人教A版高中数学必修2课时检测第二章点、直线、平面之间的位置关系版含答案.pdf

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1、第 二 章 点、直线、平面之间的位置关系X2.空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平 面iQ j冽倒毓麻以层析教材，新知无师自通知识点一平面 导入新知1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45。，且横边长等于其邻边长的2修.如图所示.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如图所示.3.平面的表示法图的平面可表示为平面a、平面平面4 c或平面 化斛疑难几何中的平面有以下几个特点(1)平面是平的.(

2、2)平面是没有厚度的.(3)平面是无限延展而没有边界的.知识点二平面的基本性质 导入新知平面的基本性质公理内容图形符号公 理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Z S7AW/,B 0,且/e a,BRa台lUa公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面“c/A,B,C 三点不共线存在唯一的a 使 4,B,CGa公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线尸 G a,PRB a C B=l,且产e/化斛装难从集合角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“C”或“住”表示.(

3、2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“e”或“表示.(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故 用“U”或表示.I0 J赛 磁 端 国锁定考向,考题千变不离其宗题型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化I例 1 如右图所示，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.点 P 与直线/A 点 C 与直线/股(3)点 与 平 面 NC(4)点小与平面/C.(5)直 线 与 直 线 BC.(6)直 线 与 平 面 NC.(7)平面小8 与平面4c.|解I(1)点 Pe直线N 8；(2)点 C 阵直线4 5;(3)点 A/W 平面 AC-,(4

4、)点小建平面AC;(5)直线/8 C 直线B C=点 B-(6)直线/8U平面AC;(7)平面小80平面ZC=直线AB.类题通法三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.活学活用根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(I M G a,8 a：(2)/C a,m a A,A H；(3)P e/,P a,Q l,Q a.解：(1)点/在 平 面 a内，点 8不在平面a内，如图所示；

5、(2)直线/在平面a内，直线机与平面a相交于点力,且点4不在直线/上，如图所示；题型二点、线共面问题I例 2 证明两两相交且不共点的3条直线在同一平面内.解 已知：如图所示，/|ni2=A,1 2 c l 3=B,l A/j=C.求证：直线，2,，3在同一平面内.法一：(纳入平面法),：lxV l2=A,.M和，2确定一个平面a.,.,/2n/3=5,:.B&I2.又：/2 U a,:.BG a.同理可证C W a.又日3,C C/3,./3C a.直线公，3 在同一平面内.法二：(辅助平面法)：l l2=A,：.1 ,为确定一个平面a.v/2n/3=B,:.i2,A 确定一个平面A：A&lz

6、,%U a,：.AG a.：A l2,/2C/f,：.A p.同理可证8 W a,B三3 C a,Ce p.不共线的三个点/,B,C既在平面a内，又在平面”内.平面a和重合，即直线/”A 在同一平面内.类题通法证明点、线共面问题的理论依据是公理1 和公理2,常用方法有以下几种(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即 用“纳入法”.(2)先由其中一部分点、线确定一个平面a,其余点、线确定另一个平面夕，再证平面a与重合，即 用“同一法”.(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.活学活用下列说法正确的是()任意3点确定一个平面；圆上的3点确定一个平面；任意4点确定

7、一个平面；两条平行线确定一个平面.A.B.C.D.答案：C题 型 三共线问题 例 3 已知 NB C 在平面a外，其三边所在的直线满足/8 C a=P,B C Ha=Q,ACCa=R,如右图所示.求证：P,Q,R 3点共线.证明 法一：/8 0。=尸，:.P W AB,PW平面 a.又.7 8 0：平面/8 C,平面/8 C.，由公理3 可知，点 P 在平面/8 C 与平面a 的交线上，同理可证。，火也在平面Z 8C 与平面a的交线上.：.P,Q,R 3 点共线.法二：APCAR=A,.直线/尸与直线ZR确定平面APR.又./8C a=P,A C H a=R,，平面/P R O 平面 a=PR

8、.平面力PR,CG 平面力尸R,；.B C U平面4PR.:QJBC,平面 Z P R,又 0 a,:.QGPR,：.P,Q,7?三点共线.I类题通法点共线：证明多点共线通常利用公理3,即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.活学活用如右图所示，在正方体N8C。-小81G oi中，设线段小C 与平面NBGQi交于点0,求证：B,0,G 3 点共线.证明：如图所示，连接小8,CD1.显然8 G 平面小B C G,。16 平面小8。.8)|U平面 4 8 c o i.同理平面ABCDX.：.平面 A B

9、CDy n+*ABCD=B DX.：4 C ri 平面 ABCiDi=Q,；.QG 平面 ABCD.又：小CU平面AiBCDi,平面 AXBCD.:.Q R B D i,即8,Q,Q 三点共线.3修补短板,拉分题一分不丢辔 图 登 系 吗/2.证明三线共点问题I典例（12分）如下图所示，在 四 面 体 中，E,G 分别为8C,的中点，F在 CD上，H 在/D 上,且有 D F ：F C=D H ：H A=2 ：3.求证：E F,G H,5。交于一点.解题流程欲证EF,G，B D 交于一点，可先证两条线交于一点，再证此点在第三条直线上.由 D F：F C=D H -HA=2：3 可得 G E/F

10、 H 且 G E rFH,即四边形E F H G是梯形，由此得到GH与EF交J：一点.证 明E,F,H,G四 点 共 面 四 边 形EFH G为梯形一和E F交尸一点（）证 0 6 平面A H D O C 平面 BCD 平面 平面=O EB D 得出结论.规范解答因 为E.G分 别 为BC.A B的中点,所以G E/AC.名师批注又因为 DF FC DH HA 2-3.所以 F H/A C.从而 F GE.GE#FH.（4 分）故E.F.H.G四点共面.乂因为 GE；ACF AC.所 以 四 边 形EFH G是一个梯形，红典 手二42（6分1 f丽石奇菽血有 灰 症 立 面B C D内，所 以

11、O在这两平面的交线上,而这两个平面的交线是BD,（9分）且交线只有这一条所以点O在 出 线BD上.（10分）这 就 证 明 G”和E F的 交 点 也 在B D t所以E F.G H.H D 交于一点.（12 分）如何证明四点共面？根据公境2的推论可知,本题可利用H F /（比片可及定E.F./L G四点共面.为什么G H和EF交于一点？因 为E.F.H.G四 看 共 面 且G E J L-2 AC.HF J L；尔 .所 以G E H H F且GE W,即EFH G为棒彤梯步两腰延长段必用史于一点.怎样碗定第三条直线也过交点？只卖证明交点在第三条直线上.这条直线恰好 是 分 别 过G H和E

12、 F的两个平面的交线.活学活用I如右图所示，在空间四边形各边Z。，AB,BC,8上分别取E,F,G,，四点，如果E F,G”交于一点P,求证：点 P 在直线8。上.证明：:E F C G H=P,:.P R E F 且 P G G H.文：E F U 平面4 BD,GH U平 面 C B D,.,.尸 平面48。，且 P G 平 面 C8。，又 PW平面ABDC平面C B D,平面/B D C 平面。由公理3 可得尸GBD.点P 在直线8 0 上.自主演练，百炼方成钢一、选择题1.用符号表示“点 Z 在直线/上，/在平面a 外”，正确的是（）A.J /,/qaB.A 0,IdaC.A U,Id

13、aD.A U,/$a答案：B2.下列说法正确的是（）A.三点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.四边形是平面图形D.两条相交直线可以确定一个平面答案：D3.空间两两相交的3 条直线，可以确定的平面数是（）A.1B.2C.3D.I 或 3答案：D4.下列推断中，错误的是（）A.AWI,AWa,B 0,B R g lU aB.A a,AG0,BGa,0 aC0=ABC.Ida,A lA aD.A,B,CGa,A,B,C 0,S.A,B,C 不共线今a,重合答案：C5.在空间四边形4BC C的边48,BC,CD,D 4 上分别取E,F,G,四 点，如果EF与H G交于点M,那么（

14、）A.M 一定在直线4 c 上B.“一定在直线8。上C.M 可能在直线NC上,也可能在直线BD 上D.M 既不在直线4 C 上,也不在直线8。上答案：A二、填空题6.线段4 8 在平面a 内,则直线A B 与平面a 的位置关系是答案：直线/8U 平面a7 .把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上./阵a,a U a.(2)aA万=a,尸 初 且 呻 _.(3)aa,a(a A.(4)A=a,ar iy=c,pC yh,aC6 Cc=0.答案：(1)C(2)D(3)A(4)B8 .平面a C 平面=/,点/,B d a,点 C 平面4且 C&,ABC l=R,设过点4,B,C3点的平

15、面为平面y,则夕n 尸.答案：CR三、解答题9 .求证：如果两两平行的3条直线都与另一条直线相交，那么这4条直线共面.解：已知：a/b/c,l Cia=A,l Hh=B,inc=C.求证：直线a,b,c 和/共面.证明：如图所示，因为a 6,由公理2可知直线a 与 6确定一个平面，设为a.因为/na=Z,I C b=B,所以 G a,B Rb,则/a,8 G a.又因为B 曰,所以由公 理 1 可知/Ca.因为b c,所以由公理2可知直线b 与 c,确定一个平面,同理可知/UR因为平面a 和平面夕都包含着直线b 与/,且/。5=8,而由公理2的推论2知，经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以

16、平面a 与平面重合，所以直线a,b,c,和/共面.1 0 .已知正方体/B C D d/C Qi 中,尸分别为。，G 8 1 的中点,/C n B O u P,/i G C E F=Q-求证：(1)。，B,F,E4点共面；(2)若小C 交平面D 8 F E 于 R点，则 P,Q,R 3点共线.证明：如图.(1)连接35,是 A5 1 cl的中住线,.在正方体Z C 中，B1 D J/BD,C.E F/BD.：.E F,8。确定一个平面，即。，B,F,E四点共面.(2)正方体4G中，设平面小/C G确定的平面为a,义设平面B D E F 为0.小G,:.Q W a.又 Q W E F,IQ.则。

17、是 a 与4的公共点，同理P是 a 与4的公共点，:.a CB=P Q.又/,小。的中点,：.MMi 屿 A1.义；AAi 西 Bi,:且 M M 尸 BBi,.四边 形 为 平 行 四 边 形.(2)由(1)知四 边 形 为 平 行 四 边 形，.囱M 创/.同理可得四边形C G M M 为平行四边形，由平面几何知识可知，/8 A/C 和都是锐角.N B M C=N B M1G.类题通法1.证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义.(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等.(3)公理4.2.空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两

18、个角相等，否则两个角互补.因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.活学活用已知正方体N8C/)-小中，E,尸分别是4 4”C G 的中点.求证：BFJLED.证明：如图所示，取 8从的中点G,连接GG,GE.,:F为C G 的中点，:.BGJLC F四边形8GG尸为平行四边形.:.BF皿 C.义,：E G J U B,4向盘1。1,:.EGJLDC,四边形 EGCQI 为平行四边形，:.ED皿3,:.BFJLEDI.两异面直线所成的角 例 3 如右图所示，已知长方体N 8 8-4 81G oi中，AA=AB,E,尸分别是8 n 和的中点，求异面直线CD”E F 所成的

19、角的大小.解 取CD1的中点G,连接EG,DG,是 8 Z)i 的中点，J.EG/BC,是/。的中点，3.AD/BC,AD=BC,：.DF/BC,D F=；BC,J.EG/DF,EG=DF,，四边形E F D G是平行四边形，J.EF/DG,：.N O G R(或其补角)是异面直线 6 与 E 尸所成的角.又；小/=/8,:.四边形ABBiAi,四边形C D D i G 都是正方形，且 G为 CQ的中点，DG CDt,；.S G D=9 0。,.异面直线C D i,EF所成的角为9 0。.类题通法求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：

20、证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可 用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角6的取值范围是0 O V 6 W 9 0。.活学活用已知Z B C L M i S C Q i 是正方体，求异面直线AC与 SC所成的角的大小.解：如右图所示，连接小。和 C Q.A B:BAiD,：.N D 4 c l即为异面直线小G 与 8C所成的角.小，4 G,为正方体各面上的对角线，ADA C CD,小CQ为等边三角形.即N G 4 =6 0。.异面直线4 G 与 所 成 的 角 为 6 0 .IB4J修补短板.拉分题一分不丢2.探究空间中四边形的形状问题I典例J在

21、空间四边形/B C D 中，E,F,G,H 分别是Z B,BC,CD,D 4 的中点.求证：四边形M G/7是平行四边形.证明 如右图所示，连接8D因为77是48。的中位线，所以778),且 E H=；BD.同 理,F G/BD,X F G=BD.因此即FG.又 E H=F G,所以四边形 M G/7为平行四边形.多维探究1.矩形的判断本 例 中 若 加 上 条 件，则四边形EFG”是什么形状？证明：由例题可知E H B D,同理EN/C,入 B DL A C,因此 E_LEF,所以四边形E F G H为矩形.2.菱形的判断本例中，若加上条件/C=8 D ，则四边形EFG”是什么形状？证明：由

22、例题知JL E H B D,同理 E/C,且 E F=g,4 C.又 4 C=BD,所以E H=E F.又四边形EFGH 为平行四边形,所以四边形E F G H为菱形.3.正方形的判断本例中，若加上条件且4 c=5。，则四边形EFGH是什么形状？证明：由探究1 与 2 可知，四边形E F G H为正方形.4.梯形的判断若本例中，E,H 分别是中点，F,G 分别是8C,CD上的点，且 CT：/咕=。6 ：GZ）=1：2,则四边形EFG/7是什么形状？证明：由题意可知EH 是A A B D的中位线，则E H/BD且E H=BD.竺=生 人,FB GDT：.F G/BD,丽=阮=子:.F G=，D,

23、:.F G/E H 且 F G 丰 E H,四边形E F G H 是梯形.方法感悟根据三角形的中位线、公 理 4 证明两条直线平行是常用的方法.公理4 表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.自主演练，百炼方成钢一、选择题1.若 a,b,c 是空间3 条直线，a/b,a 与 c 相交，则%与 c 的位置关系是（）A.异面 B.相交C.平行 D.异面或相交答案：D2.如右图所示，在三棱锥S-MN尸中，E,F,G,H 分别是棱S N,S P,MN,A/P的中点,则 跖 与 H G 的位置关系是（）A.平行C.异面B.相交D.平行或异面答案：A

24、3.如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，A B与 CD 的位置关系为（）A.相交C.异面而且垂直答案：D4.下列命题：B.平行D.异面但不垂直如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等;如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.其中正确的结论有（）A.1个 B.2 个C.3 个 D.4 个答案：B5.若尸是两条异面直线/,机外的任意一点，则（）A.过点P 有且仅有一条直线与/,机都平行B.过点P 有 且 仅

25、 有 一 条 直 线 与 都 垂 直C.过点尸有且仅有一条直线与/,用都相交D.过点P 有且仅有一条直线与/,机都异面答案：B二、填空题6.直线a,平面a,且 a,6 成的角为40。，经过a 外 一 点/与 a,都成30。角的直线有且只有 条.答案：27.已知正方体Z 8 C D 向 C Q i中，E 为 C Q i的中点，则异面直线/E 与小囱所成的角的余弦值为.答案：|8.如下图所示，点 P,Q,R,S 分别在正方体的4 条棱上，且是所在楼的中点，则直线PQ 与 R S是 异 面 直 线 的 一 个 图 是.答案：三、解答题9.如右图所示，E,尸分别是长方体小S G O i d B C。的

26、 棱 小G C的中点.求证：四边形巴皮木是平行四边形.证明：设。是。A的中点，连接E0,0G.：是44|的中点，:.EQJLAD.又在矩形小81Gz)|中，A D甄C.E。匈C(平行公理).四边形E Q G B i为平行四边形.:.B E J l C Q.又F是D D ,G C两边的中点，：.Q D dU：F.二四边形Q D F Cy为平行四边形.：.C Q dU)F.义：B E 1 C Q :B EJLDF.四边形BiE D F为 平 行 四 边 形.10.已知三棱锥儿8C。中，A B=C D,且 直 线 与CD成60。角，点M,N分别是8C,X。的中点，求直线N 3和A/N所成的角.解：如

27、图，取4 C的中点P,连接PM,PN,因为点，N分别是8C,的中点，所以P M/A B,且CP N/C D,且 P N 巧 CD,所以NMPM或其补角)为A B与CZ)所成的角.所以NPMV(或其补角)为A B与 所 成 的 角.因为直线月8与C D成60。角，所以 N M P N=6 0。或 N M P N=120.又因为A B=C D,所以P M=P N,若NMPN=60。，则PMN是等边三角形，所以NP MN=6 0,即A B与 所 成 的 角 为60.若NA/PN=120,则易知PMN是等腰三角形.所以N P M N=3 0。,即A B与M N所成的角为30。.综上可知：A B与 所

28、成 角 为60。或30.2.1.3&2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系iD j副邮层析教材，新知无师自通知识点空间中直线与平面的位置关系I导入新知直线与平面的位置关系 化解疑唯位置关系直线a在平面a内直线a在平面a外直线a与平面a相交直线a与平面a平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示QUQa C a=Aa/a图形表示/-a口1.利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系.(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行.(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交.(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内.2.直

29、线在平面外包括两种情形：aa与a C a=4知识点二空间中平面与平面的位置关系 导入新知两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行口%/a/e没有公共点两平面相交有无数个公共点（在一条直线上）化解款唯1.判断面面位置关系时，要利用好长方体（或正方体）这一模型.2.画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.锁定考向,考题千变不离其宗直线与平面的位置关系 例 1 下列说法：若直线。在平面a 外，则。a；若直线。6,直线bUa,则。a；若直线ab,b 那么直线a 就平行于平面a 内的无数条直线.其中说法正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3 答案 B 类题

30、通法空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.活学活用下列说法中，正确的个数是（）如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行.A.0B.IC.2D.3答案：C题型

31、二平面与平面的位置关系 例 2 J (1)平面a 内有无数条直线与平面夕平行，问：a是否正确？为什么？(2)平面a 内的所有直线与平面夕都平行，问：a夕是否正确？为什么？解J 不正确.如图所示，设 a C =I,则在平面a 内与/平行的直线可以有无数条：如，恁，a,它们是一组平行线，这时4|,“2,，与平面4都平行(因为“1,。2,，与平面/无交点)，但此时a 与夕不平行，a C B=La_ t03(2)正 确.平 面 a 内所有直线与平面夕平行，则平面a 与平面少无交点，符合平面与平面平行的定义.I 类题通法两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面

32、有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关系：平行没有公共点；相交有且只有一条公共直线.若平面a 与 平行，记作a；若平面a 与尸相交，且交线为/,记作心(1 夕=/.活学活用1 .在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有 组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有 个.答案：4 62 .如图所示，平面N 8 C 与三棱柱/8 C-小S G的其他面之间有什么位置关系？解：平面A 8 C 与平面4 8 1 c l 无公共点，平面/8 C 与平面小8 1 G 平行.平面A

33、B C与平面ABBA有公共直线AB,平面/8 C 与 平 面 力 相 交.同 理 可 得 平 面 N 8 C 与平面/C G 小 及平面B C C i S 均相交.修补短板，拉分题一分不丢您确身系列,3.有关截面图形的形状问题I典例（1 2分）在正方体48cz M出C R中，点。是棱。上的动点，判断过N,Q,三点的截面图形的形状.I解题流程 单、0欲判断过A.Q.以三点的截面图,胃 题/方 向 形的形状，需分析Q点的位置.点Q是正方 体ABCD-A 氏G小的 棱D A上的动点，首先讨论Q位置.点Q与 重 合点Q与D重合点Q不与D.D 1重合.判断一得出结论.分别 规范解答由点0在 线 段 上

34、移 动，当点。与点功 重合时，截 面 图 形 为 等 边 三 角 形 如 图所示.（4分）枭 力 身 名师批注同 药。亮菽。/）；王的第；,诉龙r 1/1当Q与0重合时，口,，人从，A R均 为 正 方 形 的 对 角 线，印n A ：/）14=A从=42，所以，/44。加正三角形.当点。与点。重合时，截面图形为矩形N 8 1 G。，如图所示.（8分）C l B 1DA AA 1名师批注/1 1/隶0芨而5 卫；而不嬴亮薛麻荏 i/c J/D置，所 以Q与D重合时，由D C；：D A A B 知.截面是矩形A B】C J）.当点0不与点。，G 重合时，截面图形为等腰梯形/。火囱，如图所示.（1

35、 2分）名师批注彳Q卷）D；丙 区 乏 间 不 运 案AQ交A|D 1延 长 线 于（）点，连接B j O 交 C i 4 于 K 点，则 A B K Q为截面图形.活学活用如图所示，G是正方体-小囱G Q的 棱 延 长 线 上 的 一 点，E,F是棱4 B,8c的中 点.试 分 别 画 出 过 下 列 各 点、直线的平面与正方体表面的交线.过 点G及G C；（2）过3点E,F,D .解：（1）画法：连 接GN交小Q 于 点A/,连 接GC交C Q i于 点N;连 接MN,A C,则MZ,CN,MN,/C为所求平面与正方体表面的交线.如图所示.（2）画法：连 接EF交0c的延长线于点尸，交 的

36、 延 长 线 于 点0;连 接。|尸交CG于点M,连 接。|0交4 于 点N;连 接M k，N E,则。，MF,F E,E N,NQ为所求平面与正方体表面的交线.如图所示.自主演练，百炼方成钢一、选择题1 .如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（）A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能确定答 案：C2 .如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（）A.平行 B.相交C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内答案：D3 .若直线/不平行于平面a,且K a,贝IJ（）A.a内的所有直线与/异面B.a内不存在与/平行的

37、直线C.a内存在唯一的直线与/平行D.a内的直线与/都相交答案：B4 .已知直线用，和平面a,m/n,m/a,过机的平面与a相交于直线a,贝U 与a的位置关系是（）A.平行 B.相交C.异面 D.以上均有可能答案：A5.给出下列几个说法：过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与己知直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确说法的个数为（）A.0B.1C.2D.3答案：B二、填空题6 .下列命题：两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；若/,用是异面直线，/a,m/P，则a .其 中 错 误 命 题 的 序 号

38、为.答案：7 .与空间四边形/8 C D 4个顶点距离相等的平面共有 个.答案：78 .下 列 命 题 正 确 的 有（填序号）.若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线/上有无数个点不在平面a内，则/a；若直线I与平面a相交，则/与平面a内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线/与平面a平行，则/与平面a内的直线平行或异面；若平面a 平面尸，直线aU a,直线b U ,则直线 儿答案：三、解答题9.如右图所示，在正方体/3C。/囚 C Q i 中A/,N 分 别 是 和 881的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1

39、)ZM所 在 的 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系；(2)CN所 在 的 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系；(3)4 M所在的直线与平面C DDC的位置关系；(4)CN所在的直线与平面C 0 5 G 的位置关系.解：(1)4 所在的直线与平面/8C O 相交；(2)CN所在的直线与平面A B C D相交；(3)/M 所在的直线与平面 8功G 平行；(4)CN所在的直线与平面CODi G相交.1 0.已知平面a n =/，点/G a,点 B G a,点，且 Z用，B电,直线Z 8 与/不平行,那么平面/8 C 与平面的交线与/有什么关系？证明你的结论.解：平面N8C与的交线与/相交.

40、证明：与/不平行，LABCa,/Ua,与/一定相交，设 4 8。/=尸，则尸W/B,P 0.又.I B U 平面/8C,/U ,；.尸平面/8C,p e y二点P 是平面/8 C 与S 的一个公共点，而点C 也是平面NBC与的一个公共点，且 P,C 是不同的两点，直线PC就是平面/8 C 与4的交线.即平面 N 8C n=P C,而 P CCI=P,.平面/8 C 与的交线与/相交.2.2/直线、平面平行的判定及其性质2.2.1&2.2.2 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定知识点一层析教材，新知无师自通直线与平面平行的判定 导入新知 化斛疑难表示图形文字符号直线与平面平面外一条直线与

41、此平aAa平行的判定口面内一直线平行,则该bUa，za/a定理直线与此平面平行1.用该定理判断直线和平面a 平行时，必须同时具备3 个条件:(1)直线a 在平面a 外,即 Wa.(2)直线b 在平面a 内，即 bUa.(3)两直线a,6 平行，B|J a/b.2.该定理的作用：证明线面平行.3.应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可.知识点二平面与平面平行的判定I导入新知 化斛被唯表示图形文字符号平面与平面平行的判定定理口一个平面内的两条相交直、b EaCb=Pall ab a 线与另一个平面平行，则=a 夕这两个平面平行1.平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交

42、直线”是必不可少2.面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行.国翳碘的翎鱼锁定考向，考题千变不离其宗直线与平面平行的判定 例 1 如右图所示，已知公共边为N 8的两个全等的矩形48 8 和矩形4 8EF不在同一平面内，P,。分别是对角线NE,8。上的点，且 ZP=O0.求证：P0 平面C8E.I 证明I作 P M A B 爻B E 于点、M,作 QV/8 交8 c于点N,连接A/N,如图,则 PM/QN,P M _ E PAB=A,Q N _ B QC D=BD：EA=BD,A P=DQ,：.EP=BQ.义 AB=CD,:.PMJlQN,四边形P M N Q是平行四

43、边形，C.PQ/MN.又 8 平面CBE,A/NU平面CBE,.P。平面 CBE.类题通法利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线定理、平行公理等.活学活用如下图所示，已知4 8c l。是三棱柱，。是 ZC 的中 点.求证：/以平面。8G.证明：是三棱柱，四边形BiBCCi是平行四边形，二连接B iC交B g于点E,则BiE=EC.连接。瓦 在 N 8 C 中，：A D=D C,：.DE/ABy.又/8汉平面DBCi,DEU平面DBC,.吕平面DBCh题型二面面平行的判定 例2如下图所示，在正方体力8CD 中，M,E,F,

44、N分别是小8”B G，CD,Z)|小的中点.求证：(1)E,F,B,。四点共面;(2)平面 M4 N平面EFDB.证明连接8孙.:E,尸分别是边S G,G 5的中点,：.EF/BD.而 BDBD,：.BD/EF.：.E,F,B,。四点共面.Q）易知 MN/BD,BDBD,：.MN/BD.又MNQ平面 EFDB,BOU 平面 EFDB,平面 EFDB.连接尸分别是G Q的中点,：.M F/AXD,MF=AD.：.MF/AD,MF=AD.：.四边形ADFM是平行四边形，J.AM/DF.义 4MQ 平面 BDFE,DFU 平面 BDFE,平面 BDFE.又*加。仞7=，平面MAN平面EFDB.类题通

45、法J两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.活学活用如右图所示，已知四棱锥P-4 8CD的 底 面 为 矩 形，E,F,分 别 为 4B,CD,PD的中点.求证：平面/尸，平面尸C证明：因为F,H 分别为CD,P D 的中点，所以FH/PC.因为PCU平面PCE,平面P C E,所以尸”平面PCE.又由已知得4 E CF且ZE=CF,所以四边形A E C F为平行四边形，所以/尸 C E,而 CEU平面PCE,1网平面PCE,所以4r 平面PCE入 F H U 平面 AF

46、H,A F U 平面 4FH,F H D A F=F,所以平面/F“平面PCE.线线平行与面面平行的综合问题 例 3 如右图所示，在四棱锥。-ABCD中，底面A B C D是边长为1的菱形，/为 0 4的中点，N 为 8 c 的中点.证明：直线MN平面OCD.证明 如图，取 0 8 的中点及 连接ME,N E,则/8.又,：AB CD,：.ME/CD.又：河欣平面OC。，C D U 平面OCD,:.ME牛面OCD.又；NEOC,且 NEQ平面 0 8,0CU 平面。，:.NE 平&OCD.义,：M E C N E=E,且 A/E,N E U 平面 MNE,平 面 平 面OCD.,：M N U

47、平面 MNE,：.MN/平面 OCD.类题通法解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的.(2)|线线平行|工|线面平行 冬|面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.活学活用如右图所示，在正方体中，SC的中点.Di求证：直线EG平面8。向；(2)平面E尸 G平面B D D B.证明：如图，连接S3.：E,G 分别是8C,SC的中点，:.EG SB.又平面B D D B,EGQ平面 BDDiB、.直线EG平面BOAS.(2)连接SD：凡 G 分别是。C,SC

48、的中点又.$)：平面 FGC平面 BDD1B1,S是用。的中点，E,F,G 分别是8C,DC,f邛cC.FG/SD.平面 B D D B.又EG平面B D D B,且 EGU平面E F G,尸 GU平面EFG,E G C F G=G,平面 EFG平面 BD D B.修补短板,拉分题一分不丢您场与系列,4.探索点的位置问题I 典例（12分）如下图所示，在正方体/BCZM 181Gs 中，O 为底面/BCZ）的中心，P是的中点，设。是 CG 上的点，问：当点0 在什么位置时，平面。出0 平面为 0?Di C iA8 解题流程啜）/舞 料|当点Q在什么位置时，平 面 RBQ 平面P防是 皿 的 中

49、点,Q 是 C G 上的点.过 P,A,B三点的平面P A B Q交 C Q 于Q平面ADR 平面BCG平面 PA8QCI 平面 ADD1 AP平面PABQn 平面BCG=8Q是D Q B 的中位线=POD 8平面PAO平面D R Q,Q 是 C G 的中F=AP/BQ导是明显的.=:规范解答当Q 为C C|的中点时，平面RBQ 平面PAO.（2 分）D_ GA R 名师批注观察图形特点，只需在（X；上取中点Q,恰好有APBQ.。为 C G 的中点，P 为。的中点,J.P Q/D C.Q 分）又 D C/AB,.,.P Q/AB 且 P Q=AB,，四边形A B Q P为平行四边形，:.Q B

50、/P A.*分）又 为 U平面以O,Q8Q平面刃0,.80平面为0.（7分）连接3。，则0G5D,又为0 8的中点，尸为。1。的中点，:.P OD B郎分）又.POU平面以。，山（1平面以0,，。归平面以0.（10分）又,：D BCBQ=B,平面平面 为0.（12分）活学活用如右图所示，在正方体N8CZ）-小8|C Q|中，E是棱。口 的 中 点.在 棱C Q i上是否存在一点、F,使S厂平面为8 E?证明你的结论.解：在棱G 2上存在点尸，使 BiF 平面4 BE.证明如下：如图，分别取C Q i和CZ）的中点F,G,连接S F,E G,BG,C DX,FG.因为A D B C BC,且小。