2023年小学数学教师招聘考试专业知识.pdf

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1、数学教师招聘考试专业知识复习一、复习规定(由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点)1、理解集合及表达法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会纯熟地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充足条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。二、学习指导1、集合的概念：(1)集合中元素特性，拟定性，互异性，无序性；(2)集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特性分；数集，点集。如数集廿3=/,表达非负实数集，点集(x,y)l y=

2、x?表达开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；(3)集合的表达法：列举法：用来表达有限集或具有显著规律的无限集，如N尸 0,1,2,3,；描述法。2、两类关系：(1)元素与集合的关系，用e或代表达；(2)集合与集合的关系，用三，%,=表达，当A B时，称A是B的子集；当A.B时，称A是B的真子集。3、集合运算(1)交，并，补，定义：A C B=x|x G A 且 x d B,A UB=x|x G A,或x G B,G A=x|x G U,且 x e A ,集合 U 表达全集；(2)运算律，如 A C (BUC)=(A A B)U(A A C),&(A C B)=(C1;A)U(C u B),CL(

3、A UB)=(CLA)C l (Q B)等。4、命题:(1)命题分类：真命题与假命题，简朴命题与复合命题；(2)复合命题的形式：p且q,p或q,非p；(3)复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当P、q中有一个为真时，其为真；当P为真时，非P为假；当p为假时，非P为真。(3)四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”,逆命题为 若q则p ，逆否命题为若非q则非p 其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5、充足条件与必要条件(1)定义：对命题“若p则q”

4、而言，当它是真命题时，p是q的充足条件，q 是 P的必要条件，当它的逆命题为真时，q 是 P的充足条件，P 是q 的必要条件，两种命题均为真时，称 p 是 q 的充要条件；(2)在判断充足条件及必要条件时，一方面要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，另一方面，结论要分四种情况说明：充足不必要条件，必要不充足条件，充足且必要条件，既不充足又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p 的所有对象组成集合A,满足条件q 的所有对象组成集合q,则当AgB 时;p 是 q 的充足条件。B q A时，p 是 q 的充足条件。A=B时，p 是 q 的充要条件；(3)当 p 和 q 互为充要时，体现了命题等价转

5、换的思想。6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题.7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想解决数学问题。三、典型例题例 1、已知集合加3|丫=乂 2+1,x G R ,N=y|y=x+1,x G R ,求 M C N。解题思绪分析：在集合运算之前，一方面要辨认集合，即认清集合中元素的特性。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。另一方面要化简集合，或者说使集合的特性明朗化。M=y iy=x2+1,x CR =y|y 2 l ,N=y|y=x+1,x e R =y|y G R MCN=M=y|y e l 说明：事实上，从函数角度看，本题中的

6、M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合 y|y=f(x),x d A 应当作是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合 (x,y)|y=x2+l,X E R 是有本质差异的，后者是点集，表达抛物线y=x?+l 上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特性与代表元素的字母无关，例 y|y 2 l =x|x l 。例 2、已知集合 A=X|X2-3X+2=0 ,B+x|x-mx+2=0 ,且 A D B=B,求实数m 范围。解题思绪分析：化简条件得 A=1,2 ,A A B=B o B =A根据集合中元素个数集合B 分类讨论，B=6,B=1 或 2 ,B=1,2 当 B

7、=6 时，=m-8 0一2 五 m 2五当 8=1 或时,A=01-m +2 =0 或4 -2 m+2 =0m 无解当 8=1,2 时,1 +2 =m1 x 2 =2m=3综上所述，m=3 或-2 应 m 2式说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B=1 或 2 时，不能漏掉加。例 3、用反证法证明：已知x、y S R,x+y 2 2,求 证 x、y中至少有一个大于1。解题思绪分析：假设x l且 y l,由不等式同向相加的性质x+y”、“o”具有传递性，但是前者是单方向的，后者是双方向的。例 5、求直线0：ax-y+b=0通过两直线4：2x

8、-2y-3=0和乙：3x-5y+l=0交点的充要条件。解题思绪分析:从必要性着手，分充足性和必要性两方面证明。由0 2 交点 P(,)4 42过点P.17 11 八4 4 17a+4b=ll充足性：设 a,b 满 足 17a+4b=11.ll-1 7 a b=-4代入0方程：a x-y+17-0411 17整理得：（y-）-a（x-）=04 4此方程表白，直线。恒过两直线y-2 =0,x-?=0 的交点（？,U）而此点为6 与右的交点充足性得证综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是运用“o”，双向传输，同时证明充足性及必要性；另一种是分别证明必要性及充足性,从必要性

9、着手，再检查充足性。四、同步练习（一）选择题1、设 M=x|x，x+2=0,a=lg(lglO),则 a与 M 的关系是A、a =M B、卜蜂 a C、a 要M D、M o a 2、已知全集 U=R,A=x|x-a|2),B=x|x T|2 3 ,且 A C B=,则 a的取值范围是A、0,2 B、(-2,2)C、(0,2 D、(0,2)3、已知集合 M=x|x=a J 3 a+2,a WR ,N、x|x=b2-b,b W R ,则 M,N的关系是A、M N B、C、M=N D、不拟定4、设集合 A=x|xG Z 且 T OW x W T,B=x|xG Z,且|x|W5 ,则 AU B中的元素

10、个数是A、1 1 B、1 0 C、1 6 D、1 55、集合M=1,2,3,4,5 的子集是A、1 5 B、1 6 C、3 1 D、3 26、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断对的的是A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真7、a#B 是 co s a#co s B ”的A、充足不必要条件 B、必要不充足条件C、充要条件 D、既不充足也不必要条件8、集合A=x|x=3 k-2,kG Z ,B=y|y=3 2+1,2 WZ ,S=y|y=6m+1,mG Z 之间的关系是A、S,B 至A B、S=B A C、S B=A D、S 呈B=A9、方程mx2+2

11、 x+l=0至少有一个负根的充要条件是A、0 mWl 或 m 0 B、O C mWlC、m l D、mWl1 0、已知p：方 程/+a x+bR 有且仅有整数解，q：a,b 是整数，则 p是 q的A、充足不必要条件 B、必要不充足条件充要条件 D、既不充足又不必要条件(二)填 空 题1 1、已知 M=m|W e Z ,N=x|!w N ,则 M A N=。2 21 2、在 1 00个学生中，有乒乓球爱好者6 0 人，排球爱好者6 5 人，则两者都爱好的人数最少是 人。1 3、关于x 的方程|x|-1 x-1 1=a 有解的充要条件是。1 4、命 题“若 a b=0,则 a、b 中至少有一个为零

12、”的逆否命题为1 5、非空集合p满足下列两个条件：(1)p 号 1,2,3,4,5),(2)若元素a p,贝 I j 6-a dp,则集合p 个数是。(三)解答题1 6、设集合 A=(x,y)|y=a x+l ,B=(x,y)|y=|x|,若 A C B 是单元素集合，求 a取值范围。1 7、已知抛物线C：yZ+m x T,点 M (0,3),N (3,0),求抛物线C与线段M N 有两个不同交点的充要条件。1 8、设人=以鼠*+4=0 小，M=1,3,5,7,9 ,N=L 4,7,1 0),若 A C M=,A A N=A,求 p、q 的值。1 9、己知a =x?+L b=2-x,c=xJ

13、x+l,用反证法证明：a、b c 中至2少有一个不小于l o函 数一、复习规定7、函数的定义及通性；2、函数性质的运用。二、学习指导1、函数的概念：(1)映射：设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b 与之相应，则称从A到 B的相应为映射，记 为 f：A-B,f 表达相应法则，b=f(a)若 A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之相应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为 映射。(2)函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)|xG A 为值域。定义域，相应法则，值域构成了函数的三要素，从逻

14、辑上讲，定义域，相应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。求函数定义域，通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集 复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数相应法则的规定。理解函数定义域，应紧密联系相应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数相应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不

15、等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值(极值)更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型解决方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。2、函数的通性(1)奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件,在运用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形,如f(一 x)土f(x)=O,上 2=1 (f(x)W O)。f(x)奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。运用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的环节

16、。(2)单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：定义法，即比差法；图象法；单调性的运算性质(实质上是不等式性质)；复合函数单调性判断法则。函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用重要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。(3)周期性：周期性重要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。求周期的重要方法：定义法；公式法；图象法；运用重要结论：若函数 f (x)满足 f (a-x)=f (a+x),f (b-x)=f (b+x),a#b,贝!T=2|a-b|

17、。(4)反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前一方面要判断函数是否具有反函数，函 数 f(x)的反函数f (X)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等,把反函数(X)的问题化归为函数f(x)的问题是解决反函数问题的重要思想。设函数f(x)定义域为A,值域为C,则f f(x)=x,x Af f 1(x)=x,x G C8、函数的图象函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充足发挥图象的工具作用。图象作法：描点法；图象变换。应掌握常见的图象变换。4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指

18、数函数，对数函数。在具体的相应法则下理解函数的通性，掌握这些具体相应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，运用赋值法(变量代换法)解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思绪，及解题突破口。应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。5、重要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。三、典型例题例 1、已知f(x)=2 9,函数y=g(x)图象与y=f(x+l)的图象关于直X-1线 y=x 对称，求 g(1 1)的值。分析：运用数形相应的关系，可知y=g(x)是 y=f (X+D 的反函数,从而

19、化g(x)问题为已知f(x)。：y=f(x+l)x+l=f(y)x=f(y)-ly=ff(x+l)的反函数为 y=f(x)T即 g(x)=f(x)Ta.g(l l)=f(l l)-l=-2评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当 f(x)存在反函数时，若 b=f(a),则 a=fT(b)。例 2、设 f(x)是 定 义 在(-o o,+o o)上的函数，对 一 切 xS R 均有f(x)+f(x+2)=0,当T C x W l 时，f(x)=2 x-l,求当 1 XW 3 时,函数 f(x)的解析式。解题思绪分析:运用化归思想解题,:f(x)+f(x+2)=0f(x)=-f(x+2)该式

20、对一切x d R 成立以 x-2 代 x 得:f(x-2)=-f (x-2)+2 =-f(x)当 l x W3 时，-l x-2 1f(x-2)=2(x-2)-l=2 x-5:.f(x)=-f(x-2)=-2 x+5f(x)=-2 x+5 (1 XW3)评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持相应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。例 3、已知 g(x)=-x?-3,f(x)是二次函数,当 x G-l,2 时,f(x)的最小值，且 f(x)+g(x)为奇函数，求 f(x)解析式。分析：用待定系数法求f(x)解析式设 f(x)=a x+b x+c

21、(a KO)则 f(x)+g(x)=(a-l)x2+b x+c-3由已知f(x)+g(x)为奇函数a-l =Oc-3 =0f(x)=x+bx+3下面通过拟定f(x)在-1,2 上何时取最小值来拟定b,分类讨论。2f(x)=(x+-)2+3 号 ,对称轴 x=_?(1)当-9 2 2,b -4 时，f(x)在-1,2 上为减函数2(f(x)n iin=2)=2b+7J 2b+7=1J b=3(舍)(2)当一匚(-1,2),4b0时,f(x)l,且对任意的 a、b G R,有 f(a+b)=f(a)f(b),(1)求证：f(O)=l；(2)求证：对任意的x d R,恒 有 f(x)0；(3)证明：

22、f(x)是 R上的增函数；(4)若 f(x)f(2X-X2)1,求 x 的取值范围。分析：(1)令 a=b=O,则 f(0)=f(0)2 f(O)WO.f(O)=l(2)令 a=x,b=-x(f(x)min=f(l)=4-b则 f(O)=f(x)f(-x)f(-x)=!f(x)由已知x0时，f(x)l0当 x0,f(-x)0又 x=0 时,f(0)=l0 对任意XER,f(x)0(3)任取 X2x”则 f(X2)0,f(xi)0,x2-xi0 =f(x,)-f(-x1)=f(x2-X)1f(X1).f(x2)f(Xi)f(x)在 R上是增函数(4)f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)

23、=f(-X2+3X)又 l=f(0),f(x)在 R上递增由 f(3x-x2)f(0)得:3X-X200 x0,y 0由已知得卜一 2y0 xy=(x-2 y)2/.x=4y,=4yY l g =lg正 4=4例 6、某工厂今年1 月，2 月，3 月生产某产品分别为1 万件，1.2 万件，1.3 万件，为了估测以后每月的产量，以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用y=ab*+c(其中a,b,c 为常数)或二次函数，已知4 月份该产品的产量为1.37万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。分析：设 f(x)=px?+qx+r(p/

24、0)f(l)=p+q+r=l则 f(2)=4p+2q+r=1f =9p+3q+r=1.3p=0.05J q=0.35r=0.7J f(4)=-0.05X42+0.35X4+0.7=1.3设 g(x)=abx+cg(l)=ab+c=1则 g(2)=ab2+c=1.2g(3)=ab3+c=1.3a=-0.8.jb=0.5c=1.4，g(4)=-0.8X0.54+1.4=1.35V|1.35-1.37|bc B、acb C、bca D、cbaA、0B、1C、2D、33、y=(；)T 的单调减区间是A(-8,1)B、(1,+8)C(-8,-1)U(1,+8)D、(-8,4-00)9、函数y=log (

25、x?-4 x +12)的值域为2A、(8,3 B、(8,-3 c、(-3,+8)D、(3,+8 )10、函数y=logz|ax-l|(a#b)的图象的对称轴是直线x=2,则 a等于A、-B、-C、2 D、-22 26、有长度为24 的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为A、3 B、4 C、6 D、12(-)填空题7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当OWxWl时，f(x)=x,则 f()=。8、已知y=loga(2-x)是 x 的增函数，则 a 的取值范围是。2、方程loga(x+2)=C(a 0 且 a r l)的实数解的个数是9、函

26、数f(x)定义域为 1,3 ,则 f(x、l)的定义域是。1 0、函数 f (x)=x?-b x+c 满足 f (l+x)=f (1-x),且 f (0)=3,则 f(b*)与f(c*x)的大小关系是。1 2、已知 A=y|y=x?-4 x+6,y G N,B=y|y=-x2-2x+1 8,y G N ,则 AAB中 所 有 元 素 的 和 是。1 3、若 6(x),g(x)都是奇函数，f(x)=m (x)+n g(x)+2 在(0,+)上有最大值，则 f(x)在(-8,0)上最小值为。1 4 函数 y=l o g 2(x 2+l)(x 0)的反函数是。1 5、求值：I I 1-1-1-=,l

27、 +xa-b+xa-c l +xb-c+xb-a l +xc-a+xc-b(三)解 答 题1 6、若函数f(x)=Wl的值域为 T,5 ,求 a,c。x-+c1 7、设定义在-2,2 上的偶函数f(x)在区间 0,2 上单调递减，若f(l-m)f(m),求实数m的取值范围。1 8,已知0 a 的最大值是(1)若Z A B C 面积为 S,求 S=f(t)；(2)判断S=f(t)的单调性；(3)求 S=f(t)最大值。71 9、设 f(x)=a-一,x G R2X+1(1)证明：对任意实数a,f(x)在(-8,+8)上是增函数；(2)当 f(x)为奇函数时，求 a；(3)当 f(x)为奇函数时，

28、对于给定的正实数k,解不等式f-l(x)l o g1 4士。K20、设 0 3；(2)求 a的取值范围。数歹!一、复习规定1 1、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前 n项和公式及性质;它们的横坐标分别是t,t+2,t+42、一般数列的通项及前n 项和计算。二、学习指导1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的相应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的,不能用集合符号表达。研究数列，一方面研究相应法则一通项公式：a=f(n),n d N.,要能合理地由数列前n项写出通项公式，另一方面研究前

29、n项 和 公 式 S 0：Sn=a i+a2+-a ,由 S“定义，得到数列中的重要公式：an=jS!l Sn-Sn_,n 2一般数列的a“及 S,除化归为等差数列及等比数列外，求 S 0尚有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。2、等差数列(1)定 义,a j 为等差数列u为a=d (常 数),n M u 2&尸a。i+a i(n 22,n N+)；(2)通项公式：an=a n+(n-l)d,a”二 a m+(n-m)d；前 n项和公式：S 0=n a I+鲍 二 1=当 3；n 1 2 2(3)性质：a=a n+b,即 a”是 n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；若 a 3 bj 均为

30、等差数列，则 a n 土n.,g a k ，ka.,+c (k,c 为常i=l数)均为等差数列；当 m+n=p+q 时，am+an=ap+a 1,特4 列：a i+a n=a 2+an-i=a 3+a n-2=-；当 2n=p+q 时，2a”二 诙+a q；当 n为奇数时，S2n-i=(2n-l)an；S奇 二百里a中，S =-一 中。2 23、等比数列(1)定义：乙史二q (q 为常数，a“W 0)；二 -问 计】(n 22,n N+)；an(2)通项公式：a n=a i qn H,an=anqm-t叫q =1前 n 项和公式：Sn=0且 a H l)；若 a 0 为正数等比数列,则 l o

31、 g a a j 为等差 数 列(a 0且 a#l)。三、典型例题例 1、己知数列 4 为等差数列，公差d#0,其中a%,a4，ak恰为等比数列，若 ki=l,k2=5,k3=17,求 ki+kz+k。解题思绪分析：从寻找新、旧数列的关系着手设 a j 首项为a“公差为da i,a s,a i r 成等比数列*&5-=31317/.(a i+4 d)J a i(a 1+16 d)*a i=2d设等比数列公比为q,则q =三上=3a】a,对 a%项来说，k-4-1在等差数列中：a 0=a 1+(%l)d =%Na 1在等比数列中：ak=a,qn-=a i3n-kn=2-3n-1-1k,+k2+-

32、kn=(2-3-1)+(2-31-1)+(2-3n-1-1)=2(1+3+3n-1)-n=3n n 1注：本题把L+k?+k”当作是数列 k.的求和问题，着重分析 k“的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称 为“通项分析法”。例 2、设数列瓜 为等差数列，S,s=7 5,T“为数列,的前n项和，解题思绪分析：法一：运用基本元素分析法设 a.首项为a”公差为d,则 zc 15 x 14 ,r=S|5=15 a 1 H-d =7 5S n 为数列 af l)的刖n项和，已知S7=7,求 T n。2此式为n的一次函数、s 为等差数列n整理得：(an i+an)(an-an i_2)=0an0法二

33、：瓜 为等差数列，设 S0=An2+Bn S 2)消元化归。:2./s；=an+l 4Sn=(a+l)2 4Sn-1=(an-1+l)2(n22).*4(St-Sn-i)=(an+1)(an-i+1)2,4dn 3,n ；+2an 2dn 1 为公差为2 的等差数列在 2j；=an+l 中，令 n=l,ai=lan=2nT1 ,1(II)bn=-二一(-(2n-l)(2n+1)2 2n-12n+l)BnI 2注：递 推 是 学 好 数 列 的 重 要 思 想，例 本 题 由 4s“=(ao+l)2推出4 S*(a,r+l)2,它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1,n+1等去代替n

34、,事实上也就是说己知条件中的递推关系是关于n 的恒等式，代换就是对n 赋值。例 4、等差数列 a j 中，前 m项的和为77(m为奇数)，其中偶数项的和为3 3,且 a 王=1 8,求这个数列的通项公式。分析：运用前奇数项和和与中项的关系令 m=2nT,nGN,nil JS2n-i=(2n-1)an=77则 S偶=(n-l)an=33.2 n-l 77 n-1 -3 3，n=4m=7/.an=ll +&1)=2为 二 22又 ai-1 8ai20 f a6二 2 d=-3an=_3n+23例 5、设 a0 是等差数列，bn=()a.已知 bi+b2+b；=21,bib2b3=-.n 2 8 8

35、求等差数列的通项a解题思绪分析：为等差数列 瓜 为等比数列从求解 b“着手b,b3=b22Z.b23=-8*.bs=一2u u17b I +b?=13 8b也=;b,=2 L 11 或 4 I 8b3=,03 8 lb2=2bn=2(；)Z =2-2n 或、=1 a lo g、:.an=2n-3 或 an=-2n+5注：本题化归为 b j 求解，比较简朴。若用 4 求解，则运算量较大。例 6、已知 a j 是首项为2,公比为工的等比数列，S,为它的前n 项和,2(1)用 S“表达S0”；(2)是否存在自然数c 和 k,使 得 迎 L二2成立。S k-c解题思绪分析：S一号)1+产4(1-*)*

36、Sn+2乙 乙3S -C C-(9Sk 2)(2)江+，2o Z-o(*)S k-c c _Sk,S k=4().式(*)=；S k-2 cSk3 3J -Sk-2-S,-2 =12 k 2 1又S K 4/.由得：c=2或c=3当c=2时V S i=2，k=l时，c E不成立，从而式不成立当 c=3 时,S i2,S2=3:.当k=L 2时，C S k不成立由 SS k+i 得：S u 2 S j.+i 22 2当1 c,从而式不成立式不成立3 1 3 3 3,/-Sk-2 =c,-Sk-2 c,从而式不成立综上所述，不存在自然数c,k,使 任 二 2成立S k-c例7、某公司全年的利润为b

37、元，其中一部分作为资金发给n位职工,资金分派方案如下：一方面将职工按工作业绩(工作业绩均不相等)从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金幺元，然后再将余额除以n发给n第2位职工，按此方法将资金逐个发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。(1)设 为(I W kW n)为第k位职工所得资金额，试求a2,a3,并用k,n和b表达a i (不必证明)；(2)证明：ak ak.i(k=l,2,n-1),并解释此不等式关于分派原则的实际意义。解题思绪分析：谈懂题意，理清关系，建立模型第1位职工的奖金1=2第 2 位职工的奖金a2=(1，)bn n第 3 位职工的奖金a 3=L(l-)2 bn n

38、第 k 位职工的奖金akn n(2)ak-3|0n n此奖金分派方案体现了“按劳分派”或“不吃大锅饭”等原则。例 8、试问数列 ig lO O s in 2 的前多少项的和最大，并求这个最大4值(lg2=0.3010)解题思绪分析：法一：an=2+(-lg/2)(n-l)aj为首项为2,公差为-1g正的等差数列.Sn=2n+(_ ig 2)=-0.07525n2+2.07525 n=-0.07525(n-13.8)2+13.82 x 0.07525nGN+n=14 时，(Sn)x=14.35法 二:*.*ai=20,d=-lg J2 0 2+k(-lg V2)0.Jk13,2k=14(Sn)m

39、ax=S14=1 4.35四、同步练习(一)选择题1、已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且010gBabl B、lm8 D、0m82、设 a0,b0,a,Xi,x2,b 成等差数列,a,yH y2,b 成等比数列,则 xi+x2与 y1+y2的大小关系是A、xi+x?Wyi+y2 B、xi+x2yi+y2C、Xi+x2y1+y212、已知Sn是 an 的前n 项和,Sn=Pn(PeR,nN+2那么数列 a A、是等比数列 B、当 PWO时是等比数列C、当 PWO,PW1时是等比数列 D、不是等比数列13、a j 是等比数列，且 a0,a2at+2a3a5+aia6=25,则

40、 ay 等于A、5 B、1 0 C、1 5 D、2 01 4、已知a,b,c 成等差数列，则二次函数y=ax%2 bx+c 的图象与 x轴交点个数是A、0 B、1 C、2 D、1 或215、设 m WN.,l o g 2 m 的整数部分用F(m)表达，则 F +F +F(102 4)的值是A、82 04 B、8192 C、92 18 D、802 17、若x的方程x2-x+a=0和 x2-x+b=0(a#b)的四个根可组成首项为工4的等差数列，则 a+b的值为3 11 13 31A.-B s D,8 2 4 2 4 728、在 100以内所有能被3 整除但不能被7 整除的正整数和是A、15 5

41、7 B、1473 C、1470 D、136 89、从材料工地运送电线杆到5 00n l 以外的公路，沿公路一侧每隔5 0m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3 根，要完毕运载2 0根电线杆的任务，最佳方案是使运送车运营A、11700m B、14700m C、145 00m 14000m10、已知等差数列 a j 中，|a,a,I，公差d 0),n WN 一满足小二.+lgbz+n(n e N.),则 a n 为等差数列是 bj 为等比数列的 条件。14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为2 1 6 c m 则全面积的最小值是 c m 15、若不等于1 的三个正数a,b,c成等比数列，则(2-l

42、 o gba)(l+l o gca)=。(三)解答题16、已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。17、已知等比数列 的首项 为&0,公比q T (q W l),设数列 b.的通项b“=a,”+a“-2 (n W N)数列 a ,b j 的前n项和分别记为A“，B,试比较A”与 B“大小。18、数列数J 中，ai=8,34=2 且满足 an+2=2an+an(n N+)(1)求数列 a.通项公式；(2)设 51尸忆1|+|2|+|4，求 S”；(3)设 b0=(nN J T,=b1+b2+-+b ,是否存在最大的整数n(12-an)

43、m,使得对于任意的n G N.,均有T1,巴成立？若存在，求出mn 32的值；若不存在，说明理由。三角函数一、复习规定16、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，涉及诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等;3、三角函数的图象及性质。二、学习指导1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于360的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边拟定期，其大小不一定(通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同)。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边 a 相同的角，都可以表达成k 360+a 的形式，特例，终边在x 轴上的角

44、集合 a|a=k-180,keZ ,终边在y 轴上的角集合 a a=k 180+90,k G Z),终边在坐标轴上的角的集合 a a=k90,kWZ。在己知三角函数值的大小求角的大小时，通常先拟定角的终边位置，然后再拟定大小。弧度制是角的度量的重要表达法，能对的地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式。=|a|R,扇形面积公式S=L0R=，R 2|a|,其中a 为弧所对圆心角的弧度数。2 22、运用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设P(x,y)是 角 a 终 边 上

45、任 一 点(与 原 点 不 重 合)，记r=|OP|=Jx?+y2,W J sin a=cos a=,tana=,cot a=r r x y运用三角函数定义，可以得到(1)诱导公式：即Km+a 与 a 之间函2数值关系(k e z),其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；(2)同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3、三角变换公式涉及和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要纯熟地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2 a=2cos2 a-l=l-2sin2a,变形后得cos2 a=1一,os2a siMa=上*也，可以作为2 2降基公式使用。三角变换公式除用来化简三角函

46、数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设T为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x,均有f(x+T)=f(x),则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时，kT(kGZ,kWO)也为 f(x)周期。三角函数图象是性质的重要组成部分。运用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，纯熟掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本章思想方法(1)等价变换。纯熟运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；(2)数形结合。充足运用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；(3)分类讨论。三、典型例题例1、已

47、知函数 f(x)=kg (sin x-cos x)(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性。分析：(1)x必 须 满 足sinx-cosx0,运用单位圆中的三角函数线及兀 52kn+x 2k兀 +二兀,k Z4 4TF勺函数定义域为(21兀+，2k7i+九)，kGZ0 sin x-cos V2y N log V2=22.函数值域为-L +8)2(3)f(x)定义域在数轴上相应的点关于原点不对称(1)求它的定义域和值域;f(x)不具有奇偶性(4)V f(x+2 n)=f(x):、函数f(x)最小正周期为2 冗注；运用单位圆中的三角函数线可知，以 I、n 象限角平分线为标准

48、,可区分sinx-cosx的符号；以II、III象限角平分线为标准,可区分sinx+cosx的符号，如图。例2、化简 2-1+sin a+J2(l+cos a),a e (n,2 n)分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 1I +s.i na=si.n*2 a a .a a z.a ax2F COS +2 sin cos =(sin F COS)2 2 2 2 2 2 a c a2(1+cos a)=2(1+2cos-1)=4cos 2 2*原式二 2 1 sin +cos|+21 cos|2 2 2*.*a G(n,2 n).-G(,兀)2 2 a.cos 02球冗 a,9 ,3 i

49、 .a a n3 K,K a 02 2 4 2 2 2:.原式=2 sin&2当3 兀 4 兀，兀 v a 2 几时，sin +cos 04 2 2 2 2原式 二 一 2 sin 4 cos =-275 sin(-y+arctan 2).a 32 sin 7 t a n原式二 2 a 2 3-2V5 sin(+arctan 2)K a 2TI2 2注：1、本题运用了“1”的逆代技巧，即 化 1 为sin2+c o s 2 ,是欲擒2 2故纵原则。一般地有 V1+sin 2a=|sin a cos a|,Jl+cos 2a=41 cos a|,Jl-cos 2a=V2 I sin a I o2

50、、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为4/+b 2 sin(x+(|)(取6=arctan P)是常用变形手段。特别是与特a殊角有关的sin cosx,sin x -73 c o s x,要纯熟掌握变形结论。3 1 1例3、求(-一 二 )。sin2140 cos21400 2sinl00分析：1 3T 3cos21400-sin2140 1原 式=-A-；-7-7-sin2 1400 cos2 1400 2sin 10(石cosl400-sinl40)(岳 osl400+sinl40)1(-sin400 cos400)2 2sinl00-4sin800.