全国各地2015年中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题26图形的相似与位似.pdf

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1、图形的相似与位似选择题1.(2 01 5淄博第8 题,4 分)如 图，在四边形1 式中，D C/AB,C B Y AB,AB=AD,。1年 A B,点、E、尸分别为4?、4 的中点，则/曲与多边形6W的面积之比为()工 工 工 工A.7 B.6 C.5 D.4考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理.专题：压轴题.分析：根据三角形的中位线求出炉2M E F/B D,推 出 /侬，得出SA A B D=4,DCXBCSa C D B 7 i求出 Sa A B D：03 B C 二 攵,即可求出/3 与多边形及力阳的面积之比.解答:F、分别为加、四中点,1:.E 22B D,E

2、 F/B D,:.X AE F s X AB D,也 迎（吗2 1SAABD=BD=4,.4 跖的面积：四边形四应的面积=1：3,1：C D=2AB,C B S.D C,AB/C D,-DCXBCSA C D B i.百 B C 4,.4 5F与多边形砥现?的面积之比为1：(3+2)=1：5,故 选C.点评：本题考查了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中.2.(2 01 5 湖北省武汉市，第6题3分)如 图，在直角坐标系中，有两 点/(6,3)、8(6,_1_0).以原点0为位似中心，相似比为3,在第一象限内把线段四缩小后

3、得到线段切，则点。的 坐 标 为(A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)I.A【解 析】.线段O P C D 工 一丁一,O P C D 切 和 线 段 四 关 于 原 点 位 似，二 勿 叱2%,二O B A B 3,即：.C D=l,OD=2,：.C(2.1).x y 1一=一一题多解一最优解：设C(x,y)，;线 段 切 和 线 段 关 于 原 点 位 似，6 3 3 ,.产2,7=1,(2,1).备考指导：每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形.位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比(相似比)；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中

4、心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比.3.(2 01 5湖南株洲，第7题3分)如图，已知力&C D、。都与加垂直，垂 足 分 别 是 反D、F,且4?=1,勿=3,那 么 哥1的长是()234A.3 B.3 c.4 D.5c第7题图【试题分析】本题考点为：相似的三角形性质的运用：利用E F H C D 得到X A B E s X D C E,得到E C DC E F B E _ B E _ _B E A B 3 ,X B E F s X B C D 得到 C D B C B E +E C 4 ,故可知答案答案为：CJD l4.（2 01 5江苏南京，第 3 题 3分）如图所示，中，D E/

5、B C,若2,则下列结论中正确的是（）A K X D E XA.X C=2 B.9C=2&1D硬呼c.A 5 M C 0=C D.等腰RtAOAB与等腰RtOC D是位似图形，点B的坐标为（1.0），B0=l.贝 iA0=AB=2 A（）2 2.等-RtAOAB与等腰RtAOC D是位似图形,0为位一中心，相似比为1：2.点C 的坐标为：（1，1）.故选：B.【专评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.1 1.（2 0 1 5 四川成都，第 5 题 3 分）如图，在 M5C中,D E I I B C ，A D =6

6、，D B =3，A E =4则 EC的长为(4)1(C)3(皮 2()4【答案】：BA D A E-=-【解析】：根据平行线段的比例关系，D B E C ,6=4即 3 E C ,E C =2,选&1 2.（2 0 1 5 四川乐山，第 5 题 3 分）如图，两条直线与这三条平行线分别交于3 1W点/、B、。和 4E、F.已知SC 2 ,则Q尸的值 为（）D.5【答案】D.【解析】1 3 n s 组 _3_ 3试题分析：右 4，=一,.Q/=C=3+Z=M,故选 D.考点：平行线分线段成比例.1 3.（2 0 1 5 四川眉山，第 6题 3分）如图，AD/B E/C F,直线九、七这与三条平行

7、线分别交于点4 B、C 和 点 以E、F.已知 4 比1,除 3,D E=2,则 7 的长为（）考点：平行线分线段成比例.AB D E分析：由 跖 i 可得B 盘 E F,代入可求得甑解答：解：AD/B E/C F,AB D E/.B C=E F,：AB=,叱 3,梦 2,_ 1 _ 2 _.3=E F,解得E 片6,故选：C.点评：本题主要考查平行线分线段成比例的性质,掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键.1 4.（2 0 1 5 黑龙江绥化，第 9 题 分）如 图，在矩形/及/中，/氏1 0 ,除 5 .若点K 分 别 是 线 段 上 的 两 个 动 点，则 8 姓秘V 的最小值

8、为（）I).6考点：轴对称一最短路线问题.分析：根据轴对称求最短路线的方法得出材点位置，进而利用勾股定理及面积法求出CC的值，然后再证明进而求出C N的值，从而求出,a 闻/的值.解答：解：如图所示：由题意可得出：作。点 关 于 以 对 称 点 广，交 助 于 点 ,连 接 叱，过 点7作广 心 比 于 点 儿 交 物 于 点M,连 接 加 此 时C肌A沪C 4最小，布.Rt丛BCD中,由勾股定理得：VBC2+CD2=5A/5,_1 工.必 忻2BC-CD-2 BD*CE,B O C D 10 -5，缪=B D =2 后,：CC=2 忠/.CC=4优，,:NC A,BC,DCX,BC,CE1,

9、BD,：.ZBNC=ABCD-ABEG-ABEC=90,：.ACC NZNCC=NCB/NNCC=90,:./C C MZCBD,:.XBCM XC NC,C C，二N C，B D -B C ,4&NC，即道-10 ,：.NC=8,即5物肺的最小值为8.故选B.点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角形的应用，利用轴对称得出.点与/V点的位置是解题的关键.15.（20 15 山东东营，第 6 题 3 分）若*4,则 X 的 值 为（）AB5-4C.7-4D.【答案】D【解y=l试题分析：工4,，设尸3%,x=4 k,X4-y _4*+3t _7.-.r 4k 4;故

10、选考点：比例的应用.16.（20 15 山东东营，第 10 题 3分）如图，在出中，/吐 9 0 ,4田 氏.点。是线段 上 的 一 点，连 结 S 过点8 作 6 6 L G 9,分别交或、。于 点 色F,与过点1 且垂直于ia _ jrA?的直线相交于点G,连结的.给出以下四个结论：W题：若点2 是四的中点，S a t 1则AB；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，D六D B；若 石=5,则：=二*.其中正确的结论序号是（A.B.C.D.DB【答案】C【解析】4G AF试题分析：；N A B C=9 0 ,ZG A B=9 0 ,/.A G/ZB C,.,.A A FG t o A c F

11、B,=-,故正确；BC FC1XZB C D+ZB E C=ZB E C+ZA B G=9 0 ,/.ZB ZA B G,/A B=B C,/.C B D A B A G,/B D=-A B,2Ji.,.A G:B C=1:2,.A F:FC=1:2,；.A F:A C=1:3,/A C=V2A B,.,.A F=A B,故正确；3当 B、C、F、D 四点在同一个 J圆上时，,-ZD B C=9 0,/.C D 是直径，.N C FD=9 0 ,/B F1C D,/.B E=E F,；.B D=D E,故正确；BD 1若=-,则有 B D:B C=1:3,；N B E C=N D E B=9

12、0 ,ZB C D=ZA B G,.,.B D E c o A C B E,.,.D E：DA 2B E B E:C E=B D:B C 1:3,；.D E:C E 1:9,S*c=1:9,即 S二*”=9S=”，故错俣；故选C.考点：1.相似三角形的判定和性质；2.圆周角定理；3 .三角形全等的判定与性质.17.（20 15 山东潍坊第9题3分）如图，在力比1中，AD 平分N B A C,按如下步骤作图:1第一步，分别以点从为圆心，以大于反4的长为半径在4两侧作弧，交 于 两 点 双N；第二步，连接场 分别交加、4 C于 点 反F；第三步，连接应、D F.若 盼6,4 户4,CA3,则 跖

13、的 长 是（）A.2 B.4 C.6 D.8考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图一基本作图.分析：根据已知得出W V是线段4 的垂直平分线，推出AD E,AF-D F,求出D E/AC,D F/AE,得出四边形/如是菱形，根据菱形的性质得出4田 梦 腔4 A根据平行线分线段成比例定B D B E理得出面=瓦，代入求HI即可.解答：解：根据作法可知：劭V是线段 的垂直平分线，：.AE=DE,AFDF,：.AEAD-AEDA,平 分/为C,：.A BAD-ACAD,：.AEDA=ACAD,：.DE/AC,同理 DF/AE,四 边 形 是 菱 形，：.AE=DDFAF,;m 4,：.AE

14、=DE=DFAP=A,：DE/AC,B D B E/.C D=A E,:BW6、缶4,上3,6 B E.3=4,:.B序 8,故选D.点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形4瓦 是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例.依次顺延18.(2015甘肃兰州，第5题，4分)如图，线段切两个端点的坐标分别为。(1,2),(2,0),以原点为位似中心，将线段切放大得到线段4?,若点6的坐标为(5,0),则点/的坐标为A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6)第5 题图【答案】

15、8【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DW5;2,而位似中心恰好是坐标原点0,所以点力的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍,因此选民【题目星级】1 9.（2 0 1 5 安徽省，第 9题，4分）如图，矩 形 1 版 中，4 7=8,皮?=4.点 在 边 4 7 上，点尸在边C D上，点G、在对角线AC.若四边形E GF H是菱形,则四的长是（）A.2#B.3#C.5 D.6第9题图考点：菱形的性质；矩形的性质.分析：连 接 切 交 4 c 于。，由四边 形 附 7/是菱形，得 到 阮 L 4 C,0辟O F,由于四边形腑1是矩形，得 到/后 N

16、 庐9 0 ,AB/C D,通过G S 猿/宏，得至lj 4 3 C O,求出1 3 2/俏2 泥，根据 比；即可得到结果.解答：解；连接）交 熊 于。，.四边形员/7/是菱形，：.E F A_ AC,OE=OF,.四边形四切是矩形，；./B=N D=9 0,AB/C D,：.4AC 庐/C AB,rZFC0=Z0AB ZF0C=ZA0E在疗1。与/庞1 中，oF=OE：.C F O/AOE,：.AO=C O,：/J VAB2+B C2=475,1:.AO=2A(=T/5,：Z C AB-Z C AB,N AO序N B-9 0,/X AOE s X AB C,AQ_AEAB-AC,2遥二 AE

17、A 8=4V5,；5.故选c.点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键.20.（2015山东济宁，10,3 分）符一副三角尺（在加，中，/4 企 州，/斤，：在0 A 皿 Y 中，/切 户 9-，/斤4S*）如图摆放，点 为 的 中 点，D E 交 AC 于氤P,以经过点C将A m r 绕点顺时针方向旋转角a。所，I W,交于点 加 丽PM交比1于点M则 函 的值为（）昱 曲 L4 小 R 2 c.3 D.3【答案】C【解析】试题分析：由题意知，为例/比的斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边1的一半，可得介 叱 豆,4 8

18、再由/后60可知版是等边三角形，因此可得/加注30 ,PD g且 可 求/分 方60 ,因此的30 =6 3.根据旋转变换的性质，可知N/生/烟 4 因JM ID JM.此 可 知 如 口 祝 再 由 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得 6 ,因此CN 是一个定值3.故选C考点：直角三角形斜边上的中线，相似三角形，旋转变换,填空题=2=5 1.（2 0 1 5 贵州六盘水，第 1 4 题 4分）已知4 5 6，则。的值为考点：比例的性质.分析：根据比例的性质，可 用 a 表 示 氏 c,根据分式的性质，可得答案.解答：解：由比例的性质，得2 5c=3a,b=6A.5 2b+c 个号9 3T

19、=-r =6=2.3故答案为：2.点评：本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a 表 示&c 是解题关健，又利用了分式的性质.2.（20 1 5 河南，第 1 0 题 3分）如图，/比中，点 小 分 别 在 边 相，B C上,D E/AC,第 10题若/庐4,D A=2,脂 3,则陷.3BD BE2【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.4 C,.DA EC,DA BE _ 2x3 _ 3:.E C=BD 4 2.3.（20 1 5 广东梅州，第 1 4 题 5分）已知:中，点 是力5 边的中点，点尸在/C 边上,1若 以A,E,尸为顶点的三角形与/1 比 相似，则需要增加的一个条件是4 代

20、攵力 C或N AF E=N AB C .（写出一个即可）考点：相似三角形的判定.专题：开放型.分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论.解答：解：分两种情况：）：XAEFSXABC,：.AE-.AB=AF：AC,即 1：2=AF：AC,1:.AJ2AC；l AF E s X AC B,：.N AF F N AB C.1，要使以1、E、尸为顶点的三角形与/a 1 相似，则/后 24。或/陷/4 5 c.故答案为：A后2AC或N A晔N A氏.点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边.4.（2

21、0 1 5 广东佛山，第 1 3 题 3分）如图，在/?!相 中，AB=B C,/所 90。，4 场10.四边 形 切 断 是 的 内 接 正 方 形（点 、E、厂在三角形的边上）.则此正方形的面积是25 .考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质.分析：由已知可得到4W/%；根据相似三角形的边对应成比例即可求得的长,进而根据正方形的面积公式即可求得.解答：解：在应/比1 中，ARBG=AG,:AB=B C,力 1 0&.2/4=20 0,：.AB=B(=I O,设,E户x,贝 U Z F d O-x：EF/BC,：.lAFEsABCEF AF x 10-x.-.BC=AB,即 证 10,/

22、.A=5,旌 5,此正方形的面枳为5 X 5=25.故答案为25.点评：主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用.解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解.5.(20 1 5 河南，第 2 2 题 1 0 分)如图1,在应/比1 中，N比90 ,叱 2/庐8,点。，E分别是边加；”1 的中点，连接ZK将 随 绕 点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为a.(1)问题发现AE _ 当。=0。时，BD ；AE _ 当 a =1 80 时，BD(2)拓展探究AE试判断：当 0 W a x=2根据题意，得 2,：.B OC E=2,B 4 L在R/A8c中，次G,二小2-6C D B C

23、C D =2易证ABCDS A EHB,.丽 一 丽，即 1 2-6C D2（2+（2-V 3）（2+V3）=4+2 7 3综上所述，办2+6或4+2 6.19.（2015广东梅州，第12题，3分）已知：中，点 是46边的中点，点户在/C边上，若 以/,E,尸 为 顶 点 的 三 角 形 与 相 似，则 需 要 增 加 的 一 个 条 件是.（写出一个即可）考点：相似三角形的判定.专题：开放型.分析：根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论.解答：解：分两种情况：/AEFSABC,：.AE-.AB-AF-.AC,即 1：2=AF：

24、AC,1：XAFES XACB,1要使以4、E、尸 为 顶 点 的 三 角 形 与 相 似，则 片 2/C或/通/4 5 C.故答案为：。或N/陷/反.点评：本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边.2 0.(2 01 5 甘肃兰州，第 17 题，4 分)如 果 8d于(b+d+f 0 )；且a+c +e =3(+d+/),那么=【答案】3【考点解剖】本题考查比例的基本性质=K K=【解 答 过 程 因 为 匕d于，且 8 +1 +/。0,所以 b d。+c +eb+d+f。+c +e3而a +c +e =3(0+4 +/),即 b +d +/,所以忆=3。a c

25、 e.=K,一题多解因为 d于，所以a=尿，c =dk ,e=f k ,而 a +c +e =3 S +d +/),即+d +/)=3(b +d +/),因为。+d +0,所 =3。【题目星级】2 1.（2 01 5 山东省德州市，1 7,4分）如 图 1,四边形/犯9 中，4 勿 勿/分 叱 华 a,N 4=6 0 .取 血 的 中 点 4,连接4G再分别取4c%的中点D ,G,连接D、C ,得到四边形A、B C 瓜如图2;同样方法操作得到四边形4品 如 图 3;，如此进行下去，则四边形4,交,2 的面积为.图I图2图3第 1 7 3 g 图空/【答案】L【解析】试题分析:先求得图1梯形的面

26、积公式为2 a 2，图2中，因 为C；,D：分别为A；C的，B C的中点,所以A；BC；D；4-3 1 是 A BC面积的一，aAB C是梯形面积的-，所 以A：BC：D：4 3是四边形A BCD面积的2x1=1,即AB C D的面积为l x 空a?=乏 孝a?,A：B C；D；的面积 为 智a?,-4 3 4 4 4 42 43次类推A.BC.D.的面积为翡a2.考点：是三角形的面枳公式；三角形的中位线定理，相似三角形的判定及性质;三.解答题1.（2 0 1 5 山东省德州市，2 3,1 0 分）（1）问题如 图 1,在四边形/及空中，点一为U 上一点，/力 耍/=/庐9 0 .求证：AD-

27、B OAP-B P.（2）探究如图2,在四边形4 6（力中，点 P为期上一点，当/5/斤/氏，时，上述结论是否依然成立？说明理由.（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3,在 4 中，庐6,力企盼5.点尸以每秒1 个单位长度的速度，由点力出发，沿边4 8 向点6 运动，且满足N Z F俏N4设点一的运动时间为“秒），当以为圆心，以况1 为半径的圆与四相切，求 t 的值.【答案】（1）见解析；（2）的值为1 秒或5 秒.【解析】试题分析：（1）根据三角形的内角和得出N A DP=N BP C,又因为N A=N B=9 0 ,根据两角对应相等两三角形相似得出 A DP s/i BP

28、C,在相似三角形的对应边成比例得出结论.（2）结论仍成立.根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得N BP D=N A+N A DP=-3 P C+N DP C,因为N D P C=N A=8,可得出N BP C=Z A D P,又,N A u N B,得出 A DP s a BP C,根据相似三角形对应追成比例，得出结论.（3）如图，过 点 D作 DEA B于点E,根据等腰三角形的三线合一得出A E=BE=3.再由勾股定理得出DE=4,因为圆D 于 A B相切于点E,可得DC=DE=4,BC=1,Z D P C=Z A=Z B,设 A P=t,BP=6-t,代 入（1）（2）的结

29、论4D-3C =幺 P 尸得出一元二次方程，解方程得出4 =1/2 =5，得出结论t 的值为1 秒 或 5 秒.试题解析：（1）证明：如 图 1V Z DP C=Z A=Z B=9 0 ,/.Z A DP+Z A P D=9 0 ,Z BP C+Z A P D=9 0 ,/.Z A P D=Z BP C.A DP ABP C.AD _AP-5 C-.*.A D-BC=A P -BP.（2）结 论 A D-BC=A P -B P 仍成立.理由：如图 2,/Z BP D=Z DP C+Z BP C.y.Z BP D=Z A+Z A DP.Z DP C+Z BP C=Z A+Z A DP.Z DP

30、C=Z A=8 ./.Z BP C=Z A DP.又,.Z=N B=8./.A DP ABP C.AD AP -=-.BP BC/.A D BC=A P BP.（3）如 图 3,过 点 D 作 DE_ L A B于点E.,-A D=BD=5,A B=6./.A E=BE=3.由勾股定理得DE=4.以D 为圆心，以 D C 为半径的圆与A B相切./.DC=DE=4.BC=5-4=1,又、A D=BD,；.N A=N B.由已知，Z DP C=N A,/.Z DP C=Z A=Z B.由（1）、（2）的经嗡可知 A D BC=A P BP.又 A P=t,BP=6-t,.t（6-t）=5 X l

31、.解得 t：=l,t；=5.二.t的值为1 秒 或 5 秒.考点：相似三角形的判定及性质；切线的性质及判定；圆的有关性质2.(2 0 1 5安徽省，第2 3题，1 4分)如 图1,在 四 边 形/质 中，点&尸 分 别 是4 8、徵的中点，过 点 作4 6的垂线，过点尸作的垂线，两垂线交于点G,连接4 G、B G、C G、D G,且N A G D=N B 史.(1)求证：Al=B C；(2)求证：XA G M X E GF；An 如 图2,若 被 比 所 在 直 线 互 相 垂 直，求 不 的 值.D r第23题 图1考点：相似形综合题.第2 3题图2分析：由线段垂直平分线的性质得出G后GB,

32、GD-GC,由S JS证明/必 8 GG得出对应边相等即可；GA GB E G GA(2)先证出乙由GDiGC,证出得出比例式FGGD,再证出4 AGD-匕E GF,即可得出/。/2 反声；(3)延 长A D 交 于 点M,交a 的延长线于点H,则A H Y B H,由如族8 GC,得出1 AG_ _/Z G A D-Z G B C,再 求 出 除 N/侬9 0 ,得 出/46斤2/跺45 ,求 出EG 2,山AD/X AGD/X E GF,即可得出E F的值.解答：(1)证明：数 是 的 垂 直 平 分 线,GA=GB,同理：GD=GC,在和K中,GA=GB 9 0 ,进而可得：/月。9 0

33、 ,进而可证：物 是。的切线；0C 2(2)连接B E,由A C=%,且 妗 4,可求/C,物的值，然后根据射影定理可求的值，从而可求冰的值，然后根据勾股定理可求/夕的值；山/白8 G AO-OE,可 得 Z 是/龙的中位线，进 而 可 得 应 例 上 2 0 仁8,进而可证颇s力”进而可得：P D 0 P,从而求出劭的值，进而即可求出的标的值.解答：(1)证明：连接仍，则力=阳：OP1 AB,：.AC=B C,是 4 6 的垂直平分线,：.PA=PB,在必。和必。中，PA=PB P0=P0/loA=OB,：./PAO/PB O QS S S)：.APB OAPAO,PB PA,.如为。的切线

34、，B为切点、,，/必 390 ,以6 t 90 ,即 PAVOA,应 是。的切线；(2)连 接 豳p*.*AC=3,且 宓=4,心6,4 5=1 2,在位中，由勾股定理得：的4人（：2+2=2后，：.AB=20A=A413,OB=OA=2rJ1 3,在Rt丛APO中,：AC L OP,:.AG=OOPC,解得：PO9,：.04 PC+083,在血4尸0中，由勾股定理得：力 片4 O P2-0 4 2=3/1 ,：.PB=PA=?3,：AOB C,OA=OE,1oc=2BE,OC/BE,:.B序2008,B E/OP,颂 s 0,BD _BE.-.PD O P,BD 二 8即 又 通+BD =1

35、 3,2 4 m解得：B D-5 ,在 Rt/OB D中,2 AO B 5ta nD BD=5 =1 2.点评：本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键.要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.6.（2 0 1 5 黑龙江绥化，第 2 8题 分）如 图 1,在正方形AB C D 中,延长B C 至历,使B 拒D N,连接MN 交加延长线于点E.求 证：B 步2密 B M.（2）如图2 ,连 接 廨 交/。于点尸，连 接 切 交 物 于 点 G.若:厩1:2

36、 ,且 C22,则线段D G=.考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.分析：（1）过 点 作，%L6C 交物的延长线于点尸，首先证明应,但包机 得 到 游 必；由身昭是等腰直角三角形可知BP=42BM,即可得到结论；（2）1 1 AF-.。1：2,可知力;1:B O2-.3,由丛B C M 2 F D N,可求出能=2,再由加W Z X 8 I 伤即可求出少的长.解答：（1）证明：过点M作MP1 B C 交劭的延长线于点P,.四 边 形 皿 是 正 方 形，:B C D=9 Q,N D B C=N B D C=4 5,：.PM/C N,：.Af AE MP,/B D（N MPF

37、 A5,mi/,：B 用 D N,：.D N=MP,在%冰 和月阳中，Z D E N=Z PE M N P=/N D E=4 5 D N=M P,：.DE=EP,昂伊是等腰直角三角形BP=42BM,:.B计2D片 版BM.(2)解：AF-.砂 1：2,：.DFx BC=2；3,/XBCM XFDN,D F _D N.-.BC CN设正方形边长为a,又知以2,游 忙a+2,。忙2 a+2a+2 J2 a+2 -3,解得：折2,4.旌 3,8沪4,薇=2&,又，：ADFGsABMG,D G_D F/.BG=BM,_4D G 3A 2 72-D G-42/2：.DG-2 .运故答案为：2 .N点评：

38、本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形相似求出正方形的边长是解决第2小题的关键.7.(2 0 1 5 山东潍坊第2 1题1 0分)如 图，在/比中，AB=AC,以 为直径的。交B C于点，交.AB 于点、E,过点作加，4 6,垂 足 为兄连接应(1)求证：直线的与。相切；(2)若/后7,B O 6,求”1的长.考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.分析：(1)连接 切，利用/比“；OD=OC,证得 勿 易 证 加 工 勿，故Z F为。的切线；(2)证 得 跳 以 比 儿 求 得 豳 利 用 斤 跖

39、求 得 答 案 即 可.解答：(1)证明：如图，连 接6 D.：AB=AC,/庐NC,.,OFOC,：.Z.ODOC,：40D C 4B,：.ODII AB,9：DFLAB,：.ODLDF,点在。上，,直 线 炉 与 相 切；（2）解：四边形力区是。的内接四边形，：.ZAEZACD-180,/力吠N防户180,B E 2/A C D,N庐N8,：Z E M lB C A,BD BEAB=BC,：OD AB,AW CO,工：.BD=CD=2B（=2f又 Y A F I,3 BE/.7+BE=6 ,：.BB=2,:A俏 AFAE+BF7+2=9.点评：此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要

40、证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可.8.（2015 山东威海，第 23题 10分）（1）如 图 1,已知N/叱90,/俏 小 6,CD-CE,力斤3,N。层450,求 4?的长.（2）如图2,已知/吠 N诲90,N力 吐/侬=N。氏30,1俏3,力 氏8,求 4的长.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.分析：（1）连 接 战 证明/；密 腔 得 到 力 长 阳 在Rt/XBAE中,4作6加，AE=3,求出应；得到答案;AD AC V 3(2)连 接 应 证 明”6阳 得 到BE=BC=3,求出龙的长，得到加的长.解答：解：

41、(1)如 图1,连接BE,:NACB=NDCE=9Q,：.4 AC於 4 AC方 4 DC吩 NACE,8|J/B C芹/ACD,又,：AOBC,DO EC,在力勿和6(%中，AC=BC ZBCE=ZACDDC=EC,:A A C g/B C E,：.AD=BE,：AC-BC=6,.,.仍6,：ZBAC=ZCA45,物后90,在心为 中，/斤6、历，=3,二 陷9,.仍9；(2)如图2,连接BE,在鹿/中，/游/侬=30,A C近面30 二 BC=3,：4ACB=/DCE=附,：4BCE-4ACD,ACMXBCE,AD AC V 3/.BE=BC=3,V ZBA(=&0,N。尺30,/力后90

42、,又力庐6,AE=8,梦10,点评：本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握性质定理和判定定理是解题的关键，正确作出辅助线是重点.9.(2015江苏徐州，第 25题 8 分)如 图，平面直角坐标系中，将含3 0 的三角尺的直角顶点。落在第二象限.其斜边两端点4、占分别落在“轴、y 轴上，0.AB=nCni(1)若 OB=6cm.求点。的坐标；若点A 向右滑动的距离与点8 向上滑动的距离相等，求滑动的距离;(2)点，与 点。的距离的最大值=12 cm.考点：相似形综合题.分析：(1)过点。作 y 轴的垂线，垂足为。，利用含3 0 角的直角三角形的性质解答即可；设点力向右滑

43、动的距离为x,得点6 向上滑动的距离也为x,利用三角函数和勾股定理进行解答；(2)过。作 血 x 轴，轴，垂足分别为瓦D,证 明 与 版 相 似，再利用相似三角形的性质解答.解答：解：(1)过点。作 y 轴的垂线，垂足为。，如 图 1：在应ZX中，/庐12,03=6,则 g6,/胡。3 0 ,Z AB O-eO,又/烟=6 0 ,AZ 6 B 6 0 ,/B C D N ,.防3,g M,所以点。的坐标为(-3 点，9)；设点力向右滑动的距离为不根据题意得点6向上滑动的距离也为石 如图2：/./0 6 7 3 -x,4 3 6+x,A 8 =4 3=1 2在月中，由勾股定理得，(6 点-X)2

44、+(6+x)2=1 22,解得：下6 (V 3-1),滑动的距离为6 (V 3-1)；(2)设 点。的坐标为(x,y),过。作 C F L x 轴，轴，垂足分别为,D,如图3：则 0界-x,OD y,/加济/比层9 0 ,/比 阶 Na发9 0 ,AC拄 4 D C B,又 0)的图象经过点，且与边物交于点笈 连接反(1)连 接OE,若 3 的面积为2,则k 4 ；(2)连 接。J、龙 与 O 是否平行？请说明理由；(3)是否存在点，使得点8关于血的对称点在比 上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.备用图考点：反比例函数综合题.分析：(1)连 接 第 根据反比例函数的几何意义，即可求

45、出力的值；5 5 BD_BC(2)连 接/C,设 (x,5),E(3,3X),则 除 3-x,够 5-3*,得至邛岳一叫从而求出D E H心5 5（3）假设存在点满足条件.设（*,5）,E（3,3X）,则 B D=3-x,止 5-3 *,54斤 3、.作 硝 _ 比；垂足为 易得，l B C D/E F B ,然后根据对称性求出夕E、B D55 xB E二B F _ _ _L.B F 1 0的表达式，列 出 可D=C D ,即3-x=x ,从而求出(5-5 B 2+/=(3.%)2,即可求出x值，从而得到点坐标.解答：解：(1)连 接OE,如，图1,.班!的面积为2,Z.A=2 X 2=4.5

46、 5(2)连接/G 如图 1,设.D(X,5),E(3,3X),则 加=3-x,止5-3、，B D 3-xB E t-_ 5 3 B C 3D x =-3 =5,AB 5B D _ B C/.B E-AB：.D E/.5(3)假设存在点满足条件.设(x,5),E(3,3X),则5 5於3-x,止5-3X,心3 K作 配L O G垂足为尸，如图2,易证夕 C D/E F B,55 xB E =B F _ _ _g_ By F.B D=C D ,即 3 -x =x ,5：.B F=3,5 5 W：.OB =B F+Of B-3 K+3、=3 X,1 0C B =0C-OB =5-3 X,1 0在危

47、夕 切 中，C B =5-3 X,C D=X,B AB D=3-x,由勾股定理得，C B%C 见B a,1 0(5-TX)2+?=(3-x)2,解这个方程得，*i=L 5(舍去)，旭=0.96,，满足条件的点存在，的坐标为(0.96,5).故答案为4.点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数4 的几何意义、平行线分线段成比例定理、轴对称的性质、相似三角形的性质等知识，值得关注.11.（2015山东东营，第 21题 8 分）（本题满分8 分）已知在/灰；中，N企9 0,以 U 上的一 点。为圆心，以力为半径的圆交”1 于点，交 朋 于 点 .（1）求证：AC-AD=AB AE；（2）如果

48、劭是。的切线，是切点，是仍的中点，当 除 2 时，求/C 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）A（=.【解析】试题分析：(1)连接D E,由题意可得NADE=90,NABC=90,又/A是公共角，从而可得ADES2ABC,由相似比即可得；(2)连接0 B,由BD是切线，得OD_1_BD,有E为OB中点，则可得OE=BE=OD,从而可得/0BD=/BAC=30,所以 AC=2BC=4;试题解析：(1)连接 DE,二虹是直径，；./虹 =90,.NADE=NABC,在 RtZkADE 和 RtZkABC 中,NA 是4D AE公共角，.A D ESAABC,；.=,即 AC AD=AB-AEAB

49、 AC(2)连接 OD,；BD 是圆。的切线，则 OD1BD,在 RtZkOBD 中,OE=BE=OD.,.OB=2OD,.,.Z0BD=30,同理/BAC=3O。，在 RtZkABC 中，AC=2BC=2X2=4.考点：L圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.3 0 的直角三角形的性质.1 2.(2 0 1 5绵阳第2 5题，1 4分)如图，在边长为2的正方形4灰力中，G 是加延长线时的一点，且 叱/，动 点 从 4 点出发，以每秒1 个单位的速度沿着 f JC的路线向。点匀速 运 动(M 不与4 G 重合)，设运动时间为1 秒，连接9/并延长1 G 于匹(1)是否存在

50、点瓶使加V 为等腰三角形？若存在，分析点 的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点儿在/边上时，若以工阴4 A 7/交NC%的 平 分 线 于 求 证：B 4HN；(3)过 点 分 别 作 4的垂线，垂足分别为反F,矩形/1 E 监 与 4C G 重叠部分的面积为 S,求 S的最大值.考点：四边形综合题.分析：(1)四种情况：当 点 为 ，的中点时，4沪4%当 点 与 点 6 1 重合时，AB=B M；当点 在儿上，且 4沪2时.，A的AB；当点材为C G 的中点时，45 为等腰三角形；(2)在 用 上 截 取 4a 41 4连接由依由正方形的性质得出N4屐 9 0 ,AB=AD,/加=9 0