2023年高考数学大招3射影定理.pdf

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1、大招3 射影定理大招总结射影定理初 中 我 们 已 经 学 过 一 个 射 影 定 理，在Rt.ABC中，ZABC=90,8。是斜边AC上的高，则有：BBD=AD CD ADCAB2 AC ADBC?=CDAC高中阶段,在任意三角形_ ABC中，设ZA,ZB,N C的对边分别为。，仇c,则有a=bcosC+ccosBh-ccosA+acosCc-acosB+bcosA证 明：sinA=sin(3+C)=sinBcosC+cosBsinC根据正弦定理a=bcosC+ccosB典型例题例1.在二ABC中，角 所 对 的 边 是”,b,c,已知a=2,则反osC+ccosB等于（）A.1 B.V2

2、C.4 D.2Cl h C解：方法1：在.ABC中油正弦定理可得=一 =2/?,sinA sinB sinCa=2/?sinA,b=27?sinB,c=27?sinC./.bcosC+ccosB=2/?sirtBcosC+27?sinCcosjB=2/?(sinBcosC+sinCcosfi)=27?sinA=a=2 故选:D.方法 2:a=bcosC 4-ccosB=2,故选:D.例2.在.ABC中，三个内角A,8,C的对边分别为a,c,且a=bcosC+6csin8,则8=()A 271 e 71 R r T TA.B.C.D.一3 3 4 6解:方 法1:.a=6cosc+Gc、sinB

3、,由正弦定理可得 sinA=sinBcosC+/3sinCsinB,又 sinA=sin(B+C)=sin&osC+sinCcosB,/.sinBcosC+/3sinCsinB=sinBcosC+sinCcosB，即:/3sinCsinB=sinCcosB,C 为三角形内角,sin。w O.V3sinB=cosB，可得 tanB=,3jrBe(O,)：.8 =.故选 D.6方法 2:a=bcosC+ccos9 所以 V3sinB=cosB,B=，故选:D.6例3.ABC中角A 3,C所 对 边 分 别 为 若a=Z?cosC+cin氏=2很I J ABC面积的面积的最大值为()A.V2+1 B

4、.2V2+1 C,V3+1 D.V3-1解:方法 1:A3C 中,。=Z?cosC+csinB,由正弦定理得 sinA=sinBcosC+sinCsinB，又 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,cosBsinC=sinCsinB,X sinC 0,/.sinB=cosB,X B G 0,180),5 =45 ;由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB,B P 4=a2+c2-2 a c c os45 ,整理得 4=a2+c2-y/2ac；X a2+c2.2 a c （当且仅当 a =c 取等号）,4.2ac-41ac,即 ac 2-2（2 +夜）,.A B

5、C的面积为S=a c sin45 =-x 2（2 +V ）=V 2 +1,.ABC 面积的最大值为 V 2 +1.故2 4 4，选:A.7F方法2:a =bcosC+c c osB,所以sinB =c os及B=，剩余过程同上47T例4.在一ABC中，角A,8,C的 对 边 分 别 为 若。=A o s C且c =6,A =，则LABC的6面积（）A.2GB.3月C.4百D.6月解:方 法1：在4 4 8 c中，角AB,C的对边分别为a,b,c,。2 +从 _。2a=bcosC/.由余弦定理可得。=Z xx）sC =/?x-，即 a2+c2=b2,2ah7 7TT：.ABC为直角三角形,8为

6、直 角4=?,。=6二可得。=2,6 3由 正 弦 定 理 三=三，即，一=-，解得a =2百.S1 M s i n C sin sin 工6 3S ARC=a c =x6 x2-7 3=6下）故选:D.2 2方法2:。=反05。+3 0 5-所以8 =,.,.S ABC=；Q C =g x 6 x 2 G =6百自我检测1.已知 ABC的内角A、B、C的对边分别为、b、c.若a=/?cosC+csinB,且.ABC的面积为1 +V2.则b的最小值为A.2 B.3 C,V2 D.百【解答】由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC,在 一ABC 中,sinA=sin-（B+C

7、）=sin（B+C）,.sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC,cosBsinC=sinCsinB,C G（0,zr）,sinC 0,cosB=sinB,即 tanB=1,i?（0,3=,S ABC=；acsinB-QC=1 +V2,/.QC=4+22,由余弦定理得到：b?=6f2+c2-2fzccosB,b1-a1+c2-y/2ac.2ac-s/2ac=4 当且仅当Q=C时 取“二”，力的最小值为2.故 选：A.2.二ABC内角 A、B、C 的对边分别为 已知 a=Z?cosC+csinB.则 8 =（）A.30 B.45 C.60 D.12

8、0【解答】由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+siaBsinC,sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,/.sinB=cosB,即 tanB=1,B 为三角TT形的内角，.8=；故 选：B.3.（多选）在二ABC中，内角A,&C的对边分别为凡瓦0,则下列关系式中，一定成立的有（）A.asmB=bsinAB.a=bcosC+ccosBC.a2+b2-c2=2abcosCD.b=csinA+asinCa h【解答】对于A,由正弦定理 一 7 二 一 可 得 6/sinB=/?sinA,故成立；sinA sinB对于3,由于sinA=sin(B+C)=sinBco

9、sC+sinCcosBt根据正弦定理可得a=bcosC+ccosB,故成立；对于C,由余弦定理可得 4+2一。2=2出7co s c 故成立；对于D,由正弦定理可得csinA=4zsinC,可 得 b-csinA+asinC-2csinA不一定成立.综上可得：只有A B C 成立，故选：ABC.1.在三角形ABC中，角 A,B.C 的对边分别为a,b,c.若 a=bcosC+ccosA,且CACB=Zc=2，则三角形ABC的面积为【解答】ci=bcosC+cco sA,由正弦定理可得：sinA=sinBcosC+sinCcosA,/.sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=sinBtosC+sinCcosA,sinCcosB=sinCcosA.s in C 0/.cosB=cosA,.A=B,可得 a=b,CA-CB=abcosC=2,又 c2 cr+b2-2abcosC,可得 4=a2+b2-2 x 2,a2+b2=8,解得 a=b=c=2,可得 A=B=C=-.3:.S ABC=-aZ?sinC=-x 2 x 2 x =V3 故答案为：G2 2 2