【数学】2010年版3年高考2年模拟分类汇编：第六章_第一节_等差数列、等比数列的概念及求和.pdf

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1、第六章 数列第一节 等差数列、等比数列的概念及求和第一部分三年高考体题荟萃2010年高考题一、选择题1.(2 0 1 0浙 江 理)(3)设S “为等比数列 6,的前项和，8a 2+%=。，则 邑=2(A)1 1 (B)5(C)-8(D)-1 1解析：通过8a 2+%=，设公比为4,将该式转化为8a 2+%/=0,解得q=-2,带入所求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式,属中档题2.(2 0 1 0全国卷2理)(4).如果等差数列 4 中，%+%+%=1 2，那么6 +a2+.+%=(A)1 4(B)2 1 (C)2 8(D)3 5【答案】C(命题意图

2、】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】%+%+%=3%=1 2,%=4,-+%=如产=7%=2 83.(2 0 1 0辽宁文)(3)设S“为等比数列 ,的前w项和，已知3 5 3=%一 2,3 S2=a3-2,则公比q =(A)3 (B)4(C)5(D)6【答案】B解析：选 B.两 式 相 减 得,3a3=。4一%，a4-4a3,：.q-4.4.(2 0 1 0辽宁理)(6)设 a,是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a 2 a产1,S3=7,则S$=(A)15231 33(B)(C)4 4(吟【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了同学们解

3、决问题的能力。【解析】由 a za F l 可得因此又因为S 3=q(l +q +/)=7,联力两式q1 1 1 ”(I ：)3 1有.(上+3)(上 2)=0,所以q=，所以S s=-=L，故选B。q q 2 425.(2 0 1 0 全国卷2 文)(6)如果等差数列 4“中，a3+a4+a5=1 2,那么q +6(2+%=(A)1 4(B)2 1 (C)2 8(D)3 5【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。.4+%+%=12.%=4%+电+%=5 7、(+%)=7%=2 89 6.(2 0 1 0 安徽 文)(5)设数列%的前n项和S“=2,则小的值为(A)1 5(B)1 6(C)

4、49 (D)64【答案】A【解析】a8=S8-S7=6 4-4 9 =1 5.【方法技巧】直接根据a,=S“-S 1-(”2)即可得出结论.7.(2 0 1 0 浙 江 文)设 s,为等比数列&的前项和，8a 2+%=则 邑=$2(A)-l l (B)-8(0 5(D)l l解析：通过8%+%=0,设公比为4,将该式转化为8a 2+%/=0,解得q=-2,带入所求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式8.(2 0 1 0 重庆理)(1)在等比数列 4 中，。2 0 1 0=8为0 0 7，则公比q的值为A.2 B.3 C.4.D.8【答案】A解析：%幽=

5、q3=8 q =2 2 0 0 79.（2 0 1 0 广东理）4.已知 “为等比数列，S是它的前项和。若。2，。3 =2q，且 与2%的等差中项为（，则$5=A.3 5 B.3 3 C.3 1 D.2 9【答案】C解析：设 凡 的公比为小 则由等比数列的性质知，&q=4 q=2%，即=2。由%与 2%的等差中项为（知，a4+2 a7=2x1,即%=；（2 x j%）=；（2 x（-2）=；.=,B|J .a4=a 1/=%x，=2 ,即 q =6.4 8 2 81 0.（2 0 1 0 广东文）4.已知数列W为等比数列，其是它的前项和.若%=如且4与2a.的等差中项为：，则S,=A.35 B

6、.J3 C.31 D.291 1.（2 0 1 0 山东理）（9）设 aj是等比数列，则a：公a j 是数列 aj是递噌数列的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件、（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条化【答案】C【解析】若已知a j a?l,且a-0,所以数列 a j是递噌数列；反之，若数列 aj是递噌数列，则公比q l且a O,所以a a a j q2.即a a 2 0）的图像在点（a,处的切线与x 轴 交 点 的 横 坐 标 为k为正整数，a 尸1 6,则ai+as+a解析：考查函数的切线方程、数列的通项。在点（a,a 力处的切线方程为：？一%，=2%-%）,当）;=0 时，

7、解得犬=今,所以+1a.%+%+。5=1 6+4+1 =2 1三、解答题1.（2 0 1 0 上海文）2 1.（本题满分1 4分）本题共有2个小题，第一个小题满分6 分，第 2 个小题满分8 分。已知数列 a,的前项和为S,且 S,=5%85,n e N*（1）证明：a“1 是等比数列；（2）求数列 S“的通项公式，并求出使得S“+1 S”成立的最小正整数.解析：（1）当 比 1 时，a=-14；当2 2 时，a fS-5Li=-5a/5&u+l,所以%-1）,6又关0,所以数列 4-D 是等比数列；（2）由 知：=仅1,得%=1-1 5 日,从而+72-9 0(/w N*)；由 S GS,得

8、 l o g5 +1 14.9,最小正整数 m l 5.2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）已知 a,是公差不为零的等差数列，&=1,且 以,小,办成等比数列.（I）求数列 4 的通项；（H）求数列 2巧的前。项 和 S.解（I ）由题设知公差拄 0,山&=1,研，a,晶成等比数列 得 匕 卫=上 也，1 1+24解 得 仁 1,d=。（舍去），故&的通项8=1+（/?-1）X i=n.（H）由（I ）知2严 二 2，由等比数列前n项和公式得 SM=2+2 2+2：+2三 2-2)-2田-2.1-23.（2010全国卷2 文）（18）（本小题满分12分）已知 4 是各项均为正数的等

9、比数列，且+。2=2(1 ),%+。4+=64(1-1 )q a2%a4 a5(I)求%的通项公式；(II)设a=0+)2,求数歹U也,的前项和7；oa【解析】本题考查了数列通项、前 项和及方程与方程组的基础知识。(1)设出公比根据条件列出关于.与“的方程求得与 ，可求得数列的通项公式。(2)由(1)中求得数列通项公式，可求出B N 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。4.(2010江西理)2 2.(本小题满分14分)证明以下命题：(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b 4）,山第一问结论得，等差数列成立，%=+2-1考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

10、下证互不相似。任 取 正.整 数 m ,n ,若 m ,口 相 似：则 三 边 对 应 成 比 例m2-2m-1 _ m2+1 _ z n2+2m-1几 22-1 +1 1由比例的性质得：竺 =土 1=机=，与约定不同的值矛盾，故互不相似。n-n+5.（2 0 1 0 安徽文）（2 1）（本小题满分1 3 分）设。，孰,G,是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y =x 相切，对每一个正整数，圆。“都与圆Cn+i相互外切，以表示C“的半径，已 知 为 递 增 数 列.（I）证明：匕 为等比数列；（H ）设 6=1 ,求数列-的前项和.rn【命题意图】本题考查等比列的基本

11、知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设 Q的圆心为（4,0）,得 4=2/;,同理得4 用=2 乙用，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即匕 中心|与的关系，证明 为等比数列；（2）利 用（1）的结论求/的通项公式，代入数列巴，然后用错位相减法求和.解：（1）将直线y=x的倾斜角记为，则有t a n 6=正,s i n。，3 3 2设G的圆心为（4，0）,则由题意得知?=L得4=2%；同理11 XI n C II II4 24+1 =2 rn+I,从而=4+%+rn+1解 得 镐=3 1故 卜n|为

12、公比q =3的等比数列。2 rl i+1，将4=2 1；代入,(II)由于七=1,q =3,故1=3 2,从而三=n*3 i,rn记S n =+巳,则有n r,r S、=1 +2*3 7+3*3 +*3 S胃=l*3-i+2*3 +(1)*3 +*3-，得2 S。=1 +3一|+3 +.+3 一*3一”31 3一 3 3=j-(n +239一(2 +3)*3 4【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于 数 列 相 邻 项 与%+i 之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与

13、等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n 项和S“乘以公比，然后错位相减解决.6.（2 0 1 0 重庆文）（1 6）（本小题满分1 3 分，（I ）小问6分，（II）小问7 分.）已知 2 是首项为1 9,公差为-2 的等差数列，S“为 的前项和.（I ）求通项4 及 S,；（I I ）设 a-4 是首项为1,公比为3的等比数列，求数列 a 的通项公式及其前项和解：(I)因为I。是首项为与=种,公差d=-2 的等差数列.所 以 册=19-2(。-1)=-2“+21,S、=I9n+”5 (-2)=-a*+20n.(H)由题意 A=3-,所以 b.=3-2n+21.T.=S.+(1+3 -+3-

14、)=-n1+20n+3 ；1.7.（2 0 1 0 浙江文）（1 9）（本题满分1 4 分）设 a”d为实数，首项为a”公差为d的等差数列 瓜 的前n 项和为S,满足S 5s 6+1 5=0。（I ）若S s=5,求 56 及施；（n）求 d的取.值范围。解:Hi用泌.&i S.=-3.*-Sy-所以 i d解犯。,7.所以 S.=-3.a,=7.II)解：因为 S,S,IS O,乐 15J）15=0.即 2aJ 9,.IO/，-I-0.校.所 以/*&故4的取值总联为dW-2万 霏 心2 9 _.8.（2 0 10 北京文）（16）（本小题共13分）已知|%|为等差数列，且生=-6,4=0。

15、（I ）求|a,|的通项公式:（I I）若等差数列|瓦|满足仇=一 8,%=%+%+%，求I 2 =2 12(ID设等比数列也J 的公比为q因为 =q +a 2 +%=2 4,/?=8所以 8q =2 4 即 q =3所以 b的前项和公式为S“=4(1-3)i-q9.(2 0 10 四川理)(2 1)(本小题满分12 分)已知数列 4 满 足&=0,5 2=2,且对任意勿、刀”都有册 1 I 3.2/1 1 2 n 1 I 2 (加 7 1)(I )求 我,含；(I I)设 4=曲=V),证明：(是等差数列;(I I I)设ct,=(4+1一&)尸(g WO,n e N),求数列设J的前项和S

16、n.本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，零 R=2,可得色=2/一句+2 =6再令勿=3,=1,可得 法=2&-a+8=2 0.2分当金N”时，由已知(以+2代替血可得a+3+32n-2 32n+1 +8于是 4S+D +1 -(例 +1 -O 2n)8即 bn+1 一必=8所以伪才是公差为8 的等差数列.5 分(3)由(1)(2)解答可知 4 是首项为5 =&一 句=6,公差为8 的等差数列则 bf)=8n-2,即 32f Li -3 2H-i=8/1 2另由已知(令加=1)可得2那 么 a+L&=4+1 +2”-1

17、2/7+1=2 于是 ct l=2nqn.当 q=时，$=2+4 +6 +.+2 4=(+1)当 时，S=2 q+4 ，+6 q+.+2/7 q.两边同乘以S可得qSn2,d +4 q+6 ,/+.+2/7 q.上述两式相减得(1-Q)S=2(1+q+q+.+2nqi q综上所述，Sn=A Z(H+1)(q =l)2小12 分10.（2 0 10 全国卷1 理）（2 2）（本小题满分12 分）（注意：在试题卷上作答无效）已知数列 4“中，=l,o+1=c .（I）设c =2,4=一求数列加“的通项公式;2 a“-2（I I）求使不等式凡a,小 2下面用数学归纳法证明：当c 2时，的 ,命题成立

18、；%（2）假设=上时，ak c-=ak .出 封 ak由(1).(2)可知当 c 2 时，an 2时，令0：=c+yjc2-4 1 1 _-，由&+%+i+一=c,an a.2%当2c吧 时，a a log3-时，2 一氏4 4 3.不满足题意故舍去。a-3综上C的取值范围为11.（2 0 10山东理）（18）（本小题满分12分）已知等差数列 6,满足：%=7，%+%=2 6,q的前项和为S”.（I）求 4 及 S“；（I I）令j-U e N*）,求数列 2的前n项和7；.【解析】（I ）设等差数列 a“的公差为d,因为%=7,%+%=26,所以有4 +2 d =72。1 +10 c/=2

19、6解得 4 =3”=2 ,所 以%=3+久 l)=2 n+l；Sn 3n+nn-1 x 2 n2+2 n2(I I)由(I )知 氏=2 n+l,所以 btrri 2.i4 T1 J_ 1 _ 1 j_ 1(2 n+l)2-1 4 n(n+l)4 n n+1所以 T-L)=l.(i-L)=4 2 2 3 n n+1 4 n+1n4(n+l)即数列 瓦 的前项和7；n4(n+l)【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。2009年高考题一、选择题1.（2 0 0 9 年广东卷文）已知等比数列 里,的公比为正数，且。3 。

20、9=2%2，。2=1，则%=A.B.C.V 2 I）.22 2【答案】B【解析】设公比为q,由 已 知 得 吗 =2（%q4）1即/=2,又因为等比数列 4 的公比为正数，所以q=故/=3=注，选Bq 6 22.（2 0 0 9 安徽卷文）已 知 为 等 差 数 列，%=1 0*吗+=第，则 等于A.-1 B.1 C.3 D.7【解析】+。3 +/=1 0 5 即 3 a =1 0 5 a3=3 5 同理可得%=3 3 .公差 d =%=2a2 0=a4+（2 0-4）x d =1 .选 B。【答案】B3.（2 0 0 9 江西卷文）公差不为零的等差数列 氏 的前项和为S“.若应是4 与%的等

21、比中项，58=3 2,贝1 与。等于A.1 8 B.2 4 C.6 0 D.9 0【答案】C【解 析】由 ：二。3 a 7 得(q+3 d 了 =(+2 d)(q+6 d)得 2q+3d=0,再 由S8=8+=3 2 得 2q+7d=8 则 d=2,a=-3 ,所 以9 0 ,S ()=1 0(7,H-d=6 0,.故选 C24.(2 0 0 9 湖南卷文)设S,是等差数列 q 的前n 项和，已知的=3,a6=1 1,则S 7 等于()A.1 3 B.3 5 C.49 D.6 3 解析S =7(4+%)=7(-+4)=70+U)=4 9 故选 c 2 2 2Cl 1 C l i+d =3 6

22、7.1或由=s ,%=1 +6 x 2 =1 3.%=。+5d =1 1 d =2所以 S 7 =7回 广)=7(1；13)=49.故选 c.5.(2 0 0 9 福建卷理)等差数列 4 的前n 项和为S“，且 邑=6，%=4,则公差d 等于5A.1 B-C.-2 D 33【答案】：C3 解析:S 3 =6 =5(卬+%)且 =1+2 d 卬=4 d=2 .故选 C6.(2 0 0 9 辽宁卷文)已知 6,为等差数列，且%24 =1，%=，则公差d=A.-2 B.-C.-D.22 2【解析】a 7 2 a=a 3+4d 2(a 3+d)=2 d=1 =d=2【答案】B7.（2 0 0 9 四川

23、卷文）等差数列 明 的公差不为零，首项为=1,电 是/和。5的等比中项，则数列的前1 0 项之和是A.9 0 B.1 0 0 C.1 45 D.1 9 0【答案】B【解析】设公差为d，则（l +d =l,（l +4d）.W0,解得d=2,.S|o =1 0 08.（2 0 0 9 宁夏海南卷文）等差数列 凡 的 前 n 项和为S“，已知。“一+。,用-%=0 ,m-i =3 8,则加=A.3 8 B.2 0 C.1 0 D.9【答案】C【解析】因为 ,是等差数列，所以，。吁 +4,+1 =2%由am_i+am+l-al=0,得：2%,一%,2=o,所以，a =2,又S =38,即 一1）（&如

24、）二3 8,即（2 m-l）X 22=3 8,解得m=1 0,故选.C。9.（2 0 0 9 重庆卷文）设 ,是公差不为0的等差数列，=2 且弓,生,。6 成等比数列，则。“的前项和S“=（）n2 7 八 n2 5n 八 n2 3n、2A.-1-B.1-C.-F D.n+4 4 3 3 2 4【答案】A【解析】设数列也,的公差为d ,则根据题意得（2 +2 d）2 =2-（2 +5d）,解得或d =0（舍去），所以数列 4 的前项和S,=2 +迎二=二、填空题1 0.（2 0 0 9 全国卷I理）设等差数列&的前项和为S“，若S g=7 2,则。2+%+。9=一答 案 2 4解析 a是等差数列

25、，由 9 =7 2 ,得$9 =9%,%=8生+%+%=3 2 +%）+。4=（。5 +4）+4=3 a 5 =2 4.1 1.（2 0 0 9 浙江理）设等比数列 4 的公比4=工，前项和为S,则&=_.2%答案：1 5解 析 对 于$4=】（1一泪,4=%/，,=，=1 5 q Q q a-4）1 2.（2 0 0 9 北京文）若数列 a“满 足:al=l,an+l=2 an（n e N*）,则与=；前 8 项的和$8=.（用数字作答）答 案 2 2 5.解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算的考查.Q =I,。？=2 q-2,Q 3 =2 4,。4=2

26、 3 8,5 =2。4=1 6 ,28-1易知*=百=2 5 5,应填2 55.1 3.（2 0 0 9 全国卷H 文）设等比数列 凡 的前n 项和为s。若卬=1,5$=4s 3，则=_ 人答案：3解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由q=1凡=4S 3 得/=3 故 a F a d=31 4.（2 0 0 9 全国卷II理）设等差数列 4 的前项和为S“，若%=5%则 员=解 析.”“为等差数列，.*=9答 案 91 5.(2 0 0 9 辽宁卷理)等差数列”“的前项和为S“，且 6 s 55邑=5,则%=解析 V S n=na t H-n(nl)d2/.S5=5a i +1 0 d,S

27、 s=3 a i +3 d.,6 S5-5S 3=3 0 a i+6 0 d-(1 5a i +1 5d)=1 5al+45d=1 5(a i+3 d)=1 5a 4答 案 I三、解答题1 6.(2 0 0 9 浙江文)设S 为数列 “的前项和，Sn=k n2+n,n e N,其中k 是常数.(I)求卬及乙；(II)若对于任意的m c N*,am,a2 m,4,“成等比数列，求女的值.解(I )当=1 吗=S =女+1,n 2,%=S -Sn_1=k n2+n-k(n-1)2+(n-1)=2k n-k 4-1 (*)经验，=1,(*)式成立，/.an=2k n-k+1(1 1)v am,a2

28、m,a4m 成等比数列，：.a2 m2=am.a4m,即(4Z机一+1产=(2攵加一人+1)(8人加一人+1),整理得：m k(k-1)=0 ,对任意的mGN*成立，k=0或k=11 7.(2 0 0 9 北京文)设数列 4 的 通 项 公 式 为=p+q(eN*,P 0).数列 ,定义如下：对于正整数i n,超是使得不等式an m成立的所有n中的最小值.(I )若p=；,q=_:,求/；(n)若p=2,q=-1,求数列他“的前2 勿项和公式；(III)是否存在。和g,使 得 鬣=3 m+2(zw N*)?如果存在，求。和g的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数

29、列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.解(I )由题意，n ,n 3 ,得 2型.2 3 2 3 3.!n-3成立的所有n中的最小整数为7,即4=7.(I I)由 题 意,得 勺=2-1,对于正整数，由。“2加，得 N等L根据以的定义可知当?=2左一1 时，b”,=k k G N )；当m=2左时，bm=k +l(k w N).4 +2 +%=3+4+人 2 1)+仅2 +为+&m)=(1 +2 +3 +z)+2 +3 +4 +(?+1)=-1+-=m2+2 m .2 2i j l -n(I I I)假设存在0和o满足条件，由 不

30、 等 式+及p0得”22P,/bm=+2(m e N*),根据0的定义可知，对于任意的正整数m都有3m +lmq 3 m+2,即2 p-q 4（3 p l）用 0 （或 3一1 0）时，得m +（或加 4 2、+,）,3 p-l 3 p-l这与上述结论矛盾！1 2 1 2 1当 3 p =0,即 p =时，得一 q W 0 q ,解得一存在 P和 q,使 得 粼=3m+2（/n N*）；1 2 12和Q的取值范围分别是P =，一 4 q 0 S.b丰1,仇尸均为常数)的图像上所以得S“=+厂，当=1 时，=S =b +r,当2 2 时，a=S -S _,=bn+r-(bn-+r)=b-尸=(b

31、-l)b-,又因为%为等比数列，所以=1,公比为6,所 以%=(6 -1*-(2)当 b=2 时，an=(b-i)b =2-,匕=1=二=二 4 a 4x2-2,+|n._ 2 3 4 n +l则(二 尹+m+广1 _ 2 3 4 n +1了 +及+-尸+尸 口 5/曰 1 T 2 1 1 1 1 +1相臧，得/=尹+m+A+百产11+文22 T)+1 _ 3 1 +1所以7；1-23 _2 .-2 +2 4 2 +2 +21 n +1 _ 3 n +3 T 2n+I 2 2+,【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式,以及已知S.求知 的基本题型，并运用错.位相减法求出一等比数列

32、与一等差数列对应项乘积所得新数列的前几项和.1 9.(2 0 0 9 全国卷H文)已知等差数列%中，见%=一1 6,。4=，求 见前 n项和 力 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解：设 ,的公差为4,则(%+6 d)=-1 6%+3 d +q +5 d =0即。；+8 血+1 2/=-1 6%=-4 t/解得7/或dq =-82因此 S“=8 +9),或S“=8 一“(-1)=_“(_ 9)2 0.(2 0 0 9 安徽卷文)已知数列 的 前 n项和第=*+*,数列、的 前 n项和(I )求数列 与 的通项公式；(H)设证明：当且仅当n23时，2)求出

33、明和久后，进而得到c“，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。【解析】(1)由于。=1=4当 2 2 时，an=s 一 s“_ =(2 2 +2/z)-2(n-l)2+2(-1)=4n/.am=4n(n eN*)又 当 尤 会 时 么=却(2 -6J-(2-b Q.2bn=%数 列 也 项与等比数列，其首项为1,公 比 为:.b“=(；)zC 1 6(+1)2.(*叩 由 知 C,=a；也=I6n2 3=-好-=义一？-2 G 6/(如 2/由 i L 1 得(+1)O.-.M1+V2 即 n3C.2 又 2 3时（巴+|）2 1成 立 即C L 0恒成立.2 C,因此，当且仅当 2 3

34、时，C+C 2 1.（2 0 0 9江西卷文）数列 4的通项。“=2 9 0 5 2个-5 m2半），其前项和为S“.求S.；bn,斗,求 数 列 bn)的前n项和7；.解：(1)由于co s之”一si n之 丝=co s故3 3 3=(%+%+。3)+(“4+a 5 +&)+(须-2+。3 1 +6)=(一手+3 2)+(一萼+62)+(一”一2)：(3 1)2+9)2)1 3 3 11 8 k 52k(9k +4)2=-1-+2 2s丁c c k(4-9k)(3 k-1)2 1 ,3k-2 1S3*_2=S*T -+v o-k=-n 1一m(n +l)(l-3 n)6(3 +4)6=3 攵

35、-2n=3k-1n=3k(k s N*)么邑“_ 9 +4n-43 222-49+4H-7+-42 4，1 224 1=5 0 3 +7+两式相减得9/2+4，9 91 Q 93T=_13+“2 4 4 T9/1+44=加+4 4 9H+4一=8 1 98 1故3”3 3-22-3 22,+12 2.（2 0 0 9 天津卷文）已知等差数列 6 的公差d 不为0,设S“=%+。2 +T“=q _ a2q H-F (-l)1 anq q w 0,“G N*(I )若 q =L6 =1,S3=15，求数列。“的通项公式；(ID若 q=d,且S”S 2，S 3 成等比数 列,求 q的值。(I I I

36、)若q =l,证 明(1 4)$2,(l+q)T,“=迦与el,wN*q-(1)解：由 题 设,S 3 =%+(q+d)q +(%+2 d)/,将q =l,a=1,$3 =1 5代入解得d=4,所以=4”-3 e N*(2)解：当=d (d +2d q+3d q),注意到 d*0,整理得 q =2(3)证明：由题设，可得b,=qT,则S2-ax+a2q+a3q2 H 2,1-1 Tin-a azQ+a3(l2-a2ntJ21 -得，S2n-T2n=2(出4 +。4/+得,S2n+丁 2 =2(4 +3 4 4 )式两边同乘以q,得式5 2“+7 2)=2(%4 +生 4 2+。2 1/-2)所

37、以(1 4 电“(1 +q)T 2“=2 d(q +q )=2丁?)i-q(3)证 明:q -C 2 =(一 4)仇 +(。%_ 4)b2+(%-%)/=d)d*+(k2-l2)d bq+-+(kn-ln)d b.qn-1因为*0,所以C,J2=(匕 一/。+(七-，2)4+电-，)q Td b、若&W /“，取 i=n,若&“=/，取 i 满足 工 加 且 勺=5 i +l K j。由(1)(2)及题设知，1三 ，且=3/)+(女2 _，2)q+(攵“-i)qab 当 4 时，k j 44 1,由 q 2 ，匕L W q l,i =1,2 ,i 1即匕U-1,(k2-l2)q q(q 1),

38、化_*加.q(q 一 1 产所 以 文 卢 w(q-i)+(q T)q +(q T)/2-q =(q-Dq =Td bx-q因此G -Q W 0 当/,.时，同理可得气二乜 4一1,因此GQ K Od*综上，c,w c2【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n 项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。2 3.(2 009 全国卷H理)设 数 列 q,的前项和为S“，已知q =1,S“+|=4 a“+2（I）设=%+2%,证明数列步 是等比数列（I I）求数列%的通项公式。解：（I）由 =1,及 S+=4a“+2,有 力 +%=46+2,

39、g=34+2=5,/.b=出 2%=3由S+=4。+2,.则当 2 2时，有5“=4。_+2.一得知+i=4a-4an_l f:.an+l-2an=2（%-2%）又；b“=an+i-2an,bn=2如；.bn是首项仇=3,公比为2的等比数列.（I I）由 可 得 以=%2a“=3.2，.爵 墨=:数列 墨 是首项为g，公差为（的等比数列.袋=；+（-1）=an =（3-I）。2”评析：第（I）问思路明确，只 需 利 用 已 知 条 件 寻 找 与 的 关 系 即 可.第.（I I）问中由（I）易得a,川-2a“=32 T,这个递推式明显是个构造新数列的模型：a+1=pa“+q（p国为常数），主

40、要的处理手段是两边除以总体来说，09年高考理科数学全国I、II这两套试题都将数列题前置，主要考查构造新数列（全 国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。24.（2009辽宁卷文）等比数列 6 的前n项和为s,，已知邑，邑 成等差数列（1）求 /的公比q；（2）求生%=3,求s解：（I）依题意有Q +（%+a、q）=2（4+axq+axq2）由 于 w 0,故2q2+q=0又4 K 0,从而q =-g 5分(

41、I I)由已知可得见=32故=44(i-(_ l)n)从而 S n=-2 =-(l-(-)n)10 分1-(-1)3 222 5.(2 009陕西卷文)已知数列 4 满足，q=L%=2,%+2=”田/e N*.(I)令证明：曲,是等比数列；(H)求 为 的通项公式。(1)证4=2 a=L当 2 2 时，bn=an+-an=-1(a-_)=一；所以也“是 以1为首项，-g为公比的等比数列。(2)解 由(1)知 以=4+%=(一夕工当之2时，q“=%+(%)+(%“2)+(q“4-i)=+(5)+三声小/4卜济5?1当=时，-()1=%。3 3 2 ,5?1所以a =2一 上 严(w N*)。3

42、3 22 6.(2 009湖北卷文)已知 a j是一个公差大于0的等差数列，且满足 a 3 a 6=55,a 2+a：=16.(I)求数列 a j的通项公式：(I l )若数列 j 和数列 b n 满足等式：a.n=g+j f +A 争 为 正 整 数)，求数列限 的前n项和S解(1)解：设等差数列%的公差为d,则依题设d 0由 a2+a7=1 6.得 2%+7d =1 6由 的 4 =5 5,得(+2d)(%+5d)=55 由得 2%=16-7d 将其代入得(1 6-3d)(1 6+3d)=220。即 25 6-9 d?=220d =4,又d 0,；,d=2,代 入得a1=11.c in=1

43、 +(n 1),2=2 -1b 令c”=才，则有=，1+。2+q,%+|=J+C z+%an+i-an=C“+1,由(1)得q =1,。用 一。=2两式 相减得.向=2,7=2(22),即当2 2时,%=2向又当1 1=1时,4=2%=2L 2,(=1)b=2)于是 S,=&1+&2+.+=2+23+24+.+2,+I=2+22+23+24+.+2+-4=2Q -1)-4=2，1+2 _ 6 即2=T+i _ 62-1 ”27.(2009福建卷文)等比数列 4 中，已知卬=2,4=1 6(I)求数列 4 的通项公式；(II)若，%分 别 为 等 差数列 2 的第3项和第5项，试求数列 的通项公

44、式及前项和Sn。解：(I)设 4 的公比为q由已知得1 6=2/,解得g =2(II)山(I)得 出=8 ,%=32,则 4=8,b5=32设/的公差为b、+2d =8 b=-1 6d,则有、解 得Ih+4d =32 d =12从而勿=一1 6+1 2(-1)=1 2-28所以数列 2 的前项和5 =6+7-2 8)=6/_ 2228 (2009重庆卷文)(本小题满分1 2分，(I )问3分，(I I )问4分，(III)问5分)已知a,=l,a,=4,an+2=4an+l+an,bn=-,n w N*.a（I ）求仇,与也 的值;17n；(H D 求证：b2-b 4于是J=仇 也=1 7,c

45、“=b也+=4 +1 1 7(22)所以 S“=CI+。2+c.2 1 7”1 1 7(III)当=1时，结论但一仇|=7石 成立当N 2 时，有|2+|一切=|4+，4白|=|W.|bn%他 1 7W -I 如 一*W W JZ T I b2-b 2n=124.(2008江西卷)数列 a“为等差数列，a“为正整数，其前项和为S，数列 为等比数列，且 =3,4=1,数列也,是公比为64的等比数列，4$2=64.（1）求a“也；，、1 1 1 3(2)求证-1-1-1-.S 52 S,4解：(1)设 凡 的公差为d,的公比为q,则d为正整数，a,=3+(T)d，b“=qTh 43+反依题意有I

46、b=_ z-=ad=64=26a/+(-%q S,b,-(6+d)q-64由(6+d)q =64知q为正有理数,故d为6的因子1,2,3,6之一,解得d=2闯=8故 4 =3+2(-1)=2“+1,2=8|(2)S“=3+5H-F(2n+1)=n(n+2)1+一1+1，+J 1S s2Sn 1 x 3 2x 4 3x 5nn+2)=如1+1-1 -1-1-1-,H-1-3 2 4 3 5+1n +2)142+2 7 2 4-1 +225.（2008湖北）.已知数列 a j和 满足：2at=2 ,a,#=%+“-4 也=（一 1）（%-3+21）,其中 2 为实数，为正整数.（I ）对任意实数4

47、,证明数列 ,不是等比数列；（II）试判断数列 ,是否为等比数列，并证明你的结论；（H I）设0 4 6 S.为数列 的前项和.是否存在实数丸，使得对任意正整数w,都有a S“b?若存在，求几的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满 分1 4分）(I )证明：假设存在一个实数入，使&是等比数列，则有捻=a倒 即(1/l-3)2=A(2-4)/l2-4/1 +9 =不 4 2 =9 =0,矛盾.所 以 a 不是等比数列.2(I I)解:因为狐二(-1 严 为 3 3 1)+2 1 =(-1

48、 严(-&-2 加 1 4)32 2=(T)(a厂 3 加2 1)=一 一也3 3又 b、x-(+1 8),所以当入=-18,二 0(),此 时&,不是等比数列：当入 1 8 时 ，6 尸(入+W 0,由上可知勿W0,二也1 =一2(G N).b.32故当入#-1 8 时，数 列 ,是 以 一(A+1 8)为首项，一士为公比的等比数歹U.3(I I I)由(I I)知，当入=-1 8,4=0,=0,不满足题目要求.2X W-1 8,故知 b,r -(X+1 8)(-)于是可得3|(A +1 8)-1-()”要使水S,6 对任意正整数成立，3 2即水-(入+1 8)1 ()(b(fr)5 3得.

49、一|(2 +1 8)-5 1-(-)_3 3 =1 -(-2),则当为正奇数时，当 为 正 偶 数 时/()1,的最大值为/U)=*,/()的最小值为A 2)=3 9于是，由式得15 a-3 (入+1 8),3二匕。A 1 8 /l 3 a 1 8.9 5 5当水，4 3 aH 寸，由一Z?1 8 2 =-3 年1 8,不存在实数满足题目要求；当力3 d存在实数入，使得对任意正整数都有水S 2).又，；q =1,3a 2+2%=3,解得 2=1/.数列 明 是首项为1,公比为?=；的等比数列.（为正整数）3 1 一（H）由（I）知s =-i-（-r（7分）由题意可知，对于任意的正整数，恒有左4

50、 m .数列 1一（；），单调递增，当=1时，数列中的最小项为g,必有人4 1,即实数的最大值为1 .（13分）1 6.（安庆市四校元旦联考）（本题满分16分）各项均为正数的数列“中，q=l,S“是数列%的前项和，对任意 wN”,有2s “=2p a,j +p%-p（p e R）；求常数p的值；求数列*的通项公式；4s记bn=L 2,求数列初,的前项和T。n+3解：（1）由 4=1 及2S =2p a“2+p a 一 p（N*）,得：2=2p +p-p /.=1（2）由2S“=2*2+%i 得 2s 由 一 ,得2%+=2伍+一%2）+52 一%）即:2(an+1+an)(an+i-an)-(