2023年高考极化恒等式专题训练.pdf

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1、极化恒等式阅读以下材料:引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.证明：不 妨 =而=加，则 前=+巩DB=a-b-2 Z-2|2 I 12A C=A C =卜+=+2 .0+性 (1)同，丽 2一 2 7 3+印(2)（1）（2）两式相加得：阿+国=2 何+时=2 网,+研）结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思 考1：如果 将 上 面（D （2）两式相减，能得到什么结论

2、呢？&石=；（a +坂）-（4-9-极化恒等式即：a-b=ACf-DBf（平行四边形模式）思 考2：在三角形4 5 c中（M为8C的中点），此恒等式如何表示呢?因为3c=2 3 ,所 以 福 而=|曲 _ 忸根2（三角形模式）2016 江苏填空倒2 例1如图，在AAB C中，D是B C的中点,E,F是AD上 的 两 个 三 等 分 点 丽.声=4,BF C F=-，则 而.屈 的 值 是7【答案】-8【解析】法一：极化恒等式BA C A=AB AC =A D-B D=4 BF CF=FD-B D -B D解 得 正 若说故而丘揖衣=肉-方J石 一 而 十法二：分 点 恒 等 式（拆分，基向量）

3、-2 I|.1 BF=BD+BA=BC+BA,3 3 3 3.1.2 1-2 BE=-B D+-B A =-B C+-B A ,3 3 6 3 2 1 1 1 CF=-C D +-C A =-C B +-C A3 3 3 3.I.?-I 2 CE=-C D +-C A =-C B +-C A3 3 6 3而小 频+河.的+河 T|珂+期a+海丽+轲 LBC，CA+LBA.CB=LBC.CA+AB）=-BC,化 简 得-|阿+（丽0=T =|珂言丽.瓯前+2丽 .而+2卞 =相2+!前（m+而）+丽（6 3 八 6 3 J 3 61 I 9 9 8【方法二点评】：选取的基向量计算有点复杂，可 以

4、 考 虑 将 丽 和 市;作为基向量.例 2 如图，已知等边4A B C 内接于半径为2 的OO,点 P 是。0 上的一个动点，则.而取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】【解析PA PB=PD-|AD|2=|PD|2-1,2PA PBe ,23 练习2012北京高考改编1.已知正方形ABCD的边长为1,点E 是 AB边上的动点，则 诙.丽 的 值 为.【答案】1【解析】投影；极化恒等式；拆分；建系 变式 一一等和线复习（参考）如图正方形ABCD的边长为1,点 E 是 AB边上的动点，若EB=XEA+死。,则 的 最 小值为.【答案】2广 东 省“百越名校联盟”12月联考第5题2.已知菱形ABCD的边长为2,44=60。，点P 满足Q =g（而+/），则 明 丽=【答案】3【解析】极化恒等式；拆分；建系3.在锐角“皮?中，已知8=2，|而-恁|=2,则 福 衣 的取值范围是【答案】（0,1 2）解析AB-AC=AM-|W|2=|Sw|2-i,而要使 AB C为锐角三角形，则A在线段MN上，则 卜（1,而），A A B-A C e（O,1 2）N4.正 A3 C边长等于逐，点P在其外接圆上运动，则 而 丽 的取值范围是（）A.3 32 2B.2 2,2C._ L 22,2D._ ,2,2【答案】B