微积分练习册(下).pdf

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1、微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题77 空间直角坐标系1.填空题(1)下列各点所在象限分别是：a.(1,-2,3)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；b.(2,3,-4)在；c.(2,-3,-4)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；d.(-2,-3,1)在。(2)点 P(-3,2,-l)关于平面XOY的对称点是,关于平面YOZ的对称点是,关于平面ZOX的对称点是,关于X轴的对称点是,关于 Y轴的对称点是,关于Z轴的对称点是 o(3)点 A(-4,3,5)在 XOY平 面 上 的 射 影 点 是,在 YOZ平面上的射影点是,在

2、 ZOX面上的射影点是,在 X轴 上 的 射 影 点 是,在 Y轴上的射影点是,在 Z轴上的射影点是。(4)已知空间直角坐标系下，立方体的4个顶点为A(a,”,。)，B(a,-a,-a),C(-a,a,-a)和 D (a,a,a),则其余顶点分别为,班级:姓名:学号:2.已知三角形的三个顶点 A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(-5,0,2),求过 A,B、C三点的中线的长度。3.已知平行四边形ABCD的两个顶点A(2,-3,-5),B(-1,3,2)及它的对角线的交点E(4,-1,7),求顶点C、D的坐标。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何4.已知某直线线段AB被点C(2,

3、0,2)及点D(5,-2,0)内分为3等分，求端点A、B的坐标。5.求点M(-4,3,-5)到各坐标轴的距离。班级：姓 名：学号:6.在YOZ面上，求与三个已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-2 向量及其线性运算1.填空题(1)已知某向量B与2平行，方向相反，且,=2同，则5由1表示为 o(2)已 知 梯 形O A B C,在/且 3 =1/2了，若3 =1,5 6=5,则AB=。(3)一向量的终点在点B(2,1,-7),它在X轴，Y轴和Z轴上的投影依次为4,-4和7,则这向量的起点A的坐标为(5)已知

4、A(4,0,5),B (7,1,3),贝i j A B=。2.一向量的起点为A (1,4,-2),终点为B (-1,5,0),求在X轴、Y轴、Z轴上的投影，并 求AB o班级:姓名:学号:3.已知两点M(4,也,1),2(3,0,2),计算向量”1加2的模，方向余弦和方向角。4,已知。=3,5,4 3=一6,1,2 忑=0,-3,-4 ,求2。3 5+4 0 及其单位向量。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何5.一向量与x轴，y轴的夹角相等，而与Z轴的夹有是前者的两倍，求该向量的方向角6.已知向量。与三坐标轴成相等的锐角，求它的方向余弦，若 同=2,求向量的坐标班级:姓名:学号:7.设

5、5=3i+5j+Sk,b-2i-4 j-lk,c -5i+j-4k,求向量7-4a+3b-cx轴上的投影以及在y轴上的分向量8.已知两向量。=2,5,-1,=3,1,平行，求 儿的值微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-3 数 量 积 向 量 和 混 合 积1.填空题(1)已知5,左乙为单位向量，且满足a +B +0=。，则 万+=(2)若向量B与向量方=(2,1,2)共线，且小5=-1 8,则5=.(3)已知同=3,忖=5,问/!=时，a +篇与万一肪相互垂直。A(4)已知同=2,何=3,归 叫=近，贝I J伍历=.(5)已知。与5垂直，且 同=5,忖=12,则归+同=,a-b

6、 =(6)向 量 圆 两 两 垂 直,且 同=1,W =2,同=3,则$=G B +e的长度为2.已知，试求：(1)2与很的夹角；(2)G在B上的投影.班级:姓名:学号:3.已知同=3,W=36,卜X,=7 2,求54.判 断 向 量 万 是 否 共 面：(1)5=3,2,5,5 =1,1,2,c=9,7-16;(2)5=1,-2,3 J=3,3,1,c=1,7-5微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何5.已知 A(l,-1,2),B(5,-6,2),C(l,3,-1)，求:(1)同 时 与 薪 及 就 垂 直 的 单 位 向 量；(2)ABC的面积；(3)从顶点A到边BC的高的长度班级

7、：姓 名：学号:6.一个四面体的顶点为 A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5)和 D(6,0,3),求它的体积。微积分练习册 第七章向量代数与空间解析几何习题7-4平面与直线(一)1.填空题(1)过 点(3,0,-1)且与平面3 8一7)；+5 4 =0平 行 的 平 面 方 程 为.(2)过 两 点(4,0,-2)和(5,1,7)且平行于a x轴的平面方程为.(3)若平面A X +B y +G z +R=3f-A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直，则充要条件是 若上两平面互相平行，则充要条件是.(4 )设 平 面%：+什 一2 -9 =0,若 乃 过 点，则女=;又若乃与

8、平面2 x +4 y +3 z-3 =0垂直，则人=.(5)一平面过点(6,-10,1),它在a x轴上的截距为，在。z轴上的截距为2,则该平面方程是(6)一平面 与 匹：2 x +y +z =0及乃2 ：=1都垂直，则该平面法向量为2.求过点Mo(2,9,-6)且与连接坐标原点及点“0的线段CW。垂直的平面方程班级：姓 名：学号:3.分别按下列条件求平面方程：(1)平行于X O Z平面且通过点(2,-5,3)；(2)平行于X轴且经过点(4,0,-2),(5,1,7)；(3)过 点(-3,1,-2)和 Z轴.微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何4.求过点(1,1,1)和 点(0,1,-

9、1)且与平面x+y +z =0 相垂直的平面方程。5.求通过点A(3,0,0)和 B (0,0,1)且与x oy 平面成乃/3的平面方程。班级:姓名:学号:6.求 点（1,-4,5）到平面%-2），+4 -1=0的距离。7.已知平面口:尤-2 y +2 z +2 1 =0与 平 面 口？:7 x+2 4 z -5=0 ,求 平 分 口1和口？夹角的平面方程。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习 题7-4平 面 与 直 线(二)1.填空题X 3 7 1(1)过 点(4,-1,3)且平行于直线=-的直线方程为2 5(2)过 两 点(3,-2,1)和(-1,0,2)的直线方程为(3)过 点

10、(2,0,-3)与直线|一 2)+4二=7 垂直的平面方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3x+5 y 2 x=-1(4 )直 线 入：土2 =)二2 =三 里 和 平 面 万：2 x+3y +3z 8 =o的 交 点 是3 12尤 +y +3z 0(5)直线 7 与平面x-y -z +l =0的夹角为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _工_ y _ z =02.写出直线L:fV-V+Z=1的对称式方程及参数方程2 x+y+z =4班级：姓 名：学号:3.求满足下列条件的直线方程：(1)过 点(4,-1,3)且平行于直线x 3 =2V =7-1.

11、2 1 5(2)过 点(0,2,4)且同时平行于平面x+2 z =l和y 3z =2.(3)过点且垂直于平面2 x+3y +z +l =0.微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何2 x y +z 4 =04.求点（3,-1,2）到直线）的距离.x+y-z +l =05.求直线J 4“一）+3 =1 在平面2 x 一），+5z -3=0上的投影方程.x+5y-z +2 =0班级:姓名:学号:x+y z 1 06.已 知 两 直 线 J 和 ：x=y =z l2 x+z-3 =0 (1)求过右且平行于心 的平面方程；(2)求 4与&间的最短距离7.求两直线x+2 y+5=02 y z -4

12、=0y =0 x+2 z +4 =0的公垂线的方程.微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-5 曲面及其方程1.填空题：(1)以 点(1,2,3)为球心，且 过 点(0,0,1)的球面方程是(2)将X O Z坐标面上的抛物线z 2=5x绕”轴旋转而成的曲面方程是(3)将xo y坐标面上的圆X?+0-=2绕o y轴旋转一周所生成的球面方程是，且球心坐标是,半径为2 2 2(4)方 程 乙+乙-三=0表示旋转曲面。，它的旋转轴是2 2 3(5)方 程/=2在 平 面 解 析 几 何 中 表 示,在空间解析几何中表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ O2.画出下列各图(1)y o

13、z坐标面上Z?=y绕0 y轴旋转而成的曲面班级:姓名:学号:(2)由X+z=1,/+y2=1和z=0所围立体的表面.2 2工+汇=14 9微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何3.作出下列不等式所确定的空间区域：(1)x2+y2 l,z 0;(2)x2+4y2 2z,Z2+3 2 2 0,y 0,z 0;(4)-x2-y2+4z2 4,|z|2 与 =J R 2 一池一所围成的有界区域用不等式组可表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2.指出下列方程所表示的曲线X +4,2+9z2=36y2+z2-4 x+8=0y=4班级：姓 名：学号:3.画出下列曲线在第一卦限的图形：7

14、 =J4-X2-V2 fx2+y2=a2 z x y；(2),)x-y=O x2+z a-YZ v2 _ L r2=94.将曲线/)化为参数方程y=x微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何5.求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在x”面上的投影曲线方程6.求旋转抛物面z=x2+y2(0 z 0),则/(x)=x y(4)若/(x+y,2)=x 2 y 2,贝|J/(x,y)=(5)函数z =_也 二y 的定义域是l n(l-x2-y2)(6)函数z =的定义域是(7)函数z =a r c s i n 的定义域是v “+2 x(8)函数z =,的间断点是y2-2x2.求下列极限

15、:而2-2忧 xy班级:姓名:学号:l i m皿X TO Y.vfO Ac r 1-C O S(X2 4-V2)(3)l i m 2 2,(x-微积分练习册 第八章多元函数微分学3.证 明 limx2+y2T4.证明：极 限 lim=0 不存在(x,y)f(0,0)工 4+y班级：姓 名：学号:xsin-,(x,y)*(0,0)5.函数/(x,y)=x2+y2 在 点(0,0)处是否连续？为什么？0,(x,y)=(0,0)微积分练习册 第八章多元函数微分学习 题 8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题x a?dz(1)设z=hnan土，则 丝=_ _ _ _ _ _ _ _ _y dx

16、8y(2)设=6-曰 +),则 匕=_ _ _ _ _ _ _ _ _dx dy/八、儿 了 巾出“加 du(3)设w=x ,则一=_ _ _ _ _ _ _ _ _,=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,一z dx dy dz 设z=tan乜 则眨=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，三|=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _三x dx2 dy2 dxdy分2(5)设“=(2尸，则=_ _ _ _ _ _ _ _ _y dxdy(6)设/(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则.f(a+x,b)-f(a-x.b)lim-=_i x2.求下列函数的偏导数(l)z=(1+

17、xy)班级:姓名:学号:(2)w=arcsin(x-y)3.设z =求函数在（1,1）点的二阶偏导数微积分练习册 第八章多元函数微分学4.设z=xln（孙），求 上 O和 上 二dx2dy dxdy25.z=e 成化问 x-F y dx dy班级:姓名:学号:M/(%,y)=2,/y),则 丝=_ _ _ _ _ _ _ _ _ 产dx dy(6)u=f(x,xy,xyz)，则一=_ _ _ _ _ _ _ _ _dx班级:姓名:学号:1d2z2.设z=-f(x y)+yf(x+y),f具有二阶连续导数，求x dxdy3.设z=/(X,),/具有二阶连续偏导数，求 黑y dx微积分练习册 第八

18、章多元函数微分学y24.设z=0X2x,?)J,具有二阶连续偏导数，求 三 Jx dxdy5.设z=/(sinx,cosy,eK),/,具有二阶连续偏导数，求 第dx班级:姓名:学号:7.设/与g有二阶连续导数，且z=/(x +af)+g(x-a f),证明:d2z _ d2z定密微积分练习册 第八章多元函数微分学习题8-5 隐函数的求导公式1.填空题：(1)设 I n y x2+y2=ar ct an ,则 虫=(2)设 x+2 y+z -2yjxyz=0 ,dz办dz3y(4)设Z*=v，则 上dz2yd2z2.设e，=xyz，求F T班级:姓名:学号:P273.设 z，3盯z =,求-d

19、xdy4.设 2 s i n(x +2 y 3 z)=x +2)，3 z 求-1-dx dy微积分练习册 第八章多元函数微分学5.设42 9Z=X+求 生也x2+2y2+3z2=2 0 八 dxdx6.设y=/(x,f),而，是由方程尸(x,y/)=O所确定的x,y的函数，求 生dx班级:姓名:学号:7.设由方程尸。+三,)，+三)=0确定z=z(x,y),F具有一阶连续偏导数，证明:dz dzx+y=z-xydx dy8.设x=x(y,z),y=y(z,x),z=(x,y)都是由方程尸(x,y,z)=O所确定的有连续偏导数的函数，证明：包.生=dy&dx微积分练习册 第八章多元函数微分学习题

20、8-6多元函数的极值及其应用1 .填空题：(1)z=x2-y2+2xy-4 x +gy z 驻点为(2)/(x,y)=4(x-y)X?-y 2 的极_ _ _ _值为(3)f(x,y)=e2 x(x+y2+2 y)的极 值为(4)z=盯在适合附加条件x+y=1下的极大值为(5)u=/(x,y)=-y2 在 D=卜,y|x2+V 上 的 最 大 值 为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2.从斜边长为L 的一切直角三角形中，求有最大局长的直角二角形.班级：姓 名：学号:3.旋转抛物面Z=x2+V 被平面x +),+

21、z =1 截成一椭m,求原点到该椭圆的最长与最短距离微积分练习册 第八章多元函数微分学4.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为（3-a r-丹）x,（4-偿-2,）y,（a/?0）,求使产鱼总量最大的放养数班级：姓 名：学号：5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q 为产出量：若生产函数为。=2 X 夕，其 中 为 正 常 数，且 a+=1,假设两种要素的价格分别为p1和 P 2,试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？微积分练习册 第九章 二重积分习题9-1二重积分的概念与性质i.填空题(1

22、)当函数/(x,y)在闭区域D上 时，则其在D上的二重积分必定存在(2)二重积分y)d3的几何意义是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _D(3)若/(x,y)在有界闭区域D上可积，且OnA nA，当/(x,y)N O时，则J J 7(x，y)d S J j 7(x,y)d S ；。2当/(x,y)W 0时，则 JJ/(x,y)db fx,y)d8(4)“S i n(x 2+y 2 M b 3,其中 3 是圆域/+y 2 4 4 2 的面积，D3 =1 6乃(注：填比较大小符号)2.

23、比较下列积分的大小：(1)4=JJ(x+y)2 db与A=JJ(x+y)3db其中积分区域D是由x轴，y轴与直D D线x+y=1所围成班级：姓 名：学号:(2)I =J，n(x+y)db 与 右=JJp n(x+y)1 d b,其中D DD=(x,y)|3 x 5,0 y l3.估计下列积分的值(1)I=j j x y(x +y +V)d8,其中 =(x,y)0 x 1,0 y 2 D微积分练习册 第九章 二重积分(2);=j j(x2+4 y2+9W，其中0 =(北田,2 +4D4.求二重积分 JJ J l-J-y 2dbx2+y2 0)DX所围成的闭区域，化为先X后y的积分，应为(5)将二

24、次积分 d x f(x,y)dy改换积分次序，应为Jt7r 得 in xdx f x f(x,y)dy改换积分次序，应用0 J-sin(7)将 二 次 积 分d y nf(x,y)dx+J：力改换积分次序，应为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(8)将二次 积 分J：dy(/(x,yMx+改换积分次序，应为班级：姓 名：学号:2.计算下列二重积分：(1)，其中 D -(x,y)|a x h,c y dD(2)“(K+V M b,其中D是由直线y=2,y=x,及y=2x所围成的闭区域.D微积分练习册 第九章 二重积分(3)J J J y-x

25、 21dx办，其中 O.-lW xW l,0W y2D3 .计算二次积分J 班级：姓 名：学号:4 .交换积分次序，证明：d y e m 3 x)/(x M x =(a x)e (i)/(x)d x5.求山曲面Z =+2)2及z =6 -2%2 一 /2所围成的立体的体积.微积分练习册 第九章 二重积分习题9-3利用极坐标计算二重积分1 .填空题(1)把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 J I /(x 2 +y 2,a r c ta n )dxdy=;x2+y22x O =(x,y)|l x2+y2 x J j dxdy=(2)化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 od x 广 f /(

26、/+y 2 )dy=,(a M 0)d x L 6+y2)d)=；p 2 5/3.t y J()J/(arctan)dy=;fd x y M)=-J(J J(J班级：姓 名：学号:2.计算下列二重积分(1)0皿1+/+y 2).淇 中D是由圆周/+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限D内的闭区域.(2)/21 2 dxdy，其中D是山曲线y=F与直线y=所围成的闭区域.微积分练习册 第九章 二重积分(3)一 /一 二2.6淇 中D是由圆周X?+V =R x所围成的闭区域D(4)(2)0 p +y2-21db淇中(2)D:x2+y2 0)围成的区域为底，而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积

27、微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题1 0-1微分方程的基本概念1.填空题(1)方程/(y”)4 _ 3 y +y I n x =0称为 阶微分方程(2)设 =(乂4，。2,%)是方程了,一砂 +2 y的通解，则任意常数的个数n=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(3)设曲线y =y(x)上任一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程(4)设曲线y =y(x)上任一点(x,y)的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a,则曲线所满足的微分方程(5)某人以本金p 0元进行一项投资，投资的年利率为了,若以连续复利计，t年后资金的总额为p =(6)方程y =x +J

28、；ydx可化为形如 微分方程2.已知Q =cek,满 足 微 分 方 程 丝=-0.0 3 2 ,问C和K的取值应如何？dt班级：姓名：学号3 .、若可导函数/(X)满足方程/(x)=2V(f)力+1.(1),将(1)式两边J 0求导，得/(x)=2 V(x).(2)易知/(x)=ce,(c为 任 意 常 数)是(2)的通解，从而/(x)=ce,为(1)的解，对吗？4.证明：y=c1x +c2x l n|x|是微分方程/，“一町+），=0的通解.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-2 一阶微分方程（一）1.求下列微分方程的通解:y i-y2l-x2V+3 x(2)y+=oy(3)

29、3e tanydx+(2-ex)sec2 ydy=0班级：姓 名：学号:2.求卜列微分方程满足所给初始条件的特解：(1)sin y cos xdy=cos y sin xdx,y v=0=意 小 事=0,必。=13镭的衰变速度与它的现存量R成正比，有资料表明，镭经过1 6 0 0 年后，只余原始量 R。的一半，试求镭的量R与时间，的函数关系微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-2 一阶微分方程(二)L 填空题(1)设)，*是 虫+p(x)y =Q(x)的一个解，Y 是对应的齐次方程的通解，则该方程dx的通解为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _X 1(2 )y*是 方 程 盯

30、+y =x e、的 一 个 特 解，则 其 通 解 为(3)微分方程盯+y -y 2 1 n x =0作变换 可化为一阶线性微分方程(4)(x +y)y +(x y)=0的通解为X X x(5)(1+2/)dx+2ev(1 )dy=0 的通解为y2.求下列微分方程的通解：(1)xy+y-x2+3x+2(2)(x-2 x y-y2)y+y2班级：姓 名：学号:03.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:+ycotx=5emsx,y=-4dx微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:半=(x+y)2ax(2)xyr+y=y(ln+In

31、 y)班级:姓 名：学号:5.已知一曲线过原点，且它在点(x,y)处切线的斜率等于2x+y,求该曲线的方程6.设 /(x)可微且满足关系式 J 2/(Z)-id i=/(x)-1,求/(x)微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-3 一阶微分方程在经济学中的应用1.已知某商品的需求价格弹性为殁=-P(lnP +l),且当P=1时，需求量Q=1EP(1)求商品对价格的需求函数(2)当P f+o o 时，需求量是否趋于稳定？2 .已知某商品的需求量Q对价格P的弹性=3 2 2,而市场对该商品的最大需求量为1 万件，求需求函数班级：姓 名：学号：3 .已知某商品的需求量Q与供给量S都是价格

32、P的函数：。=前其中。0 为 0 为常数，价格P是时间f的函数，且满足虫=%0(。)一S(p)伏为正常数)假设当f=0时，价格为1,试求：(1)需求量等于供给量的均衡价格4(2)价格函数p(3)l i m /?(/)微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为 N,在f=0 时刻已掌握新技术的人数为5%,在任意时刻f 已掌握新技术人数为x(f),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数攵0求 x(f)班级：姓 名：学号：5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%,希望连续2 0 年以每年1

33、2 0 0 0 元人民币的速度用这帐户支付职工工资。若f以年为单位，写出余额8 =/所满足的微分方程，且问当初始存入的数额B 为多少时，才能使2 0 年后帐户中的余额精确地减至0.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题1 0-4 可降阶的二阶微分方程1.填空题(1)微分方程y =五 的通解为.(2)微分方程y =l+(y)2的通解为(3)微分方程y=y+元的通解为.(4)微分方程抄 +(y)2=y 的通解为.（5）微分方程y +ST =0的通解为（6）设 月=，与%=x?l nx是 方 程/一3盯 +4 y =0的特解，则其方程的通解为.2 .求下列微分方程满足所给初始条件的特解班级:姓

34、名:学号:3.求下列微分方程满足初始条件的特解:（1）?*-2=0,九。y =九 产），1”0微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程Y4.试求y =x的经过点M(O,1)且在此点与直线V =/+1 相切的积分曲线5.验证弘=/及 为=祀/都 是 方 程 -4肛+(4/-2万=0的解，并写出该方程的通解.班级：姓 名：学号:6.设函数y(x),乃(x),%(%)均是非齐次线性方程限+a(x)立+b(x)y=/(x)的dx ax特解，其中a(x)力(x),/(x)为已知函数，而 且)2(x)一.(x)不常数,求证乃。)一口(x)y(x)=(1-c,-c2)y1(x)+c1y2(x)+c2y3(x

35、)(4,。?为任意常数)是该方程的通解.7.证 明 函 数y c1ex+c2e2x+e5x（c,c2是 任 意 常 数）是 方 程y 3 +2），=0 5*的通解.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）1.填空题（I）微分方程y 4 y=0的通解为.（2）微分方程y+4 y+4 y=0的通解为.（3）微分方程y”+2y+5 y=0的通解为.（4）微分方程y+2 y+a y=0 （a为常数）的通解为(5)设2 i为 方 程y+py+qy=O的 特 征 方 程 的 两 根，则 其 通 解 为(6)设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为八=2=4,则该二

36、阶常系数齐次线性微分方程为.班级：姓 名：学号:2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1)y-4V +3y=0,y|x=0=6,yz|v=0=10（2）4 y+4 y，+y=0,y|,t=0=2,y,|A=o=O微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程（3）y-4 y+1 3 y=o,y|.=o=O,，|,v=0=33.求以H =,为=x/为特解的二阶常系数齐次线性微分方程班级：姓 名：学号4.方程4 y +9 y=0的一条积分曲线经过点（灯,一1）且在该点和直线y+1 =x -7?相切，求这条曲线方程5.求/y/一(y，)20的 过(1,0)点，且在此点与y=x l相切的积分曲线.微积

37、分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-5常系数线性微分方程(二)1.填空题：(1)微分方程y +2y,+y=xex的特解可设为型如y*=.(2)微分方程y-7 y+6 y=s in x的特解可设为型如y*=.(3)微方程yn-2y+5y=ex s in 2 x的特解可设为型如y*=(4)微分方程y+y=x +c os x的特解可设为型如y*=.微分方程y -y =xsin2 x 的特解可设为型如y*=(2)y+y=e*+cosx2.求下列微分方程的通解：(1)y+3y+2y=3xex班级：姓 名：学号:3.求微分方程满足所给初始条件的特解:y-y=4xex,y|,t=o=O,y|,t=

38、0=l.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.设函数y=y(x)满足微分方程y 了 2y=3e-,它的图形在x=0处与直线y=x相切，求该函数5.设函数(x)连续，且满足e(x)=e*+力一x fyQ)力，求夕(x).班级：姓 名：学号：6.设函数y(x)(x N 0)二阶可导，且/(%)0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点p(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上.述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为,区间 0,划 上 以y=y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S 2,恒有2 S 1 S 2 =1，求曲线y=y(x)的方程.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题1 0-

39、6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构1.填空题(1)设=/，则 K X-(2)设 打=,则=(3)设 yx=cos 2x,贝I=(4)差分的运算法则：A(c)=(+z。=-2.已知y*=e*是方程L+ayx=2 e*的一个解，求a.班级：姓 名：学号:3.求下列函数的二阶差分(1)y-e3 1(2)y-2x3-x2(3)y=logfl x(a 0,。wl)微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.给 定一阶差分方程yx+pyx=A ax,验证：A(1)当p+QWO时，八 二-优 是方程的解.p+a(2)当p +=0时，L=A r a T是方程的解班级：姓 名：学号:习题107 一

40、阶常系数线性差分方程(一)1 .填空题(1 )一 阶 常 系 数 齐 次 线 性 差 分 方 程 以+1 a y,=0(a w 0)的 通 解 为2.求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解：(D 2 y*+1 -3八=0=0 为+1 一 八=0微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-7 一阶常系数线性差分方程1.填空题 若/(x)=p“(x),则一阶常系数非齐次线性差分方程月+1-a y,=/(x)具有形如y：的特解.当1不是特征方程的根时，k当1是特征方程的根时，k=.2.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解(1)2 yx M +5”.=0且=3班级：姓 名：学号:。，且 y()

41、=23.求下列一阶差分方程的通解(1)A y t-4yx=3(2)yx+l+4y*=2/+x+l微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程 =2,（4）y,+1+y,=t-2班级：姓 名：4.求下列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解（1）L+I +4 yx =2 x?+x -2 且 y。=1学号:久+1+y*=2，且%=2微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题1 0-9差分方程的经济应用1.（存款模型）设S,为f年末存款总额，r为年利率，有 关 系 式=S,且初始存款为S。，求r年末的本利和.班级：姓 名：学号：2.设某产品在时期，的价格，总供给与总需求分别为e，S,与0,对于r =0,

42、1,2,有6=2尸,+1关系式：D,=+4 =D,(1)求证：由关系式可推出差分方程+1+2=2；(2)与已知时，求该方程的解.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程3.设 为t期国民收入，c,为f期消费，I为 投 资（各期相同），三者有关系式y,-c,+l,c,-ay,_i+/?,其中 0 a 0已知f=0时，y,=y（）,试求和c,班级：姓 名：学号：4.设某商品在f时期的供给量s,与需求量d,都是这一时期该商品价格p,的线性函数,已知s,=3 p,-2,dt=4-5/?,且在 时期的价格p,由一及供给量与需求量之差s-4 T按关系式P,=P i 一；一1 一4-1）确定1O试求商品的价

43、格随时间变化的规律.微积分练习册 第十一章 无穷级数习题11-1常数项级数的概念和性质1.填空题00(I)收敛，贝I-un+3)=.n=1(2)“收敛，且S“=为 +的+-+%，则l i m(S“1+S“T2S,)=-00n=d)+(*+)+(/+*)+的和是-(4)若的和是3,则 “的和是M=1 rt=3(5)J 的和是2,则二的和是_ll=N=1 2(6)当上|时，.的和是M=l2.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性念(2 一 1)(2“+1)班级：姓 名：学号:”=13.判断下列级数的敛散性(1)Z(T 严=1微积分练习册 第十一章 无穷级数84Z（T）飞）”=1 58 On=

44、l乙.Z U o.ooin=l班级:姓名:学号:00（5）S=12+36(6)LJ+2+./+.5 25 5 微积分练习册 第十一章 无穷级数习题1 1-2正项级数及其审敛法L用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性:C C 1（I）E-r=n=l +1c 6 l +2（2）_ 0)=i8 1 Z（T）n=2 I n n3.已 知 级 数 和f”都收敛，试证明级数。或绝对收敛.=1 n=l n=l微积分练习册 第十一章 无穷级数习题1 1-4泰勒级数与黑级数（一）1.填空题（I）若基级数。（七 二）在 尤=0处收敛，则在x=5处_（收敛、发M=1 2散）.(2)若lim 一+co

45、=2,则箱级数Z c/2 的收敛半径为n=0（3）（一3）、”的收敛域.=1 （4）寸虫”1的收敛域.=0 ,00 2n+(5)Z(T)J的收敛域_.,1 ,2”（6）才 旦4（x 2）的收敛域_.M1+2.求下列募级数的收敛域：00Z=12n2+1xn班级:姓名:学号:6 2一1 3M=l N6E=1n-3n(x-3 f微积分练习册 第十一章 无穷级数00.3.若 幕 级 数 的 收 敛 域 是 -9,9,写的收敛域=!/:=14.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数(1)Z 加 X 7，(一1 0 且 w 1)s i n2 x班级:姓 名：学号:(4)(1+x)l n(l

46、 +x)2.将函数/(x)=(7在/=1处展开成幕级数.微积分练习册 第十一章 无穷级数3.将函数/(x)=展开成(x-2)的基级数.3+x2x+l4.符函数f(x)=-展开成(x-2)的导级数.x-+x-2班级:姓 名：学号:5.将函数/(x)=e3*在x=1处展开成幕级数7 36.设/=J j s i nxcosxdx,n=0,1,2，求w=0微 积 分（下）练习册模拟试卷一微 积 分（下）模拟试卷一一、填 空 题（3 X 5 =1 5 ）1 .设由方程x +y +z =/确定是x,y的函数，则 生=OX2.设 f(x,y,z)=g,则 (1,1,1)=X3 .j j 1-x2-y2dxd

47、y-.x，y 2 qs n4.若级数 (M-)收敛，则l i mM +l 3 8 5.差分方程丫2-2yx=-8的通解为二、选 择 题(3 X 5 =15 )1.下列命题中，正确的是()A.若(无。,%)是 函 数z =/(x,y)的驻点，则2=f(x,y)必在(1,光)取得极值B.若函数z=/(苍/)在(%,%)取 得 极 值，则(%,外)必是z=f(x,y)的驻点C.若函数z=/(x,y)在(x。,%)处可微，则(%,%)必是z=/(x,y)连续点D.若函数z=/(x,y)在(x。,%)处偏导数存在，则=/(,)在(%,%)处必连续2.设 D 由 x 2 +y2 =1 围成，则二重积分/=

48、J J 7(J x 2 +y2)d里=()D4 4 dy 2 M x 应4 H dO rf(y)dr3.若收敛，则f%(n=n=l)A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散 D.敛散性不定班级：姓 名：学号:4.方程y=x +ydx可化为形如()的微分方程A.y-y=B.y=2ex-C.-y-y=1y _y=i)，(0)=0XD=15.差分方程的特解可设为()A.box2 BJ)ox3 C.hox2+bix+b2 D.x(box2+btx+b2)三、计 算 题(6 X8=4 8)1.攻Z =ln t an ,求,.y dx dy2.交换积分次序，求/=3.求/=|j|x2+y2，其中。：/+丁 0也

49、,0）,证明：若Z d 收敛，则 收 敛.an b=|=1微 积 分（下）练习册模拟试卷二微 积 分（下）模拟试卷二一、单项选择题（每小题3分，共 5小 题 1 5 分）1.二元函数z=/（x,y）在点（%,九）的偏导数存在，是在该点可微的（)A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件2.设D是圆域 0）。是口 在 第 一 象 限 部 分 区 域，则JJ(x+y+l)d c r=()D4.4 jj(x+y+l)db B.A R3.下列级数中发散的级数是()jj(x+y+i)d a C.T C CT D.O夕 1AY=nn+1)“=i n4.微分方程-丁=+1的一个特解应有形式（式中

50、。力 为常数）（）A.aex+b B.axex+bx C.aex+bx D.axex+b5.函数z=盯 在（0，0）点处一定为（）A.极大值 B.极小值 C.无法确定 D.不取得极值二、填 空 题（每小题3分，共5小 题1 5分）1.z=e”在 点（2,1）处的全微分dz=.2.-x2-y2dy=其中2 4 a 2D83.若级数卫-）收敛，贝h i m“=_ _ _ _ _ _ _.M n+f4.基级数Zn=x的收敛域是.5.若是二阶线性非齐次微分方程的两个解为3+x2,e-，+3+V且相应齐次方程的一个解为x,则 该 非 齐 次 方 程 的 通 解 为.班级：姓 名：学号：三、计 算 题（每