数列的概念与简单表示、等差、等比.pdf

《数列的概念与简单表示、等差、等比.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列的概念与简单表示、等差、等比.pdf（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、课题：2.1散 列 的 杨 含 简 单 表 示 注授课类型：新授课（第 1课时）教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 教学过程I .课题导入三角形数：1，3,6,1 0,-正方形数：1,4

2、,9,16,2 5,H.讲授新课1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项），第 2 项，第 n 项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第1 项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.3.数列的一般形式：卬,4，的，,明，或简记为%，其中凡是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.中，这是一个数

3、列，它的首项是“1”，是这个数列3的 第“3”项，等等.下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这项的序号有这样的对应关系：项1J _j_23451II序号12345这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：%=,来表示其对应关系n即：只要依次用1,2,3代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系4.数列的通项公式：如果数列%的 第 n项%与 n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不

4、是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0,它的通项公式可以是1 +(1).B,+1 an=-,也 可 以 是=1 cos-n I.2 2数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第1项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5 .数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集(1,2,3,，n )为定义域的函数4=/()，当自变量从小到大依次取值

5、时对应的一列函数值。反过来，对于函数尸/Y r),如 果f(i)(i=U 2、3、4)有意义，那 么 我 们 可 以 得 到 一 个 数 列f(2)、f 、f(4),f(n),6 .数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6 是无穷数列2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列观察：课本P

6、3 3 的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？范例讲解课本P 3 4-3 5 例 1m.课堂练习课本P 3 6 练习 3、4、5 补充练习:根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：._ 2 4 6 8 10(1)3,5,9,1 7,3 3,Y百 M与的(3)0,1,0,1,0,1,；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,(5)2,6,1 2,2 0,3 0,4 2,解：an=2n+1；2n(2 一 1)(2”+1)l+(-Da=-02(4)将数列变形为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,an=n+1 +(-1)2(5)将数列变形为

7、 1X2,一2X3,3X4,-4 X 5,5X6,二 a=(-l)n+ln(n+l)IV.课时小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。V.课后作业课本P38习题2.1A组的第1题板书设计授后记课题：2.1 散 列 的 槌 舍 与 简 单 表 示 法授课类型：新授课(第 2 课时)教学目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与a“的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活

8、，提高数学学习的兴趣。教 学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系教学过程I.课题导入 复习引入数列及有关定义II.讲授新课数列的表示方法1、通项公式法如 果 数 列 乐 的 第 n 项 与 序 号 之 间 的 关 系 可 以 用 一 个 公 式 来 表 示，那么这个公式就叫做这个数列 的 通 项 公 式。如数列.的通项公式为犷)；LLI的通项公式为3 犷.1 4.“为；.(e IA*)2 3 4 的通项公式为 2、图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数丫为横坐标，相应的项外为纵坐标，11 I 1 .即以1,）为坐标在平面直角坐标系中

9、做出点（以前面提到的数列 5 7 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在；一轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.3、递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活.用其来解决些实际问题.观察钢管堆放示意图,模型一：自上而下：第 1 层钢管数为4；即:第 2 层钢管数为5；即:第 3 层钢管数为6；即:第 4层钢管数为7；即：第 5 层钢管数为8；即：第 6 层钢管数为9；即:寻其规律，建立数学模型.94=1+32 65=2+33 6=3+34 7=4+35 8 =5+36 4

10、 9=6+3第 7层钢管数为10；即：7-1 0=7+3若用 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且%=+3（l W n W 7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即。1=4；/=5 =4 +1=/+1；%=6 =5 +1 =%+1依此类推：an-an_x 4-1 （2 W n W 7）对于上述所求关系，若知其第1 项，即可求出其他项，看来，

11、这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列 应 的 第 1 项（或前几项），且任一项。“与它的前一项知”（或 前 n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,3 4,5 5,8 9递推公式为：a=3,a2=5,an=an_t+an_z（3 n 2)a,-a_|=(。+。)-。(-1)+1)是否成立？据此你能得到什么结论？(3)2 a”=6一+%“(%0)是否成立？你又能得到什么结论？结论：(性质)在等差数列中，若m+n=p+q,则，am+an=ap+即 m+n=p+q=?am+an

12、=ap+aq(m,n,p,q GN)但通常由+an=ap+aq 推不出 m+n=p+q ,am+an=ain+ll探究：等差数列与一次函数的关系m.课堂练习1.在等差数列%中，已知牝=10，%2=31，求首项为与公差d2 .在等差数列%中，若 牝=6%=1 5求为4IV.课时小结节课学习了以下内容：1.A =2 =a,4,。,成等差数列22 .在等差数列中，m+n=p+q =am+an=ap+aq(m,n,p,q G N )V.课后作业课本P 4 6 第 4、5 题板书设计授后记课题：3.3等 差 散 列 的 前n顼/。授课类型：新授课(第 1 课时)教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公

13、式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前 n项和有关的问题过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。教 学重点等差数列n 项和公式的理解、推导及应教学难点灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题教学过程I.课题导入“小故事”：高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+100=?”

14、过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+100=5 05 0。教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因 为 1+100=101；2+99=101；-50+51=101,所以101X 50=5050这个故事告诉我们：(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。(2)该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。II.讲授新课1.等差数列的前项和公式1：s.=a+%)2证明：S=+。3+1 +=an+an-+an-

15、2 1-F+：2Sn=(%+)+(%+*_ )+(%+。-2)+.,+(%+%)4 +an=a2+a _ =a3+af l_2.，2Sn=(%+a )由此得：Sn=从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性.2.等差数列的前项和公式2：S“二叫+2用上述公式要求S“必须具备三个条件：,卬,勺但%=4+(l)d 代入公式1 即得：S.=叼+磅；D”此公式要求S“必须已知三个条件：n,ad(有时比较有用)范例讲解课本P49-50的例1、例 2、例 3由例3 得与%之间的关系：由的定义可知，当 n=l时，S 二 4；当 nN 2 时，*二瓜(2 2)m.课堂练习课本P52练 习 1、2、3、4I

16、 V.课时小结本节课学习了以下内容：1 .等差数列的前项和公式1：s“=十%）22 .等差数列的前项和公式2：S“=na+迎”V.课后作业课本P 52-53 习题 A组 2、3 题板书设计授后记课题：2.3等 差 敌 列 的 的 D 项彳。授课类型：新授课（第 2课时）教学目标知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前:项和的公式研究*的最值：过程与方法：经历公式应用的过程；情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从

17、生活中发现问题，并数学地解决问题。教 学重点熟练掌握等差数列的求和公式教 学难点灵活应用求和公式解决问题教学过程I.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1 .等差数列的前 项和公式1：s“=（%+%）22 .等差数列的前项和公式2：5=+（一1 2n.讲授新课探究：课本P 51 的探究活动结论：一般地，如果一个数列%,的前n 项 和 为=p/+q +广，其中P、q、r为常数，且 p wO,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由 Sn=pn2+4 +，得 S =q=p +q+r当 2 2 时 _ 5 _ =（p 2 +g+r）_ p（_ i）2 +式几_ ）+=

18、2_（.+夕）d=an-an_=2pn-(p+q)-2 p(-1)一 (p+q)=2 p对等差数列的前项和公式2：S=na+HI可化成式子:2Sn=ln2+(a1-)n,当d W O,是一个常数项为零的二次式范例讲解等差数列前项和的最值问题课本P 51的例4解略小结：对等差数列前项和的最值问题有两种方法：(1)利 用%:当%0,d 0,前n项和有最大值.可由%2 0,且%+10,求得n的值.当%0,前n项和有最小值.可由a“W 0,且+10,求得n的值.利 用S.：由S n =gi?+(a 1g)n利用二次函数配方法求得最值时n的值m.课堂练习1.一个等差数列前4项的和是2 4,前5项的和与前

19、2项的和的差是2 7,求这个等差数列的通项公式。2 .差数列%中，a4=-15,公差d=3,求数列4“的前n项和5“的最小值。IV.课时小结1.前n项和为S“=p?+q”+r ,其中p、q、r为常数，且p k 0,一定是等差数列，该数列的首项是%=p+q+r公差是d=2 p通项公式是4S =q=p+q+厂,当 =1 时W 2 p （p+q）,当2 2时2 .差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)当a“0,d 0,前n项和有最大值.可由a.2 0,且 明 产。,求 得n的值。当 0,前n项和有最小值.可由%W 0,且a“+1N 0,求得n的值。(2)由S”利用二次函数配方法求得最值时n的值V.

20、课后作业课本P 53习题 A组 的 5、6 题板书设计授后记课题：2.4 等 此 散 列授课类型：新授课（第 1 课时）教学目标知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。教 学重点等比数列的定义及通项公式教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题教学过程I.课题

21、导入复习：等差数列的定义：氏 一a,i=d ,（n 2 2,n N+）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。课本P 4 1页的4 个例子：1,2,4,8,16,111 12 4 8 16()1,2 0,2()2,2()3,2 04,10000 x1.0198,lOOOOxl.01982,10000 xl.01983,10000 xl.01984,10000 xl.01985,观察：请同学们仔细观察一下，看看以上、四个数列有什么共同特征？共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同个常数。n.讲授新课1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起

22、，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表 示“#0）,即：巴=q（4#0）an-1 ”从第二项起”与“前一项”之比为常数（q）%成等比数列=9包=4 （蚱N+，k0）2 隐含：任 一 项%#0 且q=0“对 W0”是 数 列%成等比数列的必要非充分条件.3。4=1时，为常数。2.等比数列的通项公式1:%=4 一 (%pwO)由等比数列的定义，有：a2=aq；a3=a2q=aq)q=axq ；%=a3q=(6 r)q =a ；an=a“_iq=ai q i(aq*O).3 .等比数列的通项公式2:an=am-q(%g H

23、0)4 .既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：课本P56页的探究活动等比数列与指数函数的关系等比数列与指数函数的关系：等比数列%的通项公式%.q*o),它的图象是分布在曲线y=(qo)上的一q些孤立的点。当为0,q 1时，等比数列 a,是递增数列；当生 0,0 q l,等比数列 册 是递增数列；当为0,0 4 1 时，等比数列%是递减数列；当 1时，等比数列%是递减数列；当q 0 时，等比数列%是摆动数列；当q=l 时，等比数列 是常数列。范例讲解课本P57例 1、例 2、P58例 3解略。m.课堂练习课本P59练 习 1、2 补充练习2.(1)一个等比数列的第9 项是士，公比是一工，

24、求它的第1项(答 案：q=2916)931(2)一个等比数列的第2 项 是 1 0,第 3 项是2 0,求它的第1 项与第4项(答案：a尸”=5,a4=a3(?-4 0)qI V.课时小结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式.V.课后作业课本P60 习题A组 1、2 题板书设计授后记课 题:2.4 等 比 数 列授课类型：新授课(第 2 课时)教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念：熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生

25、活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。教 学重点等比中项的理解与应用教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题教学过程I.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同个常数，那么这个数列就叫做等比数歹I J.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表 示(7 0),即：=q%2.等比数列的通项公式：an=a,q (a G2=ab=G =ab,a G反之，若G?二必则9=2,即a,G力成等比数列,皿G力成等比数列O G2=H（b W O）a

26、G 范例讲解课 本P 5 8例4证明：设数列/的首项是为,公比为名;,的首项为4，公比为电，那么数列%,的第n项与第n+1项分别为：q 仇与卬自，电 即为a/i（4 U 2）T与为伉（4 1 4 2）.%+）出=地&）”=,%也 一一 2，它是一个与n无关的常数，所以%,是一个以qg 2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列 为 与 2,数列%也一定是等比数列吗？么探究：设数列%与 a的公比分别为名和,令q,=%，则%+1=4包hn H z.4L=劣+I=（也）（媪）=如,所 以，数列%也一定是等比数列。%an/an bn q2 bnA课本P 5 9的练习4已知数列 6是等比数列，（1

27、）是否成立？蜡=%。9成立吗？为什么？（2）a：=。,”吗血（1）是否成立？你据此能得到什么结论？a：=an_ka,l+k（n k 0）是否成立？你又能得到什么结论？结论：2.等比数列的性质：若m+n=p+k,则为在等比数列中，m+n=p+q,anl,an,ap,ak有什么关系呢？由定义得：am=aqm an=axqnx ap=axqp ak=ax-qkxa”a =a；q -2 =必 必+=则 见 必=%,如m.课堂练习课本P 5 9-6 0的练习3、5I V.课时小结1、若 m+n=p+q,am-an=ap-aq2、若%，a 是项数相同的等比数列，则%也,、%也是等比数列*V.课后作业课本P

28、 60 习题2.4 A 组的3、5 题板书设计授后记课题：2.5篝 比 数 列 的 前D顼4。授课类型：新授课（2课时）教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。过程与方法：经历等比数列前n项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。教 学重点等比数列的前n 项和公式推导教学难点灵活应用公式解决有关问题教学过程I.课题导入 创设情境 提出问题 课本P

29、62 ”国王对国际象棋的发明者的奖励”I I.讲授新课 分析问题 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1,公比是2,求第一个格子到第64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64 项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。1、等比数列的前n项和公式：当qj 时，S,二 或 S.一 M i-q 1-q当 q=l 时，Sl t=nax当已知外,q,n 时用公式；当已知%时，用公式.得公式的推导方法一：一般地，设等比数列外,%+%4,明 它的前n项和是S”=%+%+%1-an（S“=ax 4-a2+%+,明由）,%=a、qSf l=a+aq+a

30、q2 H ciqn2+axqn xqSn=%q +a、q2 4-a1q3+-aqn+4“（1 -q）Sn=a-axqn.当时，s“=虹 二 g 或s“二/一%41-q 1 -q当 q=l 时，Sn=na公式的推导方法二：有等比数列的定义，=幺=2=qa a2 an-根据等比的性质，有 出+。3+4=当=ga +a2+-1 Sn-a,S c i即-=（1 -q）Sn=ax-anq（结论同上）Sa“围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式.公式的推导方法三：S n=%+%+%+.,%=%+4（|+。2+。3+-1）=%+”,1 =%+q（S“一%）=（1-）S =a1-anq（

31、结论同上）解决问题有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。由 6=1,q =2,=64 可得iq1-228-1 这个数很大，超过了 1.8 4 x 1（）1 9。国王不能实现他的诺言。例题讲解课本P 65-66的 例 1、例 2 例 3 解略m.课堂练习课本P 66的练习1、2、3I V.课时小结等比数列求和公式：当 q=l 时，V.课后作业课本P 69习题A组的第1、2 题板书设计授后记当 q w l 时，S,一%或 卬（1一r）q-q课题：2.5 等 地 散 列 的 的 n 咙彳。授课类型：新授课（第 2 课时）教 学目标知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n 项和公式解决有关

32、等比数列的S”,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.教 学重点进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式教学难点灵活使用公式解决问题教 学过程I.课题导入首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：当q H 1 时，S“=一/）或 S =a a,q q-q当 q=l 时，Sn=na当已知巴,q,n时用公式；当已知4,q,。“时，用公式I I.讲授新课1、等比数列前n

33、项，前 2n项，前 3n项的和分别是Sn,S2n,S3n,求证：=Sn(S2 n+S3n)2、设 a 为常数,求数列a,2az,3a n a ,的前n 项和；(1)a=0 时,S=0(2)a#0 时，若 a=l,则 Sn=l+2+3+n=gn(n 1)若 Sr-aS“=a(l+a+aT-na),Sn=-1 (n+l)an+nan+l(1-a)2m.课堂练习IV.课时小结V.课后作业板书设计授后记课 题：数列复习小结2 课时教学目的：1.系统掌握数列的有关概念和公式。2.了解数列的通项公式。“与前n 项和公式S“的关系。3.能通过前n 项和公式Sn求出数列的通项公式a。授课类型：复习课课时安排：

34、2课时教学过程：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列.(2)等差、等比数列的定义.(3)等差、等比数列的通项公式.(4)等差中项、等比中项.(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法.三、方法总结1 .数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想.2 .等差、等比数列中，a“、n、d(g)、S“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法.3.求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1,公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想.4.数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项

35、法，裂项法，累加法，等价转化等.四、知识精要：1、数列 数列的通项公式%=卜|=酬（=1）数列的前n项和5“=%+“2+。3+-+%2、等差数列 等差数列的概念 定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前项的差等于同个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列的判定方法1.定义法：对于数列%,若a,用 一%=1 （常数），则数列%是等差数列。2.等差中项：对于数列%,若2%+|=%+%+2,则数列%是等差数列。等差数列的通项公式如果等差数列%的首项是由,公差是d,则 等 差 数 列 的 通 项 为=卬+（1）1。说明 该公式整理后是关于n的一

36、次函数。等差数列的前n项和1.5,=（的；4）2.=呻+若 西4 说明 对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。等差中项如果a,A,匕成等差数列，那么A叫做a与6的等差中项。即：A =土 吆 或2A =a+b2 说明:在一个等差数列中，从 第2项起，每 一 项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。等差数列的性质1.等差数列任意两项间的关系:如 果。“是等差数列的第九项，a,“是等差数列的第根项，且?4，公差为 d,则有 a=am+（n-m）d2.对于笠差数列 a“，若+机=p +4，则%+a,“=+4。a+a

37、nf-5 、也就是：为+册=。2+。,1=g+%-2=，如图所示：叫严2 M 3,，,-2，:-产 2+n-l3 .若数列 4是等差数列，S,是其前n项的和，k e N*,那么S*,S2 k-Sk,S*S2&成等差数歹U。如下图所示:a+a2+a3+-+ak+ak+x+-+a2 k+a2k+l+-+a3k _、，-J _ _/一、,_/Sk$2*-s*S3k-S2k3、等比数列 等比数列的概念 定义 如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表 示（?关0）。等比中项如果在a与b之间插入一个数G ,使a

38、,G ,b成等比数列，那么G 叫做。与6的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那 么 色=2,即G2=ab。a G 等比数列的判定方法1.定义法：对于数列%,若 皿=q（q N 0）,则数列%是等比数列。2.等比中项：对于数列 乐 ,若 斯%+2=。3,则数列%是等比数列。等比数列的通项公式如果等比数列%的首项是由,公比是4,则等比数列的通项为*=。闯-二 等比数列的前n项和 S“=驾 二 心（9 片1）S =1）当 q =l 时，5 =na1-q 1-q 等比数列的性质1.等比数列任意两项间的关系:如果凡是等比数列的第 项，“是等差数列的第，项，且 用，公理为q，则有。册闯“13 .对于等比

39、数列 a.,若+m=+丫，则a“-a m=a“qara“f_ _A_也就是：%=。2“I =&q-2=。如图所示：。1，。2，。3，一、,-2,册-1,4a24T4 .若数列%是等比数列，S”是其前n 项的和，k w N*,那么S?k-Sk，*4 2A 成等比数列。如下图所示:Sai+a2+a3+-+ak+ak+x+-+a2 k+a2k+l+-+a3k _、，-J _ _/_、，_ JSk Szk-Sk S3k-S2k4、数列前n项和(1)重要公式：12.0 2.o 2,2 (+1)(2 +1).1 +2 +3 +=-；6l3+23+3 =l n(n +l)2.(2)等差数列中，5,+=5,+S+mnd 等 比 数 列 中，5 t+f l=5 +qnSm=Sm+qnSn(4)裂项求和：-=-；(n-n!=(n +l)!-!)n(n+1)n n 4-1