山东省冠县某中学2014年高二数学学案（新人教a版必修5）1-2第1课时《等差数列的概念及通项公式》.pdf

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1、第1课时 等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.一个数列

2、从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.求公差时，要 注 意 相 邻 两 项 相 减 的 顺 序 或 者4=斯-斯 一 （GN+且 2 2）.（2）如何证明一个数列是等差数列？要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数即“是同一个常数（或泊（”1）是同一个常数）.这里所说的常数是指一个与无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：a+ra=d（d为常数）.若证明个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也 可 以 证 明 为 或 斯-a,（1）不是常数，而是一个与有关的

3、变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方 法 一（叠加法）：4 是等差数列,1 1 -%-2=d,%-2 s-3=4，将以上各式相加得：斯/.an=a+（n-i）d.方法二（迭代法）：.斯 是等差数列，an=an.+d=a”-2+d+d=Q”-2+2d=a-3+3d=a+（-1 ）d.即。产方 法 三（逐差法）：斯 是等差数列，则有册=（斯 ,*）+（,泊。.2）+（止2.3）+,+（2-。1 ）+1 1 +（-1 ）/注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.（2）通项公式的变形公式在等差数列伍“中，若?，N+，则4=m+（-加）3

4、.推导如下：对 任 意 的 7,及 必，在等差数列中，有am=a-（in-）d 由-得 an-a,n=（n-m）d,“=+（几-加）d.注意：将 等 差 数 列 的 通 项 公 式 变 形 整 理 可 得a=dn+ax-d,从函数角度来看，a“=d”+（a d）是关于n的一次函数（4 r 0 时）或常数函数（d=0时），其图像是一条射线上一些间q-n距相等的点，其中公差d 是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道,n-m（”?）.（3）通项公式的应用利用通项公式可以求出首项与公差；可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项；若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角

5、度研究等差数列的性质与图像由a=f（n）=a 1+（-1 ）d=dn+（a -d）,可知其图像是直线产dx+（a d）上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差”是该直线的斜率，即自变量每增加1,函数值增加d.当 d0时，“为递增数列，如 图（甲）所示.当 4Vo时，为 为递减数列，如图（乙）所示.当 d=O时，4 为常数歹（,如图（丙）所示.4.等差中项如果在数a 与 b 之间插入一个数4,使 a,A,b 成等差数列，那么A 叫做数a 与 b 的等差中项.注意:（1）等差中项A=幺 吆 =aAb成等差数列；2 +若a,b,c成等差数列，那么b=-,2h=a+c,h-a=c-h,a

6、-b=h-c都是等价的；2（3）用递推关系a,l+l=+即+2）给出的数列是等差数列，an+l是它的前一项a 与后一项an+22的等差中项.知能自主梳理1.等差数列一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与前一项的 是,我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a与 b中间插入一个数4,使a,A,b成等差数列，那么A 叫做.3.等差数列的判断方法（1）要证明数列 恁 是等差数列，只要证明：当时，.（2）如 果 即+尸 必 对 任 意 的 正 整 数 都 成 立，那么数列 为 是_ _ _ _ _ _ _.2（3）若a,A,h成等差数列，则 A=.4.等差数列的通项公式等 差 数 列 的 通

7、 项 公 式 为,它 的 推 广 通 项 公 式 为.5.等差数列的单调性当 Q 0 时，a 是 数列；当 4=0时，斯 是 数列；当42).不等于同一个常数，不符合等差数列定义.C.J不是等差数列.命题方向等差数列通项公式的应用 例 2 已知数列 斯 为等差数列，且=11,禽=5,求 分析 利 用 通 项 公 式 先 求 出 和d,再 求 也 可 以 利 用 通 项 公 式 的 变 形 形 式an=a,n+(n-m)d 求解.解析解法一：设数列”“的首项为m,公差为“，山等差数列的通项公式及已知，得。+4d=11 Cai=191 解 得 J1 0+74=5。=-2/.a11=19+(ll-l

8、)X(-2)=-l.解法二：Va8=a5+(8-5)J,a U=48+(11-8)d=5+3 X(-2)=-l.说明(1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出卬和d,确定通项，此法也称为基本量法.对于解法二，根据通项公式的变形公式为：厮=,+(2-)4见6 S，进步变形为仁%二%,应注意掌握对它的灵活应用.m-n变式应用2已知等差数列 “中，mo=29,放1=62,试判断91是否为此数列中的项.10=。1+%=29 解析设等差数列的公差为4 则 有 ，。21=。+201=62解得。|=2,4=3.a=2+(-l)X3=3-l.92令 aH=3 n-1=91，得 n=任 N+

9、.A 91不是此数列中的项.命题方向等差中项的应用 例 3 已知a,b,c成等差数列，那么下伯+,),/9+4)/(4+3是否成等差数列？分析 已 知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可 知 a+c=2b,然后要证其他三项/(0 (c+G Y m+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2A 解析 因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2又 a2(h+c)+c2(a+h)-2h2(c+a)=a2c+c2a+a b(a-2b)+b c(c-2b)=a c+c a-2a b c=a c(a+c-2b )=0,所以 a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),所以

10、f(a+c),/(c+a),?(“+/?)成等差数列.说明 本题主要考查等差中项的应用，如 果 a b,c 成等差数列，则 有 a+c=2b;反之，若a+c=2贝 IJ a,h,c成等差数列.变式应用3已知数列 xn的首项苞=3,通 项 Xn=2p+g(GN+,p,q为常数)，且 xi、M、成等差数列.求：A 4 的值.分析 由X|、X4、X5成等差数列得出一个关于p,q 的等式，结合X1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.解析由X=3,得 2p+q=3,又 X4=24p+4q,X5=2p+5q,且+X5=2x4,得3+25p+5q=25p+Sq,由得夕=1,p=1.说明若三数a,b,c成等

11、差数列，则 a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.探索延拓创新命题方向等差数列的实际应用 例 4 某公司经销一种数码产品，第 1年获利200万元，从第2 年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这产品将亏损？解析 由题意可知,设第1 年 获 利 为 第 年 获 利 为%,则%即 1=-20,(心 2,”WN+),每年获利构成等差数列 卬,且首项S=200,公差=-20,所以 a=ax+(n-)d=200+(”-1 )x(-20)=-20+220.若。”0,则该公司

12、经销这一产品将亏损，由%=-20+220ll,即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.说明关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.变式应用4 2012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第 排 有 150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用斯表示第排的座位数吗？第10排可坐多少人？分析分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.解析 由题意知，每排的座位数组成了一个首项为。产150,公差为4=20的等差数列，a“=a+(-1 )d=150+01-1)X 2

13、0=20+130,则。0=330,即 第 10排可坐330人.名师辨误做答 例 5 已知数列 a“,。|=。2=1,即=斯-1+2(23).(1)判断数列a,是否为等差数列？说明理由；(2)求 斯的通项公式.误解(1)an=a.+2,1=2(为常数)，)是等差数列.(2)由上述可知,an=1+2(-1)=2n-1.辨析 忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数 列 斯从第2 项起，以后各项组成等差数列，而a,不是等差数列，即=/缶)应该表示为“分段函数”型.正解(1)当 心 3 时，%=瓯 1+2,即 an-an，i=2.当=2时,。2-41=0不满足

14、上式.斯不是等差数列.(2)ai=1 ,a,=an.+2(/i 3),。3=。2+2=3.。3-。2=2.当 N3 时，a,-an.i=2.a=a2+(n-2)d=1 +2(n-2)=2n-3,又 a=l不满足此式.1 (=1).a“=S.L 2/i-3(w22)课堂巩固训练一、选择题1.(2011 重庆文，1)在等差数列%中,。2=2,。3=4,则。io=()A.12 B.14 C.16 D.18 答案1 D 解析该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.由“2=2,的=4 知 d=4-232=2.a 0=。2+84=2+8 X 2=18.2.已知等差数列 恁 的通项公式%=3-2”,则

15、它的公差为()A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案C 解析*/an=a +(n-1 )d=dn+(a 1-d),，公差为一2,故选C.3.方程-6元+1=0的两根的等差中项为()A.l B.2 C.3 D.4 答案C 解析 设方程f-6x+l=0的两根为R、必,则 I+M=6.其等差中项为上 士&=3.2二、填空题4.在等差数列%中，2=3,4=。2+8,则。6二.答案19 解析,:。2=3必 4=。2+8,C +d=3，解得 i+3d=ai+d+8 6=。|+5启-1+20=19.5.已知a、b、c成等差数列,那么二次函数+2+c(W0)的图像与x 轴的交点有 个.答案1或 2 解析,&

16、b、c 成等差数列，2/?=+c,又 =4/-4ac=(a+c)2-4ac=3-c)220.三、解答题6.在等差数列 卬中，已知。5=10,412=31,求通项公式。1+4d=10 =2 解析由题意得1 ,解得WQi+Ud=31，斯=-2+(-l)X 3=3-5.一、选择题L等差数列 1,-1,-3,-5,-89,A.92 B.47 答案C 解析,.*671=1,J=-l-l=-2,(-2)=-2/7+3,由-89=-2+3,得“=46.2.如果数列 是等差数列，则(A.O +484+。5 B.a +。8=。4+。5 答案B 解析 设公差为 d,则 4+。8-。4-。5=。+。|+71-。|-

17、31-。广 4d=0,.。+。8=4+。53.已知数列3,9,15r,3(2-1),那么81是它的第()A.12 项 B.13 项 C.14 项 D.15 项 答案C1 d=3课后强化作业它的项数为()C.46D.45)口.。1。8=。4。5 解析 由 3(2-1)=8 1,解得 n=1 4.4.在等差数列 中，4 2=-5/6=。4+6,则4 1等 于（）A.-9 B.-8 C.-7 答案BI +d=-5 解析由题意，得 J ，+5d=a +3 d+6解得 尸-8.5.数列 斯 中，。1=2,2 斯+k 2 为+1,则 的 值 是()A.4 9 B.5 0 C.5 1 答案D 解析由 2%+

18、=2 n+l 得 +%=!，2是等差数歹I J,首项。产2,公差d=g ,c 1 1 +3.an=2+(n-l)=，2 2._I01+3_ D.-4D.5 26.已知a=一 _ L b7 3+7 2 V 3-V 2，则。力的等差中项为（)A.V 3 B.V 2V 3TD.V 2T 答案A1 1 解析 a +b _君+也 也_石-庶+若+应 _百1 2-2-2-7 .设数列 为 是递增等差数列，前三项和为1 2,前三项积为4 8,则它的首项为（）A.l B.2 C.4 D.3 答案B。1+。2+。3=1 2|。1+。3=8，,。2=4,1。2。3=48 阕 3=1 2A a i,a3是一元二次方

19、程X2-8X+12=0的两根，_ 3 2.8 .斯 是首项为。尸4,公差d=2的等差数列，如果恁=2 01 2,则序号等于（）A.1 003 B.1 004 C.1 005 D.1 006 答案 C 解析:=4,d=2,/.aH=a i+(/7-1)J=4+2(w-1 )=2 n+2,，2+2=2 01 2,A n=1 005.二、填空题9.三个数lg(V3-V2)Wg(V3+V2)成等差数列，则x=.答案0 解析由等差中项的运算式得lg(V3-V2)+lg(V3+V2)lg(V3-V2)(V3+V2)Ax=-=-=0.2 210.一个等差数列的第5 项 TO,且。1+。2+。3=3,则 a-

20、,d=.答案-2,31”+4d=10 1。尸-2，即 J ,i+d+i+2d=3 +d=l d=311.等差数列 斯 的前三项依次为x,2x+l,4H 2,则它的第5 项为.答案4 解析 ,*2(2x+l)=x+(4x+2),；x=0,贝 lj a=0,2=1 ,d=a2-a 1=1,a=a +4d=4.12.在数列 斯 中，田=3,且对于任意大于1 的正整数”，点(击 西 二)在直线x-y-百=0上，贝 II斯=答案3 解析由题意得g-7=6数列 J 是首项为6,公差为百的等差数列，J a“=7 3 w,4“=3”.三、解答题13.在等差数列 知 中：(1)已知。5=-1,。8=2,求与 d

21、;(2)已知。+。6=1244=7,求的.解析(1)由题意知1 i+(8-l)d=2 ci +(6-1 )d=12(2)山题意知，,解得 oi+(4-l)d=7,Aa9=ai+(9-l)J=l+8X2=17.3 r14.已知函数,数列 与 的通项由 WN+)确定.x+3 求证：-!-是等差数列;(2)当 xi=3 时，求 xi o o.3 r 解析(1)XH=XW.!)=-,J:-(2 2,e N+),b”1 ,+3 1 1所以一=*=-+居 3 4T 3 九 小-=一 (2 2,N+).X.x,i 3所 以 ,是等差数列；Xn(2)由(1)知 1-的公差为工.Z 3又因为制=，即-1=2.2

22、%,所以=2+(/?-1)X ,X.3=2+(1 00-1)X 1=3 5.xi o o 3所以X】OO=7 7.3 51 5.已知等差数列 斯中，5+。6+7=1 5,5 6 “7=45,求数歹U%的通项公式.分析 显然。6是。5和。7的等差中项，可利用等差中项的定义求解。5和即，进而求斯.解析 设。5=6-4。7=。6+4则由。5+。6+。7=1 5,得 3。6=1 5,“6=5.|。5+。7=1 0 I。5=1 。5=9由已知可得,，解 得,或,。5。7=9 。7=9 7=1当 45=1 时，d=4,从而田=-1 5,a=-1 5+(n-l)X 4=4n-1 9.当 的=9时，d=-4,

23、从而幻=2 5.a=2 5+(M-l)X (-4)=-4+2 9.所以数列 ”的通项公式为知=4“-1 9 或 a”=4j+2 9.1 6.第一届现代奥运会于1 8 9 6 年在希腊雅典举行，此后每4 年举行一次,奥运会如因故不能举行，届数照算.(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；(2)2 008 年北京奥运会是第几届？2 050年举行奥运会吗？解析(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 8 9 6 为首项，4 为公差的等差数列，这个数列的通项公式为an=1 8 9 6+4(-1 )=1 8 9 2+4(几 N+).(2)假设为=2 008,由 2 008=1 8

24、 9 2+4,得”2 9.假设恁=2 050,2 050=1 8 9 2+4无正整数解.所以2 008 年北京奥运会是第2 9 届，2 050年不举行奥运会.第 2课时 等差数列的性质知能目标解读1 .掌握等差数列的项与序号的性质.2 .理解等差数列的项的对称性.3 .能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.重点难点点拨重点：等差数列的性质.难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题.学习方法指导1 .等差数列的公差与斜率的关系(1)次函数段)=H+b(k W 0)的图像是一条直线，斜率=/(士)一/(三)g W x 2).当 k=0 时，对于常数函数式x)=/?,上式仍然成立.(2)等差数

25、列 斯的公差本质上是相应直线的斜率.特别地，如果己知等差数列”“的任意两项4M”,由册=册+(加)4类比直线方程的斜率公a -n式得 d=(m W ).m-n2 .等差数列的“子数列”的性质若 数 列%是公差为d的等差数列，则(1)%去掉前几项后余下的项仍组成公差为4的等差数列；(2)奇数项数列 电7是公差为2 d 的等差数列；偶数项数列/“是公差为2 d 的等差数列；(3)若 鼠是等差数列，则 四J 也是等差数列.知能自主梳理1 .等差数列的项与序号的性质(1 )两项关系通项公式的推广：产%+(m、N+).(2)多项关系项的运算性质：若7+=p+q(z、p、q N+),则=ap+aq.特别地

26、，若 m+n=2p(m、p N+),则%1+=.2 .等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即a+an=a2+_=4+=2 +1(其中n为奇数且 心 3).3 ,等差数列的性质(1)若%是公差为d的等差数列，则下列数列：c+,J(c为任一常数)是公差为 的等差数列；。(c为任一常数)是公差为 的等差数列；(ank(ZWN+)是公差为 的等差数列.若%、为分别是公差为4、刈 的等差数列，则 数 列5。+彼 S、q是常数)是公差为 的等差数列.答案1 am+an 2a p2-1%-k+l3 .d cd kd pdi+qd

27、?思路方法技巧命题方向 运用等差数列性质aH=am+(n-m)d(m.n e N+)解题 例1 若数列%为等差数列，%=d4=P(P#q)，则%+q为()p+qA.p+q B.O C.-(p+q)D.-分析本题可用通项公式求解.利用关系式an=am+(n-m)d求解.利用一次函数图像求解.答案B 解析解法一：i+(p-1)4aq=a+(q-1)d,+S-l)d=4 a i+(q l)d=p -,得(p-q)d=q-p.:pH q,：d=-l.代入，有ai+(pD(l)=q,，ai=P+4L故 ap+i/=a+(p+q-1 )d=p+q-1 +(p+q-1)(-1 )=0.,应选 B.解法二：*

28、：cip=a q+(p-q)d,；q=p+(p q)d,即 q-p=(p q)d.故p+g=Qp+(p+q-p)l d=q+q(l)=O.,应选 B.解法三：不妨设p q,由于等差数列中，斯关于的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p,%),(qMg),(p+q,即+q)共线.设 为+产n,由已知，得 三 点(p,q),(q,p),(p+q,m)共 线(如 图).ZHAE BF得一=一.BE FC.q-p p-m,.-二-Q-P(p+q)q.1=心得 m=0,即为+4=0.应选B.说明本题采用了三种方法，第种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项at和公差d的等式，通过解方

29、程组，达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式知=%汁(-?)“.第三种方法使用的是函数的思想，通 过 点(p,q,),(q,%),S+q,ap+g)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.变式应用1已 知%为等差数列，由5=8,劭0=20,求即5.解析 解法一：.“15=。|+14/,伙)0=“|+59”,m+14d=80+59d=2Or64a=15解 得 I t64 4.。75=。1+741=-1-74 X =24.15 15解法二：。60=。15+45445d=60。15=20-8=12,4。75=。60+15d=20+15 X=24.命题方向 运用等差数列性质即+斯=%

30、+他(7、小p、qN+，且 7+=p+q)解题 例 2 在等差数列 出 中，已知生+恁+8=9,W7=-21,求数列的通项公式.分析 要求通项公式，需要求出首项卬及公差d,由做+。5+。8=9和的的劭=-21直接求解很困难，这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数列的性质，注意到生+8=2 5=。3+。7,问题就好解了.解析色+的+8=9,3。5“7=21,又。2+。8=。3+以 7=2。5，.。3+。7=2。5=6,即 45=3.3*。7=-7,山、解得。3=-1,。7=7,或的=7,7=1,/.3=-1,d=2 或 3=7,d=-2.山。产。3+(-3)d,得 an=2n-7 或产-2+13

31、.说明 本题利用等差数列的性质求解，可以使计算过程变简单，达到了事半功倍的效果.变式应用2在等差数列 斯 中，若3+。5+。7+9+。1产100,则 3的5 3 的值为()A.20 B.30 C.40 D.50 答案C 解析 :43+45+47+09+。又,/。3+11=5+9=2。7,5。7=100,。7=20,3。9。13=3(7+2)(7+64)=3 7+61-。7-64=27=40.探索延拓创新命题方向等差数列性质的应用 例 3 已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.分析此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数.其实，因为这里

32、成等差数列的四个数之和已知，故 可 设 此 四 个 数 为 这 样 求 解 更 为方便，但必须注意这时的公差应为2J.解析 解法一：设 这 四 个 数 为 a+d,“+34(公差为24),依题意，2a=2,且(a-3d)(。+3 0,=2,=-2.故所求的四个数为2,0,2,4.说明 此题设法很重要，一般地有如下规律：(1)若所给等差数列为2 5N+)项，则可设为：-7-l)d,Q-3d,-dM+d,+3d,+(2-l)d,此数列的公差为2d.若所给等差数列的项数为2 1(N+)项,则这个数列可设为:a-(-1 )&,a-d,+&,a+(-l)d,这个数列的公差为d.变式应用3已知5 个数成等

33、差数列，它们的和为5,平方和为吆，求这5 个数.9 解析设这五个数依次为a-2d,a-d,a,a+d,。+2 4 由题意，得 5a二 5(85(a-2d)2+(a-d)2+a2-(a+d)2+(a+2d)2=9a=解 得Ja=lT故这五个数为-L,h -3 3 3 例 4 在等差数列 飙 中,误解393 3 3 33名师辨误做答已知 Q|=2,2+3=13,则 4+5+6三 2+3=13,/.5=2+3=13,。4+。5+。6=3。5=39.辨析 误解过程中，2+。3=怒是错误的，在运用等数列的性质“若 m+=p+式小 小 p、qN+）,则加+为=即+%”的过程中，一定要明确条件“m+=p+q

34、（m、n、p、H N+）”的内在含义.正解42设公差为 2+的=13,.2。+3d=13,又 =2,d=3.。4+。5+。6=3。5=3(a 1 +4d)=42.课堂巩固训练一、选择题1 .已知 恁 为等差数列，做+3则5等 于（）A.4 B.5 C.6 D.7 答案C 解析:斯 为等差数列，。2+8=245,2。5=12,。5=6.2.如果等差数列 中，。3+。4+。5=12,那么4|+2+一+。7=（）A.14 B.21 C.28 D.35 答案C 解析,*的+。4+5=12,/.3 4=12,6(4=4.a 1 +做+,+7=(1 +7)+(2+6)+3+5)+44=7 4=28.3.等

35、差数列 a等 中，。4+。5=15,。7=12,则。2=()3A.3 B.-3 C.-2 答案A 解析Va4+5=15,。2+。7=4+5=15,又 7=12./.2=3.二、填空题4.在等差数列%中，。3=7,5=。2+6，贝 I 。6=.答案13 解析 设公差为 d,5=6?2+6,/.a5-a2=3d=6,。6=3+3启7+6=13.5.等差数列 4“中，若。2+。4022=4,则。2012=-答案232D.-解析 斯 为等差数歹U，20,/.?3=-6,477=2.。1+2，/=-6”+6d=2故 tz=-10,.i=4(-1 )-3=4n-7.bn-i=(4-3)-(4w-7)=4,

36、九 是首项=1,公差为4 的等差数列.16.有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销；买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少2 0 元，但每台最低价不能低于440元；乙商场 律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少.解析 设单位需购买影碟机“台，在甲商场购买每分售价不低于440元，售价依分数”成等差数列.设该数列为%.斯=780+(-1)(-20)=800-20%解不等式册2 4 4 0 即 800-20/7440,得 N18.当购买台数小于18台时，每台售价为80

37、0-20”，在台数大于等于18台时，每台售价为440元.到乙商场购买，每台售价为800X75%=600元.作差：(800-20/1)n-600n=20(10-)，当“10 时,600n(800-20n)n,当“=10 1 1 寸，600n=(800-20n)n,当 10 W18 时(800-20)18 时,440 660.答：当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多 于 10台时到甲商场购买花费较少.第 3 课时 等差数列的前项和知能目标解读1.理解并掌握等差数列的前“项和公式及其推导过程，能够应用等差数列的前项和公式解决有关等差数列的实际问题.2.体会

38、等差数列的前项和公式与二次函数的关系，能用二次函数的相关知识解决有关的数列问题.3.熟 练 掌 握 等 差 数 列 的 五 个 基 本 量 之 间 的 联 系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.4.进一步熟悉由数列的前n项和S.求通项的方法.重点难点点拨重点：探索等差数列前项和公式的推导方法，掌握前”项和公式，会用公式解决一些实际问题.体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系.难点：等差数列前n项和公式的推导和应用公式解题时公式的选取.学习方法指导1.等差数列前”项和公式中涉及五个量S,d,，斯,5“,已知其中任意三个就可以列方程组求另外两 个(简 称“知三求二”)，它是方程思想在数列中的

39、体现.2.等差数列求和公式的推导，用的是倒序相加法，要注意体会这种求和方法的适用对象和操作程序，并能用来解决与之类似的求和问题.注意公式5户 +%)5=田+-l)d，2 2Sl,=nan-n(nl)d之间可以相互转化.23$是的二次函数，知 不一定是等差数列.如果5“=/+加+c,则 在 c=0时%是等差数列，在 cWO时 即 不是等差数列；反过来伍.是等差数列，S.的表达式可以写成S“=a 2+加的形式，但当 斯 是不为零的常数列时，&=为是”的一次函数.知能自主梳理1.等差数列的前八项和公式若 数 列 小是等差数列，首项为即 公差为a 则前项和S.=2.等差数列前项和的性质(1)等差数列%

40、的前k 项 和 为 则 S*,S21r1 勒2b成公差为(2)等差数列%的前项和为S,则 、也是.n公 安 1 1 几3 1+%),2 22.3 d(2)等差数列的等差数列.思路方法技巧命题方向有关等差数列的基本量的运算 例 1 已知等差数列&“中,3 1 (1)21=,d=,S“=-15,求 n 和 an2 2(2)。产1,%=512,&=1022,求公差 d.分析由称为等差数列的三个基本量，斯和S都可以用这三个基本量表示，五个基本量1 ,斯 S中可 知三求 二 .解析(1)VSH=/7,(-)=-15,2 2 2整理,得2-7-60=0.解之得，=12或=-5(舍去).3 1/712=+(

41、12-1)X()=-4.2 2由 S产 幽 4 1=也 二9 1 2 2=1 02 2,2 2解之得”印.又由 an=a 1+(-1 )d,即-5 1 2=1+(4-)d,解之得d-1 7 1.说明 等差数列的通项公式及前项和公式中“知三求二”的问题，般是由通项公式和 前n项和公式联立方程(组)求解.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.变式应用I在等差数列 小中，(1 )已知“6=1。,$5=5,求。8 和$8；(2)已知“3+。1 5=4 0,求 S|7-解析 ,6=1 0,5 5=5,5 d=1 0 P i=-5.，解得11 5 4

42、 1+1 (W=5 1 d=3/.a=a(,+2d=1 6&=4 4.2(2)；7|+。17=。3+。15,.317=17(a,+a17)17(a3+a15)17x40 _-=-=-34 0.2 2 2命题方向 等差数列前项和的性质 例2 一个等差数列的前1 0项之和为1 00,前1 00项之和为1 0,求 前1 1 0项之和.分析 解答本题可利用前n项和公式求出句和&即可求出S u。,或利用等差数列前项和的性质求解.解析方法一：设等差数列 a,J的公差为4前项和为5“,则S=na i+2101+10 x9,M-6/=1 002由已知得100 x991 00,+-仁 0 X 1 0一，整理得g

43、-一,代入，得田1099Too-5 1 1 0=1 1 ”i+110 x1092=1 1 0X1099 110 x109-卜-100 2X得)1()(1099-109x11)100=-1 1 0.故此数列的前1 1 0项之和为-1 1 0.方法 二:数列5|0$05。,$3。-5 2 0,，S io o-S g o S io S o o成等差数列，设其公差为。，前1 0项和10510+10 x92X D lO -2 2,Siio-Sioo=5io+（11-1）D=100+10X（-22）=-120.5no=-12O+S|（x）=-l 10.方法三：设Sa n2+b n.VSlo=lOO,S1O

44、o=lO,l02a+10/?=100 a=-100.,N Y100%+100=10/?=、10.S“=U再 坦 加100 10Si 10=-X 1104-X 110=-110.100 10方法四：:Sio（）-So=aii+ci 12+,+ioo_ 90（。+（）（）_ 90（。+6 io）=（2 2又&oo-Sio=10-100=-90,Q+。0=-2.110（q+?0）=02q方法五：在等差数列中，因 为 点（明 也）共线，n所 以（1 0,也q），（100,62 也）,（110,s5电）三点共线,10 100 110Slop S（）Su。Si。故 100 _ 10 _ H O _ 10

45、1 0 0-1 0 110-10即-1 0 -1010_ 11090 100.iio.=io+x（-1O）=-1110 9 1010.说明比较上述五种解法可以看出，利用等差数列前项和的性质解题，可以大大减少运算量.变式应用2已知等差数列 斯的前n项 和 为 且 S,=70,贝 I$3,=.答案1 120 解析 斯 为等差数列，Sm&m-SmS.-S2 m也成等差数列,2(S2mSm)=Sm+S3 m-S2m,即 2(110-70)=70+S3Mr110,，S37 M=120.命题方向 等差数列前n项和的最值问题 例3 已知数列%是等差数列，。尸5 0,4=-06(1)从第几项开始有(2)求此数

46、列的前n项和的最大值.分析 对 于(1)实质上是解一个不等式，但要 注 意 GN+；对 于(2)实际上是研究S,随的变化规律，由于等差数列中S,是关于n的二次函数，所以可以用二次函数的方法处理，也可以由an的变化推测S”的变化.解析 (1)因为幻=5 0,d=-0.6,所以 a“=5 0-0.6(-l)=-0.6+5 0.6.S C f i令-0.6”+5 0.6 W0,则”2-七8 4.3.0.6由于G N+,故当”8 5时，即 0,即从第8 5项起以后各项均小于0.(2)解法一：因为=-0.6 0,由 知。8 4 0,。8 5 0,所以&5 S 8 6 .8 4 x 8 3所以当”=8 4

47、 时，S,.有最大值，即$8 4=5 0 X 8 4+-X (-0.6)=2 1 08.4.2解法二：S=50n+l)X(-0,6)=-0,3n2+5 0.3n=-0.3(n-).当 取 接 近 于 亚2 6 1 2 0 6的自然数，即 =8 4时，S.达到最大值&4=2 1 08.4.说明 求等差数列的前n项和5 的最值有两种方法:方法一：根据项的正负来定.若4 0 0 0,则数列的所有正数项之和最大；若 1 0,则数列的所有负数项之和最小.行注一 n(n-1)d 2 d 力法一：d,i=na H-a=-n+一)2 2 2d=&(+0产-2 d2d=d r n-(z 1 4)、1，2 d (

48、/-1-/L)、22 2 d 2 2 d由二次函数的最大、最小值知识及e N+知，当取最接近(,一幺)的正整数时，S“取到2 d最大值(或最小值)，值得注意的是最接近(1 -幺)的正整数有时有1个，有时有2个.2 d变式应用3在等差数列 即中，。尸25,5|7=$9,求S,的最大值.解析 解法一：利用前”项和公式和二次函数性质，由$7=$9得1 7 925 x 1 7+(1 7-1)4=25 X 9+(9-1)&解得 d=-2,2 2n，S=25n+-(n-l)(-2)=-(n-1 3)2+1 6 9,2由二次函数性质，当=1 3时，&有最大值1 6 9.解法二：同解法一先求出d=-2.因为|

49、=25 0,a=25-2(n-l)0由Y、a“+=25-2”W0“W 13-2,得 Y12 1 2所以当=13时，S”有最大值169.解法二：I司解法一先求出 d=-2.由 S|7=S9，得+17=0,而 410+4|7=。1|+416=412+”1 5=。13+内4,故。13+。14=0.因为 d=-20,所以。13004II=7|1-7IO=(4X 11+27(4 X 10+27)k=4k.%_7k _7 彳 瓦 一 屋 辨 析 错 误 的 原 因 是“设 S,=(7+l)k,7；=(4+27)k,A#0”.这种设法虽然可以使葭=7 +1成立,但是相对于变量 来 说，上是常数，故 S“=(

50、7”+l)A,7；=(4”+27火 是 的Tn 4n+27一次函数，与公差不为零的等差数列的前 项和为n 的二次函数不符合.正解 由于等差数列 斯的前 项 和 S=a2+b=a (+2),a设 Sn=(7n+1)knfTn=(4n+27)kn,.an=Si rSio=(7Xll+l)11H7X10+1)10fc=148,i=Ti Tio=(4X 11+27)1M-(4X 10+27)102=UIk.Q”_ 1482 _4 第-11录 W课堂巩固训练一、选择题1 .在等差数列%中，已知。2=2,4 8=1 0,则前9项和$9=()A.4 5 B.52 C.1 0 8 D.54 答案D 解析；斯