容易混淆的概念-数学三.pdf

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1、高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限、数列极限大小的判断例 1:判断命题是否正确.若 且 序 列 的 极 限 存 在,lim=A,lim=B,贝 必 oo解答：不 正 确.在 题 设 下 只 能 保 证 不能保证A 8.例如：石乜n=n+1,X.9 而limxn=limyn=0 例 2.选择题x Z -x)=OJIJ lim zn()n-oo n-ocA.存在且等于零 B.存在但不一定等于零C.不一定存在 D.一定不存在答：选项C 正确分析：若nlimc ox.=lim y,=O ,由夹逼定理可得/i-colim=。w 0，故不选A 与 D.n co取 X =(-l)n-n,y =(-1)

2、+-n,Z=(-l)9 则 x z 87100确，因此选C.例 3.设 龙“4 a 4 y“，且 lim（y“-x“）=0,则 由“%（“TOOA.都收敛于4敛，但不一定收敛于aC.可能收敛，也可能发散发散答：选项A 正确.)B.都收D.都分析：由 于,m%F=T8。及夹逼定理得0 X 因此，limxN=a 9 再利用 lim(%-x“)=0limy,=a.“TOOn-oo“T8所以选项A.二、无界与无穷大无界：设函数小）的定义域为。，如果存在 正 数 使 得|/U）|x),对应的函数值小)总满足不寺 工I则称函数“X)为当%(或38)时的无穷大.例4：下列叙述正确的是：如果小)在“某邻域内无

3、界，则lim/(x)=ooI M 如 果 Jim/(x)=oo,贝!J/(x)在与 某邻域内无界解 析：举反例说明.设,令X XXtl=-=,9当 f+8 0 ，R f()，f f u2M TT+-N7R2T Vlim f(xn)=lim(2H+)=4-oo“f+oo n-+oc 2lim/(%)=0“T+OO故x)在x =0邻域无界，但x f O时f(x)不是无穷大量，则不正确.由定义，无穷大必无界，故正确.结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大.三、函数极限不存在,极限是无穷大当X(或8)时的无穷大的函数/，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限

4、是无穷大”.但极限不存在并不代表其极限是无穷大.i -r O 时/(x)的极限x+l x 0不存在.四、如果l i m f(x)-0不能退出.生=8XT Xo例 6：梁 器，贝!U但由于六在 0 x为 无 理 数 /(%)的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论；在 的极限./(X)结论：如果 l i m /(x)=0，且小)在/的某一去心邻域内满足/(x)w O,贝！=反之，/(x)为无穷大，则上为无穷小。/W五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。例 7.求极限 l i m e，,l i m e：XT 8 X 0解：l

5、 i m ex=4-o o,l i m ex=0，因而38时/极限不存在。lim ex-0,lim 靛=+8，因而X-0时潟极限不存,v-0-x-0=在。六、使用等价无穷小求极限时要注意：(1)乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。(2)注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例8：求极限lim皿+尸-2X T。X-分 析 一：若 将 疝7+后.2写 成(7 r+7-i)+(V i -i),再用等价无穷小替换就会导致错误。分析二：用泰勒公式1(_ 1)yJl+X+V1-X=(1+-%+-X2

6、+O(X2)2 2!1 I T+(1-X+-X2+O()-2=-x2+o(x2)4原式x4例9：求极限lim皿Xfk X解：本题切忌将sm用、等价代换，导致结果为los i n x s i n 乃 八l i m =0X T乃 X 71七、函数连续性的判断(1)设 一 在,间 断，g(x)在i连续,则 f(x)g(x)在x =x。间断。而y(x)-g(x),/2(x),|y(x)|在x =x。可能连续。例 1 0.设 f(x)=g(x)=si n X,则/(x)在 x =0 1 x =0间断,g(x)E x =0连续,f(x)-g(x)=f (x).si n 尤=0 x =0连续。若 设/=Pf

7、M在x =0 间 断，但-1 x7)例 IL/(x)=f +2显然设 lim r(x)=lim/)=1 ,X X0+.v-0-x-0而/*)在x=o处不连续不可导。第三章微分中值定理与导数的应用、lim r(x)=A,(AwO,可以取力，则 lim/(x)=oo.V-KO若 lim f(x)=AO 9 不 妨 设 心。，则XT+COmX 0,x X时,尸(x)9 再由微分中值定理,f(x)=/(X)+fG)(x-X)(xX，e(X,x)A=/(x)/(X)+(x-X)(xX)=lim/(x)=+oo2同理，当 AmX 0,xNX时，/(x)l再由微分中值定理/(x)=/(X)+/C)(x X)

8、(xX，e(X,x)n /(x)/(X)+(x-X)(xX)n lim/(x)=+8X-KO同理可证 lim/r(x)=-oo 时，必有 lim/(x)=-ooX T M XT+0,都有|/(x,y)-A|Y ,从而A=%),因此我们得到 lim f(x,y)=A=f(xo yo),即函数在(Xo.%)点连续.3.多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么？不可以，因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2 偏导数1.已知 f(x +y,ey)=x2y9 求/(x,y)令x+y =，e那么解出x,y得,=I n vx=w-I n v所以或者/(w,v)=x2(w,v).y(w,v)=(w

9、 I n v)2.l n v/(w,v)=(w-I n v)2.l n y8.3 全微分极其应用1 .写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系偏 导 数/4连续=Z可微=Z=f(x,y)连续一/(x,y)极限存在偏导数小人连续n 偏导数小f：存在2.判断二元函数/(x,y)=卜 2+1。在0(内)/。)原点处是否可微.对于函数小9,先计算两个偏导数：,(0,0)=隔出四二/6=.2=。A s。A x A i。Ax=l i m 吗让3=11=0Av-0 Ay AV TO ),v r Ay)-/(0,0)-(0,0)-(Ax)?+(Ay)吓令 Ay =k Ax,则 上 式 为 所 凸 二=呵端=

10、。T O ,1,5 Ar f（）l 1（1 +2）6|AX|3（1 +公）6因而/（X,y）在原点处可微.8.4多元复合函数的求导法则1.设z=/(且),/可微，求d z.x+y公=八上）（上）x+y x+yx+y/J卢）vdyx+y（x+y）2公+广(上)x+y（x+犷8 .5隐函数的求导1.xx(y,z),y =y(x,z),z=z(x,y)都是由方程 F(x,y,z)=O所 确 定 的 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数，证明dx dy dz 1.=1 dy dz dx对于方程 F(x,y,z)=O ,如果他满足隐函数条件.例 如，具有连续偏导数且工，则由方程F(x,y,z)=0可以

11、确定函数x=x(y,z),即x是y,z的函数，而y,z是 自 变 量，此 时 具 有 偏 导 数dx _ F；Qx _ F；/F；，&F：同理，祟一与，所以 咨条&F；dy dz ox8.6多元函数的极值及其求法1.设 y)在点%(毛，0)处 具 有 偏 导 数，若f：(x,y)=0,/：(x,y)=0则函数/(x,y)在该点取得极值,命题是否正确？不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。例如，二元

12、函数Z=f(x,y)=3x2+3y2-x3,(x2+y2 1 6)由二元函数极值判别法：=6 x-3 x2=0,解得dx|=6 y =0,解得故得驻点M=(0,0)，M玉=0，=2，y=02A=-1 =6-6 x，BA C-B2=3 6(l-x)(2,0)C =-7 =O办2会=0,dxdy由于*-叽 X，YO，以及儿。产。，所以)，是函数的惟一极小值点，但是/(4,0)=T6Y/(0,0)，故/(0,0)不是/()在D上的最小值.第十一章 无穷级数11.1常数项级数的概念和性质1.若 通 项 则 级 数4 f 收 敛 这v A%M 1(上1、种说法是否正确？否2.若级数卷.加括号后所成的新级

13、数发M=1散，则原级数必定发散，而加括号后所的级数收敛，则无法判定原级数的敛散性，这种说法是否正确？正确1 1.2常数项级数的审敛法1.若 级 数 收 敛，则 级 数 一 定 收 敛。n=l=1判断这句话是否正确?不正确，如非匕=yjn n2.若正项级数 收敛，判断级数之近的n=n=l 敛散性。收敛因为西4（4+3）9 打 卷“收敛，技收 2及n=n=l 敛，于是 血收敛。n=l 3.收敛则一定绝对收敛，绝对收敛不一定收敛。线性代数部分知识点、难点1、关于4 8=0A5=。是考研题中一个常见的已知条件,对于相二0应当有两种思路：设A是 2 X 矩阵，8是 X S矩阵，若A B =0,则(1)6

14、的列向量是齐次方程组心=。的解(2)r(/l)+r(B)n2、关于|A|=0|止。也是考研中常见的一种题型，也是考生比较畏惧的一种题型，他的特点是题干简单，已知较少，所以考生有时候觉得无从下手，其实所有的题都是由基本东西转换而来的，考生只要掌握其基本思路，就不会觉得太难了。下面仅举两例以示说明：例L 设A是阶非0矩阵，满足屋马，且馍,证明行列式I+。【证法一】(用 秩)据 已 知 有A(A-E)=0 9 那么r(A)+r(A-E)从而秩r(4)，=0 o【证 法 二】(用4=0有 非 零 解)据 已 知 有A(A E)=0 ,即 A-E 的列向量是齐次方程组A.0的解，又因A-E w O,所以

15、加=0有非零解，从而闺=0。例2,设A为阶矩阵,满足一=E,同 0,证明|A+E|=O O【证明】因为|A+E|=|A+AAT=A(E+AT)=A(E+A)r=AA+E所以(1-|A|)|A+E|=O又因|A|0故必有|A+|=03、代数余子式求和一般这类题，出题者绝对不会考察考生的计算求余子式的能力，而是重点考察对代数余子式的理解和其基本性质的应用，所以考生一定要灵活掌握，掌握基本思想。下面请看一例：例3,设行列式0-7 05 3-2则第4行元素余子式之和的值为M 4 l+M 4 2+M 4 J+M 4 4 A4 +A4 2 A43+0-7 0 0(-7)(-1)4、伴随矩阵伴随矩阵是现代中

16、比较重要的概念，也是一个常考的点，出题点一般是结合逆矩阵来求解的，所以考生在深刻掌握伴随矩阵概念的同时，也应该熟记一些和伴随有关的公式定理，这类型题一般解法较多比较灵活，所以关键还是它的定义和基本性质，考生因该以不变应万变，一个典型例题就是证明：n 若 r(A)=n,r(A*)，l 若A)=-1,0 若 r(A)n-1.5、初等变换初等变换是一个非常重要的概念，它可以简化许多问题，但是考生在应用初等变换上还不是很熟练，有时候根本就不知道初等变换是用来干什么的。首先建议学员一定要弄清楚概念，它具有什么性质。知道行变换就是左乘初等矩阵，列变换就是右乘初等矩阵，然后就可以化简计算。初等矩阵均可逆，且

17、其逆是同类型的初等矩阵。例如:1 0 00 0 10 0 11 001 0 01 0 00 1 00 1 00 201 0 01 0 00 010-020 0 13 1 0-3 1 00 0 10 0 1即 E J=EU，耳 十)=Ei(1),Eij-1()=Eij(-).例4,设A22,B=3 ，3L 1.则K=民 其 中 =答案:一0 0 11 0 00 1 0【分析】利用初等矩阵。矩阵A的一、二两行互换后再二、三两行互换，然后一、二两列互换后再二、三两列互换，即是矩阵B,即1 00 00 1oiro1 1ojoi oi ro0 0 A 10 1J|_0oiri o1J|_O 101 =B

18、01000 0 0可 见1010l0000100 0 0l_|_0 10 0 1=1 0 00 1 06、线性相关性线性相关性是考察的重点之一。而且多以证明题的形式出现，通常在选择题中出现较多，对于这块内容，应用定义去证明线性相关性是考生的难点，同时也是考察的重点。解题的方法也比较单一，多用定义证明。所以考生一定要在深刻理解定义的基础上去灵活运用，通过练习掌握这块仅有的一点方法。例 5,设A是阶矩阵，a是维列向量，若Ama 0,Ama=0,证明向量组 a,Aa 9 A2a 9 A2a,-,Ama线性无关llE（用定，乂,、问 k1a+k2Aa+k3A2a+-+kmA,a=0（1）由于Aa=O知

19、 A3 0,A0,-用Af左 乘（1 ）式两端，并把Am+a=0,A,n+2a=0,代入,有k,A-a=0因为A FHO,故0把g o代 入（1）式，可知k2Am-a=O从而e =0类似可得。，.，所以a 9 Aa 9 A2a 9A 2 6,AF线性无关。例 6,设 4 维列向量,0g线性无关，且与4维列向量以次均正交，证明注M线性相关。【证】（用秩）构造矩阵婷A=a：则矩阵A是秩为3的3 x 4矩阵，由于T r 1a 0A/3j-a；p.-0 i 1,2IA所以综均是齐次方程组小。的解。那么，r(K,四)r(A)=4-3 =l从而综线性相关。7、线性表出线性表出也是常考得一类题型，考察的形式

20、多结合线性相关，线性无关。应结合他们的定义与线性表出的概念，以及他们之间的联系来解题。这类题多用反正法，考生应熟练掌握这部分的题型，负责可能拿到手后根本没有思路，当遇到这种情况时，建议从最基本的定义和概念出发，一步步往结论处求证。有些题可以利用线性相关、五官、向量组得知、极大线性无关组等概念之间的关系直观的得出结论。例7,设名,&是维向量组，则()不正确。(A)如果=，则任何维向量都可以用四,2,”，&线 性 表5(B)如果任何维向量都可以用/.，见线性表示,则f;（C）如果r =s,则任何维向量都可以用，%唯一线性表示；（D）如 果”，则存在维向量不能用线性表Z H O【分析】利 用“用秩判

21、断线性表示”的有关性质。当 时，任何维向量添加进，q时，秩不会增大，从 而（A）正确。如 果（B）的条件成立，则任何维向量组氏 外 ，月都可以用%,%.,%线 性 表 示,从 而r电&，PJ r（a3aA,a）如果取7，%，小是一个阶可 逆 矩 阵 的 列 向 量 组，则 得 到r i =5，%,小）小,&n 9 从而r（a1,a2,-,av）=7j,正确。（D）是（B）的逆否命题，也正确。当 时，不能保证任何维向量可用囚,%线性表示（如时），因 此（C）不正确。8、过渡矩阵过渡矩阵是考试所要求的考点之一，但不是每年都出题的。所以考生在复习时容易忽略这个考点，其实考察的东西很简单，只要考生抓住

22、概念就可以了，出题也只会考察它的概念，不会出很深的知识点。【定义】设和都 是 V 的基，并设自在7，4，,么中的坐标为*，,Q称矩阵C 0 1 2 70 2 1 C2 2 C2 sc=.,.%一为做、到的过渡矩阵。此时，如果V中的向量a在7,7，,2 中德坐为%=（%,了2,工），在相,心中的坐标为了.,W,则有坐标变换公式x=Cy,两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。9、关于基础解系基础解系是线性代数中一个非常重要的概念，对于这块内容的考察也是一个重点，但是我们在答疑或者是改卷过程中发现还是有很多同学概念混淆，所以由必要在此强调。【定义】设2,f 是跄=。的解向量,如果（1）和“M 线性

23、无关；（2）4=0 的任一个解向量可由 xvx2,-,xp线性表示，则称3,，品是Ax=o的一个基础解系。10、如何确定自由变量并赋值？很多考生在这块也容易犯错误，因为不同的赋值方法可能得到不同的结果，所以考生只要概念理解清楚，按照步骤就一定能得到正确答案，下面介绍确定自由变量并赋值的基本步骤：(1)对系数矩阵作初等行变换化其为阶梯形(2)由秩 确定自由变量的个数(3)找出一个秩为 的矩阵，则其余的”，列对应的就是自由变量(4)每次给一个自由变量赋值为1,其余的自由变量赋值为0(注意共需赋值 一 4)次)o对阶梯形方程组由下往上依次求解，就可以得到方程组得解。11、关于公共解公共解也是一个考点

24、，公共解的求解一般有固定的方法，考生针对题型掌握其中的一两种就可以了，下面以例题形式介绍公共解的几种处理方法：例8,设有两个4元齐次线性方程组（I ）卜+=。（I I ）X2-X4=0X j-x2+x3=0 x2-x3+x4=0（5）求线性方程组（I ）的基础解系；（6）试问方程组（I ）和（I I）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。关于公共解，有以下几种处理方法：（1）把（I ）和（I I）联立起来直接求解；（2）通 过（I ）和（I I）各自的通解，寻求公共解；（3）把（I ）的通解代入（I I）中，如仍是解，则 把（I ）的通解代入（I I ）中寻求公共

25、解。如：（I ）的基础解系为 刍=（0,0,1,0）7,（-1,1,0,1/,那么他的通解就是+结2=（-右&，心2尸要是（I D的解，就因该满足（H）的方程，故 k?-k?+k=0h _ k+k2 =0解出勺=2 k2 9所以其公共解是2 k 2 （0,0,1,0）7 +&（T,1 0 1 =女2 （T，1，2,1尸例9,设A是好阶矩阵，证明齐次线性方程组（I ）屋 小:=0和（I I）A x =O 同解。【证】如果a是（I I）的解，贝！U=0,显然A a=O即a是（I ）的解，故（I I ）的解全是（I ）的解。若a是（I ）的解，即A-那么a A AaO 即（A a）（4 a）=0即|/4|2=0 故 A a=O所以a必 是（I I）的解，即（I ）的解全是（I I）的解，从而方程组（I ）与（I I ）同解。1 2、求A相似标准型的方法（对可对角化的矩阵）相似对角化是一个重要的考察点，这部分牵涉的计算量比较大，所以考生一定要细心，下面介绍求相似标准型的方法：(1)求A的 特 征 值,4,设4是重根；(2)对每个特征值4，求(4-A)x=0 的基础解系，设为x小x,2，,x,；(3 )令 p=(X”X2,X,4,X21，X22,乂2小,Xsi，X,v2,X,”,),则P lAP=d i a g(，4,4,，儿),其中有，个4(i=l,2,s)