2022年高考数学总复习抛物线专题做题技巧与方法总结汇编.pdf

《2022年高考数学总复习抛物线专题做题技巧与方法总结汇编.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学总复习抛物线专题做题技巧与方法总结汇编.pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、抛物线专题做题技巧与方法总结一、知识点梳理：1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质（p0）：2.抛物线的焦半径、焦点弦标准方程y2=2Pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形iV小X.7rTK隹 占八、八、吗,0)F(-,0)尸呜）0,-9准线TTy =-2T范围x 0,yeRx QxR,yAB=XA+XB+p3.V=2 p x的参数方程为卜=2 3为参数），=2 p），的参数方程为卜=2 P（，为参数）.重难点突破重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点：与焦点有关的计算与论证重难点：围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数

2、方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题1：抛物线y=4 x?上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是（）A.B.C.-D.016 16 8点拨：抛 物 线 的 标 准 方 程 为 准 线 方 程 为y =-4，由定义知，4 16点M到准线的距离为1,所以点M的纵坐标是”162 .求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3,2）的抛物线的条数有_ _ _ _ _ _ _ _ _点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质，要具备数形结合思想问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

3、点拨：设A8为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点4 4分别是点A、B在准线上的射影，弦A5的中点为M,p l l j AB=AF+BF=AA+BB,点M至I 准线的距离为L（AA+B8），二以抛物线焦点弦为直径的圆2 2总与抛物线的准线相切二、考点分类考点1 抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 例 1 已知点P在抛物线y2=4 x上，那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为解题思路：将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离 解析 过点P作准线的垂线/交准线于点R,由抛物线的定义知，PQ+PF=PQ+PR,当P点为抛物线与

4、垂线/的交点时，PQ+PR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离，因准线方程为x=-1,故最小值为3总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关方法归纳：当题中出现一定点和一定直线时，要先考虑是否满足抛物线的定义，抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，两者可转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。练习：1.已知抛物线了 =2px(p0)的焦点为尸，点,(如y),P2(x2,y2),6(与 为)在抛物线上，且片可、1鸟 1、|居可成等差数列，则有()A.Xt+X2=X3 B./+%=3C.%+%=2X

5、2 D.弘 +%=2y2 解析C 由抛物线定义，2(+9 =(内+(&+9,即：%+/=2%2 2.已知点A(3,4),F是抛物线y2=8x的焦点,M是抛物线上的动点，当眼4+|“月最小时，M点坐标是A.(0,0)B.(3,2后)C.(2,4)D.(3,-2 V 6)解析设M到 准 线 的 距 离 为 则|凶4|+敏|=|叱+|网,当M+MK最小时，M点坐标是(2,4),选C考点2抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程 例2求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：过点(-3,2)(2)焦点在直线x-2 y-4 =0上解题思路：以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解

6、析设所求的抛物线的方程为V=_ 2 p x或x2=2 p y(p 0),过点(-3,2).p =424 .对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）.能使这抛物线方程为V=1 0 x的条件是.（要求填写合适条件的序号）解析用排除法，由 抛 物 线 方 程O x可排除，从而满足条件.5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与丫轴的交点，A为抛物线上一点，且用=3,求此抛物线的方程 解析设点A是点A在准线上的射影，则|AA|=3,由勾股定理知I

7、MA=2v L点A的横坐标为（2后,3 -9，代入方程*2=2小得p =2或4,抛物线的方程x2=4y或x2=8y考点3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 例3 （1）设A、B为抛物线丁 =2 p x上的点，且Z AO 8=9 0。（0为原点），则直线A B必 过 的 定 点 坐 标 为.解题思路：由特殊入手，先探求定点位置 解析 设直线0 A方程为/由，Upx 解出A点坐标为 笠 华=7 解出B点坐标为(2 p/,_ 2 p Q,直线AB 方程为y2=2pxy+2 汰=-蛆二翠2,令y=0 得x=2 p,直线AB 必过的定点(2 p,0)1 -k总结：(1)由于是填空题，可

8、取两特殊直线AB,求交点即可；(2)B点坐标可由A 点坐标用 换 k 而得。k(2)已知过抛物线y2=4 x的焦点F的直线交该抛物线于A、B 两点，|AF|=2,则 I B F|=2(3)过抛物线/=4 x 的焦点作直线，交抛物线于A(x,yj,B(X 2,心)两点，如果为+莅=6,那么|AB|=(A)A.8 B.1 0 C.6 D.4(4)过抛物线y=a/(a 0)的焦点F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段P F 与 F Q的长分别是p、q,则工+工等于(Cp q)A.2a B.C.4 a D.-2a a方法归纳：若AB 为抛物线V=2 p x(p 0)的焦点弦，A,八)、B(X2,力

9、)，弦的中点M(xO,y0),则有下列结论：x2=-y i47 2 =P2弦长L=为+E +P,X+莅 三 2 己=P，(当 荀=也时，通径最短为2 P)弦长L=g (。为直线A B 的倾斜角)-L+-L=2s i n2 0 FA FB P 以A B为直径的圆与准线相切。练习：6 .若直线依-y +l =O经过抛物线2=4 x的焦点，则实数a=解析 T7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为4,%则ZA皿=()A.4 5 B.6 0、C.9 0 D.1 2 0 解析 C考点4 直线与抛物线 例4 过 点M (2,4)作与抛物线/=8牙只有一个公共点的直线1

10、有(C )A.0条 B.1条 C.2条 D.3条练习：8、已知抛物线2=2 p x(p 0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若 线 段 的 中 点 的 纵 坐 标 为2,则该抛物线的准线方程 为(B )A%=1 B.%=T C.x =2 D.%=-2方法归纳：直线与抛物线的位置关系一般用几何法或判别式法来判断。直线与抛物线相交问题，一般用设而不求或点差法处理，其弦长公式与椭圆及双曲线相同。考 点5向量与抛物线 例5过已知椭圆。的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y =的焦点，离心率为 挛.4 5(1)求椭圆。的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点少作直线/交椭圆C于

11、/、两点，交y轴于M点、,若 而=4而，丽=4而，求4+4的值.2 2解：(1)设椭圆。的方程为二+二=1 (ab0),a b抛物线方程化为V=4 y ,其焦点为(0,1),椭圆。的一个顶点为(0,1)，即0=1，由e，=B=述,a a 5得 a?=5 ,2.椭圆。的方程为J+y2=i.(2)由(1)得尸(2,0),设4毛，y)B(X2,y2),(0,%),显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y =Z(x-2),代 入:+丁=1,并整理得(1 +5k2)x2-?Ok2x+20k2-5=0 ,2 0 k 2 20k2 5 -r j -+l1+5-42 1，+项5%2=i -2 乂/4=区，MB

12、=(X2,%一 九)，A F =(2-xi,-y),BF=(2-X2,-y2)由 忘=4而，MB=ABF,得(丹，必一%)=4(2 七，一 必)，(%2，一为)=4(2 -%2，-%)，；_ X1 2 _ X2 ./L i ,/L?2%)2%24 +4 =4+/2(/+%)-2 x g=_0 .2-Xj 2-X2 4-2(范 +彳2)+%工2练习9、把与抛物线/=4x关于原点对称的曲线按向量a=(2,-3)平移，所得的曲线的方程是(C )A.(y-3)2=-4(x-2)B(y-3)2=-4(x+2)C.(y +3 =4(x 2)D.(y +3)2 =-4(x+2)方法归纳：一般将圆锥曲线中的向

13、量关系转化为几何关系或坐标关系。考点六和抛物线有关的最值问题 例 6 已知抛物线2=2 p x(p 0).过动点(a,0)且斜率为1 的直线/与该抛物线交于不同的两点月、B,AB 0)的焦点为产已0),所以经过点分的直线力方的方程可设为=冲+与，代人抛物线方程得y-2pmy-p2-0.若记A(X i，y),B(x2,y2),则%,先是该方程的两个根，所以因为比乃轴，且点C在准线x =-上，所以点。的坐标为2(-紧 故直线CO的斜率为左=上=女=.即%也是直线力的斜率，所以直,X 玉2线4。经过原点0.8.椭圆+=1上有一点M (-4,-)在抛物线V=2 px (p 0)的准a b 5线/上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.(1)求椭圆方程;(2)若点N在抛物线上，过N作准线/的垂线，垂足为Q距离，求|M N|+|N Q|的最小值.2 2解：(1);二+4=1上的点M在抛物线 一 bV=2 px (p 0)的准线/上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.，c=-4,p=8(-4,|)在椭圆上4+悬=1L i+Y.，由解得：a=5、b=32 2.椭圆为j+=l2 5 9由p=8 得抛物线为y?=I 6 x设椭圆焦点为F (4,0),由椭圆定义得|N Q|=|N F|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=一 4)2+(|一 0尸 言,即为所求的最小值.