工程数学线性代数课后答案(习题一至四)__同济第五版.pdf

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1、V:l.0精选工程方案工 程 数 学 线 性 代 数 课 后 答 案（习 题 一 至 四）同 济第 五 版工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版习题解答1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1(1)1-4-1;-1 8 31 1 1(3)a b c b2 c2c a bx y x+y(4)y x+y xx+y x y解(1)原式=2x(-4)X 3+0 x(-1)x(-l)+i x i x 8-l x(-4)x(-l)-2 x(-l)x 8-0 x i x 3=-4；(2)原式=acb+bac+cba-c3-a3-b3=3abc-a3-b3-c3;(3)原式=l-b,c2+l

2、c,a2+lab2-l,b,a2-l*c,b2-l-a,c2=be2+ca2+ab2 ba2 cb2 ac2工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版=c2(ba)+ab(.b-a)c(b2-a2)=(.a-b b c)(c-a)i(4)原式=z(H +)y +y r(工+3)+(H +y)y z-(工+y)3-j?一寸=-2(/+/).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2;(3)3 4 2 1；(4)2 4 1 3;(5)1 3(2 n-1)2 4(2)；(6)1 3(2M-1)(2 n)(2 n-2)2.解(1)此排列为自然

3、排列，其逆序数为0；(2)此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1的逆序数为1;第3位元素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+1 +1+2=4；(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位 元 素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0+0+2+3=5；(4)类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2,1,故它的逆序数为0+0+2+1=3；(5)注意到这2”个数的排列中，前n位元素之间没有逆序对.第+1位元素2与它前面的n-1个数构成逆序对，故它的逆序数为n -1;同理，第+2倍元素4的逆序数为”-2;；末位元素2”的逆序数为0.

4、故此排列的逆序数为(-1)+(n-2)+,+0=z j (n -1);(6)与(5)相仿，此 排 列 的 前”+1位元素没有逆序对；第 +2位元索(2n -2)的逆序数为2;第n+3位元 素2 n-4与它前面的2 n-3,2”-1,2”，2 -2构成逆序对,故它的逆序为4；末位元素2的逆序数为2(n -1),故此排列的逆序数为2+4+2(”-1)=”(”-1).3.写出四阶行列式中含有因子“牝3的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行 和 第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即生2和或和a g 注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2,故 此 行 列 式 中 含

5、 有 即 即 的 项 为-刖。23。32。4 4与 a”a2 3aMa4 2 14.计算下列各行列式：4 1 2 42 1 4 11 2 0 23-1 2 1(1);(2)10 5 2 01 2 3 20 1 1 75 0 6 2工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版=0（因第3、4行成比例）;a h,(3)bdbf 解 ac aecd de;cf-ef .t I1 2 0 24 1 2 410 5 2 00 1172 01 1a 1 0 0，、一1 b 1 0(40-1 cl.0 0-1 d1 2 0 2ri-4r,0-7 2-4u -r41r210rj27-lOr)C+15,21

6、 -1 5 2-2 01 1 71 2 0 20 1 1 70 0 17 850 0 9 450-1 5 2-2 00-72-4q+7r2。+2222I45061213506=0（因有两行相同）;工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版-b c(3)D=a d f b-crj T ar f b C-1 1rj+r|_ abcdef 0 0n+T|0 212,=4 abecieJ;00 1 +M a 0-1 b 1 00-1 c 10 0-1 d1+ab a 0按 J 展 开，、，、3-r-,-(1)(-1)J-1 C 10-I d1 +ab a ad-1 c I+cd0-1 0按r,展

7、开(-1)(-I)51+ab ad-1 1+cd=(1+a6)(l+cd)+ad.5.求解下列方程：2/1 1 =0；：；-1 1 E 工。/a3 b3互不相等.1c2=0,其中 a,6,cr+r 110解(D 左 式 一:(z+3)2 x+1 1-1 1 X+11 0 0,一(一 +3)2 X-1 1-1 2 x+11-1=(3)=(1+3)(-3).L x+1于是方程的解为：工=-3,=打，工广-百;工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版(2)注意到方程左式为4 阶范德蒙德行列式，由例12的结果得(x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a-c)(6-c)=0.因*6,c互不相等

8、，故方程的解为：叫=*工2=。，工3=以6.证明:a2 ab(1)2a a+bI 1b12b=(a-b)3;1ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bz=(a3 63)yy zZ X1 ya2(a+lY (a+2)2(a +3)2b2(I)?(6 +2(6 +3)21 (c +l)2(c +2)2(C+3)2d2(d +l)z (d +2)2(d +3)2111 1abc d(4)_ zab2c2 d：4ab4c4 d=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a b+c+d);X-1 00 x -1(5):：0 0 0“0

9、ax a2证(1)左式上二2 0 0 0 0：=J*1+,+a j X +a0.x -1a2-A2 ab-b bci-2cz2(a-)a-b 2b(a -h)200ab-b2a-b0b22b0 0 11=(Q-b)3=右式;(2)将左式按第1列拆开得工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版ax ay+bz az+bxby ay+bz az+bx左式=ay az+bx ax+by+bz az+仅r ax+by=aD1+bD2,az ax+by ay+bzbx ax+by ay+bz其中D,=yaz+bjrar+byay+bzay+bz zaz+bx xax+by yay+bzaz+bxa

10、x byy ay+bz az+bx4 =z az+bx ax+byx ax+by ay+bzaz+bxax byyay+bz于是JC y zD=aD,+bD2=(a3+6,)y z x=右式.z x y(3)左式，b2d22a+125+12c+12d+12a+326+32c+32d+32 a+526+52c+524+5工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版2 a+1 2 22。+1 22：a,=a0+即2+a2H2 +a.（j*-1+a,x.7.设n阶喜列式。=D.（2）计算D?.注意到D2的第1,2,，”行恰好依次是D 的 第%-1,，1列,故若把D2上下翻转得方2,则 D2的 第

11、 1,2,，”行依次是。的 第 1,2,，”列，即 22=ET.于是由（1）D2=（-l）7（-n D2=（-=（3）计 算 D,.注意到若把D逆时针旋转90得万s，则 D,的 第 1.2.-.W列恰好是D 的第“，-1,列，于是再把D,左右翻转就得到。.由（1）之注及 ，有Di=（-l）i,-D=D.注 本例的结论值得记取，即对行列式D 作转置、依副对角线翻转、旋转180所得行列式不变；作上下翻转、左右翻转、逆（顺）时针旋转90,所得行列式为8.计 算 下 列 各 行 列 式为k 阶行列式）：a 1（1）D=，其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;1a提示:利用范德蒙德行列式的结果.(

12、a-n)(a-n)-a-n1a“b.a,b,（4）D2,=.，其 中 未 写 出 的 元 素 都 是 0;工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版(5)D.=det(%),其中 =I i-j I;1+%1 11 1*+-a2 1(6)D=.，其中即(12a.六0，1 1 1+%(1)解一 把D.按第一行展开得按第一列-a+展开a由例10 a 11 a(2)本题中D.是教材例8 中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列式,在以后各章中有不少应用.解利用各列的元素之和相同，提取公因式.x+(n-l)a x+(r i -l)a x+(n-l)aa x1 1 1a x a=x+(n-l)a

13、.工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版=(x-a)1 x+(n-l)a.(3)解 把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，故行列式经上下翻转再左右翻转(相当于转180,参看题7)其值不变.于是按范德蒙德行列式的结果，可得11 -1a-a-n+1 a _.&i=.=(3 一 j)(a-nV (a-n+1)a(4)解 本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法.由例10(a,-幻。)即有递推公式D2W=(a X -6.C.)D 2(.7).a.6i另一方面，归纳基础为D2=j=4 出-d c，利用这些结果，递推得Ci d1-b

14、 q)-6|C|)=口(4 4 -bkct).i-1解012 n-101 一2 一 1101 n-2i1-1 -1D.=210 w -3 -Ji1-1 -1：:：r 丁一：:n 1 n-2 n-3.oi1 1-1n-1n 2n-3 -10-2 2-1ci+Q002-1=(“-D 2 1.f+J:：C.-|十。00 0-1工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版（6）解 将原行列式化为上三角形行列式.为此，从 第2行起，各行均减去第1行，得与例1.3相仿的行列式1 +D.-02b 10 a212.ni=2,0其中=1+。，宗“1+生J于是D.=q(l +加 卜9.设 D=3-5210-5

15、-13132-4一 1-3,D的（i,j）元的代数余子式记作A”，求1A J1+3A 32 2 A 33+2A 34.解 与 例13相仿，A31+3423行对应元素所得行列式，即-2A a+2A”等于用1,3,-2,2替换D 的第1A31+3 A 32 2 A 33+2 A”3-5113-53-211-13-23-2r23-5-14-42-42-3-12-23-1-1 u410003-51113-53-231-100n v(-2)按 j 展开=2-13-5-1-2311002100-140-1-13=24.1 0.用克拉默法则解下列方程组:(1)Xi+x2+x4=5;X|+2X2-x3+4x4

16、=-2;2xi-3X2 一%一5X4=-23xi+以+2J*3+1 LT4=0;(2)5xj+6x2x(+5 x2+6x3=1.=0,x2+5X3+6x4=0，x3+5X4=1.工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版解1(1)D =:2 -3小 +5 r?1 1 12 -1 43-1-51 2 1 11 1 10 1 -2，4 +2,20 0 -1 30 0-5 2 -h10111-213 3 -2，|0-5-3-7门一 3 小0 一 2-18|3 1 1-1 38=1 4 2；8 0 1-5 1 41 4按门展开一 一3511151 1ID,=-22-14 n+33 05-2-3-

17、1-53-2 0-40121 1-1 0-1 093-1 00 3 20 -2 2-1 9=A-2 72 33 2-2 2=_ 1 4 2;11235-2-20-1-121151142 -0-7-23-5O -2 r|0-1 2-3-71 1-3 rl0-1 5-18I 1 3 +5 0口+2 小 00-7=-1 2-1 5按Q展开0 -1 30 -3 1-1 81 5 11 -7 3-5 -1 2 -7-2 -1 5 8-4 7-2 981 4=-4 2 6;工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版115115D4=12-1-20-2-72-3-1一 20-5 -331200-2-1

18、-15乙+2r2由克拉默法则，得而100015100-7-13-47-13-5-47-29=142,-5-29D=005600*)156=114,015于 是。=325-114=211；6005606000560按 Q 展开501566506501565101051060500D2=060按C J展开+0 561600050660505511=-19+180=161；工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版5D3=651000 按C 3展开由（）式-1 +6 5 =6 4.001005100 56 -15 06 05 01 6由克拉默法则，得r_D2_ 1 6 1 丁 _ A _ _

19、1 0 9 /_ D,_ 6 4D K T孙一万.方，工3-万 一 -D _ 2 n-1 1.问;I,“取何值时，齐次线性方程组A X|+工3 =0,为+以2 +工,=0,X|+2/JLIl+2 3 =0有非零解？解 由定理5 ,此时方程组的系数行列式必须为0.A 1 1 _ A 1 1因 D =1 1-1 1 =-fi（X1）,1 2 1 0 0故只有当=0或4=1时，方程组才可能有非零解.当/=（）,原方程组成为J A x +x2+X j =0,（x t +x j =0,显然工=1,工2 =1-4，M=-1是它的一个非零解；当义=1,原方程组成为X）+工2 +工3 =0，叫+/Z X2+X

20、 j =0,X）+2（txi+x3=0,显然，工I=-1,工2=0,工3 =1是它的一个非零解.因此，当=0或4=1时，方程组有非零解.注 定 理5（或定理5 ）仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版式必为零.至于这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应验证它有非零解.下题也是同样情形.12.问人取何值时，齐次线性方程组(1-A)X|-2X2+4与=0,a=0或4=2或2=3,并且不难验证:当 A=0 Bt,X1=-2,12=1，工3 =1；当入=2 时，=-2,l2=3,13=1；当a=3时，4=-1,必=5,I3 =2均是该方程组

21、的非零解.所以当入=0,2,3时方程组有非零解.习题二工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版习 题 解 答1.计算下列乘积:(2)(1,2,3)卜；(3)jlj(-l,2)；3(2)(1,2,3)1XJ 2=(10)IXI=10;al lxl+al2x2+al3x3=(X ,)|X 3 +a22x2+a2 ix3|3 7 1 +2 3x2+a33x3 jx|二11工：+fl 12-2：X2+flijX j+A|2*372 I+a12J:2+anxlx3+a B 3 1+a2 3x3x2+a3 3x=a n x?+a 2 2X2+033 工;+2 a|2X|X2+2 0 1 3 X 1

22、 X 3 +2 a 23 1 2 1 3工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版2.设A求 3A B-2A 及A B.解AB=1 11 11-11-1于是 3As-2A=3:5-598602-25-234111015-591-1186001524222-213220-1518-22-2=-2-17206270.2-22,.429-2因AT=A,BP A为 对 称 阵，故0ATB=A B=025 8-5 69 03.已知两个线性变换工1 =2 J i+%，物=-2 y l+3 y 2+2*,以=4必+)2+5%,y =-3z|+%，yi=2/+与，山=的+3%，求 从Z 1,町，之3到N

23、|，叫，叫的线性变换.解 依次将两个线性变换写成矩阵形式:X=AY,Y=BZ,阵形式为-3 1 02 0 10-1 3分别为对应的系数矩阵；*=在这些记号下，从 孙，叼，叩 到 占，巧，壬 的线性变换的矩*=AY=A(bZ)=(AB)Z=CZ,工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版这里矩阵C=AB=即有)X|=-6/+z2+3x3x2=12z,-4Z2+9药1r3 =-10z|z?+1 6Z3.4.设 A=11(1)AB=BA吗？(2)(4 +6)2=42+24 5+52吗？(A +S)(A-5)=A2-b?吗？解(1)因 AB=(1 231 01 23 44 6021 21 3,B

24、AU)，故 ABBAi(2)(A+B)2=(.A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2,但由(1),A B B A,故 AB+BAW2AB,从而(,A+B)2 A2+2AB+B2;(3)(A+B)(A-B)=A?+BA-AB-B、但由(1),ABKBA,故 BA-ABWO,从而(A+B)(A-B)XA2 -B2.5.举反例说明下列命题是错误的：若 A?=O,则 A=O;(2)若 A?=A,则 A=O 或 A=E;(3)若 AX=AY,且 A#O,则 X=Y.解(1)取 A=(：),有 T =O,但 AKO;(2)取 A=(：),有 A?=A,但 A/O 且A中E;取 A=(：。)，Y=A=R

25、,有 AX=AY,且 A X O,0 0/0 1/0 0/但X于Y.工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版6.设 A=A 1 /,A.解 直 接 计 算 得 A?01一般可得T 力(2.3)事实上，当 A =1 时，（2.3）式显然成立；设当为=时,（2.3）式成立，那么当2=”+1 时,1 0A 11(n+1)A0由归纳法，知（2.3）式成立.7,设 A=A 1 00 A 10 0 A，求 A”.解 把 A 写成两个矩阵之和0其中三阶矩阵5=00.01000000000满足000100010=AE+B,B2=0 0 10 0 00 0 0H =O(4 3).于是工程数学线性代数课后

26、答案（习题一至四）同济第五版A=(AE+B)=CAE+C*-B+C：B=CAE+CLA B+CA_ 2 B2A*CJ.A-1 O 20 A C)0 0 A,0 A20 0n(n-1)-2 nXA2(n 2 2).8.设4,B为”阶矩阵，且A为对称阵，证明AB也是对称阵.证根据矩阵乘积的转置规则.有(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB(因 A 为对称阵),故由定义，知BTA B为对称阵.9,设A,B都是”阶对称阵，证 明A B是对称阵的充要条件是AB=BA.证 因 A=A=B,故A B为对称阵0（AB）T=AB=BTAT=AB.1 0.求下列矩阵的逆阵：z./I 2,、/cos 0-si

27、n（1）L J;（2）,0 J;2 5/sm 0 cos 0/1 2-1(3)3 4-2 ；5-4 1.0(4)2.(a。？%#0)、0解（1）由二阶方阵的求逆公式（教材例10）得（:丁 舌（一:卜（一;2 5工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版/c o s 6 s i n 0-s i n 01 1/c o s 0 s i n 0c o s 0 I c o s2 0+s i n2 0 -s i n 0 c o s 0c o s 6 s i n 0s i n 0 c o s 61 2-1 因I Al =354-2 =2 K 0,故A可逆，并且-4 1-1-2=0,35-1-2 j35

28、Mu=于是A-4 2=y -13 6|-32 14M”-M2I-M 1 2 M2 2MI3-M23一 16M3I M 32M 33,1 03-y7-1(4)因 4 X 0,故W O,i=1,2,，n.于 是 矩 阵B =啊4）是有意义的，并且因A B=d i a g(t z必,L i a g伐击备）=d i a g(1,1,，1)=E.,由定理1的推论，知A可逆，且A =B =d i a g（、/.注11.本题结论值得记取，可当作公式用.解下列矩阵方程：253221X14 62 1-10=i1-14 332-1工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版解(D 因矩阵左乘方程两边得.53X

29、A221的行列式=1,不为零，故它可逆，从而用它的逆矩阵(2)记矩阵方程为det A故 A 可逆，用 A T 右乘方程的两边得X=BA l.又，A-11_ A=一Al_ lAl M1 2Mu22一 M：M1-2-30 13-23 0于是-1 33 23-21：3-28-J03321-2012*J 记 A=,B=：)-(0则矩阵方程可写为X=B A =y:4(：1 41 22M；一 M1T5AXB=C.因|A I =6 H 0,|B|=2工0,故 A,B 均可逆.依次用A”和 左 乘 和 右 乘方程两边得X=ACB-1-1:一:)早 北-J)!31212312010(4)本题与(3)相仿.因矩阵

30、0101 00 00 1和 00001010的行列式都是-1,故工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版均是可逆阵，并且0 1 0-10 1 01 0 01 0 01 0 0=1 0 00 0 1=0 0 1,0 0 1,0 0 1.0 1 0.,0 1 0故 得 X12.利用逆矩阵解下列线性方程组:0-4-2.+2X2+3 1 3 =1,2x)+2X2+=2,3|+5X2+q=3;2+53，,4=3“+2%+3%.求从变量为，与，工3到 变 量 的 线 性 变 换.解记 工=（口，工2，%尸 =（,力，为）1，则线性变换的矩阵形式为*=2 2 14 y,其 中A为它的系数矩阵.因de

31、t A=3 1 5=1 H 0,故A是可逆阵，于.3 2 3是从变量.，工2,孙 到 变 量“，的，%的线性变换的矩阵形式为-763又 =击4,=AJ=A-,x-4 93-72-4工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版于是即V=-4X2+9X3,(A-2E)B =A.-2 3 3因 A-2 E=1-1 0,它的行列式det(A-2 E)=2K 0,故它是可逆阵.-1 2 1.用(A-2 E)-左乘上式两边得工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版10116.设 A=0 6 6 0 3 3-2 4 6=-1 2 3.,2 2 0)1 1 0,0 12 0,且 AB +E=A?+

32、B,求 B.0 1解 由方程AB+E=A?+B,合并含有未知矩阵B 的项，得(A-E)B =A 2-E =(A -E)(A+E).0 0 1又,A-E=0 1 0,其 行 列 式 d e t(A-E)=-1 X 0,故 A-E 可逆，用,1 0 0.(A-E L 左乘上式两边，即得2 0 1B=A+E=0 3 0.,1 0 2.17.设 A=d i a g(i.,-2,1),A BA=2BA-8E,求 B.解 由于所给矩阵方程中含有A 及其伴随阵A，因此仍从公式A A，=IAIE着手.为此，用 A 左乘所给方程两边，得 AA BA=2ABA-8A,又，|A|=-2 H 0,故A是可逆矩阵，用

33、A-右乘上式两边，得AB=2AB-3E=(2A+2E)B=8E=(A+E)B=4E.注意到 A+E =d i a g(l,-2,l)+d i a g(l,l,l)=d i a g(2,-l,2)是可逆矩阵，且(A+E)-=d i a g(y,-l,y),于是 B=4(A+E)1=d i a g(2,-4,2).18.已知矩阵A 的伴随阵A”=d i a g(l,l/，8),且ABAT=BA-I+3 E,求B.解 先 由/T来 确 定|A 1.由 题 意 知A T存 在，有 A，=|A|A：得I T l=|A 门 A-”=|A|3,而I 1|=8,故|A|=2.再化简所给矩阵方程ABA1=BA+

34、3E=(A-E)BAl=3E=(A-E)B =3A=(E-A-1)B=3E.由 I A I =2,知 A 1=，=-yd i a g(1,1.1 8)=d i a g(1,.,9,4 卜工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版P A-|_ ./I llE A d i a g ,得(E-A-I)T =d i a g(2,2,2,-g).于是 B=3(E-A T/=3d i a g(2,2,2,一)=d i a g(6,6,6,-l).19.设 P-A P =A,其中 P=(-；),求 A”.解 本题与教材例13相仿.因p T A P=/l,故 A=P 4 PT.于是 A=PA*P1W：；

35、)(-：-：)1/1+213 4+2”_/2 731 2 7324 -1-2”-4-2 )一|-683-684/20.设 A P =P A,其中 P=1,110-11 -1-2,A=1i j 51 1 1 12于是-A)=：1 0-2=-2 1 0 0*求 W(A)=A 5E-6 A+A?),?1 1 1解 因|P|=1 0-2=-6 K 0,故P是可逆阵,于是，由A P =PA1-1 1得4=7人 口 ，并且记多项式中(1)=8(5-6 +%2).有(p(A)P(p(A)P1.因A是三阶对角阵，故3(A )=d i a g(Xtl=A;AXI2=O=XI2=O;C XI2+BXi2=E,=B

36、X22=E,=X22=B;CXn+BX”=0=8*2 1 =-e x I,=-CAl=X2l=-B C A1.于是得c Bl -B C A1 B)2 8.求下列矩阵的逆阵:(1)52002 0 01 0 00 8 30 5 20 0 02 0 0I 3 02 1 421解将A 分块为A 弋力,其中“(：=g，因|A J =1,|A/=1,故它们均可逆.于是由分块对角矩阵的性质，有/A；OA=|O A；11-200-2 5 0 00 0 2-30 0-5 8,记 A 弋其中B=(；2,1 Cl=12,故 B,C 均是可逆阵.由27题(2)的结论，得.因 I B l=B/I O D Cl-I-Cl

37、D Bl Cll工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版30卜。,D B ,=214/(.132240001-121200二24-12-4803-5-26习题三习 题 解 答1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵:1 0 2-1(1)2 0 3 I3 0 4 3323-1 3-3 5-2 3-3 4-4-4-2-21 0 2解2 0 33 0 41 0 20 0-10 0-20 2(2)0 30 42(4)!-3 1-4 3-7 一 I3 1 -32 0-2-2 8 32-3 7 4-7-40336工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版2*(-1)H 0 0 5.1Jn-

38、r3+0 2-3 1r2-rt(2)0 3-4 3 0 4-7n-2r|0 1 7 ；?rj lo 0 0 00 2-3 11 fo 1-10 1-1 2-_Jf 0 2-3.0 0-1 -3 (0 0-10 1-1 2 lr i X(-1)0 1 00 0-1 -3 7 7 7 0 0 11 -1 3-4 33-3 5-4 1：2-2 3-2 0 r3-3 4-2 -ir0 0-1 -3)2 lo 0 0ri-1 3-4 312 -r,-001-2 22 c o 0-3 6-6-I。0-5 10-10-1 021-3,53;02(4)1323 12 0-2 8-3 7-3-234-703）2

39、.设 A=25解(A,E)=234125343234452343r：x(-j)*T=短=*丁=丁 尸 修，与题（1）相同，可用初等行变换先求 得*T,从而得X.计算如下：2-312门-313-431-132-30-711-4-53-431r i-2 rt,02-312工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版1 3-4-1-3010-1 3-1 0-1 1-83-4.0 2-40-1 71 -1 42于 是*=-11-474，从而*=（；一;16.设 A=0,一 1-1 01-1,AX=2 X+A，求 X.0 1解 A X =2X +A =（A-2 E）X=A.欲解此方程，需要（i）判断

40、A-2 E 为可逆矩阵;（i i）进一步求X=（A-2 E）-.这两件事可由（A-2 E,A）的行最简形一起解决.r r i0,0010(A-2E,A)=-1-100-1-1-10-1-1-1210-1-2-2201 -10 11 00-11X(-l)110-10110r2 X(-1),01-1-21-11rj+(-2)011.-110.r +r,f l-。10000000-1110-1上述结果表明A-2 E 二瓦故A-2 E可逆，且0-1X =(A-2E)1 A=101-107.在秩是的矩阵中，有没有等于0 的 r-1 阶子式？有没有等于。的 r阶子式？解 在秩是r的矩阵中等于0 的 r-1

41、 阶子式可能有，也可能没有；等于0的 r阶子式可能有，也可能没有.例如：（i）矩阵；）的秩为2,有等于0 的 1 阶子式（简称1 阶零子式,下同），但没有2 阶零子式；（i i）矩阵（:的 秩 为 2,没有1 阶零子式，也没有2 阶零子式；工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版(iii)矩阵(；:的 秩 为2,有1阶零子式，也有2阶零子式;(iv)矩阵；)的秩为2,没有1阶零子式，但有2阶零子式.8.从矩阵A中划去一行得到矩阵5,问A,B的秩的关系怎样？解由矩阵秩的性质，有R(A)-l 4 R(b)&R(A).：9.求作一个秩是4的方阵，它的两个行向盘是(1,0,1,0,0),(1,

42、-1,0,0,0).解 因F R的秩为2,故满足要求的方阵可以是1-1 0 0 0/101001-10000001000001,00000.3(1)110.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:1 0 23 2-1-3-1-1 2-1;(2)2-1 3 1 -33-4 4.,7 0 5-1-8(21-3-208 30 75 83 27-500233 10 21 -1 2-1解 1 -1 2-1 *，3 10 2.1 3-4 4,.1 3-4 4-12-104一 654一 651 -1 2-1C F 0 4-6 50 0 0 0.故它的秩为2,并且它的第1、2行和第1、2列构成最高阶非零子式.

43、工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版32-1(2)2-13,705003-4 -4 2-7 11 9-7-21 33 27-22.3-4 -4 2-7 11 9-7 ,0 0 0-1.于是它的秩为3,且它的第1、2、3行和第1、2、5列构成最高阶非零子式.21837|03202-307-5-2-307-5(?)门 一 丁43-25803-258010320121837.,2-2门1032 0-r 0-3-63-5-2-42 0 2“012-1 7(10320012-17n+2r2 000014r4+3r*to00016.1032012-17r4-16 r3 0001 100000于

44、是它的秩为3.由于3个非零行的非零首元位于第1、2、5列，故在第1、2、5列2 1 72-3 -5所构成的矩阵3 _2 0中寻找3阶非零子式.容易看出 0 0.2-3 -53-2 0#0.1 0 01 1.设都是mX 矩阵，证 明A-B的充要条件是R(A)=R(B).证 必要性即定理2,故只需证明充分性.设R(A)=R(B)=r,那么矩阵A,B有相同的标准形工程数学线性代数课后答案(习题一至四)同济第五版F弋L于是A F,B F,从而由等价关系的对称性和传递性，知A B.1 -2 3 k12.设A=-1 2 k-3,问A为何值，可使,k-2 3.(I)R(A)=1;R(A)=2;R(A)=3.

45、解一 因A为3阶方阵，故R(A)=3Q|A|#0.因|A|=-6(i-l)2(jfe+2),所以当女W1且人。-2时，氏(4)=3.当6=-2时，R(4)42,又A的左上角二阶子式不为零，故R(A)2,于是 R(A)=2;1-2当 k=l 时，A=-1 2,1 -2知 R(A)=1.3 1-3 03)o-2 30 00 0,解二 对A作初等行变换.1 -20 2(-1)0 2(11)3 k3()_ 3(必_ ),-2 340 2(k-l),0 03(-1)3(A-1)(4+2)于是，(1)当人=1时，R(A)=1;当归=-2时，R(A)=2;(3)当k l且A W-2 时，R(A)=3.13.

46、求解下列齐次线性方程组：X j+叫+2工3 一14=0,V 22|+X2+-14=0,2x 1+2X2+壬+2X4=0;2x j+3X2-壬-7X4=0,3x)+x2+2x3-734=0,4x|+q 3X3+6x4=0，,X|-2X2+5X3-5X4=0;X|+2X2+-14=0,(2)3 x(十 6X2 一%一 3X4=0,5x i+10 x2+小 一 5X4=0；34+4X2-5X3+7工4 =0,21-3T2+3x3-2X4=0,(4)4x|+llx2-13X3+16X4=0,71i -2X2+x3+3X4=0.解 对系数矩阵A进行初等行变换，化为行最简形.工程数学线性代数课后答案（习题

47、一至四）同济第五版1 1 2(1)A=2 1 12 2 1-1-o1-10-3 止-0 o 1-1-141 00 10 00 01 00 14,T343于是R（A）=3,故方程组有4-R（A）=l个自由未知数；与原方程组同解方程组为取以为自由未知数，得1 2(2)A=3 6,5 10+1 4，2 1 -1r2-r(-4)1 2 0.*_ _0-4 0r-r20 0 10-4 0门+4。0 0 000,1-11取 巧 和 为 自 由 未 知 数，得同解方程组得23 4工 3 =0,(cl,c2 R).-2 5-57-13 89-23 267-11 3.工程数学线性代数课后答案（习题一至四）一同济

48、第五版139-55一 5O1oO5885一1一、1-27-25-25302-141一一oO12720-O1O10 0 0 0取匚为自由未知数，得1工I=一彳工，是于(4)A=XX、！“7-25-21-2-_7_25_21(cG R).C 3 4-5 7-3117-2 1 33-2-13 162-3 34 11-137-87-2 1-8 919-2019-2057-609-2163，-8 9 119 2017 170 00 0.工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版1 07r2 0 1-0 0.0 03 1317 17_19 2017 17 0 00 0.取巧和以为自由未知数，得同解方

49、程组即得1 4.求解下列非齐次线性方程组:4x1+2X2 一 工 3=2,(1)3xj-H 2+23=10,11X1+3X2=8;2x+3y+z=4,、*r-2y+4 z=-5,3x+8V-2z=13,4x-y+9z=-6;(2x+y-z+w=1,12JC+y-z+w=1(3)y4x+2 y-2 z+w=2.(4)3 2-2y+z-3w=4,+y-n w=l;I+4)3N+=-2.解 本题中分别以A 和B 表示方程组的系数矩阵和增广矩阵.4 2(1)B=3-141 33-3-8I13-3-8-10110-101134-303396)I IIo00-6因 R(A)=2,R(B)=3,R(A)#R

50、(B),知方程组无解;2314,1-24-5(2)B=1-24-5门23141338-213.1 ”38-2.4-19-64-19-6工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版因R（A）=R（B）=2 3,故方程组有无穷多解，并且有3-R（A）=l个自由未知数.选z为自由未知数，得到同解方程组:即得(3)B24212111-1-2100。-2 r220000-1000-10100,r2 X(-1)00002000101200即得(4)B=选 为 自 由 未 知 数，得到同解方程组-3c26R );5-31-24工程数学线性代数课后答案（习题一至四）同济第五版14104-14-7-3105