空间中的平行与垂直-2019年高考数学（文）之高频+含解析.pdf

《空间中的平行与垂直-2019年高考数学（文）之高频+含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间中的平行与垂直-2019年高考数学（文）之高频+含解析.pdf（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、解 密 14 空间中的平行与垂直解解高考高考考点命题分析三年高考探源考查频率空间点、线、面位置关系的基本问题空间点、线、面位置关系既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，以解答题的形式重点考查空间平行关系和垂直关系的证明2018课标全国n 92016课标全国I 11 平行与垂直关系的证明2018课标全国I 182018课标全国H 192018课标全国HI192017课标全国I 62017课标全国HI19 平面图形的翻折与存在性问题2016北 京18 点解雷善 司 空间点、线、面位置关系的基本问题题组一位置关系的判断调 研1设 机，是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面

2、，给出下列四个命题若 m/n,m L p,则 _L4;若 mn,m,则 /?；其中真命题的个数为A.1若加a,m/p,则a 夕;若m _ 1 _尸则a_ L4.B.2C.3 D.4【答案】A【解析】根据空间平行与垂直的判定和性质定理逐个对命题进行判断.显然正确；对于，由?扇?从不一定得到a 夕，a和4的关系不确定；对于，可能在平面/?内，所以不正确；对于，由?_ La,可知a 夕，所以不正确.故选A.调研2设1，m,n表示三条直线，a,仇y表示三个平面，则下列命题中不成立的是A.若m u a.nC a,m/n,则 naB.若a Ly,a/p,则 夕 l yC.若mu0,。是/在6内的射影，ml

3、，则m D.若a I B，a cyp=m,I Im,贝i“J _ S【答案】D【解析】对于A,由线面平行的判定定理可知，若mu a,找C a,;n/n,贝加 a,正确：对 于B,互相平行的平面，一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面，故正确；对 于C,由三垂线定理可知，若则mln,正确；对 于D,由两个平面垂直的性质定理可知，要 使 则 需 要 添 加 条 件I a或!ua,故D错误.*2 卷./巨 W 距：1 运.Q 4技巧点拨空间中点、线、面的位置关系的判定方法：（1）可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.（2）可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象

4、出空间线、面的位置关系的定义.:穹 6.*2#【答案】(1)见解析；(2)亏.【解析】(1)取线段4c的中点M,连接M F,MB,1M F =-CD因为尸为4。的中点，所以M FC。，且 2,BE=在折叠前，四边形4BC D为矩形，E为4B的中点，所以BE/CD,且 2MFBE,且M F=BE,所以四边形BE FM为平行四边形，故EF“BM,又E FC平面4BC,B Mu平面A BC,所以E F平面4BC.(2)在折叠前，四边形4BC D为矩形，/)=2.48=4.E为48的中点，所以/)瓦 C BE都是等腰直角三角形，且40 =AE=E B B C =2,所以=zT E B=45,且DE =

5、E C =2、2又乙DEA+&DEC+eCEB=1 80*.A&DEC=9 0*,又平面4DE _ L平面BC DE,平面/IDE n平面BC O E =DE,CE c平面BC DE,所以C E 1平面A DE,即C E为三棱锥C-4E F的高.因为F为力。的中点，所以笃-x 1 x AD AE=4 x 2 x 2=12 2 41 1 不 2J2V =_ x S&FM E =-x 1 x 2 =所以四面体FA C E的 体 积3 3 3S *。,后.。*/*.*0).(1)当4=1时，求证：平 面 平 面4。；(2)是否存在4,使得若存在，请求出4的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解

6、析；(2)见解析.【解析】（1）当N=1时，。为3 C中点,因为石是加 的 中点，所以E D =B a E D l l B Q,则四边形5即。是平行四边形，所以BE#Q D .又BE N平面。u平面4。，所以B E II平面.DQ.因为EF分别是4 H中点，所汰EFlI&D,因为所N 平面4。：4。U平面4。，所以EF/I平面4。.因为B E R E F =瓦E Fc平面B E F;B E u平面B E F,所以平面B E F II平面&D Q .（2）如图，连接A Q,B。与尸。，因为A A _ L平面 4 B C D,B D u平面A B C D.所以.若A DLFQ,又A A&U平面A

7、A Q，且4*1 F Q =F ,所以8O _ L平面4。.因为A Q u平面A A Q，所以A Q LBO.在矩形A BC。中，由A Q _ L8D,得/。噂 。艮九 所以,1 3?=X。.又J 5 =L，仍=2,所以3Q =L,Q C =3,则 黑=；，即 九=；.技巧点拨（1）推理型探索性问题推理型探索性问题，以探究空间中直线、平面的平行与垂直关系为主，解决此类问题主要采用直接法，即利用空间平行与垂直关系的判定与性质定理进行逻辑推理，将其转化为平面图形中的线线关系进行探究，逻辑推理的思维量较大.（2）计算型探索性问题计算型探索性问题，主要是对几何体的表面积、体积或距离等问题进行有关探究.

8、解决此类问题主要采用直接法，即利用几何体的结构特征，巧设未知量，将所探究的问题转化为建立关于所设未知量的函数或方程，依据目标函数的性质或方程解的存在性求解.感 强 化集训I1.（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试）如图，棱长为。的正方体中，M为BC中点，则直线小M与平面4BCD所成角的正切值为A WB耶2 52J51C.D.-5 2【答案】C【解析】连接QM，因为ABC。-481G oi是正方体，所以/R M。就是直线D M 与平面A8CD所成角，a 25/5tanZDiA/D=DM-v5a _ 5,故选 C.22.（安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测）平面a外

9、有两条直线a,b,它们在平面a内的射影分别是直线m,n,则下列命题正确的是.A.若a 1 b,则mJ.n B.若m J.n,贝 ija lbC.若m九，贝!ab D.若m和 啪 交，则a和b相交或异面【答案】D【解析】A 选项，若a l b,则 m 不一定垂直小 可能7,的夹角为钝角或者锐角，故错误；B 选项，若m _Ln,则“不一定垂直6,可 能。，b 夹角为钝角或锐角，故错误；C 选项，若?平行“，则 a 与 b可能异面，故错误；D 选项，若 相 和”相交，可能a 在 b 的上方，此时异面，a 与匕也可能相交，故正确.故 选 D.3.（四川省凉山州2019届高中毕业班第一次诊断性检测）如图

10、，四棱柱中，E,F分别是AB1,B g 的中点，下列结论中正确的是D.A.EF IBB1C.EF平面D/C【答案】DB.EF1 平面BCq%D.EF平面4%出【解析】如图，连接力C交 于 凡 由 于 四 边 形 Bee1名是平行四边形，对角线平分，故F是/C 的中点.因为E是4 力的中点，所以EF是三角形B/C 的中位线，故EF4 C,所以EF平面4 C C/】.故选D.4.（深圳实验，珠海一中等六校2019届高二第二次联考）四边形4BCD和4DPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线4P与BD所成的角为71A.6B.D.71427rTnC 3【答案】C【解析】如图，将4 P平移到B

11、E的位置，连接D E,则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE7 T为等边三角形，故两条异面直线所成的角为丁故选C.5.（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测）设a,b,c表示不同直线，a,。表示不同平面，下列命题:若ac,b/c,则 a/b；若ab,ba,贝 ijaa；若aa,b/a,则a加若au a,b u S，a/p,则a瓦真命题的个数是A.1B.2C.3 D.4【答案】A【解析】对于，由平行公理4,可知正确；对于，若au a,显然结论不成立，故错误；对于，若aa,h/a,则a,人可能平行，可能相交，可能异面，故错误；对于，a 夕，a ua,Z?u尸，。与b平行或异面，故

12、错误；真命题的个数为1个，故选A.6.（浙江省重点中学2 0 1 9届高三1 2月期末热身联考）已知al/?,m e a.na p,a n p =l,贝 广 机J _ w”是U 的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】如图，取长方体A B C D-A S G。，令平面a为面底面A 8 C。为0,直线4 g直线L若令A ）i=m,AB-n,则但，不垂直于/；若mU,由平面4B C D _ L平面人。/1可知，直线，垂直于平面用 所以小垂直于平面。内的任意一条直线打，是，_ U的必要不充分条件.故选B.7.（四川省三台中学实验学校2 019届

13、期末仿真模拟）四棱锥P-48 C D中，底面是边长为2的正方形，若四八 空条侧棱相等，且该四棱锥的体积 3，则二面角P-4B-C的大小为A.3 0 B,45 C.6 0 D.90【答案】C【解析】如图，连接4C,8 D交于点E,四条侧棱相等，r.P E j.面4B C D,取48的中点尸，则乙P F E为二14 G面 角 P-A B-C 的 平 面 角，v Vp=3 X 2 x 2 x P E =3 ,.-_.P_E =q ”y/3,F =1,则P F =、3 +l =/4=2,=故选 C.8.（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测）设正方体 B e -.3 。1名 的棱长为i,E为 的

14、中 点，M为直线B i上一点，N为平面4EC内一点，则M,N两点间距离的最小值为A/6#A.3B.60回C.4D.6【答案】B【解析】如图，结合题意可知O E 是三角形B C/中位线，题目计算距离最短，即 求。后与生两平行线的 距 离，=1.B D=N分别是A/i,4 避1的中点，过直线B D 的平面a/平面4 MN,则平面a 截该正方体所得截面的面积为A.也C.A/3【答案】BB.8D.2 解析取/，/好的中点为P,Q.易知M N /O/8/）,AD/NP,AD=N P,所以四边形4N P D 为平行四边形，所以4N D P.又B D 和C P 为平面D B Q P 的两条相交直线，所以平面

15、D B Q P 平面4 MN,即1 0PQ=-BD=D B Q P的 面 积 即 为 所 求.由PQ/DB,2 2,所 以 四 边 形D B Q P为 梯 形，高为11.（浙江省温州九校2 019届高三第一次联考）正四面体A B C C 中，在平面a 内，点E 是线段4C 的中点,在该四面体绕。旋转的过程中，直线B E 与平面a 所成角不可能是A.071C.3【答案】D【解析】考虑相对运动，让四面体A8CO保持静止，平面a绕着CO旋转，故其垂线也绕着CO旋转，如下图所示，取AO的中点F,连接E F,则EFCD则也可等价于平面嘴着 下旋转，在ABEF中，易得cosNBEF=9，如下图示，将问题抽

16、象为如下几何模型，平面a的垂线可视为圆锥的底面半径EP,6绕着圆锥的轴EF旋转，显然三一N 3E F W N尸 石3 4三+/3及则苴VsinNEES 4 1，设8E与平2 2 6面a所成的角为0,则 苴K c o s J M l，结合四个选项，可知选D.6F.B.-I1 2.（广西百色市高三年级2019届摸底调研考试）如图，在正方体4 8 0 0-4/6/中，点p在线段BC 上运动，则下列判断中正确的是平面PBW 1平面A C/；41P 平面7 T异面直线41P与 所 成 角 的 取 值 范 围 是31.三棱锥马-4 P C 的体积不变.A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，连接）1,根据

17、正方体的性质，有 D 5 1 1 面/C D】，D 8】u 平 面 P5Q,从而可以证明平 面 P3D1平面N C D i,正确；连接/出，由Q 容易证明平面B TC i 面H C D】，从而由线面平行的定 义 可 得 平 面 NCA,正确；当P与 线 段 的 两 端 点 重 合 时，出P与/D i所成角取最小值工当 P与 线 段 的 中 点 重 合 时，加P与 所 成 角 取 最 大 值 三，故 e P与.】所成角的范围是耳，引,错误；以-%P C=匕_ 8/，c 到面T DF的距离不变，且三角形XAP的面积不变，.三棱锥H-。9 c的体积不变，正确；正确的命题为.故选B.1 3.（湖南省长

18、沙市2 0 1 9 届高三上学期统一检测）在正方体 B C D-4/。】/中，点p 在 线 段 上 运 动，则异面直线D P 与C B 1 所成角的取值范围是.n（0,-【答案】3【解析】在正方体中，连为、DB,则所以WP为异面直线D P 与C B 所成角，点P 与B 重n合，WP最大，且最大为,当点P 与公无限接近时，1 P 趋近于零，故异面直线D P 与C B 1 所成角的n（0,-取值范围是 3 .1 4.（河北省邢台市2019届高三上学期一轮摸底考试）已知三棱锥P-4 B C 的侧棱两两垂直，PA=PC=2,=Q为棱BC上的动点，4Q与侧面PBC所成角为0,则i即。的最大值为.叵【答案

19、】亍【解析】如图，依题意可知以 八XP C,所以P4 J平面PB C,故乙PQ4是所求直线与平面成的角由PAtanO=于 P Q,其 中 24=2,当 PQ最 短 时，正 切 值 取 得 最 大 值.当 PQ LBC时，PQ最 短，-5-5 =1 0,则PG+P D1 G O?,3所以PG和尸。不垂直，所以不正确；当AC重合于点尸时，在三棱锥尸DE R中，E E D和 F C D 均为直角三角形,所以。尸为外接球的直径，即2 K=城，则三棱锥P-O E/的 外2 2接球的表面积为4成2 =4 n x（士 骂2 =5 0兀，所以是正确.综上正确命题的序号为.21 7.（江苏省徐州市（苏北三市（徐

20、州、淮安、连云港）2 0 1 9届高三年级第一次质量检测）如图，在直三棱柱4B C-&B 1 C 1中，。，E,尸分别是%G，4为 的中点.（1）求证：罚7平面4 B D；（2）若=求证：平面4道 J.平面【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为E，尸分别是4以4公的中点，所以E F*因为E F U平面4/X 2V2=4X2所以 ，所以 s所以四棱锥P-4B C D的体积为4播.2 2.(湖 北 省2 0 1 9届 高 三1月 联 考)如图，在四棱锥P-AB C D中，/I B PC,A D|B C,A D L CD,且P C=B C=2A D=2C D=2&P A =2.(1)

21、P A J L 平面4B C D；P M(2)在线段P。上，是否存在一点M,使 得 二 面 角4C-。的大小为60。？如果存在，求方的值：如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见证明；（2）见解析.【解析】(1)I 在底面的8中,AD/BC,AD 1 C D,且8c=2AD=2CD=2、Z：.AB=A C=2,BC=：.AB 1 AC,y.：AB LPC,AC C PC=C,.4C u 平面PAC,PC u 平面P A C,.AB JL 平面PAC,又u 平面PAC,：.AB 1 PA,-：PA=AC=2,PC=22.,：.P A 1A C,又 PA 1 AB,AB n AC=A,AB u 平

22、面ABCD,AC u 平面上 B C D,.PA 平面BCD.(2)在线段A。上取点M使AN=2 N D,则MN|P4,又 由(1)得P4 1 平面48CD,.MN1 平面ABC。，又AC u 平面4BCD,.,.M NJ,i4C,作NO_LAC于0,又：MN cN 0=N,MNu 平面MNO,NOu 平面M N O,.二 4。_ L 平面MNO,又,.MO u 平面MN。，AC A.MO f又4C NO,/MON是二面角M-4C-D的一个平面角，PMJ2 J2=尤.、c ON=AN-xAD =x设PD,则MN=（l-x）4P=2-2 x,2 2,MN 2-2 x 一tan/MON=-=tan

23、 600=v3则二面角M-47-。的大小为60。，即 ON x,PMPM=x=4-2V5 =4-2d3即，满足要求的点M存在，且尸。.与 真 版再现1.（2018新课标全国n 文科）在正方体,超CD-4 4 G 4 中，E为棱e q 的中点，则异面直线A E与c o所成角的正切值为A亚A.-22C.立 D.立2 2【答案】C【解析】在正方体，1 8 C D-4 3 iG i中，C O/A B,所以异面直线AE与CO所成角为NEAB,设正方体边长为2 a,则由E为棱C G的中点，可得CE=a,所以BE=4a，则tan/E 8=在=止.故选C.IB 2a 2【名师点睛】求异面直线所成角的方法：平移

24、两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找 到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.2.（2016新课标全国I文科）平面a过正方体ABCD的 顶 点A,谈 平 面 自，a 平面ABCD=m,a l平面.近及4 =，则?，所成角的正弦值为A.近 B.立2 2C.立D.-3 3【答案】A【解析】如图，设平面C4A 平面ABC。=加，平面c 4 A 平面A B4A=，因为a平面CBQ,所 以 加 则加，所成的角等于根所成的角.延长A O,过 口 作REB C，连接C E,B R,则CE为?，同理4片为“，而BDll CEB用I邓,则加,所成的角即为4氏8。所

25、成的角，即为60。,故加，所成角的正弦值为V选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.3.（2017新课标全国I文科）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在直线A B与平面M N Q不平行的是【答案】A【解析】对 于B,易知则直线48平 面MNQ 对 于C,易知则直线AB平面M N Q；对 于D,易知ABN。，则直线AB平面A/N Q.故排除B,C,D,选A.【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定

26、理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.4.(2018新课标全国I 文 科)如图，在 平 行 四 边 形 中，AB=A C =3,乙 4c.M=90。，以AC 为折痕将ACM折起，使点M 到达点。的位置，且(1)证明：平面AC _L平面A8C；(2)。为线段4)上一点，P 为线段BC上一点，且 花=。=,”4,求三棱锥Q-A 8 P 的体积.【答案】见 解 析;(2)1.【解析】(1)由已知可得，NBAC=90。，

27、B A L AC.又 8A_LA。，所以A8_L平面ACD又 A 3 u 平面A B C,所以平面AC。J_平面ABC.(2)由己知可得，OC=CM=A8=3,DA=3及.又B P=D Q =D A,所以8尸=2.作 Q E LA C,垂足为E,则QE=1DC.由已知及(1)可得。C，平面4 B C,所以Q E L平面A B C,QE=1.因此，三棱锥Q-钻尸的体积为F6 tBp=-x Q E x S p=1 x l x 1x 3 x 2 0 s i n 4 5。=1 .3，25.(201 8新课标全国I I I文 科)如图，矩形A B C。所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是C。上异于C,

28、。的点.(1)证明：平面A M D J _平面B M C ；(2)在线段A A/上是否存在点P ,使得MC 平面P8D?说明理由.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)由题设知，平面C M O _L平面A 8 C O,交线为C D因为 B C L C D,B C u 平面 A 8 C D,所以 8 c L平面 C M D,B C 1D M.因为M为C D上异于C,。的点，且1为直径，所以D W J _C M.又 8 C C C M=C,所以 D W _L平面 B M C.而DWu平面A M D,故平面4/W )_L平面8 W C.(2)当。为4M的中点时，M C平面P 8 D证明如

29、下：连结A C交8。于O,因为A 8 C D为矩形，所以。为A C中点.连结。P,因为P为AM中点，所以M C 0P.MCN平面P B O,O P u平面28力，所以M C平面P B/).6.(201 8新课标全国H文 科)如图，在三棱锥P-A 8 C中，jB =B C =2 0，P A=P B =P C =A C =4,。为 AC的中点.（2）已知ACO是直角三角形，A B=B D.若 E 为 棱 8。上 与。不重合的点，且求四面体A B C E与四面体A C D E的体积比./,/4【答案】（1）见解析；（2）1:1.【解析】（1）取 AC的中点0,连结OO,B0.因为 AO=C,所以 A

30、CLOO.又由于ABC是正三角形，所以ACL80.从而ACJ_平面。0 8,故 ACJ_BD（2）连结EQ由（1）及题设知/ADC=90。，所以。=4。.在 Rt AAOB 中，BO2+AO2=AB2.又 A B=B D,所以BO2+DO2=8O2+4O2=482=BD2,故/）。8=90.E0=AC由题设知分 后。为直角三角形，所以-5 .E0=D又ABC 是正三角形，且 AB=BI）,所以 2.1故 E 为 8D 的中点，从而E 到平面A8C的距离为。到平面ABC的距离的2,四面体A8CE的体积为四面1体 A8CD的体积的2,即四面体A8CE与四面体ACDE的体积之比为1:1.【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.