2023年河北省衡水市高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 .选择题必须使用2 B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：

2、万 元)如 图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()IS1国2A.6.2 5%B.7.5%C.1 0.2 5%D.3 1.2 5%2 .已知函数f(x)满足当xWO时，2f(x-2)=f(x),且当X G(-2,0 时,/(x)=|x+l|-1；当尤 0时,/(x)=l o g”x(a 0且。1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是()A.(6 2 5,4 W)B.(4,6 4)C.(9,6 2 5)D.(9,6 4)2 7 r3.抛物线=2/储 0)的 焦 点 为 准 线 为/,A，B是抛物线上的两个动点，且满足N A E B =3-,设线段A

3、B的中点M在/上的投影为N,则 上 f 的最大值是()A 百 n 百 百 n WA.B.C.D.，34 3 2,4 .我国古代数学名著 数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式V=；(SE+J S上S下+S下).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸5.设0为坐标原点，P是以尸为焦点的抛物线产=2 p x(p 0)上任意一点，”是线段PE上的点，且|=2|/耳,则 直 线 的 斜 率 的 最 大 值 为

4、（）A.3 B.2 C.显3 3 26 .如 图1,九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是:有一根竹子，原高一丈（1丈=1 0尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，间折断处离地面的高为（）C.4.2 D.5.87 .如图，在矩形。4 3 C中的曲线分别是 =$加，y=c o 4的一部分，A 1,0 ,C（0,l）,在矩形Q 4 3 c内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为耳，取自非阴影部分的概率为鸟，则（）A.PP？B.PtP2 C.Pt=P2 D.大小关系不能确定8 .一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上，则球

5、的表面积为（）A.2 4 4 B.8瓜 兀 C.拽 三 D.1 2万39.现有甲、乙、丙、丁 4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为1111A.B.-C.D.2 3 6 1 21 0 .已知双曲线C：-三=1（4 0）的一个焦点与抛物线=8 y的焦点重合，则双曲线C的离心率为（）a 3A.2 B.百 C.3 D.41 1 .复数二满足z-l =（z+l）i （i为虚数单位），则z的值是（）A.1 +i B.1-Z C.i D.-i1 2 .设i是虚数单位，若复数“+EL（a e R）是纯虚数，贝！J a的 值 为（）2-1-1A.-3 B.3

6、C.1 D.-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。21 3 .在平面直角坐标系x O y中，双曲线工-的一条准线与 两 条 渐 近 线 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为41 4 .函 数/（幻=65皿（。+。）（夕0,。乃1的图像如图所示，则 该 函 数 的 最 小 正 周 期 为.x+y101 5.设实数x，y满足约束条件 x ,则z=2 x+3 y的 最 大 值 为.x 41 6.已知同=2,忖=6,a,5的夹角为3 0。，（日+2 5）/侬+焉），则 伍+初.（万一5）=.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12 分）已知函数

7、/（x）=X?-5 x +21n x.（1）求/（x）的极值;（2）若/（内）=/（9）=/（尤3），且尤1工2尤3，证明：X +%2 1 .18.（12 分）已知/（X）=e*-z n x.（1）若曲线y =l n x在点e 2,2）处的切线也与曲线y =/（x）相切，求实数?的值；（2）试讨论函数.f（x）零点的个数.19.（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超 过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有

8、甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、1 1 1?乙健身时间不超过1小时的概率分别为二，二，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为丁，且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量4 (单位：元)，求J的分布列与数学期望E(J)；(2)此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.20.(12分)如图，在四棱锥PABC Z)中，B C V C D,A D =CD,PA=3y/2 A A B C和A P 6 C均为边长为2 6的等边三角形.(1)求证：平面平面A 3

9、 C D；(2)求二面角CP 8 的余弦值.21.(12分)在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，并 且/+c?=加.(1)已知,计算 ABC的面积；请a =b=2,s i n C =2s i n 3这三个条件中任选两个，将 问 题(1)补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.(2)求cos茨+cosC的最大值.22.(10 分)2知函数分(x)=alnx +LX(1)讨论/(X)的零点个数；(2)证明：当0。刍时,2参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

10、求的。1.A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】250水费开支占总开支的百分比为”,x 20%=6.25%.250+4 50+100故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.2.C【解析】先作出函数/（X）在（-8,0上的部分图象，再作出.无）=10g“X关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数/（X）在（-8,0上的部分图象，再作出/（X）=log,X关于原点对称的图象，如图所示，当0。1时，对称后的图象不可能与人幻在（-8,0的图

11、象有3个交点；当。1时，要使函数f（x）关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，a则（一log“3-g,解得9 a625.|一log“5一；故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.3.B【解析】试题分析：设 A,8 在直线/上的投影分别是4,%则|A丹=|A 4|,忸q=忸 叫，又 M 是 A B 中点，所以M.=-,(1|,M|.,MN I IA AI+IB BJ|A F|+|B F|+|I)则曷=5.号产在由中ABf=A F f+B F f-2|A F|B F|cos=|A F|2+BFf+|A F|B F|

12、=(|A F|+|B F|)2-|A F|B F|(|A F|+|B F|)2-(LAFX+MBF),中3 ,加.+1.叫).,一,所以(|A E|御+忸F|)2 明4 ,即AF磊+BF_ 1 “2丁G 所以M周N”7 3，故选风考点：抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦A B的中点M到准线的距离首先等于A,B两点到准线距离之和的一半，然后转化为A3两点到焦点E的距离，从而与弦长|A却之间可通过余弦定理建立关系.4.B【解析】试题分析：

13、根据题意可得平地降雨量x 9 x(10=+J*x 6 2 +6 2 4)故选限=-高-=3考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.5.C【解析】2试题分析：设H，为)，由题意尸(称，0)，显然%0,则O M O F+F M O F +-F P O F +-O P-O F)-O P +-O F +可得：3 3 3 3 6P 3 3A3 2 2 v 2 lkM=%2 p=%2P 2 万=7 当且仅当为2=I p1,%=0时取等号 故选C.6P +3 P y0考点：1.抛物线的简单几何性质；2.均值不等式.【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，

14、属于中档题.解题时一定要注意分析条件，根据条件1PMi=2|M可，利用向量的运算可知用（3+4,普），写出直线的斜率,6 3 3注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题.6.B【解析】如图，已知 AC+AB=10,BC=3,AB2-AC2 BC2=9.(A8+AC)(A8-AC)=9,解得AB_AC=0.9,AB+AC=10,JAB=5.45AB-AC=0.9 解得 AC=4.55，4(a-1)4(1.4-1)1 .-二 一折断后的竹干高为4.55尺故选B.7.B【解析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得.【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为

15、：cosx sinx）ir=V2 1 ,V2 1于是此点取自阴影部分的概率为；K Z X12又g=l_ 6 g,故.故 选B.【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题.8.A【解析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可.【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同,D.四面体所有棱长都是4,.正方体的棱长为2及，设球的半径为r,贝 112r=，解得r=,所以 S=4/rr2=247 )故选：A.【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角

16、线，从而将问题巧妙转化，属于中档题.9.B【解析】C2C2求 得 基 本 事 件 的 总 数 为 月=6,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为加=C；C；可=2,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，C2C2基本事件的总数为n=x 用=6,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为m =用=2,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为2=!，故选B.n 3【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本

17、事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.A【解 析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得/+3 =4,解可 得。=1,由离心率公式计算可得答案.【详 解】根据题意，抛 物 线f=8y的 焦 点 为(0,2),2 2则 双 曲 线 二 一 二=1的焦点也为(0,2),即c=2,/3则 有4+3 =4，解 可 得a=,双曲线的离心率6 =2.a故选：A.【点 睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.1 1.C【解 析

18、】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详 解】.7 ,1 +Z (l+i .由 z-l=(z+l)/得：z=,、/-=i 7 1-i(l+z)(l-z)本题正确选项：C【点 睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力.1 2.D【解 析】整理复数为人+ci的形式，由复数为纯虚数可知实部为0,虚 部 不 为0,即可求解.【详 解】由题,。+35i=。+(25 z+(2%-2z)L)=+2，.+1 =(,。+1)、+2 因为纯虚数，所 以a+1 =0,则a=-1,故选:D【点 睛】本题考查已知复数的类型求参数范围，考查复数的除法运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2

19、 0 分。2 41 3.1 3【解析】求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积.【详解】2 2解：双曲线C：双曲线二=1中。=2,b=3,C =j i 5，4 9则 双 曲 线x2匕-v匕2=1 的一条准线方程为X =cr =4)，4 9 c V 1 3双曲线的渐近线方程为：j=+|x,可得准线方程与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标(卡，卡)，(卡，-卡),1 4 c 6 2 4则三角形的面积为X 而X2X加 =E.2 4故答案为：【点睛】本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题.1 4.8【解析】根据图象利用/

20、(0)=等，先求出9的值，结合/(1)=0 求出，然后利用周期公式进行求解即可.【详解】解：由/(0)=G sine=半，得 sin(p7 1 3 万/W /3 sin(6 yx+),4/1)=6 sin(o+?)=0,:.co+=TT 9 即 刃=工，4 42=则函数的最小正周期 至 一 彳 一，4故答案为：8【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.1 5.2 6【解析】x+y 416.1【解析】由（万+2 5）/（2万+坷 求出2,代 入 他+4）（万5）,进行数量积的运算即得.【详解】：（a+2b/（2a+b）,存在实数攵，使得2 M +4 6

21、=&（G +2 5）.2=k不共线，二2 =4.4 =2攵同=2,网=也，B的夹角为3 0。，+=（M +4 5）（汗 一5）=J+3。石一 4万=4 +3 x2 x V 3 xcos3 0 0 -4 x3 =1 .故答案为：1.【点睛】本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。917.(1)/(x)极大值为 21n 2；极小值为-6 +21n 2；(2)见解析4【解析】(1)对函数f(x)求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值；(2)构造函数尸(幻=/(x)-/(I -x),x e(0,，求导并判断单调性可得F

22、(x)0,从而/(x)/(I -幻 在(0,上恒成立，再结合 e(0,；1,/(%)=/&)1 -即可证明结论成立.【详解】函 数 /(X)的定义域为(),+8)J (x)=2x 5 +：=处*2)(X，所以当xe(0,；)U(2收)时，/(x)0；当 时 J(x)0,则f(x)的单调递增区间为0,；和(2,+8),单 调 递 减 区 间 为2.故./(万)的极大值为./(；)=；一1+2比；=一1一21112；/。)的极小值为/(2)=4-10+21112=-6 +21112.(2)证明:由(1)知0 玉 3 *2 2 0在(0,；)上恒成立，即F(x)在(0,；)上单调递增，故 F(x)又

23、，J)一/。则(X)=，()二 1 一外 e 1 即/(x)/(I 幻 在(0,g)上恒成立.因为X e(0,g),所 以/(玉)1一不澈x+为1.【点睛】本题考查函数的单调性与极值，考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键，属于难题.18.(1)m =-e-2(2)答案不唯一具体见解析【解析】(1)利用导数的几何意义，设切点的坐标(%,/。-加两)，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组：一 ：，再构造函数研究其最大值，进而求得机=l-e-2；*_犷=(2)对函数进行求导后得/(x)=e,-加，对”分三种情况进行一级讨论，即m 0,结合函数图象的单调性

24、及零点存在定理，可得函数零点情况.【详解】解：(1)曲线y =l n x在点(/,2)处的切线方程为y -2=r(x e2),即=七%+1.e-e令切线与曲线f(x)=ex-m x相切于点(尤。,*-mx0),则切线方程为y =(淖-m)x-淖(x0-l),ex0-m =e2e xoex ，/.(w +e-2)l-l n(?+e-2)=1,令z n +e-2=t,贝！f(l I n r)=1,记 g(r)=r(l-l n O,g (f)=1 _ (I +I n t)=_ I n r于是，g Q)在(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减，g()ma x=g(l)=1，于是 f=/+e 2=

25、l，m -1 e 2(2)f(x)=ex-m ,I 1当山o恒成立，f(x)在R上单调递增，且y(o)=i-加 0,八2_)=”一1 0时，令/(x)0,则x l n w,即函数/(x)的增区间是(l n/,+8),同理，减区间是(一8/n/)，)(尤 焉=m(l-lnm).i)若0 m 0,f(x)在R上没有零点；ii)若m=e,则/(x)=ex有且仅有一个零点；iii)若，”e,则/(x)min =m(l-l n 加)e 时，(加)单调递增，/?(m)/z(e)0./(21n m)-irr-2mnm=m(m-21n/?i)m(e-2)0又./()=l 0,在R上恰有两个零点，综上所述，当0

26、 Wm e时，函数f(x)没有零点；当加6时，/(X)恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.19.(1)见 解 析，4 0 元(2)6 000 元【解 析】(1)甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、4 0元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可(2)根 据(1)结果求均值.【详 解】解：(1)由题设知可 能 取 值 为0,20,

27、4 0,6 0,8 0,则1 1 1 2 1=6 0）=-x-+-x-=-；,2 6 4 3 4尸 律=80）XL-L,7 4 6 24故J的分布列为:0204 06 080P12445124124所以数学期望 E（J）=0 x（+2 0 x；+40 x V+6 0 x；+8 0 x（=4 0（元）(2)此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：4 0 x3 00 x1=6 000(元)2【点 睛】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.20.（1）见证明；（2）M 513【解 析】(1)取8 C的 中 点。，连 接OR OA,要 证 平 面P 8 C _ L平 面A BCD,转 证O

28、P,平 面A B C。，即 证OPLQ4,O P IB C即可；以。为坐标原点，以05,诙，砺 为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出 平 面P 8O与 平 面P 3C的法向量，代 入 公 式，即可得到结果.【详解】(1)取BC的中点。，连接。尸,。4,因为AAfiC,P B C均为边长为2 G的等边三角形,所以A 0L 8C,O P 1 B C,且Q4=OP=3因为AP=3及，所以。产+04?=4产，所以。P_LOA,又因为。4 cB e=O,Q 4u平面ABC。，B C u平面ABC。,所以OP!_平面A B C D.又因为O Pu平面P B C,所以平面PBC_L平

29、面ABCO.(2)因为BCLCD,AABC为等边三角形,TT 7 T 27r所以NACO=2,又因为A=C D,所以NC4O=2,Z A D C =6 6 3在AADC中，由正弦定理，得:A C C Dsin/AOC-sin/CW,所以CD=2.以。为坐标原点，以 防，而，而 为x，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,则尸(0,0,3),B(0,73,0),。(2,一 疯0),而=(0,-6,3),而=(2,2瓜0),设平面P B D的法向量为n=(x,y,z),则n-BP=0一，即n-BD=0-g y+3z=02x-2y/3y=0令z=l,则平面PBD的一个法向量为弁=(3,6,1),

30、依题意，平面PBC的一个法向量比=(1,0,0)_ _.4 3屈所以cos他)=丽=-故二面角C-P B-D 的余弦值为士叵.13【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量：（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.2 1.（1）见 解 析（2）1【解析】（1）选。=2,s i n C =2 s i n B.可得c =2 A =4,结 合 层+。2=储+税，求得A=.即可；若选。=近,b=2.由 户

31、+/=片+历 可 得c =3由+2=/+乩，求得A =q.即 可；若选0=近，s i n C =2 s i n B,可得c =,又 加+。2=.2+乩，可 得 =囱，c =酒 即 可；3 3T T（2）化简8$8 +8$。=$m（8 +二），根据角的范围求最值即可.6【详解】（1）若选=2,s i n C =2 s i n 6.s i n C =2 s i n B,:.c =2b=4 9b2+c2=a2+be 9/.cos A-t2 2 2b+c-a2hc2又 ,A(0,),乃A=3.A A 8 C的面积 S =/?c s i n /I =x2 x4 x =.2 2 2若选 Q=J 7，b=2

32、.由/?2+/=+bc,可得 C =3,h2+c2=a2+/?c,/.cos A=/?2+c2-a2 _1_2bc 2又 A c(0,7 r),乃A=3.,.AA8C 的面积 S=/?csin A=又2又3 乂 立 =3B2 2 2 2若选 Q=/7,sinC =2sinB.sinC =2 sin B,c=2b 9又2+。2=a2 +儿，.0.b2+4h2=1+2b2 9 可得人c=豆 3 3AABC 的面积 S,BC=2 Ac sin A=x x x 走(2)A=71T冗 乃 G/.cos B+cos C=cos B+c o s(B+)1=cos B-cos(B+)=cos B cos B

33、H-sin B3 3 2 21 n-r /r 冗、=cos B d-sm B=sin(nd)2 2 62.0 3 一7,3乃 八 乃 5%一 v 3 +3 6 6TT 7T.当 8 =一时，sin(8+)=8$3 +8$。有最大值 1.3 6【点睛】本题考查了正余弦定理，三角三角恒等变形，考查了计算能力，属于中档题.22.(1)见 解 析(2)见解析【解析】Z 7 V-_ 1(1)求 出/(=一1，分别以当。进而证明J.2v 7 2【详解】解析：(D /(x)=X G(O,4 W),1=-a+eQ,/e“J =-1 +e 0时，由/()0得x e g,”)，./(x)在(0,：)单调递减，在(

34、：,+8)单调递增，/(x)在x =处取得最小值/(-)=-l n a +,a a若-a l n a+a 0,则a e,此时/(x)没有零点；若 a l n a+a=0,贝!j a =e,此时/(x)有1个零点；若 a l n a+a e,1)0,求导易得/)0,此时“在(r)，(L)上各有1个零点.a a a a综上可得0 W a e时，/(x)没有零点，0或a =e时，/(力 有1个零点，时，”力 有2个零点.(2)令M%)=o r l n x+1,贝0；当0 c x e，时，/z*(x)/l()=-+1 .eel令 g(X)=；x e r,则 g (x)=(1 一 x),当0 c x 0,当x l时，g(x)0,/.g(x)g(x),axnx+xex,l n x +,即【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.