2023届上海市某中学高三上学期开学考试数学试题（解析版）.pdf

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1、2023届上海市格致中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1.已知X是实数，命题p：W 3；命题4：1-2-3 0,贝Ijp是g的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【分析】由题意可得命题。：3 x 3,命题4：l x 3.由(-1,3)1(-3,3),可得结论.【详解】解 国 3,得-3vx3,.,命题，：-3x3.-2 x-3 0,得-1 x3,，命题q：-l x+,结合诱导公式，倍角公式求解即可.6【详解】SIN 2+T=sin71-+2 a+-cos2 a+I 6=l-2sin2(a +?1 7=l-2 x 而 故 答267案为：

2、5【点睛】本题主要考查了诱导公式和倍角公式化简求值，属于中档题.1 1.直线 =依+方是曲线y =4 +l的切线，则a+8的最小值为.【答案】2【分析】设直线丫 =奴+与曲线），=4+1相切于点（x ，A +l）,根据导数的几何意义1a=点,求出切线方程，可得 2丫,再根据基本不等式可得”+力的最小值.6 =互 +1I 2【详解】设直线y =or+与曲线y =4 +l相切于点。，后+1）（%20）,当超=0时，直线y =6不是曲线），=4 +1的切线，故%0,由 =五+1得丫1=莅=万 所以切线方程为y（+i）=第（x x。）,即 求苦+1,当且仅当飞=1时,等号成立，所以（a+b）-=2.故

3、答案为：2.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.1 2.各项为正且公差不为0的等差数列 凡 的 第1项、第2项、第6项恰好是等比数列圾 的连续 三 项（顺序不变），设S“=+L+，若对于一切的”eN*,S 4 ,则4的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.a【答案】:【分析】根据等差数列 q的 第1项、第2项、第6项恰好是等比数列 4的连续三项,利用等比中项得到W=q&，化简得到 =34,从 而 求 得=（3-2）%,然后利用裂项c n 1 n相消法求得S一所诟，再 由 西 诟 三，得 到 口.求 解.【详解】设等差数列 q 的公差为4,由 a；=a

4、,a6 得(q+)一 =q(q+5d),因为4#0,所以d=3q,所以 a“=4+(”-l)d =(3n-2)4，-5,=+L+aa2 a2a3 anan+1 nd _ n3q ax（3n+i）aY（3 +l）a：n 1 n所 以 所 kT,贝 s t 亦T,因为-7=-1,故4 的最小值为;.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和以及数列不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.1 3.设函数/(x)=l+|x|-士，则使得1。82力 /1-21陶-)成 立 的 实 数 的取值范围是.【答案】(正,2)【分析】利用定义证明函数Ax)为偶函数，结合/(

5、x)在(0,+8)上单调递增，解不等式/(log2x)/-21og,X-1,即可得出实数天的取值范围.V 2)【详解】/(_ x)=1 +卜 X卜+(：.2=1 +kl-占=/(X)，则函数f(x)为偶函数当x 0 时，f(x)=x+l-一 二，/(X)在(0,xo)上单调递增1 +厂v/（log2x）f-21og,x-1./（|log2x|）/21ogjX+l,.|log2x|210giX4-lk 2 J 2.里 =肾 3,.（晦八（1 一 21。.02 2即3（log2x）2-41og2x+l 0,BP（31og2x-i）（log2x-l）0g log2x ,log2啦 log2x log

6、22.,.次 x 0时，所 以,Jb2+1 m 0满足条件，所以庐2 2化简得J至Q,且0 4。小2 2由！一 二1得工 2+2，所以-2 W J?/+2-2 =/(),因 为 心。,解 不 等 式 尸 =倡/2 无解所以“)在 0，内)上单调递减,所以“a)4 O)=0.故人-2 a的最大值为0.故答案为：0【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题.三、解答题1 7.如图，在四棱锥P-A B C D中，底面A B C O是矩形，平面上M)_ L平面ABCD,AP=A D,M,N分别为棱 加,P C的中点.求证：(1)M V/平面(2)AM _L平面PCD【答案】

7、(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】(1)线面平行的证明则只需在面内找一线与之平行即可，因为M,N 分别为棱PD,PC的中点，所以M N D C,又因为底面ABC。是矩形，所以4BOC,所以MNAB.(2)线面垂直则需要在面内找两根相交线与之垂直，因为AP=A。，M为尸。的中点，所以AM_LP.因 为 平 面 平 面 48C Z),又平面BWC平面A8C)=AD,CDLAD,C D u平面A 8C D,所以CD_L平面B 4 Z).又A M u 平面力。，所以CD1.AM.【详解】(1)因为M,N 分别为棱PD,PC的中点，所以MND C,又因为底面ABC。是矩形，所以ABZ)C,所以M

8、N A B.又A 3 i平面以8,M N.平面以B,所以MN平面 以 B.(2)因为M 为尸。的中点，所以因为平面 以。，平面ABC。，又平面 B4)n平面 ABCD=AD,CDAD,S u平面 A B C D,所以 CD_L平面 PAD.又 AW u 平面附。，所以 C C _LA M.因为 CO,PDu 平面 PC。，CD P D =D,所以AM_L平面PCD.1 8.已知数列 2 的前 项和为5,=32+5，数列 满足伪=8,2=642(1)证明 可 是等差数列；是否存在常数a、b,使得对一切正整数都有,=1 0glA +匕 成立.若存在，求出。、b 的值；若不存在，说明理由.【答案】(

9、1)证明见解析；(2)存在 =3，=11.【分析】(1)由数歹(),的前项和为S“=32+5，可求得a“=6+2,e N ,再由等比数列的定义证明即可.(2)根据题意可求得bn=29-6,log”2=(9-6)log.(2,代入 a=log.+6 中得|6=-61og26 +2=-6 108.2+9叫“2+匕，只需满足以.n i 八 即可，从 而 求 解 的 值 即2=91og2+Z)可.【详解】(1)解：证明：因为数列 4 的前项和为S“=3 2+5，所以当”=1 时，4=3+5=8,当 2 2 时，%=3(-1)2+5(-1),所以a“=S“_S,_I=3 2+5 _3(_1)2_5(-1

10、)=6 +2,满足q=8,所以数列 4 的通项公式为。“=6 +2,eN*,所以a,+i=6(+1)+2_6”_2=6,所以 “是等差数列；(2)解：因为a=6 4 川，所以/I所以数列 是以8 为首项，1为公比的等比数列，64所以2 =8(1 严=2*；64所以 log.b=log 26”=(9-6)log,2,要使对一切正整数n 都有a.=log b.+b成立.即 6 +2=(9-6)loga 2+b f即 6/7+2=-6n logrt 2+9 log“2+b,所以6=-61oga22=9Iog”2+Z?解得“26=11故存在常数a,b,当a=g 力=11时，对一切正整数都有凡=log“

11、+方成立.1 9.如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，A8=20米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点 M 在线段 AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放.己知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为。元，记锐角=，总造价为卬元.试 将 W表示为的函数W（6）,并写出cos。的取值范围;（2）问当AM的长为多少时，能使总造价W最小.【答案】（l）W（e）=8a 鬻+c o s 0 e（2）AM=4百米TT【分析

12、】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得CN=16（,-e）,而切线长MN需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得cos。的取值范围；（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案.【详解】（1）解：过 N 作 A 8的垂线，垂足为F,过 M 作 N F的垂线，垂足为G,在 RtZBNF中，BF=16cos6,则 MG=AF=20-16cos6,在 RSM/VG 中，4 M N G =9,则 MN=二 绰”，sin，由题意易得CN=16(-q,/八 八 2O-16cos0 J九 八 八 5-4cos。(4 八所以 W =2

13、 a-+1 6 0=8-+16 0,sin。v 2)sin。2 )cos8w()q)；(2)解：W(ii-5广4_ 6.=呵22产-2)sin*sirr。令 犷 =0,得c o s*,又ee(arccosg，3 所以0=。，所以当O e(a r c c o s*。卜寸，W (6)(),W(。)单调递增.所 以 当 时，总造价W最小，最小值为1 1 6 6 +与 卜，止 匕 时 MN =8&,N G =4 6,N F =，所以当米时，能使总造价W 最小.2 0.已知椭圆C：x(a b 0)经过A(L 0),3(0,b)两点.0 为坐标原点，且A O3 的面积为乎.过点P(M)且斜率为&(%0)的

14、直线/与椭圆C 有两个不同的交点 M,N,且直线A ,AN分别与y轴交于点S,T.(1 )求椭圆C 的方程；(II)求直线/的斜率A 的取值范围;(III)设 而=4 所，Pf=i P O,求人+的取值范围.【答案】(I)炉+2/=1 (。)竽+8(III)(7 2,2)7【分析】(I )把点A坐标代入椭圆的方程得a =l .由AAOB的面积为也可知，4-ab=,解得b,进而得椭圆C 的方程.2 4(II)设直线/的方程为 =丘+1,N(%,%).联立直线/与椭圆c 的方程可得关于x的一元二次方程.A 0,进而解得k的取值范围.(III)因为(1,0),尸(0,1),“&M，写出直线AM的方程

15、,令x =0,解得、=二.点S的坐标为(0,二、1同理可得：点 7的坐标为.，二 用 坐 标 表 示%-1 1 X 1-1 J I x2-)_ _ _ _ _._ _ _ c y,k x,+,丽，PT P Q，代 入 丙=2 的，PT=juPO,得4=-+l =-+1.同理X1 1 Aj-1=3+由()得玉+W=-J,“赴=,代入力+，化简再求取值%2 1 1 2 k+1 2 k+1范围.【详解】(I )因为椭圆C：+=1 经过点A(l,o),a b所以标=1 解得a =l.由A OB 的面积为也可知，-ab=,4 2 4解得6=也，2所以椭圆C 的方程为产+2 2=1.（H）设直线/的方程为

16、=丘+1,N（x2,y2）.联立=1,消 整理可得：（2公+l）W+4依+1=0.y KX-r J因为直线与桶圆有两个不同的交点，所以A=16公一4（2公+1）0,解得公g.因为女 0,所以”的取值范围是（白，+8）.（III）因为（1,0）,（0），（J,N（人 力）.所以直线4 0 的方程是：=令，解得y 二 个.%1 -1所以点S 的坐标为（0,含）.同理可得：点 T 的坐标为。，二I 尤 2一 1所 以 方=0,-1（改一1,p f=0,-I 工 2一1-1/，PO=（0,-l）.由 方=2 所，PT=/JPO,可得:所以儿=同理=人+1 =士-10+1X,-1%2 -13+1 百一1

17、X j 1由,（Z TITI）X 得%+%=-；4fc，=-；11 2抬+1 2 公+1所以汕+2=2例+（丁）（%）-2+2X j-1 X2-1 XjX2-（X 1 +x2）+l2k-3-&）（_2公+1 4A2/+11 Z-+2 r+14k天 1卜）-2+2204 Z+4 2（2/+i）1 +4Z +2 攵 2 +1=4+22 e （夜,2）.%-+&+1所以2 +的范围是(四,2).【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入 等解法.2 1.已知函数f(x)=(2-a)l n x+4+2 o r(“40).(1)当a =0时，求，(x

18、)的极值；(2)当。0时，讨论，(x)的单调性；(3)若对任意的。e(-3,-2),恒有(m+l n 3)a-2 1 n 3|/(%)二/()|成立,求实数用的取值范围.1 3【答案】(1)极小值2-2 l n 2,无极大值；(2)参考解析；(3)【详解】试题分析：第一问，将a =0代 入 中 确 定 函 数”X)的解析式，对/(x)进行求导，判断了(x)的单调性，确定在x =；时，函数)(力 有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对/(x)求导，/(力=0的 根 为 和所 以 要 判 断 函 数 的 单 调 性，需 对 和g的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可

19、知，当-3。-2时，在 1,3为减函数，所以/为最大值，/(3)为最小值，所以|/(苔)一/()|的最大值可以求出来，因为(m+1 n 3)a 2 1 n 3|占)一/(马)|对任意的a e(3,2),西,目1,可恒成立，所以(加+l n 3)a _ 2 1 n 3|八3-)上，将/(%)-/()|的最大值代入后，4(-3,-2),又是一个恒成立，整理表达式，即2 2加-4+丁对任意-3。-2恒成立，所以再求(T +丁)1 n hi即可.3a 3a试题解析：(1)当a =0时，x)=2 1 n x+L r(司=2一 =生?。0).A k入 入由尸(x)=娶7 r _ I 0,解得1./(X)在

20、(o,|上是减函数，在(g,+8)上是增函数./(X)的极小值为/(|=2-2 1 n 2,无极大值./八./、2-a 1 2 ax2+(2 (a r+l)(2 x-l)(2)/(x)=-+2 a=-4x0).X X X X当-2 ”0时，/(x)在(0,|和 廿,+s)上是减函数，在(W)上是增函数;当a =-2时，x)在(0,+”)上是减函数；当”-2时，“X)在&+8)和 上 是 减 函 数，在,量)上是增函数.(3)当3 a|/(办)一/(%)|对任意的4(一3,-2),与,1,3卜恒成立，.,.(w+l n 3)a-2 1 n 3|/(x,)-/(x2)L2即(机+I n 3)a-2 1 n 3 4“+(a-2)l n 3 对任意一3 a -2 恒成立，2即机-4+h对任意-3 a -2恒成立，3 a上 1 3”2 38 .,13由于当 3 a 2时，4H ,.3 3a 9 3【解析】1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值：4.不等式的性质.