2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)6.pdf

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1、6.2等比数列（精讲）（提升版）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零）,那么这个数列就叫做等比数列定义-M L=q（q 工0）a.项数相同 尸.。Hfemn=pq=2ta-a=a-a=a下标和同项数可同可异,下 fenHn=p/q=2t=a.-aw=a-a=aj=aiF标和同1B4B中项性质性质前磁和的性质等比数列下标为奇数的正负相同，下标为偶数项的正负相同S,S2,-SP S3.成等比数列，公比q数列项敝为2n项，则,“vj；数列项数为？1,则s*s 等比数列中有五个量药，n，G 当，&f 可 以“知三求二”，通过列方程（组）基本量计算等比数列的前”项和公式涉及

2、对公比g的分类讨论,当q=l时，*的前，项和当行1时，%的前 项和s=nd）二8 9 l-q 1-q等比数列题型解题思路等比数列证明或判断等比数列性质工以=q(q Z0.n eN*)或上=4(4为非零常数且n 2,n eN)a.a.j定义法 触a.是等比数列若数列凡 中，a.W0且。=a11A+式neN ）中项公式法 理a.是等比数列若数列 斯 的通项公式可写成a“=c，q-l（c,q均为非零常数，/iWN.）通项公式法 则 是等比数列若数列 的前n项和Sn=k 1,“2 +”4=5,4%=4,则 S“=（）A.B.2n-1-|C.2一；D.2-12.（2022青海 海东市第一中学模拟预测（文

3、）已知等比数列%的公比q=-:,则&詈 等于（）3 02+A.B.-C.3 D.3333.（2022河南省杞县高中）在等比数列%中，生+生=：（/+%）,则4 的公比4=.4.（2022河南安阳）已知%为等比数列，a3+a6=-7,a4a5=-8,则由+七二.考点二等比中项【例 2-1（2022内蒙古 海拉尔第二中学模拟预测（文）己知等差数列“中，其前5 项的和$5=2 5,等比数列出 中，4=2也=8,则 詈=（）【例 2-2（2022.河南省浚县第一中学模拟预测（文）在等比数列4 中，若出的=8,贝 Ilog2 +log2a2 4-log26 Z34-.+log26 Z10=（）A.5 B

4、.10 C.15 D.20【例 2-3（2022江西 二 模（文）己知机是1和 4 的等比中项，则 圆 锥 曲 线/+二=1的离心率为（）mA.布1B.6或 立2C.立 D.店 或 返22 2【一 隅 三 反】1.（2 0 2 2四川广安）已知数列%为等比数列，若%,%为 函 数 x）=x -3 3 X+3 2的两个零点，则%+4 =（）A.10 B.12 C.3 2 D.3 32.（2 0 2 2 江 西 模 拟 预 测（理）在正项等比数列%中，a 4 a M2 =2/，则l o g4 a 2幅%=（）A.B.C.D.一2 3 4 63.（2 0 2 2全国高三专题练习（理）己知数列 m的各

5、项都为正数，对任意的祖，G N*,即恒成立，且 3也5+4 =7 2,则 10 g 2 0/+10 g 2 a 2+10 g 2 Q 7=.考 点 三 前n项和的性质【例 3-1】（2 0 2 2全国高三专题练习）记等比数列 4的前项和为S “，若 色=3,$8=9,则 兀=（）A.12 B.18 C.2 1 D.2 7【例 3-2 （2 0 2 2陕 西 咬 大 附 中 模 拟 预 测（理）已知等比数列 4的前项和为S.，若S a=3”2+女，则人的为值1-9A.1-9B.-CD【一隅三反】1.（2 0 2 2全国高三专题练习（文）等 比 数 列 的 前 项 和 为5.，若S,=r 2 i-

6、1,则/=（）考 点 四 最 值 问 题A.2B.-2C.1D.-12.（2 0 2 2全国高三专题练习）已知等比数列%的前 项 和 为 若 邑=3,S8=9,则 九 的 值 为（）A.12B.3 0C.4 5D.8 13.（2 0 2 2全国高三专题练习）设等比数列%的前项 和 为S“，若$3 =5,56=2 0,则Sg=()A.66B.65C.64D.63【例 4-1（2 0 2 2四川绵阳.一模（文）已知正项等比数列 ,的前”项 和 为5.，若-5,反，鼠成等差数列,则 ,一黑 的最小值为（)A.2 5 B.2 0 C.15 D.10【例 4-2 （2 0 2 2.全国高三专题练习）（多

7、选）等比数列 4“中，公 比 为 其 前 项 积 为 并 且 满 足 4 1.f l9 9-10 O-l 0,W 嗯0,下列选项中，正确的结论有（）4 一 A.01B.%）*-1 1 成立的最大自然数等于1 9 8【一隅三反】1.（2 0 2 2 青海西宁）已知等比数列 ,1 5=1 5,9%+%的最小值为（）A.7 0 B.9 0 C.1 35 D.1 5 02.（2 0 2 2 安徽合肥一六八中学模拟预测（理）已知等差数列 5 的公差为，且 d HO,且%、生、%成等比数列，若4=1,5“为数列 可 的 前 项 和.则 一-的 最 小 值 为（）A.4 B.3 C.4/2 -2 D.3.（

8、2 0 2 2.湖北襄阳五中模拟预测）（多选）设等比数列 的 的公比为g,其前和项和为S,前 项积为北,且满足条件4/1，020200202/1（42020-1）（4202/-1）0,则下列选项正确的是（）A.0 1 B.5 2 0 2 0+1 1考点五等比数列的实际运用【例 5】（2 0 2 2 辽宁昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作 算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：”有一个人走37 8 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该

9、人最后一天走的路程为（）A.6里 B.5里 C.4里 D.3 里【一隅三反】1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，宫 经过一次“损”，频率变为原来的;，得至广徵“；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的=,得2 4至 商；依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（）A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徵、商、羽 的频率成等比数列2.（2022广东 高三阶段练习）（多选）中国古代数学著作 算法统综中有这样一个问题：

10、“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达 目 的 地 则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.该人第五天走的路程为12里B.该人第三天走的路程为42里C.该人前三天共走的路程为330里D.该人最后三天共走的路程为42里3.（2022.全国高三专题练习）某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了了解同学们对学校关于对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从 这 1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本，若从高一、高

11、二、高三抽取的人数恰好组成一个以;为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为人.6.2等比数列（精讲）（提升版）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零）,那么这个数列就叫做等比数列定义-M L=q（q 工0）a.an=aq i=a（n、mcM）通项 -na,（q=1）关于公比的指数型函数等比数列求 和 一RO二 q2a,q（q#i）1-q 1-qq*a i。项数相同 人.O Hfemn=pq=2ta-a=a-a=a下标和同项数可同可异,下 fenHn=p/q=2t=a.-aw=a-a=aj=aiF标和同1B4B中项性质性质前磁和的性质等比数列下标为奇数的正负相同

12、，下标为偶数项的正负相同S,S2,-SP S3.成等比数列，公比q数列项敝为2n项，则,“vj；数列项数为？1,则s*s 等比数列中有五个量药，n，G 当，&f 可 以“知三求二”，通过列方程（组）基本量计算等比数列的前”项和公式涉及对公比g的分类讨论,当q=l时，*的前，项和当行1时，%的前 项和s=nd）二8 9 l-q 1-q等比数列题型解题思路等比数列证明或判断等比数列性质工以=q(q Z0.n eN*)或上=4(4为非零常数且n 2,n eN)a.a.j定义法 触a.是等比数列若数列凡 中，a.W0且。=a11A+式neN ）中项公式法 理a.是等比数列若数列 斯 的通项公式可写成a

13、“=c，q-l（c,q均为非零常数，/iWN.）通项公式法 则 是等比数列若数列 的前n项和Sn=k 1,a2+a4=5 ,aa5=4 ,则 S“=（）A.2n-1-1 B.2-1 C.2 -g D.2n-l【答案】B【解析】由等比数列的性质可 知/4=4 G =4,因为4 1,则 同=丽 1同，2 +4 =5由已知可得,a2a4=4,可得同 同因此，s _ 2（1一 2）二 2T 1 .故 选:B.1-0,所以d=2,所以伪=如 6=4,所以詈=：故选：口“7 4【例 2-2（2 02 2 河南省浚县第一中学模拟预测（文）在等比数列 q 中，若生%=8,则log,+log2a,+log2a3

14、+log2a1 0=（）A.5 B.1 0 C.1 5 D.2 0【答案】C【解析】因为 的%=8 ,所以 a,a2a3,（）=85=21 5,所以 log2 4+k)g2 a 2+log2 4+1。8 必0=1。8 必24 4O=1 5；故选：C.【例 2-3 （2 02 2 江西二模（文）己知根是1 和 4 的等比中项，则 圆 锥 曲 线/+反=1 的离心率为（）mA.0 B.6 或 立 2C.D.也 或 显2 2 2【答案】B2【解析】?是 1 和 4 的等比中项,所以优2 =4,解得机=2,当机=2时，圆锥曲线为炉+匕=1,离心率为2考曲一时，圆锥曲线3 9 1,离心率为毛邛3故选:B

15、【一隅三反】1.（2 02 2.四川广安）已知数列%为等比数列，若卬，纭为函数 x）=x2 3 3 x+3 2 的两个零点，则为+4 =()A.1 0 B.1 2 C.3 2 D.3 3【答案】B/、o f =3 2【解析】因为4，%为函数 x)=x2 _ 3 3 x+3 2 的两个零点，所以4+4=3 3,4 4=3 2,所以j；=1 或CL=&=32”所以，当,时，q=2,4+/=4 +8 =1 2,4=3 2 4=1当|时，4=，q+q=8 +4=1 2,所以，4+。4=1 2.故选：B%=3 2 22.（2 02 2 江西模拟预测（理）在正项等比数列%中，%4 2=2 及，则1。8 4

16、2+3 1。8 2 4 4=（）A.B.-C.-D.-2 3 4 6【答案】A【解析】由题得4%=公=2 及，所以q =血，所以/电=；=2 ,所以loga2+；log2a1 4=log4a2+log4a1 4=log4（a2a1 4）=log42 =1 ,故选：A3.（2 02 2 全国高三专题练习（理）已知数列伍 及 的各项都为正数,对任意的m,“G N*,恒成立，且 43%5 +44=7 2,贝！J log2 4/+log2 a 2+.+log2 a 7=.【答案】2 1【解析】因为对任意的 3 G N*,a,恒成立，令旭=1,则砂a”=a/+n 对任意的“W N*恒成立，；.数列“为等

17、比数列,公比为田，由等比数列的性质有。必5=，因为 0 5+4 4=7 2,则a：+a=7 2,a4 0,；.a 4=8,；.log2 a/+k g2 a 2+log2 a 7=log2（a/2,a 7）=log2。：=log2 8 7=2 1.故答案为：2 1.考 点 三 前 n项和的性质【例 3-1】（2 02 2 全国 高三专题练习）记等比数列 4 的前项和为$“，若 5 4=3,$8=9,则 弗=（）A.1 2 B.1 8 C.2 1 D.2 7【答案】C【解析】因为5,为等比数列 为 的前 项和，且 邑=3,58=9,易知等比数列/的公比q*-l,所以S4,S8-S4,S1 2-S8

18、成等比数列所以（鼠-S4尸=5 式几一 S g）,所以6?=3（S1 2-9）,解 得 几=2 1.故选：C.【例 3-2 （2 02 2 陕西交大附中模拟预测（理）已知等比数列 可 的前项和为S“，若 S =3 -2 +%,则%的为值1-9-1-9CDBA【答案】B【解析】因为等比数列%的前项和为S“，FLS“=3-2+Z,所以 4=%+；,a?=邑-q =l+A-(z+g)=g，a,=53-S2=3+-(A:+1)=2 ,所以0；=的 3，即+J解得Z =故选：B【一隅三反】1.（2 02 2 全 国 高三专题 练 习（文）等比数列 4“的前”项和为S,若S“=f-2 T-l,则U （）A

19、.2 B.-2 C.1 D.-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为9,当9 =1 时，S=nat,不合题意；当4 W 1 时，等比数列前项和公式S =（i）=一 旦 4+卫，“-q-q-q依题意S“=f 2 i-l =?2-l =m+（-l）=0,f=2.故选：A2.（2 02 2.全国高三专题练习）已知等比数列%的前项和为S“，若 邑=3,5 8=9,则5 用的值为（）A.1 2 B.3 0C.45 D.8 1【答案】C【解析】显然公比不为“，.,仆 是等比数列，则 -L 兀-鼠,九-兀 也 成等比数列，/S4=3,S8=9 ,58-S4=6 ,51 2-58=1 2 ,p l l j 5

20、I 2=2 1,S1 6-S1 2=2 4,则$6=4 5.故选：C.3.（2 02 2 全国高三专题练习）设等比数列%的前 项和为3,若 邑=5,$6=2 0,则邑=（）A.6 6 B.6 5 C.6 4 D.6 3【答案】B【解析】由题知：5,=a,+a2+a3=5 ,S6-S3=a4+a5+a6=（+6 7,4-a,）=1 5 ,Sg-Sft=a1+as+ag=（4+生+/）/=S 9 -2 0,所以&,S6-S3,S 9-S 6 成等比数列，即 5,1 5,S g-2 0成等比数列，所以 6=5（5 9-2 0）,解得 S g=6 5 .故选：B.考点四最值问题【例 4-1（2 02

21、2.四川绵阳.一模（文）已知正项等比数列 叫 的前”项和为S“，若-5,S-臬成等差数列，则$9-$6的最小值为（）A.2 5B.2 0C.15D.10【答案】B【解析】因为 ,是正项等比数列，所以S3,S6S3,S9 -$6仍然构成等比数列，所以（S6-S3）2=S3（S9-S6）.又-5,S3,&成 等 差数歹U，所以$6-5=2 S3,&-邑=$3+5,所以5 9-5 6=%引 =岂 圆-=53 +?+10.2 5 I 25又 是 正 项 等 比 数 列，所 以&0,53+10 2 53 +10=2 0,当且仅当S3 =5 时取等号.故选：B.3 V%【例 4-2 （2 02 2.全国高

22、三专题练习）（多选）等比数列“中，公比为,其前”项积为7；,并且满足4 1.4990a-1 0,血=0,下列选项中，正确的结论有（）4o o TA.0qlB.丹 1 0,1,，（q q 9 8）2.q .：4 ,4 0.又二 1,7 4o o -1且4o o ，故 A 正确；_ 2对于 8,.。佝9%，即%故8正确；I O i o o 1对于C，由于汇00=勾 9 a 100，而。00 1，故有工00 1 ,外=4,出 *,19 9 =（1，19 9 ）（为9 I01）“1 0 0 。可得内 0,电1 0.由基本不等式及等比数列的性质可得9%+%2 2 廊W =6%=9 0,当且仅当 =5,生

23、1=45时等号成立，故9 为+%的最小值为9 0.故选：B2.（2 02 2 安徽合肥一六八中学模拟预测（理）已知等差数列%的公差为d,且 dwO,且、生、%成等比数列，若q=i,s“为数列 ,的 前 项 和.则 一 -的 最 小 值 为（）。“十JA.4 B.3 C.4-2 2 D.【答案】D【解析】由己知可得。；=的 13，即（l +2 d）2=1+12 4,可得d2-2d=0,-：d 0,解得d =2,q+(l)+2(T=2 1,所以，S.=&詈U,=中(+1)2+7 +24 +7n+令或=则%-2 =n2+7 _ n2+3/2-6 +1 (+1)(+2)当=1 时，bn+-bn b29

24、当 2 2时，b（、2S+14 92+7 I In+l-hn 0,即4 /1,（.02020-1 ）C a2O2l-1）0,则卜列选项正确的是（）A.0ql B.S 2 0 2 0+I【答案】A C【解析】由等比数列 4 公比为4,atl,02 02 002 02/1，（产，/）=（%那 一,由 ai 1 可得q 0,(02020 1)(ci202i 1)0,得依。;或 心。2吸（舍去），故q=2 02 1 1”2 02 0综上0 4=&也 S 2 O 2()+。2 02 1=*2 02 1 故选项 B 错误;由已知，4 “2 “3 “2 02 0 1%02 1 3 。，可 知 是 数 列 7

25、 中的最大项，故该选项C 正确；由等比数列的性质可知，4041=ai，amo=a2020 12022=22 02 12,所以看=4。2 a 3 a 4M=。2 02 ”1，故该选项D错误.故选：A C.考点五等比数列的实际运用【例 5】（2 02 2 辽宁 昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作 算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.“其大意为：”有一个人走3 7 8 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为（）A.6里 B.5里

26、C.4里 D.3里【答案】A【解析】记每天走的路程里数为%,可知%是公比4 =:的等比数列，1由&=3 7 8,得$6=；1=3 7 8,解 得:q=1 9 2,.6=1 9 2 x=6.故选：A.1-22【一隅三反】1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次 损”，频率变为原来的3，得至U 徵；徵 经过一次“益”，频率变为原来的?，得到“商”；.依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（）A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列C.“商、羽、角

27、 的频率成等比数列 D.“徵、商、羽”的频率成等比数列【答案】A3【解析】设“宫”的 频 率 为 由 题 意 经 过 一 次“损”，可得“微 的频率 是:；9 徵 经过一次“益”，可得 商”的频率是34,O2 7“商”经过一次“损”，可得“羽”的 频 率 是；1 6Q 1最后“羽 经过一次“益”，可得“角”的频率是2，6 4由于。39 ，三8 1。成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列8 6 4故选：A.2.（2 0 2 2 广东高三阶段练习）（多选）中国古代数学著作 算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细

28、算相还”.其大意为：“有一人走3 7 8 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达 目 的 地 则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.该人第五天走的路程为1 2 里B.该人第三天走的路程为4 2 里C.该人前三天共走的路程为3 3 0 里D.该人最后三天共走的路程为4 2 里【答案】A D【解析】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为g的等比数列，且 5 6 =3 7 8,所 以=3 7 8,解得 q =1 9 2,1 2,所以A正确,所 以=q%T =1 9 2 x(g)(1 /?6,n s N ),对于 A,因为=1 9 2 x对于B,因为“

29、3=1 9 2 x（3）=4 8 所以B错误，1 9 2 x（1-：）1 9 2 x-对于C,S 产 V-g-=3 3 6.所以C 错误，1-1 12 2对于D,该人最后三天共走的路程为*-5 3 =3 7 8-3 3 6 =4 2,所以D正确，故选：A D3.（2 0 2 2 全国高三专题练习）某新学校高一、高二、高三共有学生1 9 0 0 名，为了了解同学们对学校关于对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从 这 1 9 0 0 名学生中抽取一个样本容量为3 8 的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以1为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为人.【答案】9 0 0【解析】因为高一、高二、高三抽取的人数恰好 组 成 一个以;为公比的等比数列设从高二年级抽取的学生人数为X人,则从高二、高三年级抽取的人数分别为3 23 2 3由题意可得X+XH x=38,所以x=12,.1x=182 3 2O Q 1 O设我校高一年级的学生人数为M再根据忌；=号,1900 N求得N=900.故答案为：900