2022年2022年专升本高数知识点汇总2第二章导数与微分.pdf

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1、第二章 导数与微分【考试要求】1 .理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数.2 .会求曲线上一点处的切线方程与法线方程.3 .熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法.4 .掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数.5 .理解高阶导数的概念，会求简单函数的八阶导数.6 .理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分.【考试内容】一、导数(一)导数的相关概念1.函数在一点处的导数的定义设函数 =/(%)在点后的某个邻域内有定义，当自变量%在%。处取得增量%(点

2、o +A r 仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量A y =/(x0+A x)-/(x0)；如果A y 与A x 之比当A x-0 时的极限存在，则称函数 =/(%)在点/。处可导，并称这个极限为函数 =/(%)在点。处的导数，记为尸(%0)，即八%.)=11 m=一仆 一)一“.,-A x -A x也可记作Mz却。或%z说 明：导 数 的 定 义 式 可 取 不 同 的 形 式，常 见 的 有1(/):lim 4%。+m )和1(%0)=lim 上 式工)；式中5 h I 须%一 0的立即自变量的增量Ax.2.导函数上述定义是函数在一点处可导.如果函数 =/(%)在开区间/内的每点处都可导，

3、就 称 函 数 在 区 间/内 可 导.这 时,对于任一W/,都对应着f(x)的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数y=/(%)的导函数，记作V，尸(%),包或或也.显然，函数/(%)在点。处的dx dx导数广(%0)就 是 导 函 数/在 点x=%。处 的 函 数 值，即3.单侧导数(即左右导数)根 据 函 数/(%)在 点/。处 的 导 数 的 定 义，导数,(%0)=lim 叱)二生是一个极限，而极限存在的充分必2 0 h要条件是左右极限都存在并且相等，因此尸(%)存在(即/(%)在点 工。处可导)的充分必要条件是左右极限l i m3也 匕 3go-h及li

4、m 土?二国)都存在且相等.这两个极限分别称为2o+h函数一(%)在点。处的左导数和右导数，记作(%)和(%)，即(%)=四/(3+丸)一，(%()hD.m盘 也 以t现在可以说，函数f(%)在点/。处A-O+h可导的充分必要条件是左导数(%)和右导数人(%)都存在并且相等.说明：如果函数/(%)在开区间(凡切内可导，且方及乃S)都存在，就说/(%)在闭区间切上可导.4 .导数的几何意义函数y =/(x)在点入。处的导数尸(不)在几何上表示曲线y =/(九)在点MO。J 5)处的切线的斜率，即八X)=t a na，其中a是切线的倾角.如果y =/(%)在点。处的导数为无穷大,这时曲线 =/(%

5、)的割线以垂直于入轴的直线x =%o为极限位置，即曲线y =/(%)在点M(%0 J(%o)处具有垂直于x轴的切线x=xQ.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线、=/(%)在点M(%,为)处的切线方程和法线方程分别为：切线方程：y-%=7 (%0)(%-%)；法线方程:y一%=17u)5 .函数可导性与连续性的关系如果函数y =/(%)在点0处可导，则/(%)在点x0处必连续,但反之不一定成立，即函数y =/(%)在点/处连续，它在该点不一定可导.(二)基本求导法则与导数公式1 .常数和基本初等函数的导数公式(1)=0 ；(3 )(s i n%)=c os%；(5)(t a n%)=

6、s ec2 x；(7)(s e c%)=s e c%t a n%；(9)(优)=a、ln a ；(2)=；(4)(c o s%)=-s i n%；(6)(c o tx)=-c s c x ；(8)(e s c x)f=-C S C J C C O t X ；(1 0)(ex)=ex1(1 1)(lo g 0 )xna(1 2)(I n%)；x(1 3)(a r c s i n%)=1；V l-x2(1 4)(a r c c o s%)=1(1 5)(a r c t a n%)=-；1 +x(1 6)(a r c c o t x)=-.1+x22 .函数的和、差、积、商的求导法则设函数 =(%)

7、,丫 =丫(%)都可导，则(1)()=M ；(2)(c y=c v (c是常数);(3)(uv)=uv+uv；(4)0，=且(叱0).V V3.复合函数的求导法则设=/()，而 =g(x)且/()及g(%)都可导，则复合函数y=/g(%)的导数为 半=孚.半 或 y(%)=r5)H(x).ax du ax(三)高阶导数1.定义一般的，函数y=/(%)的导数了 =/(%)仍然是的函数.我们把V=/(%)的导数叫做函数y=/(%)的二阶导数，记作y或勺，即了=(y)或.相应地，把y=/(%)的导dx ax dxdx J数/(%)叫做函数y=/(%)的一阶导数.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三

8、阶导数的导数叫做四阶导数，一般的,5-1)阶导数的导数叫做阶导数，分别记作函数y=f(%)具有阶导数，也常说成函数一(%)为阶可导.如果函数/(%)在点X处具有阶导数，那么/(%)在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.(四)隐函数的导数函数的对应法则由方程尸(%,y)=0 所确定，即如果方程F(%,y)=O确定了一个函数关系y=/(%),则称 =/(%)是由方程以%,y）=0所确定的隐函数形式.隐函数的求导方法主要有以下两种：1.方程两边对求导，求导时要把y看作中间变量.例如：求由方程靖+.-e=0所确定的隐函数的导数包.dx解：方程两边分别对力求导，（

9、/+孙-e）；=（0）；,得/也+=0,从 而 =_.dx dx dx x+ey2.一元隐函数存在定理 包=-与.dx F；例如：求由方程,+孙-e =0所确定的隐函数的导数.dx解：设 F(x,y)=ey+xy-e,ddv F,力 e+盯 e)则 丝=/=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _dx F(y ,y (e +xy-e)Syyey+x（五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程卜二以）确定y是x 的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数电力一加_力为 包=%,上式也可写成 包=dx(p(?)dx其二阶导函数公式为 学，.dx 0(六)塞指函数的导

10、数一般地,对于形如。严)(%)0,1)的函数，通常称为幕指函数.对于幕指函数的导数，通常有以下两种方法：1.复合函数求导法将基指函数(九)心)利用指数函数和对数函数的性质化为e)m“的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的恢复为(幻心)的形式.例如：求幕指函数y=炉的导数包.dx解：因 x=/nx,故=色(enn)=/nx.(%nxy=(l+ln%).dx dx 2.对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y对的导数.例如：求幕指函数y=x的导数包.解：对塞指函数y =x 两边取对数，得ln y =%ln x,该式两边对 求 导，其 中y是 的 函 数，得 =l +

11、ln x ,故y dx=y(l+I n%)=x (l+I n x).dx二、函数的微分1 .定 义：可 导 函 数 =/(%)在 点4处 的 微 分 为办卜=与=/(%0)公；可导函数y =/(%)在任意一点x处的微分为dy=fx)dx.2 .可导与可微的关系函数=/(%)在点%处可微的充分必要条件是=/(%)在点九处可导，即可微必可导，可导必可微.3 .基本初等函数的微分公式(l)d(C)=(k Z x ；(3 )J (s i n x)=c o s xdx；(5)J(t a n x)=s e c2 xdx；(7 )d(s e c x)=s e c x t a n xdxd(e s c x)=

12、-e s c x c o t xdx；(9)d(ax)=axI nadx；(1 1)d(loga x)=-dx；xna d(B)=x T办；(4)d(c o s%)=-s i n x 6 k ；(6)7(c o tx)=-escxdx；(8 )(10)dex)=exdx；(12)i/(l nx)=dx；%(13 )d(a r c s i n x)=1Vl7=：dx2X(1 4 )d(a r c c o s%)=/1 dx；J i(15 )J(a r c t a n x)=二公1 +x(16 )d(a r c c o t%)=-dx.1 +x4 .函数和、差、积、商的微分法则设函数 =(%),v

13、 =u(%)都可导，贝IJ(1)d(u+v)=du+dv；(2)d(Cu)=Cdu(C是常数)；(3)d(uv)=vdu+udv；(4)暧)=空 二 弛 go).V V5 .复合函数的微分法则设y =/()及 =g(%)都可导,则复合函数y =1ng(%)的微分为 dy=ydx=f(u)g(x)dx.由于=所以复合函数V =的微分公式也可写成 y =/(W 或dy=yudu.由此可见，无论是自变量还是中间变 量，微分形式。=:()或保持不变.这一性质称为微分形式的不变性.该性质表明，当变换自变量时，微分形式d y =/()并不改变.【典型例题】【例 21】以下各题中均假定八%。)存在，指出A表

14、示什么.1.lim 皿-Ax解：根据导数的定义式，因A xfO 时，-A x f O,故lim 仆词-小。)=F m =_ 八%。),A E Ax Ax即 A=-f(x0).2.设l i m 3 =A,其中/(O)=O,且广(0)存在.7%解：因/(0)=0,且尸(0)存在,故lim =lim /=/,即 4=尸(0).Xf0%10 X-03.1 加/(%。+0 一/(%。一力)=4.20 h解：根据导数的定义式，因f 0时，-/2-0,故=/)+八%)=2/(%)，即 A=2fr(x0).【例 22】分段函数在分界点处的导数问题.X3 x 1解：根据导数的定义式，2,_2，小 V /(%)-

15、/r 3X-3 2r,2 1、c/.(I)=匕 =lim-=lim(x-+x+l)=2,x-1 5 x-l 3 5v2-/+(1)=lim-=lim-=+oo,x-1 x-i+x-1故,%)在x=l 处的左导数 =2,右导数不存在，所以/(%)在x=l 处不可导.2.讨论函数A%)=s in?W O 在x=0处的可导性.0,x=0 x sin 0角 牛：因 f(0)=lim-=lim-=limxsin=0,x-0 10 X 1%故函数/(%)在=0处可导.3.已知函数/(%)=(厂L在=1处连续且可导，求常ax+b,x 1数 和b 的值.解：由连续性，因/=1,/(r)=lim/(x)=lim

16、x2=l,x-r x-r/(r)=lim f(x)=im(ax+b)=a+b,从而 a+Z?=l.x-l+X f 1+再由可导性，=lim 么D=lim -=lim(x+1)=2,x-r X l X f厂 X l xr/二lim/二/=lim.1 T,而由可得b=l-a,代X fl+X-1 x lx,八、zH 力/八 /(x)-/(l).ax-a-p .入 f(l)，得 九 二 hm J 八、hm-=a，再由Xfl+x-1 5 x-1 =(D 可得 =2,代入式得b=-l.z.八 sin%,x 0解：当 0-x 0 x7 0-X(0)=l i m W)=l i m =1,x-0+x-Q x-0

17、+XE（o）=w（o）=i,故（。）=1,从而 外幻=c o s x,x o).解：等式两边取对数，得尤I n y =ylnx,两边对了 求导，注意y是%的函数，得l n y +-=ynx+，整 理 得(-I n-Iny,y x y x则y-I n yf xy-I n xyy-xy l n yx2-孙 I n x解：等式两边取对数，得lny=l n l-L=l n-f LVVX2+2 2 江+2即 21n y =l n(%2+l)-g l n(%2+2),也即 l Ol n y =5 l n(x2+l)-l n(x2+2),两边对x求导，注 意 处 的 函 数,得 中 二黑-七故10%2%、1

18、0 x+1 x +2.【例 2-7)求下列抽象函数的导数.1.已知函数y =/(%)可导，求函数y =/(e熹)的导数电.dx1 1解:丫 =d/(e s i n x)_ y s i n x).s i n x)，_ /(g s i n x).s i n x.(dx dx 1 1=f (esnx).esnx,-c o s x c o s x。=一 京e s i n x/Q s i n x).rs i n x2 .设函数/(%)和g(%)可导，且尸(%)+g 2(%)w O,试求函数y =J/2(%)+g 2(%)的导数半.解：9臼质E)厂)+屋 间公 公 )2 2(%)+g 2(%)=27(%)

19、r(x)+2g(x)gx)_ /(x),(%)+g(x)可(%)-2 5 2(犬)+屋(%)-正。*。)【例 28】求由下列方程所确定的隐函数V =火%)的导数.1 .12 一砂+y 2=0.解：方程两边分别对求导，得2%-y-X也+2 y=0,dx dx整 理 得(-2y)包=2%-y,故 =汩2 .dx dx x-2 y说 明：此 题 也 可 用 隐 函 数 存 在 定 理 来 求 解，即：设F(x,y)=x2-xy+y2,贝lj dy=F；=2%_ y _2%_ y .dx F；-x+2 y x-2 y2.y=l +xey.解：方程两边分别对人求导，得 电=0+/+叱虫，dx dx整 理

20、 的(1-)包=/,故 =一.dx dx 1-xey说 明：此 题 也 可 用 隐 函 数 存 在 定 理 来 求 解，即：设F(x,y)=l +xey-y,则 包=一 工=一上=上 _.dx F：x e -1 1-xey【例 29】求由下列参数方程所确定的函数y=y(%)的导数.4位公力1+r力五-1-1Xyz-V0 0处可微解：根 据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选 项（B）正确.4.（2 009 年，1 分）若lim/（/+）-勿-4 贝 i A=（）2 0 h(A)/x0)(B)2/V0)(C)0(D)解：A=lim%+U/io h=尸(毛)+/(%)=2广(%),选 项(B

21、)正确5.(2008年，3 分)函数/(%)=国,在点犬=0处/(%)()(A)可导(B)间断(C)连续不可导(D)连续可导解：由/(%)=凶的图象可知，/(%)在点=0处连续但不可导，选 项(C)正确.说明：/(%)=国的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得.6.(2008年,3 分)设/(%)在/处可导，且八%.)w 0,则八%0)不 等 于()(A)flim。-Q L(B)x-x0lim%。+)一 /)0 Ax(C)lim(D)Axlim/(4 一 猛一/(4)A x-O (-Ar)解：根据导数的定义，选 项(C)符合题意.7.(2007年，3 分)下列选项中可作为函数/(%)在

22、点入。处的导数定义的选项是()(A)lim 4/(x0+-)-/(x0)n(B)lim/(%)T(%。)x-x0(C)lim/(/+)/(/一)-Ax)Hm%。+-+Ax)-Ax解：选 项A)i/(%()+)-/(%()limn/(o+-)-/(%o)=Hm-=(%)，选项(C)n o o o o 1nHm/Uo+X)-/(/-)2 Ax=2/V0),选 项(D)触 g竺13=2八%)故 选(B).8.(2007年，3 分)若/()可导，且y=/(2，)，贝 1 办=()(A)/(2、)公(B)f(2x)d2x(C)f(2x)d2x(D)f(2x)2xdx解：因力=中(2*)=/(2)42、=

23、/(2)2 2办，故选项(B)正确.9.(2006年，2 分)设“(%),丫(%)为可导函数，则d(%)=()v(A)Sz s(B)vdu-udv(C)dv+vduu2(D)udv-vduu2解：以与=（与，公=*巴 公=V V Vuvdx-uvdx vdu-udvv2v2,选(B).10.(2005 年，3 分)设/(%)=%(%1)(%2)9 9),则尸(0)=)(A)-99!(B)0(C)99!(D)99解：当x=0时，/(%)中除(-1)(%-2)99)项外，其他全为零，故yr(0)=(0-1)(0-2).(0-99)=-99!,选 项(A)正确.11.(2005 年,3 分)设 y=

24、ln x,则严)=()(A)(一 1)!厂 (B)(-l)w(n-l)!x-2w(C)(-1严(-1)!r”(D)(-1产 制 厂角 军：由 y=ln%可得，y=,y =,y =-=,X X X X X丁 4)=_至 二=，对比可知，选 项(C)正确.X X12.(2005 年，3 分)虫 半=()(A)cosx(B)-sinx(C)CSX2(D)2x解：少=/虫=咏，选 项 ）正确.d，）2xdx 2x二、填空题1.（2010年，2 分）若曲线y=/（x）在点1,/（/）处的切线平行于直线y=2%-3,则八%）=.解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故八%0）=2.2.（201

25、0 年，2 分）设y=cos（sin%）,则dy=.解：dy=d cos（sin x）=-sin（sin x）cos xdx.3.（2008年，4 分）曲线y=/+i 在点（1,2）的切线的斜率等于.解：由导数的几何意义可知，切线斜率&=y 02）=2%。2）=2.4.（2008年，4 分）由参数方程=cos，确定的包=_ _ _ _ _ _ _.y=sint dx解：虫工叫=人dx x（cos/）-sin/5.（2006年，2 分）曲线y=%+sin2%在点（2,1 +均处的切线2 2方程是.解：切线的斜率女=y 式n=（l+2sinxcosx）乃乃=1,故切线仔叫）r1+i）方程为。（1+

26、万）=（%-耳）,即 y=x+l.6.（2006年，2 分）函数f（x）=x，-1）国不可导点的个数是.解：/(%)=卜：(?X-,显然，当xwO时，/可导;-X(1+x ),x 0当 =0 时，(0)=lim ,*)/=的厂。+厂)=0 ,x f0+x 0 x+X/(0)=lim /(X)_4()=lim 一 r o)的导数.1解：y =(%“nxy=)，=(/n x E x y =ln(COS x lll X+Sill X-)sinx/i sinx.=x(cosxlnxd-).3.(2009年，5 分)设丁=国11二 二，求女.1 +x2 dx解：因 y=sin-2二,故=(sjn _ 2

27、 x-)f1 +x2 dx 1 +x22x 2(1+x2)-2x-2x 2-2x2 2x=cos-；-=-cos-.1 +x(1+x)(1+x)-l+x_2 Y4.(2 0 0 6 年，4 分)设/(九)可导，且/(%)=7r-，求解：-fQa2-2 )=ficr-X2)(J/-犬2)dx_ 2y1 a2-x2-2x _ 2xy/a2(a2-x2)2 21a l 国f sin tdt5.(2 0 0 5 年，5 分)已知=a,x=0(1)/(x)在 =0处连续，求a；(2)求/(%).解：(1)因 lim/(x)=limA-0 XTO*Xsin tdt-=lim sin%=0 ,故由 f(%)在X 1 0 x=0处连续可得，lim/(x)=/(O),即 0 x 0 x-0 JQ X TO x.sin tdtosinx 1=h m-=.2 x 2%sin%-sin tdt-,%W 0故/(%)=xx=02