2021届新高考地区数学考点专练05数列与不等式（解析版）.pdf

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1、热点0 5数列与不等式在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以数列极限和等差等比数列为主，大题考察位置21题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。由于三角函数与数列属于解答题第二题或第五题的位置，三角函数考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分。数列大题属于压轴题难度较高。对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。对于不等式主要考察不等式性质和基本不等式和线性规划。基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。请学生务必注意题目

2、答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念

3、、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：120分钟）x+y21.（2020上海卷）已 知 0 ，则z=y 2 x的最大值为x+2j-30【答案】-12.（2020上海卷）下列不等式恒成立的是（）A、a2+h2 -2ahC、a+b-2yjab D、a+b2yjab【答案】B3.（2020上海卷）已知 q 是公差不为零的等差数列，且4+4 0=%,则q +%+,丹【答案】84.（2020上海大学附属中学高三三模）已知。是正三角形A B C内部的一点，O4+2Q?+3OC=0,则O AC的 面 积 与 的 面 积 之 比 是

4、3 2A.B.-C.2 D.12 3【答案】B试题分析：如下图所示，D、E分别是B C、A C中点，由。4+2O 8+3OC=0得。4+。=-2（。8 +。）即。=一2 0。，所以QE=2 Q D，设正三角形的边长为2百a，则AO AC底1_ 1 3边A C上的高为4 c =八。4 3底边A B上的身为4B二耳吕七=,，所以-=咨白:，故选反SAOAB；A B%2 6 ax；a 3考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积.5.（2020上海高三二模）设z”Z 2是复数，则下列命题中的假命题是（）A.若|Z1-Z2|=0,则 Z =Z 2B.若 Z =Z 2，贝iJ Z

5、 =z2c.若|zj=|z j,则 Z/Z =Z 2Z 2D.若|Z|=%|，则 Z：=Z?2【答案】D试题分析：对（A）,若|马-2|=0,则4 2 =0,Z =Z 2,所以Z 1二Z 2为真;对（B）若 Z 1=Z 2，则 马和 Z 2 互为共辄复数，所以Z|=Z 2 为真；对（C）设 Z 1 =4+W，Z 2 =4+，若 =上|,则J a j +2 =+a 2 ,Z,-Z j =0,那么 Z Z?B.如果%|=2 2|,那么 Z 1 =Z 2C.如 果 忤|1,那么D.如果z；+z；=0,那么Z|=?2 =0【答案】C【分析】根据复数定义，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于A,取4=3

6、+i.Z 2 =1 +i时,4-Z?0,即3+i 1 +i,但虚数不能比较大小,，故A错误；对于B,由 =同,可得a2+b2=C?+解,不能得到4=z2，故B错误；对于C,因 为 五 1,所以归|卜2卜故C正确；Z2对于D,取Z =12 =i,满足z；+z：=0,但是Z H z 2 H 0,故D错误.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义，在判断时可采用特殊值法检验，考查了分析能力，属于基础题.9.(2 02 0上海高三二模)关于x的实系数方程2一4犬+5 =0和d+2祖x +z =0有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则，的 取值范围是()A.5 B.-1 C.(0,1)

7、D.(0,1)-1【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为A 8 C Q,讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由己知/-4x+5=0的解为2 i，设对应的两点分别为A，B,得 A (2,1),B(2,-1),设/+2加什，=0的解所对应的两点分别为C,D,记为C(X”y i),D(%2.V),(1)当 (),即0 加 (),即机 1 或 m 1,则，是夕的()xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项.【详解】x 2x oox,则 4 =川0%1 0 0X

8、 1,则 8 =x 0 x l ,因为 A=B，所以，是4的充分必要条件.故选：C1 1 .(2 0 2 0 上海市建平中学高三月考)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线C ：(/+y2)3 =l 6x2y2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有()(1)方程(Y +y2)3 =6 x2 y2(孙 0),表示的曲线在第二和第四象限；(2)曲线。上任一点到坐标原点。的距离都不超过2;(3)曲线。构成的四叶玫瑰线面积大于4 万；(4)曲线C上有5 个整点(横、纵坐标均为整数的点)；A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(1)(2)(4)D

9、.(1)(3)(4)【答案】A【分析】因 为 肛 0,所以与 y 异号，仅限与第二和四象限，从而判断(1).2 2利用基本不等式xy”三 丁 二即可 判 断(2)；将以。为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C围成区域的面积进行比较即可判断(3)；先确定曲线C经过点（、/5,、后），再将X（及，），0 的整点（1,1）,（1,2）和（2,1）逐一代入曲线c的方程进行检验即可判断（4）：【详解】对 于（I）,因 为 孙 0,y 0）,所以 x%*,所以（x2+/）3=16x2y2 1 6 X（/+y）_=4（/+/）2,4所以犬+犬,4,即（2）正确；对 于（3）,以。为圆点，2 为半径的圆。的面积为

10、4 万，显然曲线。围成的区域的面枳小于圆。的面积，即（3）错误；对 于（4）,只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把（1,1）,（L 2）和（2,1）代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线。在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点（0,0）,即（4）错误；故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题.1 2.（2 0 2 0 上海市七宝中学高三其他模拟）已知产为抛 物 线=4x的焦点，A、B、C 为抛物线上三点,当 E4 +F 6 +E C =0时

11、，则存在横坐标x 2 的点A、3、。有（）A.0个 B.2 个 C.有限个，但多于2 个 D.无限多个【答案】A【分析】首先判断出尸为 A B C 的重心，根据重心坐标公式可得马+当=3-%,%+%=一，结合基本不等式可得出+结合抛物线的定义化简得出玉42,同理得出 4 2/3 42,进而得出结果.【详解】设A（N，X）,8（X 2，%）,C（F，%），先证王 4 2,1 1 1 FA+FB+FC=Q F 为 A B C 的重心，又 F（l,0）,%+；+二=1,X+g+-=0 ,.+w=3 不，%+%=-X，（乃+%）2 =货+2%4 2（+负），.y；2（尤+）,2/2 2、2,*,%2（

12、+W），.内 （2（3 X）.*.X y 2,同理工2 4 2,七K 2,故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出厂点为三角形的重心，属于中档题.13.（2020.上海杨浦区.高三二模）不等式二二!4 0的解集为（）x 2A.1,2 B.1,2）C.（-oo,l u2,+）D.（-oo,l）u（2,+oo）【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解.注意分母不为0.【详解】原不等式可化为 c八 ，解得lW x 2.X-2H0故选：B.【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0.14.（202

13、0上海市南洋模范中学高三期中）下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2 -2abC.a+b -2yJab D.a+b -2 a h a2+b2+2ah 0 即（a+Z?1NO恒成立，故 B 正确:C.当。=一1 1=0时，不等式不成立，故C不正确；D.当。=3力=1时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用以及不等式大小的比较，属于基础题.1 5.（2 0 2 0.上海崇明区.高三一模）设 q 为等比数列，则”对于任意的机G N*,%.。,”是“,为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【

14、分析】对于任意的m e Nam+2 a,n,即a,”（-1）0 .可得：o解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的机e N*，4+2 a m，即。,“（整-1）0.,J,o 一1 0,a 0；八，任意的m e N*，一1 0_ p.、，或 sqi4”V 00 7 a,“是”%为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.1 6.（2 0 2。上海高三其他模拟）已知数列 为 的前项和为S“，则 44向（“四 广 是&L（/eN*）”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C,充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先证明充分性，

15、由条件。讨，可得4+%+。4+通过变形得到。一，再由n +1条件tyL,列举特殊数列，说明是否成立.n +1【详解】充分性：若a“a,+i，则有q+4+4 4+1，即$（5,川一5“），得+畤 用，于是有之 工 也(?4*)成立，故充分性成立.n 7 2 +1 v 7必要性：若 3曾(e N*)成立，取数列 ,为0,1,1,1,，但推不 出&0,2 S“2 +1（2+4）（2 向+。向）=a；+a“,e N，d =对任意的 恒成立，则左的最小值是()1 1 1A.B.C.D.13 2 6【答案】A【分析】由2 S“=a；+an可得2 s,i=a j+an_x,两式相减整理后可知an-an_,=

16、1,则 4 首项为1,公差为1 的等差数列，从而可得为=，进而可以确定a=七-，则可求出7；=4+2=,一 0 知,an+a,X 0,从而 an-an_i-1 =0,即当 N 2,e N*时，an-an_=1,当=1时，2q=a+q,解得q=l或0 (舍)，则 4 首项为1,公差为1 的等差数歹I，2 +1 1 1则-1+5 T*.所以仇=(2+)(2+1)=一一广旧,1 1 1 1 1 1 1 1 1则 T =h +.+b=-1-F.H-T：-=-7i-v -,1-3 6 6 1 1 2 +2 “+1 3 2 用+1 3所以2 2 L 则人的最小值是3 3故选:A【点睛】本题考查了由递推数列

17、求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.S ,H=1一般如果已知了 S”,。”的关系式，一 般 地 代 入0 0 c.S.-S“T，2 2,eN进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.an+i-hn+21 8.（2 0 2 0上海大学附属中学高三三模）已知0。方，若 im =2 5,则（）a-bnA.a=2 5 B.a=-5 C.力=2 5 D.b=5【答案】D【分析】由0a匕，可得0/。力，且li m=2 5,廿 an-h-所以0 q 的图象有唯一交点（1,1）,无穷数列 叫（e N*）满足点Pn（e N*）均落在y =/

18、（x）的图象上，已知（3,0）,6（0,2）,有下列两个命题：（1）li r na,=l.（2）4,一 单调递减，的“单调递增；以下选项正确的是（）A.（1）是真命题，（2）是假命题C.（1）是假命题，（2）是真命题B.两个都是真命题D.两个都是假命题【答案】B【分析】根据函数 =/(%)的图象和/1(1)=1可得出4 的取值范围，再根据函数 =/(%)的单调性判断 4,i 和 4“的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.【详解】4+1=/(4)，当0%1 时，由图象可知，1%+12；当1。“3 时，0 a+I 1.4=3,。2=，。3=2,.0%1，1 。5 2,0 。6

19、1，1 /2,因为函数y=/(x)在区间(0,3)匕单调递减，因为0%/()，即&，/(&)/(%)，即/(%)，即 4 4，以此类推，可得4%，数列%./单调递减，a2 a4 a6 a ,数列%“单调递增，命 题(2)正确；当2 2 时，0 2 0 0a“=l,命 题(1)正确.故选：B.【点睛】本题考查数列单调性的判断以及数列极限的求解，考查推理能力，属于难题.二、填空题r2 v220.(2019上 海 高 考 真 题)在 椭 圆 上+上-=1上任意一点尸，。与 关于x 轴对称，若有EPPW1,4 212则F P 与玛。的夹角范围为【答案】zr-arccos；,T【分析】通过坐标表示和6得

20、到?e l,2 ；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为:COS6=2/=_3+-；利用V 的范围得到cos。的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：耳(一加,0),/s(j2,0)设尸(x,y),Q(x,-y),因为耳P g P W l，则 2-2+/12 2(-与 亍+与=1 结合=4 2/2 +/41,又 ye-&，&CO S E=FPKQ=2=-2-2忻 斗 帜1 再 不7 后可下 M+2 +y2)2_(2瓜)22 2与 工+匕=1结合，消去X,可得:4 2/+2 丁+2 L_3所以-a r c c os 本题正确结果：乃-a r c c oS,万【点睛】本题考查向量坐标运算、

21、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.2 1.(2 0 1 8上海高考真题)在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)、3(2,0),、尸是 轴上的两个动点,且但目=2,则 的 最 小 值 为 一.【答案】-3【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a -b|=2,即 a=b+2,或 b=a+2,并可求得=2 +仍，将 a=b+2 带入上式即可求出AE BF的最小值，同理将b=a+2 带入，也可求出AE BF的最小值.【详解】根据题意，设 E (0,a),F (0,b)；二 好|=|a-+2：a=b+2,或 b=a+2；且 AE=

22、(1,a),BF=(-2,b)；AE-BF=-2 +。力；当 2 寸+2 时，AE BF=-2+(b+2)-b=b2+2b-2V b2+2 b -2的最小值 为 土 a=-3 ；*.A E BF的最小值为-3,同理求出b=a+2时，A E BF的最小值为-3.故答案为：-3.【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式.1 J T2 2.（2 0 2 0上海高三三模）设点。为 A BC的外心，且A =耳，若A O =a A B+/3 A C（a,4e R）,则a +的最大值为.【答案】-3 J T（分析】利用平面向量线性运算整

23、理可得（a +/7 1）。4 =a O B+（3 O C,由此得到。+夕1；由4 =一可求得c o s N B O C,设外接圆半径为R,将所得式子平方后整理可得2（a +4）=1+3加，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值.【详解】A O =a A B +/3AC=a（O B -O A）+（3（O C -。4）:a+P ）O A=a OB+/3 OC+4一1 0,即a +/?l,co s A=:.co sZB O C=co s 2 1=,2 2设A6 C外接圆半径为R,则（a +4一&=0 2 H 2 +力2店+2 尸/?2 co s Z B O C =+伊X _ 印 大,整理可得

24、：2（a+/?）=l +3Sx,ye R,则x +2y=.【答案】-3【分析】先根据向d 共线把c 用a和匕表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解.【详解】解：因为非零向量a、b、c 两两不平行，且a/(c)，bll(a+c,a =加(b +c),z n H 0,1 ,:.c-a-bm1 ,c=一 匕一。n=-l r.一解得 1 1 二 一 1-1 =、nc=xa+yh:.x=y=ix +2 y =-3故答案为：3.【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用.解题时要认真审题，属于基础题.2 4.(2 0 2 0上海高三一模)已知向量4 8 =(；,*),AC=*则 NB4C=.

25、【答案】?6【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB、AC的夹角的余弦值，进而可求 得 C的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得AC=日+乎邛，|AB|=|AC|=I,AB AC _百.co s/3 A C =-；-j-=|AB|.|AC|2，TT0ZBAC/3 co s x si n x -co s2 x|3-,41 2|I 6)2兀6I 71 7T 71 TT当si n 2 x ：=1时等号成立.此时2 x =,即x =二 时，满足题意.I 6 J 6 2 63故答案为：一.4【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2 6.(2

26、0 2 0上海高三其他模拟)已知 A3C的面积为1，点P满足3 A 8 +2 8 C +C 4 =4 A P，则P B C的面积等于.【答案】工2【分析】取BC的中点Z),根据向量共线定理可得A P,。共线，从而得到S BC=1 SMBC=1 【详解】取 3 C 的中点O，.AD=(A C+A B).24AP=3AB+2BC+CA=(AB4-BC+CA)4-(AB+BC)+AB=A C+A B,.AP=；(A C+A 8)：.AP =-A D,即 A P,。共线.2S&PBC=/SBC=故答案为：I.【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题.27

27、.（2020上海大学附属中学高三三模）设（%，）、（，/2）、（七,%）是 平 面 曲 线/+；2=2%一6 上任意三点，则 A=%,%-X+-七2的最小值为【答案】-40【分析】依题意看做向量&=（/,%）与6=（必,一七）的数量积，0=（/，%）Hc=（y,玉）的数量积之和,根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为f+y 2=2 x 6），所以（x l+（y+3）2=1 0,该曲线表示以（1,一 3）为圆心，以J I6为半径的圆.A=玉y2 -X+/%-工 3 y2，可以看做向量 =（工 2，必）与人=（y3，一七）的数量积，a=（%，y2）与c=（-X，x J 的数

28、量积之和，因为点（彳 2，%）在 f +V =2 x-6 y 上，点（%-%3）在 x?+V =2 y+6x,点在/+/=_ 2 y-6 尤上，结合向量的几何意义，可知最小值为2河#/1 0）+2加（-7 1 0）=-4 0,即（2,-6）.-4,2）+（2,-6）（2,4）=T 0故答案为：-4 0【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.2 8.（2 0 2 0上海浦东新区华师大二附中高三月考）若复数z满 足z.i =-1 +i,则复数z的虚部为【答案】1【分析】求 解z再得出虚部即可.-1 +；-1 /【详解】因为z-i=l +i，故2 =+-=4 +1 =1 +/,故 虚

29、 部 为1.I I I故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题.2 9.（2 0 2 0.上海高三一模）复数工的共辗复数是.1-1【答案】-2 +1【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数工，求出z即可.z-2【详解】解:5 _ 5(-2-z)_5(-2-z)2.7 2-(-2+Z)(-2-Z)-5-一 复 数 工 的共软复数是-2 +iz-2故答案为一2+i【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题.3 0.（2 0 2 0上海大学附属中学高三三模）已知复数2 =(1+3Z)2(3-Z)(1-2/)2,贝U I制=_ _ _ _ _ _【答案】2 M【分析

30、】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轨复数概念以及模的定义求解.【详解】(1+3Z)2(3-I)(l +3 )(6 +8 Z)(1-2I)2 -3-4 z=2 6 z ,I z 1=1 -2 +6 i|=J 4 +3 6 =2M故答案为：2 j i d【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共朝复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.13 1.(2 0 2 0上海高三其他模拟)若复数z满足l +2 i=0,其中i是虚数单位，则z的虚部为z【答案】-1【分析】根据行列式得到茨-(l +2 i)=0,化简得到复数的虚部.i l +2 i 1 +2/【详解】，=0即i z (l

31、+2 i)=0,z=2-i,z的虚部为一 11 z Z故答案为一 1【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.3 2.(2 0 2。上海市建平中学高三月考)设复数z满足|z 1=1,使得关于X的方程合2 +2 +2 =0有实根，则这样的复数z的和为3【答案】2【分析】设2 =+万，(a,/?e R la2+b2=).将原方程变为(加+2以+2)+(加 2 Z zx)i =0 ,则G?+2以+2 =0且一 次=o：再对分类讨论可得；【详解】解：设z=a+4,(a,e R且+0 2=)则原方程Z X?+2 +2 =0变为(以2 +2以+2)+(力？一 次/=0所以改之+2

32、以+2 =0，C D B.bx2 2 bx 0 ；(1)若b =0,则”2=i解得。=,当。=1时无实数解，舍去；从而。=1,此时x =1 J ，故z=1满足条件；(2)若匕W0，由知，x =0或x =2,显然x =0不满足，故x =2,代入得“=一 ，b=土叵4 4所 以z =*乎综上满足条件的所以复数的和为-1+-;+323故答案为：2【点 睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.3 3.(2 0 2 0.上 海 高 三 其 他 模 拟)从 1,2,3,4,5 中随机选取一个数a ,从 1,2,3 中随机选取一个数b ,使得关 于x的 方 程V+2双+=0有两个虚根，

33、则不同的选取方法有 种【答 案】3【分 析】关 于x的 方 程/+2如+加=。有两个虚根，即 (),即 用 列 举 法 求 得 结 果 即 可.【详 解】.关 于x的 方 程/+2 6+/?2=0有两个虚根，=4 a 2-4 b 2 o,所 有 的(a,b)中 满 足a V b的(a,b)共 有(I,2)、(1,3)、(2,3),共 计3个，故 答 案 为3.【点 睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题.3 4.(2 0 2 0上海市七宝中学高三其他模 拟)已 知 复 数z =-l +3 i (i是 虚 数 单 位)是 实 系 数 一元二次方程a x?+b

34、 x+c =0的一个虚根，则a:6:c=.【答 案】1:2:1 0【分 析】利用求根公式可知，一个根为一 1+3,，另一个根为一 1一3 7,利用韦达定理即可求出。、b、c的关 系，从 而 可 得a-.b-.c【详 解】利用求根公式可知，一个 根 为 一1+3 7,另一个根为一1 3 i,-l+3 z +(-l-3 z)=-”2由韦达定理可得，Q整理得：Q(-l +3 z)(-l-3 z)=-=1 0a所以匕=2 a,c-l Oa,所以 a:。:c =a:2 a:l()a =1:2:1()故答案为：1:2:1 0【点 睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共辗复数，考查了韦

35、达定理，属于基础题.3 5.(2 0 2 0.上海高三其他模拟)设复数2 +i是实系数一元二次方程Y+p x +qu O的一个虚数根，则pq=_ _ _ _ _ _ _ _【答案】-2 0【分析】由题意复数2+i是实系数一元二次方程V+p x +q =0的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出P、4的值，可得答案.【详解】解：由复数2+i是实系数一元二次方程/+川+4 =0的一个虚数根，故2-i是实系数一元二次方程/+/?犬 +4 =0 的一个虚数根，故 2+i +2-i =-p,(2+，)(2-j)=q ,故 P =-4,q =5,故，-2 0 ,故答案为：一2 0【点睛】本题主要考

36、查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.3 6.(2 0 2 0.上海徐汇区.高三一模)已知函数/()=*+8(其中。力e R)满足：对任意x e 0,l ,有|尤)|4 1,则(2。+1)(2 8+1)的最小值为.【答案】-9【分析】根据题意/(0)=，1)=+匕，可得h =/(0),a =/(l)/(O),且 1 W/(O)W 1,-1 /(!)-/(1)-2/(0)2.当/(1)=-1,/(0)=1 时2.0)了最大为9，此时_ /2/(0)了最小为 9,所以(2 a +。(+1)的最小值为-9,故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据xe

37、 0 ，有|/(可归1,可知一1 W/(O)W 1,-1 /(1)I ,则C uA=.x【答案】邓H E 1【分析】先解得不等式，再根据补集的定义求解即可2 r-1【详解】全 集 U=r若 A=R 1 ,x9 r 1 x-1所以-1,整理得 0,解得x 1 或 x 0,X X所以C t/A =x|0 M l 故答案为：国0 灸 1【点睛】本题考查解分式不等式，考查补集的定义3 8.(2 0 2 0.上海市建平中学高三月 考)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点集K=(x,y)|(|x|+1 2 y|-4)(|2 x|+1 y|-4)轴对称，只要作出在第一象限的区域即可.当x.0,y.O时,不

38、等式等价为(x+2 y -4)(2 x +y _ 4 1,0 ,x +2 y-4.O(x+2y-4 0即 或 ,2 x +y-4 0 2%+y-4.O在第一象限内对应的图象为，则 4(2,0),5(4,0),(x+2 y-4 =。1 1 1 （）,则0 0,0 ,a b）b a b a则a+4 b=+竺+1 +4 2 2/区竺+5 =9,当且仅当二=，即a=时取等号，b a b a b a故答案为：9.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到+,=1的关系，从而b a构造出符合基本不等式的形式，属于中档题.40.（2020上海高三二模）已知x 0,y 0,且 x

39、+2y=l,则的最小值为.【答案】3+2夜1 1 1 1 /c、，1 1、c 2 y x【分析】先把一+一转化为一+=（工+2）（一+）=3+2+，然后利用基本不等式可求出最小值x y x y x y x y【详解】解：x+2y=1,x 0,y 0,.，+1 =（x+2y）（L +L）=3+立 +二23+2 0（当且仅当21 =二，即苫=行）时，取x y xyxy xyx=V 2-1又.x+2y=l,；.S 1 1二当 =我 一 1，）=1一”时，一 +一有最小值，为3+2夜2%故答案为：3+272【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利 用 1 的代换，属于基础题.x-”041.（2020上

40、海高三月考）已知实数X、了满足条件1丫20.则目标函数z=2x+y 的 最 大 值 为.x+y 8 n考点：二项式定理，裂项相消求和，数列极限.4 3.(2 0 2 0.上海高三其他模拟)设正数数列 4的前项和为S，数列 S“的前项之积为，且Sn“+Zn,=l，则 H一mc oS,=_ _ _ _ _.【答案】1Z-、【分析】令=1可得q =$=工=:，利用r”的定义，S,=十(22),可得7“的递推关系，从而得2J1%是等差数列，求出7；后可得S“，从而可得!山S,.【详解】1 =，=q,.2 q=l,4=；,即 E=Z=；,I I n故 苏=2 +胃-1 =+1,7；,=,$=上 也符合此

41、式，所以S =-Tn n +1 +1 2 +1 C 1-+1 1 .所以 l i m Sn=h m-=h m-=l i m故答案为：1.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化.如对积空有=/(2 2),对和sn有an=S-S“T (2 2),另外这种关系中常常不包括n=1的情形,需讨论以确定是否一致，属于较难题.三、解答题4 4.(2 0 2 0上海徐汇区高三一 模)设 似 幻 表示不小于x的最小整数，例如(0.3)=1,(-2.5)=2.(1)解方程(x 1)=3；(2)设f(x)=必)，MN*，试分别求出f(x)在区间(0、(1,2 以及(

42、2,3 上的值域;若/(%)在区间(0,上的值 域 为 求 集 合M“中的元素的个数：(3)设实数a 0,g(x)=x +a丛2 2,(x)=s,-+2,若对于任意不Ze (2,4 都有x x-5 x+7g(x,)A(x2),求实数。的取值范围.【答案】(I)3x4；(2)当x e(0,l 时，值域为 1 ；当x e(l,2 时，值域为 3,4 ；当x e(Z 3 时,值域为 7,8,9 ；妁詈 个；(3)(3,+a=).【分析】(1)根据(x)的定义，列式解不等式；(2)根据定义分别列举“X)在区间(0,1、(1,2 以及(2,可上的值域，和xe(-1,时函数的值域，最后利用等差数列求和；(

43、3)分别求两个函数的值域，并 转 化 为 利 用 参 变 分 离 求 实 数。的取值范围.【详解】【解】由题意得：2 x 1 W 3,解得：3 x 4.(2)当x e(O,l 时，M(x)=l,x-(x)=x e(0,l ,于是(x (x)=l,值域为 1 当 x e(l,2 时，网 =2,x-(x)=2 x e(2,4 ,于是(x (x)=3或4 ,值域为 3,4 当x e(2,3 时，(x)=3,x/(x)=3 x e(6,9 ,于是(x/(x)=7 或8或 9,值域为 7,8,9 设“e N*，当时，(x)=，所以X-(X)=HX的取值范围为(n2-n,n2,-所以f(x)在xe(-上的

44、函数值的个数为，-由于区间(2 ,2 与(+厅 一(+1),(+1)2 的交集为空集，故M中的元素个数为1 +2 +3+九=须+).-1 4 5(3)由于0-,l s i n x+2 3,因此(幻 4恒 成 立,当xe(2,3 时,Y X。2人一 恒成立，因为(2元一 皿=3,所以。33 r2 3 r2 9当x e(3,4 时，二 恒 成立，因为2工 二 /i(X2)，转化为8(%)/(力3 ,再利用参变分离求。的取值范围.4 5.(2 0 2 0上海市建平中学高三月考)已知数列 a,J满足：q=0 ,4”=2 a“+1,2+i =2 a+1.ne N.(1)求 为、%、%的值；设 =5,Sn

45、=3bi+32b,+-+3nbn,试求S 2 0 2 0；T(3)比较。2 0 1 7、“2 0 1 8、0 1 9、“2 0 2 0 的大小关系.4 0 37 -32 0 2 1+9【答案】(I)3、5、5、8；(2)52 0 2 0=-；(3)2()1 7 =2 0 1 8 =0 2 O 2 O 2 0 l 9 o【分析】(1)由递推公式直接代入求解.(2)由出“+1 =2 a,+1 变形得=2 a,I +，得+2，1观 察 分 析 得 再 得 到 通 项 公 式 优，再用错位相减法求得S 2 0 2 0(3)由递推式 2=2 a,+1,a2n+i=2an+n +,得至 i j 2 n+1

46、-a2n=n,再分别作差。2 0 1 9 “2 0 1 8 ,“2 0 1 8 -“2 0 1 7 1.2 0 2 0 一。2 0 1 8，利用递推公式i判断与的大小,从而得到。2 0 1 7、。2 0 1 8、由9、%020的大小关系【详解】解：(1)由 q =0 ,则凡=2。+1 =1,%=2。+2 =2,%=2 a2+1 =3,%=2%+2 +1 =5,4=2 a3+1 =5,%=2 a3+4 =8.由a2 n+=2 an+n +,则aVt_x=2 an_+，得=2 ao _,+2 ,z 1 z -1Zr得.上。1=，-1 +一1 ，n即n2.=t i+11，且a 4,=/9=八0，故u

47、 j 1T 2 _,2 2 2 2故$2 0 2 0 =g(x 3+1 x 32 +2 x 33+2 O 1 9 X 32 0 2 0),则3s2 0 2 0 =g(0X32+2X33+2018X32020+2019X32021),两式相减乜 邑 =(32 +33+32020-2019X32021),c o 1,9(1 32 0%”,八 “2 1、小的阳。4 0 37-32 0 2+9-2 52 0 2 0=(-2 0 1 9 x 3)化间仔 8 2 0 2 0=Z2 -2 o(3)由。2“=2。+1，生 +1=2 4+1,则 4 2+1 一。2=则“2 0 1 9 “2 0 1 8 =1 0

48、 0 9 0，即“2 0 1 9 。2 0 1 8 ；.2 0 1 8 。2 0 1 7 二(2 0 0 9 +D -(2。1()()8 +1 0 0 9)=2(1 0()9 0()8)1 0 0 8=2 x 5 0 4-1 0 0 8 =0,即 0 2 0 1 8 =2 0 1 7 ；。2 0 2 0 一 2 0 1 8 =(2。1 0 0 +1)一(2 4 o()9 +D =2 (2 5 0 5+1)(2%0 4 +5 0 5)=4(%0 5%0 4)-1 0 8 =4 x 2 5 2 1 0 0 8 =0,即。2 0 2 0 =。2 0 1 8 ；综上 口 得。2 0 1 7 =2 0

49、1 8 =。2 0 2 0 。2 0 1 9【点睛】本题考查了递推公式的理解与应用，利用递推公式构造新数列求通项公式，还考查了错位相减法,学生的运算能力，作差法比较数的大小，对递推公式的变形和变活运用是解题的关键.4 6.（2 0 2 0上海高三二模）常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔，（单位：分钟）满足2 4 f W 2 0,r eN.经测算，地铁载客量与发车时间间隔/相关，当1 0 /2 0 时地铁为满载状态，载客量为1 2 0 0 人，当2 1 1 0 时，载客量会减少，减少的人数与（1 0-0的平方成正比，且发车时间间隔为2分

50、钟时的载客量为5 6 0人，记地铁载客量为P Q）.求p（f）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；若该线路每分钟的净收益为。=汕 上 迪”-3 6 0 （元），问当发车时间间隔为多少时;该线路每分钟t的净收益最大？【答案】（1）1 0 4 0；（2）1 2 0【分析】（1）根据题意得到p（r）的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为。的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值.【详解】由 题 意 知P（f）=?2 M 1 T）eN，（人为常数），1 2 0 0,1 0 r 2 0,/?=1 2 0 0-左（1 0