声学基础课后题答案.pdf

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1、声学基础课后题答案习题11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为了,质量为加，求它的弹性系数。解：由 公 式/=昼 得：2 叫 M,“K,“=(2妙)2 利1-2设有一质量用，“用长为/的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：(1)当这一质点被拉离平衡位置4时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2)当外力去掉后，质点用,“在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？解：(1)如右图所示，对 作 受 力 分 析：它 受 重 力 方 向 竖 直 向 下；受沿绳方向的拉力T,这两力的合力尸就是小球摆

2、动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为夕，贝hine=4I受力分析可得：F =Mmg s i n 0 =Mmg y(2)外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在尸作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知：F =-Mm4dt则-必 察=%内 彳 即馨+气=0,d r I d r /2 即金,这就是小球产生的振动频率。1-3有一长为/的细绳，以张力T固定在两端，设在位置/处，挂着一质量,“，如图所示，试问:(1)当质量被垂直拉离平衡位置J时，它 力 /力由何产生？并应怎样表示？尸一4二一f 一 =：(2)当外力去掉后，质量M,“在 此

3、 恢 复 力1所受到的恢复平衡的作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低?解：首先对M,“进行受力分析，见右图，=7 1-7 x0=07(Z-x0)2+2 收+一(丁%0 ,：.xl+S2 X(),(Z-X0)2+e2 (/-X0)2 o)Tq+T 三l-x0 x0Tl-8Xo(l-xo)可见质量受 力 可 等 效 为 一 个 质 点 振 动 系 统，质量=,“，弹性系数=-一0 x0(/-x0)(1)恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F=-,方向为竖直向下。Xo(l-xo)(2)振动频率为c o=-oV M x0(l-x0)Mm(3)对。分析

4、可得，当 与=,时，系统的振动频率最低。21-4设有一长为/的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的公位置处悬有一质量为的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有时，绳子向下产生静位移备以保持力的平衡，并 假 定 离平衡位置氤的振动片位移很小,解：如右图所示，受力分析可得2 T c o s 0 =M gc o s 0 =-y-l247 r口 。=Mg又4，T FT ,可得振动方程为 一27 端 空=加 注 L(i t221-5 有一质点振动系统，已知其初位移为方,初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移 =a c o s(y0r -(p),速度表达式为v =一 小。s i

5、n(yor -cp)。由于|,=O=O,山 句=0，代入上面两式计算可得：=%C O S 卬；v =一 g%s i n g r 振动能量1-6 有一质点振动系统,已知其初位移为备，初速度为,试求其振动位移、速度、和能量。解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为K,“，质量为M,“，取正方向沿x轴，位移为小则质点自由振动方程为 泰+。您=0,（其 中 就=史）d厂 Mm解得 =,cos（y0r-%）,1 K .丁=0忐 sin（%一%+乃）=0虑 cos（卬 一%+彳）当4=。=4，%=o=%时，Jo=当 COS 00%=g5cos（%一 19=g匕）G o=arctan oJo质点振动

6、位移为百=Joo+vo cos（g f-arctan 一）质点振动速度为v-1碇4：+v；cos（用 J-arctan+巧 心2质点振动的能量为E=g 例/需+v；）1-7 假 定 质 点 振 动 系 统 的 位 移 是 由 下 列 两 个 不 同 频 率、不 同 振 幅 振 动 的 叠 加（5=s i n+sin2c ot,试问：2（1）在什么时候位移最大？（2）在什么时候速度最大？解：，；乙=sin Mt+sin Ic ot,ds4=cw cos c ot+tycos 2a）tdtd S 2 c 2 ,c-=-c o sin c ot-26r sm 2c ot。dt2令=0,得：c ot=

7、2k兀生或tyf=2k乃兀,dt 3经检验后得：f=2k 3 时,位移最大。69d 2g/、令一-=0,得：t=k兀或 c ot=2k/r+arccos（），d f 4经检验后得：f=也 时，速度最大。CD1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示4=0 cos（yf+%）+4 cos（初+外）试证明J=g“co s3 +e）其中曷=J；+g；+2Xcos 2-)吗)试证明S=a CO S(卬|f+/)，甘 r+i /2 2 c /A s i n(z l w/)具卬.=q +/+2 g 2 c o s(Jv v 7),(p+a r c t a n-,Aw =-w24+4 c o s(Jwr)解：

8、因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知，a=个：+8；+2 卢2 CO S(W2r -Wt)=不：+邑2 +2 述2 CO S(/V V Z)其中，Aw=w2-W j 0由三角形面积知,12 s i n/wf =zH.邑 s i n Aw t彳 守 s i n (p=-露得尔展/t a _?s i n Aw ts2 s i n Jv v r4-2 CO S Aw t)2?s i n Aw t1 +2 CO S Aw t故g、s i n Aw t即可证。1-10有一质点振动系统，其固有频率为为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量加，并测得由此而引起的

9、弹簧伸长却，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证 由胡克定理得 2g=Km却n Km=mg!i 由质点振动系统固有频率的表达式/。=(4,得，.纵上所述，系统的质量Mn和弹性系数Kn都可求解.1-11有一质点振动系统，其固有频率为为已知，而质量Min与弹性系数待求，现设法在此质量Mn上附加一质量2,并测得由此而引起的系统固有频率变为后，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。3=(2%)2/，Km=(2 )2(Mm+rn,)K _ 4WoVo2写别分1-12设有如图1-2-3和 图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试出它们的动力 学方程，并求出它们的等效弹性系数。图 1-2

10、-3图 1-2-4解：串接时，动力学方程为M,“咤+的旦J =0,等效弹性系数为K=旦 小。dt2 Kim+K2m KXm+K2mz7 o并接时，动力学方程为“，“管+(KM+K,“,)=O,等效弹性系数为K=K1,+K2,“。at1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压 缩0 100根?可 称0 1 kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4依，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1 s,试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为，地球表面的重力加速度为g=9.8%,月球表面的重力加速度为由

11、虎克定律知FM=-Kx,X FM=-M g贝i j长=逝=10gx 0.1T=2TTJ-%V又三=_ L则x 0.4x-0.04m10g 10 x9.8y =1 则 M 2.5kg4储 4万2Mg=Kx则 g=&=4/x0.04 1.58/?z/?M故月球表面的重力加速度约为158mls1,而该岩石的实际质量约为25kg o1-14试求证a cos c ot+a c os(vt+S)+a c os(a)t+2t)+-a cos(cof+(-l)b),8sin/?=Tsm2祈 十052证 aejM+叔()+a/0+26)+a s(T)6)=a*(l+e*+)=1 一=ae*j o s.b -js

12、in b1/1-cos J-j sin Jae2 s i n?一 jsinnS2 s i n2-jsinS,n8s i n a*.os i n 2.n8.n8s i n-/c o s 2 2.3.6s i n/c o s 2 2.tlS n ns i n “不 一 心)aej(a-：=aes i n 2,n8s i n/创 2.Ss i n2e 2-a.n8s m 2 *+5.8 es i n2同时取上式的实部，结论即可得证。1-15有一弹簧K,“在它上面加一重物M,“,构成一振动系统，其固有频率为人,（1）假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？（2）假设重物

13、要加重一倍，而要求固有频率/o不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接?解：固有频率以=41摩。2叫 心（1）于。/=屋，故应该另外串接三根相同的弹簧；0 2 4M v M”1（2）忆”.=K,f 2 K,“，故应该另外并接一根相同的弹簧。1-16有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为M,“,弹性系数为K,“。试求该扬声器的固有频率。解：该扬声器的固有频率为 八二匹。2 叫 M,“1-17原先有一个0.5 k g的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2k g的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了 0.0 4 m,当此

14、附加质量突然拿掉后，已知这0.5 k g质量的振幅在1 s内减少到初始值的1/e倍，试计算：（1）这一系统的力学参数K m，Rm，方；（2）当0.2 k g的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过1 s后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，Km=mg/e所以 K m=0.2 X 9.8/0.0 4=4 9N/mes=!eS=故 S=n R”,=1N-slm2MMw0=7%-2=/o=；黑T=L57HzLTC V U.D(2)系统所具有的能量E=，K,/2=49x0.042=0.0392/2 2(3)平均能量5=，降,=5.3 X1()-3J21-18试求当力学品质因素Q,

15、“4 0.5时 一，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻4=0,v=v0,试讨论解的结果。解：系统的振动方程为:M,簧+治 牛 +K”,=0dt at进一步可转化为，设6=工2Mmd-e-+c2e6de +a)2 s=0八d r dt设：于是方程可化为:=e(/2+2 j 2+就)ej r，=0解得：y=/(土 价_ 戊).一 -3 土庐 意)，.o -C方程一般解可写成：=1(A e 嬴+叱 扬 高).存在初始条件：比0=。，山=0=%代入方程计算得：4=-/,B=2犷 一 就 2折-就解的结果为：=e-Ae +&一 历 嬴)其中A=vo g-vo2.2-就 2人2 一就1-19有一质点振动系

16、统，其固有频率为工,如果已知外力的频率为f2,试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为，质量抗为0C D已 知 4=5 0”z，/=3 0 0 Hz则回4.二=g=4 =4=-Lco/co2 MM cer f(3 0 0)2 3 61-20有一质量为0.4 k g 的重物悬挂在质量为0.3 k g,弹性系数为1 5 0 N/m的弹簧上，试问：(1)这系统的固有频率为多少？(2)如果系统中引入5 k g/s 的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3)当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？(4)相应的速度与加速度共振频率为多少？解：考虑弹簧的质量，/

17、0=,I K,n=J 1 5 0=2.76 Hz.(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量为M“+M/3.R 5 1-b =2 Mm=2z xu0.53 =5-fo=说=J -52=2.6 4 Hz .J O 2 尸。2 川 0.4+0.3/3(3)品质因素0.位移共振频率：2.3 9Hz.1 6-58X Q 1.6 6,(4)速度共振频率：fr=f0=2.6 4 Hz ,加速度共振频率：fr=Qmf2.92 Hz.1-21有一质点振动系统被外力所策动,试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于殳。Qm解：系统每个周期损耗的能量 1 ,

18、Ew=R,广I卜 巾E3,环发生速度共振时，/=/00E _ Rm _ 2 万 _ 2 4万=版厂而TF1-22试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率/。；（2）假定力与人为在/。两侧，其平均损耗功率比/。下降一半时所对应的两个频率，则有Qm4人一力证明：（1）平均损耗功率为叽=【：（&为力阻，%为速度振幅）质点强迫振动时的速度振幅为=-，（居为外力振幅,g 为固有频率，M,“为质量，2“为知*小2+1-1）2然力学品质因素，频率比。0 fo当Z=1 即/=人 时-，发生速度共振，V。取最大值，产生最大的平均损耗功率。_ _ I（2）记 _ 1

19、R v2 _ 1 口 工W Rmax-AmV（/m a x-K,n2 2 a）-MmWR=W Rmax则-=工*工R,”孥*即 2 =2 2 2 就何；(1)把匕=-匕 +4。；2。小.（Z ）。,“解 得 电 解 取ZL上行则 z2z =J _ 即 _2L=5L=J_“Qm/o /o /o QmQm=#J l J1-23有一质量为0.4 k g 的重物悬挂在质量可以忽略,弹性系数为1 60 N/m 的弹簧上，设系统的力阻为2 N s/m,作用在重物上的外力为FF=5COS8 W。（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多

20、少？如果外力振幅仍为5 N,那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？解：（1）由 强 迫 振 动 方 程 此 隼+此 等+口/，得0.4 1 +2 +1 60 f =5c o s 8/dt2 dt贝I 位移振幅q=一 0.0 369 m）（储“3,“）2+卬2 4,2速度振幅 vu=w ea=0.2 9 6m/5加速度振幅aa=卬兄=2.364m/52平均损耗功率P =-Rmva2=-0.0 8 7 6（卬）（2）速度共振时。=/0=二）兽 一（各）2=3.1 58股2%“2 Mm则位移振幅ea=晨-x 0.1 2 6？Km-W2M,）2+W2Rm2速度振幅 va=w

21、sa=2.49 5?/s加速度振幅 aa-w2sa=49.6z/s2平均损耗功率尸=-；凡,尸=-6.2 2 5（卬）1-24试求出图1-4-1所示单振子系统，在f =0,J =v =O初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论3=0与当口f g时解的结果。解：对于强迫振动，解的形式为：=（）e-a c o s（y0f -（p0）+a c o s（y/-。）5 RO两种情形下,9MXXX初始条件：=0，丫 =0,代入得：0 COS%+a COS 0-0一瓯 cos%+%sin%+2a sin。=0解得:0=T j2(cose)2 +3(sin6)2+230 cos 8 sin 8+吗?90

22、s，了g&cos 0仰 二乃 一 arccos j=一Jb“cose)2 4-692(sin 0)2+2向cos Osin 6+g?(cos 6)?=32(c os J)2+s(sin6)2+2&ycos6sin6+得：8=y G”“C0S(3 一%)+8a COS(COt-0)o。当 b=0 时，Rm=0,0Q=arctan-=,。=。()+工，或=g ,R,、,2 271。0=一 万，o=“，/乃、/、g -a COS(卬+)+a COS(m-71)sa(sin 0t+cos c ot)o当fy f g时，4 -8 ,达到位移共振。1-25有一单振子系统，设在其质量块上受到外力F/=sin

23、2ggf的作用，试求其稳态振动的位移振幅。解：此单振子系统的强迫振动方程为%患+&詈+%=耳=叫如）!8如则/事+R噂+K,房=：(1)dt at 2d2 d(5 1M y+Rm-F K J cos g f(2)m dt2 dr 2 0由 式(1)得J=一2降.J令J=4 e”“代 入 式(2)得媒=r-0 R,”+j M距-)则_ 2 _=LK 1 2 2 。R，”%2 oR,”1-26试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式.解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为:+区+&渚+(/+a居=Faeiw,该方程式稳态解的般形式为g=，将其代入上式可得:-=1 I e畤 )+凡

24、)+j(M c o-)C D其中 B 1=I 2+7?2)2+Meo-&+&)故质量块的稳态位移表示式可以写为：4,=arctanc o&+R)rrj=ig“1 c o s o-4)1-27设有如图所示的耦合振动系统，有外力工作 用 于 质 量 上。M1的振动通过耦合弹簧K.引起M2也随之振动，设和M,的振动位移与振动速度分别图 1-4-1为。,匕与彳2，匕。试 分 别 写 出 和“2的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时匕Z+Z?乙71 2ZZ2+(Z+Zz)Z2ZZ2+(Z+Z?)Z2片。K与丫2其中z f M*)+g,Z2=j(M -)+R,C D图 习 题1-27解：对图中两个振子进

25、行受力分析可得下列运动方程：M 1+&+K|2(|-=F M2+R?+2S2 +舄2(2-)=0设：G=Ae/M,s2=Be”成匕=、/“，v2=V2ejM于是方程可化为：A(-、M1 ,a)2+J jcIoR,+K1 ,+1KZ z,)-BIKZ .,=FC lB(-M2C O2+ja)R2+K2+Ki2)-A Kl2=0设:Z,=,Z2=j(a)M,-)+/?2,Zl2=-0C D C D C D对上面的两个方程整理并求解可得Z)+Z12v.=-=-F,ZZ2+(Z+Z?)Z2Z|2ZZ2+(Z+Z?)Z21-28有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为:G,=

26、APM，其中A为常数，p“为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式（动圈式）,并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：压差式传声器产生的作用力振幅为产“=Ap,，其中A,p“为常数，则工随。变化。电动换能方式传声器，其开路电压输出为E=要使E 均匀恒定，则要y恒定系统处在质量控制区时匕。一 -=组 ，此时匕与频率。无关，故在一较宽的频率范围内，传声器将产生均匀的开路电压输出。1-29对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式（电容式），其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何

27、种振动控制状态？为什么？解：传声器开路输出电压E 与振膜位移有如下关系：E=D.只有在力阻控制区，J=Ap“叫 R,“即在此控制区，输出电压与频率/无关。一.传声器的振动系统应工作在力阻控制区。1-30有一小型动圈扬声器，如果在面积为S。的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为J=PoCSo（参见5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为W=；R,1=gQoCoSoT其中夕,C,So均为常数，要使W均匀，则 1 应不受的讨影响。

28、故振动系统应工作在力阻控制区，此 时 匕 小 乙（其中此为频率恒定的外力，&也恒定）。1-31有一如图所示的供测试用动圈式振动台，台面例,“由弹簧K,“支撑着，范围内，在音圈上施加对频率恒定的电产生均匀的加速度，试问其振动系统应制状态？为什么？解：音圈通以/电流时，在磁场下现欲在较宽的频率流时，能使台面工作在何种振动控产 生 电 动 力F =B I L,由夕=M,a可见，只有在质量控制区a a 旦 时;产生的加速度与频率无关，是均匀的。M,”1-32有一试验装置的隔振台，如图所示，X 1 03k g,台面由四组相同的弹簧支撑，每组由成。已知每只弹簧在承受最大负荷为6 00 k g 时,隔振系统

29、的固有频率，并问当外界基础振动的2 0H z 时，隔振台Mm将产生多大的位移振幅？解：每 只 弹 簧 的 劲 度 系 数 K=6 00 X已知台面的质量Mm=1.5两只相同的弹簧串联而产生的位移3 cm,试求该位移振幅为1 皿、频率为9 .8/0.03=1.9 6 X 1 05 般股每组弹簧的总劲度K i=K/2四组弹簧并联后的劲度K?=4 KI=2 K =3.9 2 X 1 05 N/m则固有频率/=-L 4 1 =2.5 7 H z2乃N M由 振 动 方 程 片+鸳 7 )=0,将 公 4 ，备=窘/代 入 得,或=0.01 6 8 硒K-W2M1-33设有如图所示的主动隔声系统，有一外

30、力尺=为0“作用于质量块Mn上，试求传递在基础上力 F与后的振幅比.解：对质量块进行受力分析，可 得 质 量 块 的 振 动 方 程 为:M j +R j +K =Fl 0ew l其稳态解的一般形式为&=&C OS(f-.其中当初 z,“l“M3，”0=a r c t a n-R,“弹簧传递给基础的作用力为尸=Km-g=K,曷c o s(初-。)，则Fa=&Km.由此传递给基础的力F与尺的振幅比DF1-34有一振动物体产生频率为7,加速度振幅为小 的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为0,力学品质因素为2“，音圈导线总长为/,磁隙中的磁通量密度为8。试求该加速

31、度计的开路输出电压将为多少？解：动圈式加速度计测量2%+疗死-2K“M“+T Bl%。+c o2-8万2yo2,16-704(y21-35设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成FF=Fa(1+/sin 助f)sin c ot,其中为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。解：外力表达式为七=工。+人siny/)sin&71 1=Fa cos(切FJifc os(i+c o)t+cos-a)t用指数形式表示外力为FF=F/*g工%八就仍+g工区振子进行强迫振动，由 式(1-5-14)得，振子系统的位移为F-hFa=cos(-f-0()+-：-rcos(c oZ 2 1 3

32、-q)1 3 27 死(w+w,)|z2|cos(y+c o1)t-O-02-c oM m-Km其中：4=arctan-RmK,“02-arctan。+助瓦丁c o-c oM m-0,=arctan-LR,”|zj=|z=J%+K,幼）吃含 J1-36设 有 一 呈 锯 齿 形 式 的 外 力 作 用 于 单 振 子 的 质 量 上，2t此 力 可 表 示 为 FF=F（1-）(AT t (l+A)T,k=0,l,2,)试求振动系统的位移。解：质点的振动方程为 此,黑+R,“喧+（清=4。）=工（1-2）dt df T(1)、27r又 FF(r)=y%+Afl cos nc ot+Bn sin

33、 no)t.(G=一)n=lT(2)其中 4=i f FFa)dr=02 MAH=j FF(r)cos nc otdt=0B=2“rji.r2FFF(0 sin nc otdt=-nTT8式(2)也可表示为 FFQ)=E Fn c os(nM-(pn)(3)“=o其 中中晦2Farctan-n7r把 式(3)表 示 成 为 复 数 形 式 耳 =,工 网 *%)=0则式 可写成 Mm4 +/?,+Km =VFnei(n M-,(4)d r dt M00 00 00T T设 J =5 X，代 入 式(4)可得 J =5=，ejw，)”=0 n=0=0 JG N 其中 Z =R+j X“=Rm+j

34、(叫 一 屋)n eoCOT 7取 j的 实 部 得&=z 卜,C O S(加 2-)M 0|Z“|2=L口 2 工.n i t.2|-.c o s(-a 不)=o 不例 Z,J 2式 中 水+(叫-制X n coMm-6=a r c t a n -=a r c t a n-&“R”,1-37设有如下形式的外力工，kT t k+TF.-F a,(A:+-)T /(/:+1)T2(k=0,1,2,)作用于单振子的质量上，试求振动系统位移.解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得8FF(，)=Z F c o s(&一%)n=0其 中 工=A；+B；,(pn=a r c t a nA,A=34 山=0

35、,An=y FF(t)cos n w t dt=0 B=-f Ff(r)s i n n w/d r =-1-(-1)=T 力 n 7i4 n 7i0为奇数为偶数由 此 工=纥，/=擀(为奇数)，即4 4 4 4K=_%,F3=Fa,F5=Fa,.,Fn=Fa；T C 371 nJC7 U 7 C 7 C 7 T .、j.yiri、Vx=-.03=3，%=不，,9=(为奇数)乙 乙a 乙 乙由(1-5-14)得质点振动系统得位移c os(nwt-(pn-On-)=o ty|Z“|24匕(D7lZx|4F 4Fc os(wt-0 一 4)+-p cos(3wr-。3 一 乃)+-y -9a)7rZ

36、3 nC07rZncos(nvvr-On-4)(为奇数)习题22-1 有一质量为相，长为/的细弦以尸的张力张紧，试问：(1)当弦作自由振动时其基频为多少？(2)设弦中点位置基频的位移振幅是B,求基频振动的总能量。(3)距细弦-端4处的速度振幅为多少？解：简 正 频 率/“=金 后，且线密度6=亍/.基频力I2/1 pr2m/(2)基频振动的总能量刍=空 =厚 加2 I储(3)弦的位移的总和形式(f,x)=B“sinknxc os(c ont-(pn)71=1速度表达式为 v(r,x)=y sin k“x)sin(。/-(p“)%念/.距一端0.2 5用处的速度振幅匕匕0Q=z俎=1f7r.n/

37、rJ s in V ml 43/4BJ 2兀.上占 2/T.产 兀3/、-s in()S I 48=z 码,n=3 n/r42-2长为/的弦两端固定，在距一端为飞处拉开弦以产生九的静位移，然后释放。(1)求解弦的振动位移；(2)以/=/3为例，比较前三个振动方式的能量。解：弦的振动位移形式为:00r/(t,x)=s i n knx(Cn cos a)nt+Dn s in(y j)=1廿,H7T n/D C 八 八其中 ，=7，%=7，C“=Bn c o s%，D“=Bn s i n%,(1)由初始条件可得：0=0)=/4 x)Jxo5=0)=(),=0=0 (0 x /)(0 x x0)(xo

38、 X /)又Cl t=：%(x)s inZ“x dxD“=jv0(x)s i n kx dx则C“=-P x s in/c f(/-x)s inknx dx人力 x0 l-x02=0则 s in%=0(pn-Y171纥=Q2，.n jt-5-3%-s in x0n 7t x0(Z-x0)I,、三，2万 /、弋 2%/2 .n 兀 .2 K n 7K欣,X)=C s in x co s(j 一/)=Z ,-Sin x0 s inco s Ml M n -x0(l-x0)I I IE.n27v2c23 b 2 _n27r2T r 2当 x =5 时，B“=C”2 n0/2.乃mTsmr9 n0.n

39、 兀.s in n V 3贝IJ E =m(驾s in马2 =生1国,4/3，1 6 万 2/4 3 T；2 一 6 4 3=。2-3长为/的弦两端固定，在初始时刻以速度/敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。解：弦的振动位移表达式为00Q,x)=y s in knx(Ct l cos cont +Dn s i n a)nt)/：=i可得速度表达式为00=s inknx i-conCn s in cont +conDn cos /)n=l由题可得初始条件:九0=。；软2 V o 丫-x、2 V o2%x,0 x 2,%/2通过傅立叶变换可得:C“=0;D=4 J)(_ 也 kl +2 s in)。

40、n k F 2oo位移表达式为亿X)=D.s in k“x s i n n=l其中 D=I%3(-s in kl+2 s in-)k l%：22-4长为/的弦两端固定，在初始时刻以速度%敲击弦的中心，试证明外力传给弦的初动能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。%=0)解：初始条件4x=-dt=01 _：2二%t=000弦的总位移为 Q,x)=Z s inZ“x(C“cos cont +Dn s in,/),M=1HTT.C Ci)其中 C=B“C”，2=%1叫，(Q =7 4 )又 Dn=-f v0(x)s in knx dx =f v0 s in knx(x =(1 -co s n%

41、)电力 l“)n4工G=o当为偶数时，。2 =。4 =。6 =0当为奇数时，2=掣，3=1掣，D,=TV C 9 7TC 2 5 万 c故 B,=Dn,(pn=02 2 c2 4 7 V；/,1 1 、n B；=,(1 +)n-c1 9 2 5又弦振动时的总能量为E=丑 纥=（看=1 /:=1 4/Tvjl _ Tvl l 81 ,c=5匕)(5)2 T=-1m v2-=E1 r/2 7、k i t（c-=-）外力传给弦的初始动能为=-m v l2-5 设有一根弦，一端固定而另-端延伸到无限远（即认为没有反射波回来），假设在离固定端距离/处，施加一垂直于弦的力尸=试求在x =/力作用点的左、右

42、两方弦上的位移表达式。提示：在弦的力作用点处，应有连接条件:*2 和 噂-噜22-6 有长为/,线密度为。的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M,已知弦所受的张力T,如图所示。试求（1）该弦作自由振动时的频率方程；（2）假设此重物M 比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。乱=。=0条件为L”菽 小图 26解：（1）由题意可知其初始条件和边界喈仁弦的 振动 位移为,x)=(A cosx+B sinx)cos(ur-(p)(其中=c 0n=2itfn)当 W x=o=。时，得 A=0 则 x)=Bsinx c os(ut-(p)试 n 4 /=-Businxsm(ut-(p)dt c弯=-8

43、 2si 心 xcos”,)dt c试 nU U/、=Bcosx cos(w/-(p)dx c c带入边界条件可得：-TB 匕 cos/cos(袱-)=-MBu2 sin/cos(袱-(p)c c即 tan/=c Mc uu,u.I tan IcT u,Tl 31 M、-1 -.-Mc u c Me2 M M（其中C =J 5,弦 的 质 量 为 线 密 度 为 b）令r=0 则八anr=/?,这就是弦作自由振动时的频率方程。c M /I o V4（2）当加时/?vvl,故可近似为/tan/=/+彳 =，则rtanr=可简化为/+?=4.求解这一代数方程，可得近似关系为 -=l-x +x2-X

44、3+（X2 1）旦夕 kBcos kl cos(w t (p)=0 n cos kl=0 =kn=()由此各阶简正频率对应的位移表达式为(=1,2,3,).x)=B sinknx cos(cont-(pn).棒的总位移为各简正频率位移之和，即J(f,x)=8 sin k“xc o s(y/-9“).n=棒的初始条件为久=o=x.亨 算=0 (4)力(=0由(4)=sin(P n=0 n(P=n兀.由(3)=B“c o s(-9“)=I 屏(x)sin knx dx=/?,=(-I)(x-s i n kx dx -.2-8有一长1 m、截面为I X 1 0-2的铝棒(,=2.7 X 1 0 3

45、k g/m 3),两端自由.(1)试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？(2)如果在一端负载着0.0 5 4 k g的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为J Q,x)=(A c o skx +Bs i n kx)cos(cot -cp).由棒两端自由的边界条件得适=0dxx=0=0dxx=i由(1)式=Bkcos(w t-协=0 =8=0.由(2)式=kA sin kl c o s(w f -)=0 n sin 0 =0 =(1)(=1 2 3,)q _ kc _ n cZZy I-2 7 2 2/棒作纵振

46、动的基频为/,=-=-L 6-85x 10=2 5 2 0 H z.2/2 x1 V 2.7 x 1 0该简正频率下的位移表达式为：O(f,x)=A C O S&X C O S f-0).当c o s%x=0,即x=(-)/时:位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为 0,/,彳脚x=0.5 m2 2的点位移振幅最小.(2)当在一端负载时，由(2 2 2 5)得 四 曳=-丝旦=-0.2,即ta n A=-0.2 k,利用数值方法可以求得kl m女 产2.6 5.该简正频率下的位移表达式为：=A c o s Z c/c o s(卯-0).(n-)7r当c o s%x=0,即工=2_时，位移振幅最

47、小且为零，由于X的取值范围为 0,/,得知xi=0.5 9 m2.6 5的点位移振幅最小.2-9有一长为/的棒一端固定一端有一质量负载M m。(1)试求棒作纵振动时的频率方程;(2)如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大?解：(1)棒的位移方程为rj(t.x)=(Ac o s H +8 s in f c c)c o s(vvf )由边界条件得:故频率方程为：C t gkl =3k lm(2)将2-8参数代入得，吆4=0.2乩(也叫=0.2)m=ct gk=0.2%由牛顿迭代法知：k=1.3 1 3 8贝I J/,=-=1.0 5 xl 03(H z)1 2万基频

48、振幅为：=8 s in匕x,(0 K xV l)当x=I时，s in k *达 至U最大，即振幅最大。2-10试分别画出两端自由和两端固定的棒，作=1,2模式的自由纵振动时;它们的位移振幅随位置x的分布图。解：两端自由的棒：2-11设有一长为/,两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为4(x)=c o s：x,初速度%6)=0。求该棒振动位移表示式。解：棒做纵振动时，其方程的解为:g=(Acoskx+B sin kx)cos(-(p)=k（-A sin kx+B cos kx）c os（c ot-9）dx两端自由，即不受应力作用，00所以，C=XA“cosk“xcos（y“-%）n=l

49、V=可dtz=0=8 =0n；71 =0=切=乃 n 幻几=兀7=/“=nc8X 4 cos knx-CDn sin（y,/-（pn）n=ll（x）=An cos kn x cos（一0）=cosx=An cos 化=，cos x cos kn xdxn=/%（X）=E A cosA“x（,sin心）=0n Anc on sin（pn=0M=1n“2 A c o s/=7，万 n九、cosx cos j-xax=/“=n7t1,n=l0,=2,3,即 Acos 9,=1 =A j=-l,A=0,（=2,3,）所以 4=-cos/xcos咛7-4)2-12设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，

50、假设固定端取在坐标的原点，即x=0处，而自由端取在=/处。试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。附：,=(2-1)二(=1,2,3,)。(2-2-20)4/解：棒的振动位移表达式,x)=(A“c oskltx+Bn sin&“)co s(m-e)边界条件：儿=0=。；|T=。，代入位移表达式解得：A.=0；于是可推出一=(2鼠-1)，=1,2,3,)。4/若将自由端置于原点，固定端置于x=/处，同样能得出与(2-2-20)相同的结论。2-13长为/的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用(F=Fc ost)。(1)试求棒作纵振动时的位移表达式；(2)证明当频率较低或棒