某中学高考数学二轮复习考点解析15：圆锥曲线考点透析.pdf

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1、黄冈中学高考数学二轮复习考点解析1 5：圆锥曲线考点透析【考点聚焦】考 点 1：圆锥曲线的定义与标准方程的求法；考点2：离心率与准线方程；【考点小测】1 .（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为玛（-3,0）、工（3,0），一条渐近线方程为y =届，那么它的两条准线间的距离是（）A.6 6 B.4 C.2 D.1a2+b2=9解析：如果双曲线的两个焦点分别为耳（3,0）、尸 2（3 Q），一条渐近线方程为y =彳b r=/2I a2 _ q2,=,所以它的两条准线间的距离是2 幺=2,选 C.b2=6 c2 22 .（福建卷）已 知 双 曲 线 二-二=1 （a0,伙0）的右焦点为凡若过点尸且倾

2、斜角为6 0 的直线与双曲线a2 h2的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.（1,2）B.（1,2）C.+8 D.（2,+8）2 2解析：双 曲 线 二-当=1（。0/0）的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为6 0 的直线与双曲线的右支有a b且 只 有 一 个 交 点，则该直线的 斜 率 的 绝 对 值 小 于 等 于 渐 近 线 的 斜 率 2,V3.离心率a ae2=4=-7 4,A e 2 2,选 Ca a3 .（广东卷）已知双曲线3 x?-y 2 =9,则双曲线右支上的点p到右焦点的距离与点p到右准线的距离之比等于A.V 2 B.汉 2 C.2 D.43解析：依题意可

3、知 a=V 3,c=yja2+/?2=J 3 +9 =2 内，e =2g=2 ,故选 C.a V 32 7 2 24 .（辽宁卷）曲线 +上=1 的6）与 曲 线 上 一+上=1（5 加 9）的1 0-7 7?6-tn 5 7 n 9 7 n（A）焦距相等（B）离心率相等（C）焦点相同（D）准线相同2 22 2【解析】由+二 一=l（m 6）知该方程表示焦点在“轴上的椭圆，由+-J =1（5机 9）1 0-/?2 6-m 5-m 9-m知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A。【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。5.(

4、全国卷I)双曲线用人 二+)，2 =1的虚轴长是实轴长的2倍，则 2A.-B.-4 C.4 D.-4 4%21解：双曲线 l d +y 2=i 的虚轴长是实轴长的2倍，m 0,且双曲线方程为+y2=1 ,/.m=，4 -4选 A.N6.(全国I I)已 知 的 顶 点 从 C 在椭圆k 十yui上，顶点4 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在欧边上，则4 比 的周长是(4)2 4 (皮 6 (O 4 7 3 (D)1 2解 析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2 a,可得AA8C的周长为4 a=46所以选C7.(山东卷)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为、

5、历，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为(A)V 2 (B)巫 (0 -(D)立2 2 42 2 2 万解：不妨设椭圆方程为;+三=1 (a加0),贝有二-=J 5 且 巴-c =l,据此求出6=在，选 Ba b a c 28 .(四 川 卷)已知两定点A(-2,0),8(1,0),如果动点P 满足归川=2|P B|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(A)7 i(B)47r (C)STT(D)9解：两定点A(-2,0),8(1,0),如果动点P满足|P 4|=2|P B|,设 P点的坐标为(x,y),则(x+2+/=4(x-l)2+/,即(x-2 +/=4,所以点p 的轨迹所包围的图

6、形的面积等于4 n ,选 B.9.(四川卷)直线、=犬-3 与抛物线 2=4 交于4,8 两点，过 4 8 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q,则梯形AP Q B的面积为(A)48(B)56(C)64(D)72解析：直线y=x-3 与抛物线V=4 x 交于A,3 两点，过 A,8 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为y2=4x,f x=1 fx=9P,Q,联立方程组得)，消元得V1 0 x+9=0,解得4,和 ,A P|=1 0,y=x-3 /=一 2 y=6|B Q|=2,|P Q|=8,梯形 A P Q 3 的面积为 4 8,选 A.1 0 .(上海卷)若曲线/=,X|+1 与直线

7、y=k x+b没有公共点,则k、b分别应满足的条件是f X+1 X 2 0解：作出函数y2=|xi+i=-的图象，-x+l,x b 0),则4 a c=4(J 1),解之得：a =4痣，a-b b a,a+cZFC=4.则所求的椭圆 的 方 程 为 上+以=1 或 片+工=1,离心率e =也；准线方程x=8或y=8,32 1 6 1 6 32 2两准线的距离为1 6.x2 v24例 2.(北 京 卷)椭 圆 三+二=l(a,b O)的两个焦点Fi、Fz,点 P在椭圆 CJs且 P F-F 四,|P F/=一,.|31 4P F2|=.(I)求椭圆C的方程；(H)若直线L 过圆x2+y2+4x-

8、2y=0 的圆心M交椭圆于A、B两点，且 A、3B关于点M对称，求直线L的方程。解法一：(I)因为点尸在椭圆C 上,所 以 2a =归 用+俨 曰=6,a=3.在 R t 加中，忻=JPF21 2 Tp=2区故椭圆的半焦距c=45,从而 b2=a-c=4.,2 2所以椭圆。的 方 程 为 二+二=1.9 4(I I)设 46 的坐标分别为(汨,必)、(检 度).由圆的方程为(户2)2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).从而可设直线，的方程为 尸晨9 2)+1,代入椭圆。的方程得(4+92)/+(36如+1 8公产36A?+364-27=0.X 4-x 1 +9L Q因 为 小 8

9、 关于点力对称.所以一 9=一 2.解得4=2,2 4+M 9Q所以直线1 的方程为y=2(x +2)+1,即 8尸9尸2 5=0.(经检验，符合题意)解法二：(I)同解法一.(I I)已知圆的方程为(A+2)?+(y-1 =5,所以圆心的坐标为(-2,1).设8 的坐标分别为(xi,%),(如).由题意EH型且由一得 宜 二 狂 一l+（“乃）3 +为）=0 9 4因为44 关于点 对称，所以汨+x2=4,yi+y2=2,代入得之二22=,即直线7的斜率为B,x-x2 9 9Q所以直线/的方程为y-l =?（x+2）,即 8x9尹25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）9【问题2】圆锥曲

10、线的定义的问题2 2例 3.（四川卷）如图，把 椭 圆 二+2=1的长轴A3 分成8 等份，过每个分2 5 1 6点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于右，名，名，名，侣，,名七个点，F 是椭圆的一个焦点，则I耳川+|鸟尸I+IA尸|+|总产|+代尸I +IA尸I+IB户1=例 4.（江西卷）P 是双曲线二 一 二=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）?+y 2=4 和（x 5）2+y29 1 6=1上的点，则|PM 1 一|PN|的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9解：设双曲线的两个焦点分别是F,（-5,0）与 K （5,0）,则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与 M、Fi 三点共

11、线以及P 与 N、Fa 三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=（lPFj-2）一（|PF2|-1）=1 0 1 =9 故选 B【问题3】直线与圆锥曲线位置关系问题利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例 5.P1 O 4 例 3例 6.（浙江卷），椭圆=1 （a b 0）与过点A（2,0）B（0,1）的直线有且只有一个公共点T,且a2 b2椭圆的离心率6=且.（I）求椭圆方程；（H）设F2 分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1 的中点，2求证：Z AT M=Z AFJ.本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察

12、解析几何的基本思想方法和综合解题能力。X解：（D 过点4、5的直线方程为2+=1.因 为 由 题 意 得!有惟一解,即(+；/口2 一。2%2 +/一 2/=(J 有惟一解,所以 =/(/+4 4)=0(a b H 0 ),故 a2+4h2-4 =0.又 因 为e=E，即 伫3=2,所 以a2=4h2.2 a 41r2从而得/=2/2 =上,故所求的椭圆方程为 上+2）/=1.2 2解 得 玉=1,所 以7（1,1）.，故6（一 巫,o）,E（迈,0）,从而加（1+逅2 2 4,0).因为t a n N AT =1,又t a n/L 4 M =-,t a nZ T M F2=2,得2 2 v

13、6t a n Z A T M_ 2 _ _ J忑一受I*京=-1,因此 Z A T M =ZA F.T.22例7.（福建卷）己知椭圆、+y2=1的左焦点为月。为坐标原点。（I）求过点0、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程;（II）设过点尸且不与坐标轴垂直交椭圆于48两点，线段46的垂直平分线与x轴交于点G,求 点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。解：(I)va2=2,b2=1,/.c =1,F(-1,0),/:x =-2.圆过点0、F,圆心M在直线x =工上。2设A/（5，f）,则圆半径r=(一；)-

14、(-2)32由|。叫=，得，一 g）2+产=|,解得1 L 9.所求圆的方程为（x +,）2+（y J）2=j.（I I）设直线AB的方程为y =Mx+1）（女工0）,2代入 5+丁=1，整理得（1 +2/）/+4/x +2/_ 2 =0.直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。4攵2记 A（X ,y 1）,6（x,y,）,4 8 中点（为,%），则斗 +x,=-5 72 k 4-1AB的垂直平分线N G的方程为y-yQ=-(x-x0),令y=0,得k,2 k2 k2 k2 1 1G 2/+1 2/+1 2/+1 2 止+2*.*k w 0,.一万 XQ 0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长

15、等于焦距，且x =4Q.b为它的右准线。（I ）、求椭圆的方程；（I I）、设P为右准线上不同于点（4,0）的任意一点，若直线A R 8 P分别与椭圆相交于异于48的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内。3,JM点在椭圆上，,.%=(4 /).40又点M异于顶点A、B,2 刈 6 V 2 2B M 8P=2 x 4 H-=-(a/4 +3 y j).x0+2 尤O +2-*5将 代 入,化 简 得3M-BP=|(2一兄).V 2-0,：.B M-BP0,则N M BP 为锐角，从而N M BN 为钝角，故点B在以M N为直径的圆内。解法 2：由(I )得 A(-2,0),B(2,0),设 M

16、 (力，川，N (如 心)，则一2 c M 2,-2X22,又M N的中点Q的 坐 标 为(+，+),2 2依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差忸。1 _ ；憾 叫2 =(f 2 2)2+(*；乃)之 一；(M 冠?+(“一%沟=(小一2)(尼-2)+力外 又直线AP的方程为y=一(x +2),直线BP的方程为了=上 一(x -2),%+2 -2而点两直线AP与BP的交点P在准线x=4上，.4=4,即 片35一2)%匹+2 X2-2 玉 +22 2 q又点M在椭圆上，则号-+(=1,即yj=；(4%；)91 9 5于是将、代入，化简后可得|8Q一/M N|=(2/)。2-2)b O)的中心

17、。为圆心，分别以a 和匕为半径作大圆和a h小圆。过椭圆右焦点尸(c,0)(c 作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A .连结04交小圆于点B.设直线5 户是小圆的切线.(1)证明。2=而，并求直线8 尸与y轴的交点M 的坐标；-1 ,(2)设直线8尸交椭圆于P、。两点，证明O P-O Q=5 .本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分14分.证明：(I )由题设条件知，Rt O B 4 s即OBF故竺=竺，即=2OA OF a c因此,c2-ah在R fOFA,FA=SA2-OF2=c2=b.

18、因此,c2=ab.在RfO E 4 中，FA=yjo-O F2=yja2-c2=b.于是,1b直 线 总 的 斜 率=2.设直线弧的斜率为左，则左=一一c koaCb这时,直 线 跖 与y轴的交点为M(0,a)(I I)由(I),得直线即得方程为y=kx+a,且H=%=*=W由已知，设P(x，y J、Q(x2,y2),则它们的坐标漫步方程组屋2 V2+2_ =1/b2y=kx+a由方程组消去y,并整理得(Z j2+a2k2)x2+2a3kx+a4-a2b2=0由式、和,_ a-a2b2 _ a2(a2-Z?2)_ ayb2XX 2=b2+a2k2=b2+a2 a=7 7 b由方程组消去X,并整

19、理得(/+/左2*2+24 A+a 2/a 2)2k 2=o 由式和,a2b2(1 2)_ _ a%2(b-a)/+d2k2,2,2 b+b综上，得 到 丽 丽玉 +必 必=不方2h2(b-a)a-b3+aa3+b3 a3+b3注意到/-ab+b?=a22+b2=2b2,得OPOQa2by a12b33 a a2b b a ac c2 2 a(a2-b2)1 z 2,、_ _ _ _ _ (H -nn I/+/(a+b),2b2 2a +&)2(a+b)2(a+b)2课后训练C 2 21.(安徽卷)若抛物线y 2=2 p x 的焦点与椭圆L+2 L =i的右焦点重合，则 p的值为6 2A.-2

20、 B.2 C.-4 D.42 2解：椭 圆 二+工=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y 2=2 p x 的焦点为(2,0),则 p =4,故选D。6 22.(天津卷)椭圆的中心为点E(-1,0),它的一个焦点为尸(3,0),相应于焦点厂的准线方程为x =_ 1,2则这个椭圆的方程是()A.2(x-D 2 12y 2T B.2(x +l)1 小 c .d /=D.(121+/=121 3 21 3 5 5解析：椭圆的中心为点E(-1,0),它的一个焦点为尸(-3,0),，半焦距C =2,相应于焦点F的准线方程为X =-.A -=屋=5 力2=1,则这个椭圆的方程是S D l +y 2=,选 口

21、.2 c 2 53 .(山东卷)设直线/:2x+y +2=0关 于 原 点 对 称 的 直 线 为 若/与 椭 圆/+=1的交点为A、B、,4点 P为椭圆上的动点，则使A PA8 的面积为0.5 的点P的个数为(B )(A)1 (B)2(C)3 (D)44 .(江苏卷)点 P(-3,1)在椭圆工+工之 。)的左准线上.过点P且方向为年(2,-5)的光线，经直线a2 b2y-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为(A )(A)立 (B )-(C )(D )-3 3 2 25 .(重庆卷)已知 别，8 是 圆 反(x _ g j+y 2=4(尸为圆心)上一动点，线段用的垂直平分线交成于P,

22、则动点尸的轨迹方程为x2+-y2=l.36 .(江 苏 卷)己知三点 P (5,2)、F,(-6,0)、F2(6,0).(I )求以6、尸 2 为焦点且过点P的椭圆的标准方程；()设 点 p、居、尸 2 关于直线y=x的对称点分别为尸、及、F2,求以耳、尸 2 为焦点且过点P的双曲线的标准方程。本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。2 2解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为+与=l(a b 0),其半焦距c=6a b“2 a=|P F,|+|P F2|=V 1 2 4 1 22+V l2+22=6 5 /.a=3旧,b2=a2-c 9.2 2所以

23、所求椭圆的标准方程为 二+乙=14 5 9(2)点 P(5,2)、F i(-6,0)、&(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P (2,5)、F f(0,-6)、F2,(0,6).设 所 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 为=1(%0,4 0)由题意知，半焦距5=6a,b,2%=|PF：+PF；=71 2-I122-A/12+22|=475q =2 石，b=c5-a=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为 _ 工20 167.(全国卷D 在平面直角坐标系X。)，中，有一个以6(0,-6)和 与 他,6)为焦点、离心率为三的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P 在 C上，

24、C在点P 处的切线与x、y 轴的交点分别为A、B,且 向 量 两=次+砺。求：(I)点M的轨迹方程；(n)|万 可 的最小值。2 2 a2-b2=3.解：椭圆方程可写为：5+今=1 式 中 ab0，且 更 为得a U b ,所以曲线C 的方程为:a a-2y2_ _ _ 2Xx2+T =1(x0,y0).y=2 Jl-x2(0 xl)y=;=,4Y y jl-x设 P(xo,yo),因 P 在 C 上,有 O xol,y2)x y二|砺 =x2-l+p 7 7 f-54+5=9.且当 x2-l=p 7 7 f,即 x=/l 时，上式取等号.故|而 J的最小值为3.8.(上海卷)在平面直角坐标系

25、x O y 中，直线/与抛物线y 2=2 x 相交于A、B两点.(1)求证：“如果直线/过点T(3,0),那么。A O B=3”是真命题；(2)写 出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.(15班)解(1)设过点T(3,0)的直线I 交抛物线y 2 x 于点A(xi,y)、B(x2,y2).当直线/的斜率不存在时，直线I 的方程为x=3,此时，直线,与抛物线相交于点A(3,而)、8(3,-V6).：.0A 0 B=3；当直线l的钟率存在时,设直线I的方程为y=f c(x-3),其中4 H0,由 y1y9=-6y=k(x-3)V 丫1/,2*2乂-2 1 ，2 一 2y2，

26、-O A O B=xx2+yy2=yy2)2+yy2=3,综上所述，命 题“如果直线/过 点 T(3,0),那 么 苏 丽=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线/交抛物线/=2 x 于 A、B两点,如果万 晨 丽=3,那么该直线过点T 0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A (2,2),此 时 就 砺=3,直线AB的方程为：j=|(x +l),而T(3,0)不在直线AB上;说明：由抛物线y=2x上的点A (xi,y j、B (x2,y2)满足0 4-0 8 =3,可得y2=6,或 y2=2,如果y 2=-6,可证得直线AB过点(3,0)；如果y2=2,可证得直线AB过点(一1,0),而不

27、过点(3,0).9.全 国 I I)已知抛物线f=4 y 的焦点为凡4、8 是抛物线上的两动点，且 下=入 法(4 0).过/、5 两点分别作抛物线的切线，设其交点为(I)证 明 拓 名 为 定 值；(D)设 刎 的 面 积 为 S,写出S=F(4)的表达式，并求S 的最小值.(15班)解：(I)由已知条件，得尸(0,1),0.设力(小，7|),B(x-%1=4A2即 得(-为，1-0=4(莅，度-1),卜 _ 月=幺 51)将式两边平方并把力=；小 2，理=/代入得 巾=X 理解、式得M=4，度=；，且有X 1 X 2=-4 l=-4 4 度=-A抛物线方程为y=(上 求导得V=gx.所以过

28、抛物线上48 两点的切线方程分别是y=-1xi(rxi)+yi,y=X2(x.)+%,艮|1 x j,y=x i+型 xi X2 肛+型解出两条切线的交点力的坐标为(F-，丁)=(1-，-xi+2 1 o所 以F M-A B 2，2)(兹x i,度一切)一2(质一小)2,度）.由 力/二人？，-4,1 1 25Mx一y,1）.4 分1 2 1 2-2 1 版一彳小）=所以&/A?为定值，其值为0.7 分(H)由(I )知在川的中，FMVAB,因而S=AB|掰.|FM=坐 2+(2)2=yi+j 2+|x(4)+4+4+2=口+,因为|胪|、I步|分 别 等 于 从 8 到抛物线准线y=-l 的

29、距离，所以AB AF+|则=%+%+2=A+：+2=(-f +=)2.于是 S=AB FM=由 口 十 六 2 知 S 2 4,且 当=1 时 S 取得最小值4.10.(山东卷)已知椭圆的中心在坐标原点0,焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.。(1)求椭圆的方程;(H)直线1过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当A A 0B 面积取得最大值时;求直线1 的方程.(15班)解：设椭圆方程为=十二=l(ab c)a h2(I)由已知得b=c生=4ca2=h2+cI 1.所求椭圆方程为+),2=1.b 2)c2=1(II)解法一:由题意知直线/的斜率

30、存在，设直线/的方程为了 =履+2,4(,弘),8(工 2，%)由 0 n6 4 k2-24(1+2%2)0 解得2 彳又由韦达定理得.8k6x,X2=u 2 e.,.I AB 1=J l +B、I 玉一21=q1+k 2 d(X 1+2)2-例 =1 +,J l 6k2 -24原点。到直线/的距离421+k2S =I AB I d=A UD2J 1 6/2 4 2瓜2k-31 +2攵 2l+2k2解法 1：对 5 =ME 二24 两边平方整理得:4SI 2J14+4(S2-4 U2+S2+24=0(*)ii 2解法 1：s 4O f l=-l 9 l-l y1-y2l=-l-l-l f c

31、0,4-52八 整理得：S20 2S?+24 八-5 01 4 s 2厂J 1又So,.,050),则 2%2=?2+3.$2而 2&I 应加+4 m +-2m4T此 时 一 当当且仅当机=即机=2时，sm所以，所求直线方程为土JlZ-2y+4=0解法二：由题意知直线/的斜率存在且不为零.设直线/的方程为 =履+2,4区,凶),8(,)，则直线21与x轴的交点Z)(,0),K8 4，6由解法一知女21 3且2y1(X2+X2)2-4X 2=6公-24 _ 2 0 2 k2 -31 +2/1 +2 k下同解法一.解法 2：S A OB=S POB S POA=1 x 2x I I JC2 I -1 I I =l-2|=2日2厂-31 +2A下同解法一.