量X服从参数为2 的指数分布，则 P X 而=【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.DX=F【详解】由于 不，X的分布函数为故【评注】本题是对重要分布，即指数分布的考查，属基本题型.(6)设总体X服从正态分布N(i，/),总体y 服从正态分布N(2，/),

4、M,乙 一”,和工，八 4 分别是来自总体x和 y的简单随机样本，则Z(x2 2 了)+区 歹)j=l-2【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.1 n 一E-(,.-X)2=(72 E-【详解】因为 T 0 ，%1”,_门故 应 填.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分2 4分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)人、I x l s i n(x -2)J W =-2(7)函数 x(x-l)(x-2)在下列哪个区间内有界.(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1 ,2).(D)(

5、2 ,3).A l i m /(x)l i m f (x)【分析】如 f(X)在(a,b)内连续，且极限1/与存在，则函数f (x)在(a,b)内有界.人、s i n 3.r,、s i n 2l i m /(X)=-l i m /(X)=-【详解】当x 声0 ,1 ,2 时，f (x)连续，而-广 1 8,1。-,4,l i m f(x)=sn 2 l i m /(x)=8 l i m f(x)=gx-0+4 ,x T,x-2 ,所以，函数f (x)在(-1 ,0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间 a,b 上连续，则 f (x)在闭区间 a,b 上有l i m /(

6、x)l i m /(x)界；如函数f (x)在开区间(a,b)内连续，且极限+与存在，则函数f (x)在开区间(a,b)内有界.l i m f(x)=a(8)设 f (x)在(-8 ,+8)内有定义，且X-8 ,I ，x=O,则(A)x=0 必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C)x=0 必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0 处的连续性与a 的取值有关.D l i m g(x)u=【分析】考查极限X T)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元 X,l i m g(x)l i m /(x)可将极限I0 转化为X 8.l i m g(x)=l

7、i m /()=l i m f(u)u=【详解】因为J。x-o x -8 =a(令 x),又g(0)=0,所以，l i m g(x)=g(0)当a=0时，xr o ,即g(x)在点x=0 处连续，当a W 0时，l i m g(x)H g(O),X T。，即x=0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9)设 f (x)=|x(l -x)|,则(A)x=0 是 f (x)的极值点，但(0 ,0)不是曲线y=f (x)的拐点.(B)x=0 不是f (x)的极值点，但(0 ,0

8、)是曲线y=f (x)的拐点.(C)x=0 是 f (x)的极值点，且(0 ,0)是曲线y=f (x)的拐点.(D)x=0 不是f (x)的极值点，(0 ,0)也不是曲线y=f (x)的拐点.C 【分析】由于f (x)在 x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在 x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设 0 6 0,而 f (0)=0,所以x=0 是 f (x)的极小值点.显然，x=0 是 f (x)的不可导点.当 xe (-3,0)时，f (x)=-x(l x),/(x)=2 0,当x e (0 ,3)时，f (x)=x(l -x),/。)=

9、一2 1 若，则=1 发散Z(+v)A。(4)若 T 收敛，则 TOO”T都收敛.则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.八”Z(2 -l+2 )【详解】(1)是错误的，如令 =(T),显然，日 分散，而=1 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.l i m -1是正确的，因为由28 可得到沏不趋向于零(n t 0 0),所以=1发散.OO OOu=,v =-(4)是错误的，如 令 n,显然，=1 ,-1都发散，而OO=1 收敛.故选(

10、B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(1 1)设/(X)在 a,b 上连续，且 八 则 下 列 结 论 中 错 误 的 是(A)至少存在一点殉(4与，使得 xo)f (a).(B)至少存在一点的6(。力)，使得八出)f (b).(0至少存在一点殉(“力)，使得/的)=0.(D)至少存在一点殉(。力)，使得 xo)=0 D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选【详解】首先，由已知/(X)在 a,b 上连续，且/(a)0，/S)0另外，x +x-a ,由极限的保号性，至少存在一点x()e S M/Up)/(q)?Q使得 x0-

11、a,即/(/)/(。),同理，至少存在一点使得/(沏)/(6).所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(1 2)设阶矩阵4 与B 等价，则必有(A)当 4 1=a (a W 0)时 I 3 1=o (B)当 I 4 1=a (a W 0)时 I B 1=-a(C)当M W。时，1 8 1=0.(D)当 1/1=0 时，=0 D 【分析】利用矩阵 与B 等价的充要条件：八/)=8)立即可得.【详解】因为当二时，又/与 B等价，故 ，即 =0,故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查，属基本题型.(1 3)设阶矩阵”的伴随

12、矩阵才*，若 笛&焉 是 非 齐 次 线 性 方 程 组/x =b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组为x =的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.B 【分析】要确定基础解系含向量的个数，实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=一，而且n,r(A)=n,/(1)=1,r(A)=-1,0,r(A)n-.根据已知条件才*，于 是 等 于 或 -1.又 加=6有互不相等的解，即解不惟一，故 )=1.从而基础解系仅含一个解向量，即选(B).【评注】本题是对矩阵/与其伴随矩阵才的秩之间的关系

13、、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(1 4)设随机变量X服从正态分布N(0)，对给定的a e(。)，数满足%=a ,若P IX I x =a,贝叶等于UaU a U-a(A)2.(B)(c)(D)i.C 【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和儿何意义即得.【详解】由尸 IX I+(x +l)l n(l +y),则(i.o)-2edx+(e +2)dy【分 析】基 本 题 型，直接套用相应的公式即可.【详 解】H z =ex+y+xex+y+n+y)0.0)2edx+(e +2)dy 设 行 向 量 组 Q I 1 )，(2，。，。)，(3,2,1,。)，(4,3,2,1)线 性

14、相 关，且 1,则 a=2【分 析】四 个 4 维 向 量 线 性 相 关，必 有 其 对 应 行 列 式 为 零，由 此 即 可 确 定 a.【详 解】由题设，有2 1 1 12 I a a3 2 1 a 1 1a i _ z y _4 3 2 1(。一 1)(2 1)=0,得 一 -2,但 题 设。声 1,故 一2，(5)从 数 1,2,3,4 中 任 取 一 个 数，记 为 X,再 从 1 2，X 中 任 取 一 个 数，记为匕 则13P 丫 =2=欣【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式，且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.详 解 P Y=2

15、二 0 口=P Y=N X =+PX=2P Y=2|X =2+P X=3 PY=2|X =3 +PX=4 P Y =2|X =41 1 1 1、13-x(0 +-+-+-)=.4 2 3 4 48(6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为Y 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件 X =与 X +l 相互独立，则=0.4,b=0.1.【分析】首先所有概率求和为1,可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件 X =O 与 X +Y =l 相互独立，于是有p x =o,x +丫 =1 =P x =Q P x+y

16、=1即 a=(0 4+)g +6),由此可解得 a=0.4,b=0.1二、选择题(本题共8小题，每小题4 分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)当a 取下列哪个值时，函数/(幻=2丈 3-9 2+12工-4 恰好有两个不同的零点.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.B 【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】/，(X)=6X2-18X+12=6(X-1)(X-2)知可能极值点为 x=l,x=2,且/=5-“,/(2)=4-4,可

17、见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选./,=j j c o s 2+y2J(j I2=j j c o s(x2+y2)d(J/3=j j c o s(x2+y2)2d(7(8)设。，。，。，其中。虫。/),+/，2 /(B )A 12 13(C)1 2 11，3(D)A A ，2A 【分 析】关 键 在 于 比 较 而?+/、1+/与(/+歹 2)2 在 区 域 Q =(x,冲 2+y 2 上的大小.【详 解】在 区 域 0=8*+4 1 上,有 0 一+4 1,从而有由 于 c o s x 在 上 为 单 调 减 函 数，于是0 c o s2)c o s(x2+y2)2因此j j

18、 c o s x2+y2d(y j j c o s(x2+y2)d(y 0,=1,2,，若 I发散,(-1 严。M=l收敛,则下列结论正确的是(A)g 收 敛，I 发 散.(B)=收敛,，川 发散.(C)n-l+。2 )收敛.(D)8E o,r Q=-A=困 n|H=。或 M =1而Ml =卬4+31 2+6 343=3/尸0,于是词=1,月 一行,故正确选项为(A).(1 3)设4,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为名以2,则%,4%+。2)线性无关的充分必要条件是(A)4=0(B)4=.(C)4 H o.4 H o【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩

19、即可.【详解】方法一：令 左0+&(a +。2)=0,则ka+%2 4 a l +左 =。，(自 +%2 4)+左 2 4 2 a 2 =。由 于a?线性无关，于是有1匕 +左 2 4 =。，k2A2-0.当时，显然有%=，左2=,此时4,4%+。2)线性无关；反过来，若6,“(+七)线性无关,则必然有为#(,否则,3与Z(a+%)=4a线性相关)，故应选(B).,1 4-+%)=/，/1必+4%=a，%【方法二：由于 七 ，1 4 。八=4 w 0.可见a,4 a+。2)线性无关的充要条件是%故应选).(1 4)设一批零件的长度服从正态分布N(，)，其中，病均未知.现从中随机抽取1 6个零件

20、，测得样本均值三=20(0 ),样本标准差s=l(cm),则的置信度为0.90的置信区间是也)(20-5。5(16),20+50。5 ().(2 0-(16),20 +，。(16).(20 -i/0 0 5(15),20 +!%0 5 (15).(20-i/o.!(15),20 +/0 J(15).【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量:号-5-1)S/_n【详 解】由正态总体抽样分布的性质知,故 的 置 信 度 为0.9 0的置(x-7=a(-D,X +j=ta(n-1)信区间是 5 Q 5(2 O-i/O O5(15),2O +1/O O 5(15).故 应 选（C）.2006年

21、考研数学（三）真题解析一、填空题：16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.l i m -=L（1）7【分析】将 其 对 数 恒 等 化 =泌 求解.【详 解】(+1l i m、(一 Inf lim(-I f Ini=l i m e 1 n)=LW fl T8l i m In 4=0 l i m(-l)M In|R =0A?4-1n而 数 列（T）1有界,故,即（2）设 函 数/（X）在 2的某邻域内可导，且/（x）=e 2）=1,则/（2）=【分 析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知，/（x）=e 两 边 对x求导得/口 卜/修 百 小）两边再对X求 导 得 厂 =2 e

22、2（x）=2 e 3 M）,乂/=1,故 广 =2e3/（2）=2e3（3）设 函 数 八 ）可 微，且,一 万，则z =/（4-力 在 点（1,2）处 的 全 微 分出 q 2)=4dx -2dy.【分 析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.L =fX4 x2-y2),8 x L =4【详解】方法一：因为a 1,款 2)=八4-/)-(-2?)|(1,2)=-2所以 d zR)=品。0口+款2=4 dx-2dy方法二：对z =/(4)微分得dz =f 4 x2-y2)d(4 x2-y2)=/z(4x2-y2)(8 x dr-2y dy)dz|(12)=f，(0)(8dx-2dy)

23、=4 dx-2dyR X.A_(1 1、设矩阵 J 2A E为2阶单位矩阵，矩阵8满足8/=8 +2 E,则忸1=2.【分析】将矩阵方程改写为4X =8或口=8或/丫8 =。的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B(A-E)=2EI|_ 1 1 _ o于是有 同 一目=4,而 7 1 ,所以忸1 =2.(5)设随机变量X与丫相互独立，且均服从区间 ，”上的均匀分布，则1尸 m a x X,Y W l =9【分析】利用x与丫的独立性及分布计算.【详解】由题设知，x与y具有相同的概率密度1,0 x 3/(x)=30,其他则 p m a x jf,r i =PX i,y i

24、 i p r i【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图:/(x)=1 e虫(_ 8 x 0 (x)0,最 为自变量x在点天处的增量，绿与如分别为八2在点而处对应的增量与微分，若 心 0,则(A)0 d A y(B)0 d y A y d y v 0(D)d y 勺 d y =/z(x0)d x =/z(x0)A,r 0 ,故应选（A）.（8）设函数/（“）在x =。处连续,f(h2)l i m =1且5犷,则(A)0)=0且/_ (0)存在(B)=1且/存在(C)/=0且4 （0）存在（D）/=1且/存在 C 一 力2）_ ,【分析】从誓5*入手计算八 ）,利用导数的左右导数定义判定工/

25、的存在性.【详解】由 黑、一知，加式（）=.又因为/（M在x =0处连续，则/(0)=Hm/(x)=Hm/(/z2)=0,Em。)小)令/=/?-,贝|J 20 h 3O t所以工 存在，故本题选（C）.（9）若 级 数 收 敛，则级数（A）热 收敛.(B)(C)=收敛.(D)(-D Z=收敛.4+=2 收敛.D 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.y y+1【详解】由=l收敛知 T 收敛，所以级数 T 2 收敛，故应选（D）.或利用排除法：取，则可排除选项（A）,（B）；a=取 7n,则可排除选项（C ）.故（D）项正确.（10）设非齐次线性微分方程）+P（x）y 二 （x）有两个不同

26、的解必（x），（x），C为任意常数，则该方程的通解是（A）C%（x）-%（切 （B）.（X）+C%（X）72（X）（C）。乂（x）+%（x）（口）乂O）+Cy B【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于x（x）一8 J）是对应齐次线性微分方程v+p a）y=的非零解，所以它的通解 是y=c g（x）-%（）,故原方程的通解为y=y（x）+y=M（x）+C 凹。）一外（刈，故应选（B）.【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：y=y*+y其中y*是所给一阶线性微分方程的特解，丫是对应齐次微分方程的通解.（11）设/（X J）与奴x，y）均为可微函数，且外（

27、x，y）#o,已知（X。/。）是/（x，y）在约束条件9（x,y）=下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若/：（/，比）=0,则/；（/，%）=.（B）若工则4（/，%）4 0.（C）若/：（/，%）。，则/；（/，为）=0（D）若 工（x（）J o）H O,则/,（XOJO）*。,D【分析】利用拉格朗日函数“不 八 团 二/小/+如 用 在 。/。，）（4是对应x。/。的参数几的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数尸（x，y ）=/（x，y）+9（x/）,并记对应与，%的参数义的值为4,则4）=。|/：（Xo/o）+4”（Xo J o）=（/，%，4）=o,即|/：（/，为）

28、+=o消去4,得（/，汽）8；（/，打）一 /；（X。,为）以（%,为）=0工（/，%）=-/；（工0，%）夕；（/，乂 ）,整理得 外（须），为）.（因为化（x/）H0）,若工（%，%）。，则小飞,孔）*0故 选（D）.（1 2）设%，。2,，4均为维列向量，/为掰X矩阵，下列选项正确的是若四,a?,见线性相关，则A（xl,A（x2,-,A（xs线性相关.若囚,。2“,火线性相关，则A（xl,A cx2,A（xs线性无关.（C）若%以2,见线性无关，则%，力。2,，力/线性相关.（D）若四以2,，a,线性无关，则”囚，力。2,，见线性无关.A 【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义

29、或性质进行判定.详 解 记8 =（,。2,，%）,则（力 名,”%,，4 z,）=Z 8所以，若向量组%如0线性相关，则 8）s ,从而”）以（8）s,向量组4 a 2,，4 也线性相关,故应选（A）.（1 3）设4为3阶矩阵，将/的第2行加到第1行得8,再将8的第I列的-1倍加到第2 1 1 0、P=0 1 0列得C,记1 电 则（A）C=K A P.（B）C=PA P（C ）C=P A P,（D ）C=PA P .B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得而B=10,0A,-1100、0b0、0L 10-1100、0L 10、0-1100、0b

30、，则有C =故 应 选（B）.1 0、1o0LC=Bo2T011oA（1 4）设随机变量X服从正态分布（从，蛇），丫服从正态分布（外，。；），且力-闻1 。卜-闪 1 则必有5%(C)从 pIA J%.以一闻 1 ,I巧 巧.2 则一1 2中-1 上、2 ,即其中（X）是标准正态分布的分布函数.1 1-又（X）是单调不减函数，则 历%,即0。2.故选（A）.2007年考研数学（三）真题解析一、选择题1【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当 XT。,时，l-e -y/x,y/l+Jx-1；，I COSA/7=；*故用排除法可得正确选项为（B）.1+X 1 1 1

31、 1事实上，Hm l i m侬1 +一3(1-)二.1+%=1,X T 0*y/X X，0*VX X T。*2-Jx或 In .*%=l n(l +x)-l n(l-x/x)=x+o(x)+y x+o(6)=y/x+o(y/x)y x.1-V x所以应选(B)【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.2.【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数/(x)去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取/(x)T x l,则l i m W=0,但/(x)在x =0不可导，故 选(D)

32、.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0,所以分子的极限也必须为0,则可推得/(O)=O.在(C)中，l i m也 存 在，则/X O)=0J (O)=l i m /(X)一/()=而 归=0,所以s o x i o x-0 1 x(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.3.【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得尸(3)=，乃=*兀,F(2)=-22=-7 1,2 212)8 2 2产(一2)=/(x)d r =-/(x)d r =1/()让=；加23 3

33、所以 F(3)=-F(2)=-F(-2),故 选(C).4 4【评注】本题属基本题型.本题利用定积分的儿何意义比较简便.4【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.jr【详解】由题设可知，x 7 T,sinx y 0 x y：+l n(l +e )l n(l +ev)7 T l i m 上=l i m -=0+l i m -=l i m 上 以=1,1X T+o o%X-K|6 =l i m y-x =l i m 4-I n(1 +ev)-x=0,所以y =x是曲线的斜渐近线.X +8 XT-X 故 选(D).【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的

34、水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.本题要注意e 当X T+8,X T-8时的极限不同.7.【分析】本题考查由线性无关的向量组名,4,应构造的另一向量组4,4,用的线性相关性一般令（4 4用）=（,七0）/,若|=0,则4尾 应 线性相关；若|H 0，则4,4，4线性无关.但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由（4-&2）+（%-。3）+（生一4）=0可知应选（A）.或者因为-a2,a2-a3,a3-a,)=(a1 5a2,a3)-1、00 f 11 0 ,而 T-1 1 J 00 -11 0 =0,-1 1所 以

35、 必-%，。2-。3，%-%线性相关，故 选(A).评注】本题也可用赋值法求解，如取名 =(1,0,0),a 2=(o,1,o)乌=(。，0，1)，以此求出(A)，(B),(C),(D)中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.8 【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得的特征值，并考虑到实对称矩阵N必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.A-2 1 1【详解】由|花一/|=1 A-2 1 =；1 一 3)2 可得4=4=3,4=0,1 1 2-2所以/的特征值为3,3,0；而8的特征值为1,1,0.所以/与8不相似，但是N与

36、8的秩均为2,且正惯性指数都为2,所以4与8合同,故 选(B).【评注】若矩阵4与8相似，则4与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.所以通过计算/与8的特征值可立即排除(A)(C).9 .【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率.关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】P=前三次仅有一次击中目标，第 4 次击中目标故 选(C).【评注】本题属基本题型.1 0 .【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与丫的独立性和公式力/。|歹)=坐平可求解【详 解】因为(x,y)服从二维正态分布，且 x 与 y不相关，所以x 与 y独立，所以f(x,y)=fx(x)fY(y).故 源(田

37、丁)=若?=笔 半2=人(力，应 选(A).人 3)fY(y)【评注】若(x,y)服从二维正态分布，则 x 与 y不相关与x 与丫独立是等价的.二、填空题口【分析】本题求类未定式，可 利 用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.X3 X2 13 .2 .1 -4 4 n【详解】因为 l i m -，=l i m -=0,1 si n x 4-c o s x x=5e*,将 M.y=l代入左式得 C=e,故满足条件的方程的特解为ex=e/,即yi,xeA3=r（A）=l.0 0 0 1 0 0 0 0,0 0 0 oj 10 0 0 0,【评注】本题为基础题型.16.【分析】根据题意可

38、得两个随机变量服从区间（0,1）上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用儿何概型计算.图如下：所求概率=3.S。1 4【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.2008年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】B 7(/W/l i m g(x)=l i m-.=l i m /(x)=f(0)详解 3 0%3 0 ,所以x =0是函数g(x)的可去间断点.(2)【答案】C 详解1 xf，(x)dx=xdf(x)=xf(x)|o-/(x)t&=af(a)f(x)dx其中“是矩形ABO C面 积 小 为 曲 边 梯 形ABO D的面积，所以【W

39、x为曲边三角形的面积.(3)【答案】B/(0,0)=l i m ./(一。)二 /(。，。)=l i m=l i m【详解】XT X-0*T 0 X 3。XeW-l e-1l i m-=l i m-=1x-0+X x-0+x_ e-x-il i m-=l i m-=-lK T X X T -x故(0,0)不存在./(0,0)=l i m ./(-()=l i m ek _ 1 =Hm=l i m匚 0y-0 y 0 y-0 y y O y y-0 y所以/(，)存在.故选8.(4)【答案】AF(M,v)=f f -dudv=f dv f 幺Ordr=u fr)dr【详解】用极坐标得 o S 比

40、 曰小)所以 加(5)【答案】C 详解】(E-AXE+A+A2)=E-A3=E(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E故/均可逆(6)【答案】DD=【详解】记、一2-21、7则I A-1 2/2 E-D=(A-l)-4Z 4 1又 A E-A =A 1-2-2A 1=(/l-l)2-4所以4和。有相同的特征多项式,所以/和。有相同的特征值.又4和。为同阶实对称矩阵，所以/和。相似.由于实对称矩阵相似必合同，故。正确.（7）【答案】A【详解】.（2）=网2句=皿 乂 丫 句=心 丫 向 网 2）=%（2）曰2）=伺（2）（8）【答案】D【详解】用排除法.设丫=酒+6,由诙=1,知道工丫正相关，得

41、。0,排 除 、（）由X N(0,l),y N(l,4),得 EX=O,EY=1,所以 Ea)=E(a X+b)=a EX+h=a xO+b=,所以g i 排除(叫故选择(。)二、填空题(9)【答案】12/x,xcf(x)=x2+1,-cxc【详解】由题设知c X x A O,所以 1一2拉,x 。=1（10）【答案】2-ln3【详解】1F XX1 7二+Xt =+x f(t)=，,令X，得 八,-2所以02孤 ”x、)必=_ f2/2 X-i/x=-1 ln(/x0-21 z、1)=-(ln 6-ln 2)=-ln 3X Z Z 乙 乙n(11)【答案】4 详 解jj(x2-y)dxd”利用

42、函数奇偶性 JJx2dxJ=jj(x:+y2yixdy=J.f r2rdr=DD 2 0 2 41V 二(12)【答案】二！I I j r=|X|-i-c【详解】由治一X ,两端积分得Tn|H=ln区+G,所以惘，又歹=1,所以1y=-X(13)【答案】3【详解】”的特征值为1 2 2,所以的特征值为U/2,1/2,所以4/J E 的特征值为4 x l-l=3,4x1/2-1 =1,4x1/2 1 =1所以|4 8-=3xlxl=3(14)【答案】5,【详解】由DX=E 2-(E X),得E2=OX+(EX)2,又因为入服从参数为1 的泊松分2 1PX=2=e-1=el布，所以。X=EX=1,

43、所以 月=1 +1 =2,所以 i 2!2.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共3 2分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.X /(%)=-(1)函数 sinx的可去间断点的个数为(A)l.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.【答案】C.【解析】小)=二s i n x则当X取任何整数时，/（X）均无意义故/（X）的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是、-/=0的解再2 3=，1 x x3 .1 3 x 1l i m-=l i m-=一XT s i n 7 TX XT

44、 兀 C O S 7 1X 兀 x x3.1 3 xl i m-=l i m-1 s i n 九X _ 7 TCOS7 TX27 1l i mx-x3i i s i n TCX=l i m 1-3x-i i 7 TCOS7 TX27 C故可去间断点为3个，即，1(2)当X T 0 时，/(x)=x-s i n a x 与 g(x)=x2 l n(l -6x)是等价无穷小，则b=b(A)=1 ,6.(B)。=1 ,6.7 1 ,1b b(C)二 一1 ,6.(D)=T,6.【答案】A.【解析/(x)=x_ s i n x,g(x)=x7(l b x)为等价无穷小，则 /(X)x-s i n a

45、x x-s i n a x.1 -a c o s a x%-a2 s i n a xh m =h m -=h m ：-洛 h m-洛 h m-i o g(x)I-。l n(l -bx)I。x-(-bx)=x-o -3 bx2=-6bxa2 s i n a x.=h m -=-=1i o 6b 6b-a xa=6b 故排除(B)、(C).h m 1-a c o s a x另 外 黑-3 bx2 存在，蕴含了 l-a c o s a xT 0(XT()故 q =l.排除(D).所以本题选（A）.p s i n t.-dt n x(3)使不等式J t成立的X的范围是(A)(O，D(B)呜)(不)(0

46、 2(D)(肛+8).【答案】A.【解析】原问题可转化为求s i n t,s i n/p l r0一 ，J ，J /成 立 时 的取值范1-s i n Z围，由t ,正()时，知当时，/(x).故应选(A).(4)设函数在区间 T,3 上的图形为(A)则函数-1(B)-1【答案】D.(D)【解析】此题为定积分的应用知识考核，由=/(x)的图形可见，其图像与 轴及了轴、x=x。所围的图形的代数面积为所求函数/(外，从而可得出几个方面的特征:xe 0,1时，尸(x)W 0,且单调递减.xe 1,2时，尸(x)单调递增.xe 2,3 时，/(x)为常函数.xe -l,0时，尸(x)W 0为线性函数，

47、单调递增.由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).(5)设4 8均 为2阶矩阵，分别为4 8的伴随矩阵，若I川=2,181=3,则分块矩阵13 的伴随矩阵为O 3 8*、(A)2 ZO 3/(O&*【答案】B.O 28*、(B)*O 2，、(A，*.C*=|C|C-1,C-1=rl7C*【解析】根据 =网 ，若 口分块矩阵oBAO、7的行列式OBAO=(-1严 M=2X3=6，即分块矩阵可逆O AB O7oBA O AOB O-1=67oA-B-OA=6760/OUH位O507故答案为(B).O 2B*34*O(6)设4 P均为3阶矩阵，”为2的转置矩阵,且TPrAP=0、0

48、0100、02,若=(,a 2，&3),0 =(。|+以2,4，0 3),则 Q/Q 为(C)0、02,0、02,(B)/(D)0、02,0、02,120010010110100120020【答案】A.110010001。=(+%)=3,=(,。2，心)12【解析】。=尸耳2，即:QTAQ=P12(l)r JPE12(1)=E2(1)PTAPEl2()002100010%昂0020020100100012101 01 00 1100100110110(7)设事件”与事件B互不相容，则(A)P(A B)=Q (B)P(A B)=P(/)P(B)尸()=1一 P(B).(p)P(A u 5)=1【

49、答案】D.【解析】因为“I互不相容，所以P(/8)=(A)P(A B)=P(A JB)=1-P(A U B)?因为尸(Z U B)不一定等于 i,所以(A)不正确.当P(4),P(8)不为o时，(B)不成立，故排除.(C)只有当4 8互为对立事件的时候才成立，故排除.(D)P(7 U B)=P(A B)=1-P(A B)=1 ,故正确.(8)设随机变量X与丫相互独立，且X服从标准正态分布N(O，D,Y的概率分布为P Y=Q =PY=1 =T?(7 Z 7/7 2,记工伍)为随机变量z=A T的分布函数，则函数(乃 的间断点个数为()(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.【答案】B.解析B(z

50、)=尸(X Y z)=P(X Y z Y=0)p(y=o)+P(XY z|r =i)p(r =i)=z|r =o)+P(XY ZY=I)=尸(x-o z|y=o)+p(x z|y=i)ix,y独立Fz(z)=1 P(x-0 z)+P(x z)B(z)=(z)(1)若z 0e(l -c o s x)r2=l i mA 01 2e-x2-x23dz(1 0)设z=(x+e )则 a(1,0)【答案】21n 2+l.【解析】由z=(x+),故z(x，O)=(x+D*y-=(x+l f =exl n(1+x),=er l n 0(+I pYT e(n T 8)所以，该事级数的收敛半径为工(1 2)设某