2023年高考数学重难点复习：平面向量“奔驰定理”.pdf

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1、2023年高考数学重难点复习：平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为ABC内一点，则有SMBC丽+S 阳c 丽 丽1=（）.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和 四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.例 已知点 A,B,C,P 在同一平面内，PQ=PA,Q R=QB,R P=R C,则 SAABC:SAPBC等于（）A.14：3 B.19：4 C.24：5 D.29：6答 案B_ A 1 A A A 1 A 1,A解析 由Q R=Q B,得PRPQ=(PBPQ),-I-A -A 1 -A

2、*由 R P巧R C,得 R P=P C PR),整理得说=一 聂 乙.,.-1P C=|P B+|M,整理得4萩+6而+9元;=0,：.SABC:S“8C=(4+6+9)：4=19：4.已知点 P,。在ABC 内，R A+2 P B+3 P C=2 Q A+3 Q B+5 Q C=0,则比等于()|AB|答 案A第 1 页 共 4 页解析 根据奔驰定理得，SAPBC:SAPAC:S 勿 8=1：2：3,SAQBC:SAQAC:SAQA8=2：3：5,:SAPAB=S&QAB=AABC,:.P Q H A B、又,*SBC=34ABC,SAQBC=gsABC,.PQ L_J 1AB 5 3,过

3、ABC重 心。的直线PQ 交 AC于点尸，交 BC于点。，P C A C,Q C=n B C,则“的值为.3较口享呆-5解析 因为。是重心，所 以 扇+加+历=0,即 而=一 加 一 次，A 3-A 3-*-A -A 3-A 1 -*P C=A C=O C-O P=O C-O A)=OP=OA+-OC=-OB-OC,Q C=n B C=d C-d Q=n(d C-O B)=丽=疝?+(1-)OC,因为P,O,。三点共线，所 以 晶 而，3 1 3所以一1(1“)=-2 ,解得“=亍-能力提升“奔驰定理”与三角形“四心”：已知点。在4 8 C 内部，有以下四个推论：(1)若。为ABC的重心，则

4、殖+无+无=0.若。为 X A B C 的外心，则 sin 2A-O4+sin 28加+sin 2C OC=().(3)若 0 为ABC 的内心，则 a O A+b d B+c OC=0.备注：若。为ABC的内心，则 sin4E+sinB-3&+sin C沃=()也对.(4)若。为ABC 的垂心，则 tanA-E+tanB-m+tanC 6d=0.第 2 页 共 4 页。跟踪演练1.点尸在ABC内部，满足以+2而+3 P C=0,则 Szusc：5?。为（）A.2：1 B.3：2 C.3：1 D.5：3答 案 C解 析 根据奔驰定理得，SBC:SPAC:S/PAB=1 ：2：3.SABC:SA

5、APC=3:1.2.点。为 AABC 内一点，若 SMOB：S&BOC:5AAOC=4：3：2,设 助=3+/庶，则实数 2和 的值分别为（）r 2 1D，9答 案 A解 析 根据奔驰定理，得 3殖+2无+4 无=0,即 3后+2（而+初）+4（晶+启）=0,整理得益=年通+/，故选A.3.设点尸在A 8C内且为A8C的外心，N8AC=30。，如图.若P3C,PCA,的面积分别*,尤，y，则 x+y 的最大值是.2-91一夕C2-94-夕B4-92一夕A.n录 3解 析 根据奔驰定理得，RA+xPB+yPC=O,即成=2%丽+2），正，平方得成2=4X2PB2+4）2正 2+8x）,|PB PC cosZBPC,又因为点尸是ABC的外心，所以|或|=|而|=|的,且NBPC=2NBAC=60。，所以 +9+孙二不(x+y)2=1+jcy1+f:y)2,第 3 页 共 4 页解得0 x+y丹，当且仅当x=y=乎时取等号.所以(x+y)max=3.第4页 共4页