2023年高考数学大招4奔驰定理.pdf

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1、大招4 奔驰定理大招总结【奔驰定理】：若。为AA8C内任意一点，有aOA+pOB+yOC=0,则 Soc:SMOC:SOB=a-.(3-.y.证明:如图 1,取点 A,8,C,使得 0A=aOA,OB=OC=/OC,则 OA!+OB+od=0，即。为 AAJB C 的重心 n=AAOB c-OA-OB sin ZAOB .=2=OA OB=J _ n S=-LS.M 1 OA OBsin ZAOB,0 A，0 B，珅af32即证明 S&g0 c-OA+SMOC-OB+SMB,。=,图 与 三 角 形“四心”的结合.。是AABC的重心o S20c MOC-MOS=1 *1 *1 =OA+OB+O

2、C=0-。是AA8C的内心OSMOC:SOC:S OB=a:b：coaOA+bOB+cOC=0。是A4BC的外心SMOC:S.oc:S OB=sin2A:sin2B:sin2Cusin2 4 OA+sin2B-OB+sin2C OC=0。是AABC的垂心o S 20c:5M O C=tan A:tanB:tanC tan A-Q4+tanB-OB+tan C-OC-0CD CD证明:如图2,0为三角形的垂心,tan A=,tan 3=.AD DB/.ta n A:ta n B =D B:A D,S BOC:SM O C=D B :4Z)$,Soc:=ta n A:ta n B.同理得 soc:

3、SM O B=tan B:ta n C,SSBOC:5O B=ta n A:ta n C.1ABOC S1M oe :SMOB=治1 1 A:ta n B:ta n C.定理的推广：若 在A A B C外部，如图3,则：(1)当P位于区域所对应的两部分时-S BC-P A+5AMg ,P C+S,AC-PB=0.当P位于区域(2)所对应的两部分时:S的c .PB+Sg P C+SNBC 。当P位于区域所对应的两部分时:一S”A 8 P C+S.B C -PA+SAC-PB=0典型例题例1.已知点。是A A B C内部一点,且满足2Q 4+3OB+4 0C=0，则-。民BOC,A O C的面积之

4、比依次为（）A.4:2:3B.2:3:4C.4:3:2D.3:4:5解：方法 1：延长08,0 C,使 O D=204,O E =3 O B Q F =4 O C,如图所示:；20A+30B+40c =0,A O D +O E +O F =0,即。是AD E P的重心，故 O O E,A EO F,&DO R的面积相等,不妨令它们的面积均为1贝J MO5的面积为!,A 5 0 C的面积为4A 4 0 C的面积为L故A A O民A B O C,A A O C的面积之比依次为1：8 6 1 2=4:2:3,故选 A.1-8方法2:2Q 4+3OB+4 O C=0 油奔驰定理得,SO B：So c:

5、5MOC=4:2:3，故选 A.例 2.已 知 是 A A B C 所在平面内一点，PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在M B C 内，则黄豆落在AP8C内的概率是（A.1B.C.43_22D.-3解方法1:以P 8、P C 为邻边作平行四边形PBDC,PB+PC=PD,PB+PC+2PA=0,二 +PC=2PA 彳 导 p o =2PA,由此可得,P 是 AABC边 BC 上的中线A。的中点，点 P 到 8 C 的距离等于A 到火的距离畤叱将一粒黄豆随机撒在AABC内，黄豆撒在APBC内的柱率为P=1 .故选C.方法2:PB+PC+2PA=0,由奔驰定理得,SMPB:SMPC:=1:

6、1:2,.-.黄豆落在 NPBC 内S?1的概率为p=产=故选C.例 3.已知点P 是 AA6C所在平面内一点,且满足3pA+5P8+2PC=0，设 AABC的面积为S,则凶 4 8 的 面 积 为（）A.-S3B.S10C-52D.-S5解 方 法1:如 图 所 示，设AB,BC的 中 点 分 别 为M,N,由3PA+5PB+2PC=0 得：3(PA+P8)=-2(P+PC),.点 P 在MN上，且PM:PN=2:3,.-.P到边AB的距离等于C到边AB的2 1 1 1距离的一*=，则 出3的面积为一S,故 选D.5 2 5 5方法 2:3PA+5PB+2PC=0，由奔驰定理得,SA B：S

7、APC-2 1SW B=3：5：2，则PAB的面积为历S=S,故 选D.例 4.已知 G 是 AABC的重心,且满足 56sin A-G4+40sin 8 GB+35sin C-GC=01求角 B=.解方法1:.G是三角形ABC的重忐,，GA+GB+GC=0GA=-GB-GC 56sinA-GA+40sinBGB+35sinC-GC=056sin A(GB GC)+40sin B GB+35sinC GC=0(40sin B-56sin A)GB+(35sin C-56sin A)GC=0.(40sin B-56sin A)GB+(35sin C-56sin A)GC=0-GB和GC不共线,5

8、6sin A=40sinB=35sinC56=40/?=35ccos B=a1+c2-b2 1lac20B180-3=60.故选 D.方法 2:v G 是重心,，GA+GB+GC=Q56sin A:40 sin B:35sinC=l:l:lsin A:sin 3:sin C=5:7:8由正弦定理,a:c=sin A:sin B:sin C=5:7:8由余弦定理,cos 3=a2+c2-b2ac52+82-72 12-5.8 271 Be(O,),.5=y.S例5.(2021 秋-湖南月考)设P是A43C内任意一点,S BC表示AA3C的面积,4=7应s s4=产，4=一,定义/(P)=(4,4

9、,4)若G是AABC的重心，f=m，则()16 3 2JA.点。在A aiB内B.点。在AG8C内C.点。在AGC4内D.点。与点G重合解:方法1：由已知得,f(P)=(4,4,4)中的三个坐标分别为P分AABC所得三个三角形的高与的A46C的高的比值,Q离线段B C的距离最近，故点Q在AG8C内.故选B.方法2：不妨设SMliC=1,根据奔驰定理重心公式可知I詈?S&GAB=SAGAC=SCBC题 千 要 求 先-针 所 以 点，。必然在过G且平行于AC的直线上,如右图，而SAQBC SAOBB，所以点Q必然在线段G F上且不包括2个端点，所以点QAG8C内部，选 B.例 6.(2021 春

10、-高新区校级月考)。为等边三角形内一点，且满足。4+408+(1+4)00=0,若M O B与M OC的面积之比为3:1,则实数4的值为()B.lC.2D.3解方法1：取边A C的中点E,B C的中点F，连接E F，作图如下,由04+几。3+（1 +/1）。=0可得20石t+2/10尸=0，即OE+2OF=0,故 点。在中位线EF上；M 0 5与M O C的面积之比为3:1,/.A O B与AAOE与的面积之比为6:1,这两个三角形等高,，面积之比等于底边长度之比，即。七=故点。是6 3E b上 靠 近E点 的 三 等 分 点，显 然 此 时4.故 选A.方 法2:根 据 奔 驰 定 理2SM

11、B：SM=3：1 =，得到九=:A,L例7.（2021秋-铅山县校级月考）已知点。在AABC内部，且3AB+2BC+C4=4AO,记S.AABC的面积为SVO B C的面积为S2，则寸的值为3 2解方法 1:3AB+2BC+CA=4A o，整理得:OB+OC=2AO 即:A O=OB+），则:点。是 边 中 线 的 中 点，由于AABC的面积为SPAOBC的面积为S2,e B C-2h则 寸=1-.故答案为：2$2 ；18cHz方法 2：由 3AB+25C+C4=44O得：2OA+O8+OC=04所以:SbOBC=/=2例8.（2021秋-迎 泽 区 校 级 月 考）若 点M是AABC所 在

12、平 面 内 一 点，且 满 足13 AM A3-AC|=(L 则M B A/与AABC的面积之比值为解方法1:如图，取BC的中点为。厕AB+AC=24。，V 13AM-A B-A C=0,.-.3 A M-A B-A C =0,2 23AM=2AD,:.AM=-AD,:.A M-A D.c _ 2,_ ZxfJ_c.SM B M _ i.&ABM _ 3 _ 3 1 2 J _ 3 008(?，.s-3 故答案为3方 法2:uuur Ulll UUU uuu uuu uuu由 3 A M-A B-A C =0 M A +MB+MC=0所以 SV ABM:Sv A B C =例9.(2021-连

13、云港模拟)uu uuu nuiu已 知 点。为NABC内一点，且OA=mOB+nOC(其中相v、SVAOC=2:3,则=nAB V 0),SV A O B 解方 法 1：连接4 0 交3C 于。，如下图所示：QSV A0 8：SV A2:3,uuu 3UUD 2 uum .S s S y=2:3,.皿 3 2:3,则如产+产uu uuu uur 4 uin o uuu又QOA与0。共线，故01=?。8+/10。uir uiu uuu m 35LQOA=mOB+nOC-故答案为：32方 法 2:UU UUU UUU UU1 uuu uuu将 OA=mOB+nOC 变形得：OA-mOB-nOC=0

14、SvAOB:SvA O C =2：3 得=所以m 3 n 2例 10.（2021-江苏四模）设”为VABC的垂心（三角形三条高的交点），且uuu uuu uum3HA+4HB+5”C=0,则 cos/AHB 的值为解方 法 1：由题，”为VA8C的垂心（三角形三条高的交点）,uun,umi uuu、U U U U U U l L I L I U U llU U L X U U U U llU ll L lU U l:.HA HB=HA H C.同理”6 =4 C,uuu um i uum uuu uum UUKL即 HA HB=HB-HC=HC HA.U U U U U U U L H l U

15、 L I U L U U U U U U设 4 M B =-=x,U U U U U U l U U lflQ3“A +4”8 +5”C =0,uun uuu uun,uuur ui a _ _ _：.3HA HB+4HB+5HC-HB=O,：.HB=0）,同理可求得H A =Q,UUU uuuHAHB x V 6.C O S/A HD=-titll_tft-=-HAHB N-2X-v-3x 6故答案为：-四.6方 法2:U L O L U U U l U U U l3HA+4HB+5HC=0,那么 SVHHC:S7AHe:=3:4:5再根据向量和四心可以得到SVBHC:SVAHC:SVHAB

16、=ta n A:ta n B:ta n Cta n A:ta n B:ta n C =3:4:5AHB=-ta n C,A +8 +C=万ta n A +ta n B1 ta n A ta n B设 ta n C =5x,=5 x,解得x=-,ta n C =/51 1 2厂 5ta n C =-ta n（A+5）cosC=-,cos/AHB=6 6自我检测UU HUU UllU UUl1.在VABC所在的平面内有一点P,如果2PA+PC=A 8-P 5,那么VP8C的面积与VABC的面积之比是（）答案：方 法 1：U li UUU UUU ULt UU UUU UUU Ulttl UUQ 2

17、 P A+P C =AB-PB,:.2PA+PCAP,即 PC=-3PA,可知向量UUU UU UUIU UUPCPA方向相反，且PC模长是PA的3 倍，即是AC的四等分点,设点5 到直线AC的距离为力，故VPBC的面积与VABCx PCxh的面积之比为-一 x A C x/z2故 选 A.方 法 2：UU UUU UUU U ll u u uuu2PA+PC=AB-PB,3PA+PC=0,SyPBC Syj PAB：S7 PAe=3：l：0.3SvPBC S v A B C =3：(3+1)=.2.已知V A B C 的外接圆半径为UU UUU UUU1,圆心为。，且304+4。3+5。=0

18、,则丫48。的面积为（）A.B.C.D.85756545答案：方 法 1：如图，u i f l ui K u u a iOA=OB=OC=1;ULI ULU UUU由 30A+40B+50C=0 得：UUUUU LlUUlUUUUUUl UU UU UUU U Lll304+408 =-5001),408+5OC=-30/1(2),3OA+5OC=-408 ；两边平U U UUU U U LlUU U U UUII方得：9+24OA OB+1625-：.OA OB=0,:.OAOB,:.OAOB-,同 理(2)两边分别平方得：uun iiu /U im um n 4 n JUSI/Utr uu

19、mx 3OBOC=cos（03,0C）二 二,0A.OC=cos（OA,0C）=sin/3 0 c3.4 1 1 3=-,sinAOC=-;.,.SVABC=SVAOB SVBOC+SVAOC=-x lx l+-x lx lx-+xlxlx=,故选 C.2 5 5同理证明。4，。5 则 SV A O4=/X1X1 =5，Q3OA+4O8+5OC=0,由奔驰定理得,3 3 4 2Sy/B O C SAOC-Sy/A O B =3：4：5,.SVBOC=SVAOB=,SAOC M SAO B M，Sv A B C SyfA O B +Sy/B O C +VAO C=故选 Cuuc i uun i

20、uinn c3.在VA3C中，。为三角形所在平面内一点，且AO=LA8+LA C，则2 3=()3 2 SVABO1-61-31-22-3A.BCD.答案：方 法 1:UU1H 1 ULK 1 uum由已知，在VABC中，。为三角形所在平面内一点，且AD=AB+A C,点3 2。在平行于A 8的中位线上，且靠近AC边,从而有BCD6BD3方 法 2:UUUI 1 ULBl 1 UUB1 Ulll 1 ,Ulm UUH、I zULlffi u ill(AD=-A B +-A C,：.-DA=D B-D A +D C-D A ,即uiai uiw uuu c iDA+2DB+3DC=Q,由奔驰定理

21、得，5惭：S y：Sv=1 ：2:3,.严,故选 B.4.已知。为VABC的垂心，且。4+203+300=0,则角A的值为答案方 法 1：U U UUU ULUU U l i CILULI UUU U U UQOA+2OB+3OC0,:.OA+OC+2OB+2OC=0M AC,BC 的中U U U UUU1点分别为E,F-.2OE+40/=0,UU11记OF=x,则uun uiu linn uuuOE|=2xAB=6X AE EC=2xcosAuuurEH=2xcosA,故 4 2x2xcosA+cosA6x-cosA,即J=2cosA,解得cosA=也 或cosA=(舍去)，故4=工,cos

22、A 2 2 4故答案为4方 法2U U CILIU LILUILQ SVBOC:SVAQC:SAOB-tnnA:tanB:tanC tanAOA+tanBOB+tanCOC=0,tanA:tanB:tanC=1:2:3,设 tanA=x,则 tanB=2x,tanC=3x,又八 /4 -tanA+tanCtanB=-tan(A+C)=-,1 -tanAtanCtanBtanAtanA+tanC2,1-tanAtanC=2=x+3x=2x(x-3x-1),解得 x=l 或tanA、x=-1(舍去)，/.tanA=1,故4=一4uun 2UUD I uuni5.已知点尸是VA3C内一点，且=+贝|

23、J S7ABp=S v ABC答案方 法1:uun 9 uun 1 uun 4 uum 1 uun连接CP并延长，交AB于。，则AP=-A 6 +AC=-A D +A C,即5 5 5 5uui uim uuu uuu iCP=4 P D,故CD=5 P D,则VABP的面积与VA8C面积之比为,方 法2:uun 2 uun i uuo uun 2/1 1 1 r ui r、i z uun ui r、uu由 A P =A B +gAC得：A P =w(P 8 尸A)+g(P C-P A),则 2P A +U U UL1U2PB+PC=0q i由奔驰定理得：SP B C:SP A C:SP A

24、B 2:2 A,所 以 言=：SABC 5ui r uun m i n i c A6.已知点。是VABC 内一点，O 4 +2 0 B +m0 C=0,也 延=一，则 m=()Sv A B C 7A.2B.3C.4D.5答案方 法1 ：U U L U L I U U tU U如图所示，点。是VABC内部一点,满足。4+2 0 6 =-mOC,延长QB到。点，以0 4,0。为邻边作平行四边形AOOE,连接CF分别交A B,A 于,G点.则点E是q 4的VQ4 D重心.Q=,不 妨 设CE=贝IS/IBC 7LlUIU UUU UUIUO C =3,OE=E G =Z O F =n.-mOC=OF

25、=-4OCi 解得 m =4.故选 C.方 法 2:uur UUD uuo c 4因为 OA+2OB+m O C =07,-=-所以 SOBC:SOAC:SOAB mQ(70 C C Z rtC U/DABC/所以m _ 41+2+相 7则加=4故 选 C.7.已 知 点。是 V A 8 C 内 一 点，若 SVAOS：S v soc ：SVAOC=4:3:2设UUIUUUU ULUU4 O =/1 45+A C,则2 和的值分别是()A.2 492-92-91-994-91-92-9B.CD.答案方 法 1 ：如图，根据题意不妨设Y A B C的边，AB=4,AC=2,BC=2y5,建立如图

26、坐标系，则8 c 的方程为x+2y 4=0,贝 一 4 Q uun角军得Q=,二.AO=8 89?9UUlUUUlUUIU uuu uuu,AB=(4,0),AC=(0,2),由 AO=AAB+/AC,得44+0 8Q02+2/=-,9 解得，A2949BUUIU UUU UUIU方法 2:由 4 9 =%AB+AC得:uununi uuruuui uurAO=O B-O A +O C-O A即：U ll UUU UUIU(1 2 )OA+/LO3+/OC=0因为SAOB$7 BOC S AOC=4：3：2所以(l-A-/z)：/l：x/=3:2:4故 22 4 啡=/F选 A8.已 知 点

27、P是7ABe 内 一 点，|PM =2|PA|=2,/APB=*，且6U U Uli uuu2PA+3PB+4PC=0,则 S v A B CA答案方 法 1 ：如图，延长引到。，使BD=2Q4,延 长 到 E,使PE=3P3,连接。E,取中占F,并连接P F,设交AB于0,连接A F,则AF/PE,3 AF 3 FO 3 5111r.AF=-P E =-P B,：.=-=,：.FO=-P O,：.PF=-PO;Q2PA+32 2 PB 2 PO 2 2uur ULK uiw uun 5 5PB=2PF;：.2PF+4PC=0;/.PF=2PC：.-P O =2PC,B P PC=-PO;2

28、49 9 1 .5万 1 9CO=-PO,:.SV4BC=-SVPAli-,QSVPAIf=-l-2-sin =SVAIiC=-.4 4 2 o 2 o方 法 2:1 uu uu uuu由题意易得，SVPAB=，因 为 2PA+3PB+4PC=0,所以9、他。内一点。满足。4+205+30。=0,直线。4交3。于点。，则()UUU UUUlA.2DB+3DC=Qum i uu uB.3DB+2DC=0u u uuuC.Q A -5 0 0 =0UU uu uD.504+0 0 =0答案方 法1：UUi U ltl UU1HQVABC内一点。满足QA+2O8+3OC=0,直线AO交BC于I ui

29、 x 2 uuu 3 U U M ui n 7uun 3 uui n 1 uur uuuD,:.-O A+-O B +-O C =0,O E =-O B +-O C,则-0 A+OD=0,：.B,C,E5 5 5 5 5 5三点共线，A,0,E三点共线，.重合.UUI UUll UUU UUUl UUU ULUl ULUll ULUl UUL UUll：.OA+5OD=0,2DB+3DC=20B-2OD+3OC-3OD=-OA-5OD=0.故 选A.方 法2:UU UUU UUIU因 为。4+208+30。=0,故 SVOfiC:SVOAC:5VO,(Z(=1:2:3,由图易知SVOAC=2

30、=CDSYOAB 3 BDUUUl UUUl故 2 D B+3 D C =0.uu uu uuuUlffll Z/P 4 _L hPR 4-rPC10.已知。是VABC所在平面上的一点，若PO=A +L,(其中p是a+b+cVA3C所在平面内任意一点）则。是VA3C的（）A.夕 卜 心B.内心C.重心D.垂心答案方 法1:由U U DPO=UU UU UUUaPA+bPB+cPCQ+/7+Cuuui ULUI uini uu uuiaP O +hPO+cPOaPA+hPB+cPC,zuur U U U ,Uir uuux/UI Unix U U ULU UUU即 a(PA-POU b(PA-PO yc(PC-PO =0,即 aOA+bOB-cOC=0.uur/uir uui、zuur uim、即 QOA+(OA+A3)+C(A+AC)=0.u uuu u uuui UUT/U IT 再设G为AB的单位向量，02为4。的单位向量,所以3 +/?+)。4=-尻(4+6 2),所 以3=一$3句 则 说 明。在4的角平分线上，同理可得。也在 B,Z C 的平分线上，故。为V A B C的内心.故 选B.方 法2:nun由 P0=UU UU uuun P 4 4-h PR 4-r PC uu uui uum可得：aOAb OB-c OC=0 则 O 点为内心,a-b+c选B.