2022上海中考数学考前30天冲刺复习专题2-3 相似三角形中的六种模型（含详解）.pdf

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1、2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）专题2.3相似三角形中的六种模型题型一：（双）A字模型相似1.（2 0 2 1 上海市金山初级中学九年级期中）如图，在 被 冲，点/在边4?上，点反 点尸A F AF在边,宣D E B C,.F E E C（1）求证：D F/B E-,（2）如且4 A=2,E F=4,A B=60 求证必.72.（2 0 2 0 上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形AB C DB C中，AB=9,4 =6,点 解 对 角 线/吐，且满足4?=2比，点碓线段切上，作 直 线 咫 交 线段4好点机交直线比于点足（1）当（T=2时，求线段班的长；（2）若 设

2、及 成 的 面 积 为 外 求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断监能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值.（2 0 2 1 上海嘉定 二模）已知点/为线段4吐 的 一 点，将线段加绕点4逆时针旋转6 0。，得到线段4 C；再将线段绕点6逆时针旋转1 2 0。，得 到 线 段 点 材是力珊中点，联结囱/、(1)如图1,如果点P在线段C M上，求证：P MU BD；(2)如图1,如果点的线段C M上，求证：PC =2 P M ；(3)如果点坏在线段C M上(如 图1 2),当点月生线段上运动时，N8CM的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求

3、出“CM的正切值.4.(2021 上海九年级专题练习)如图，在RfAABC中，ZACB=90,C=6O。，AC=6,平分4 M C,交边B C 于点D,过点。作C4的平行线，交边A8于点(1)求线段OE的长；(2)取线段A。的中点M,联结B M,交线段OE于点尸，延长线段BM交边AC于点G,求77二的值.D F题型二：(双)8型相似1.(2021 上海九年级专题练习)如图，在矩形4?徵中，/比3,小4,将矩形/故城点，旋转，点4B、的对应点分别为/、3、，当4落在边切的延长线上时，边4 与 边4的延长线交于点尸，联结行、，那么线段。的长度为2.(2021 上海市奉贤区古华中学九年级期中)已知：

4、如图，四边形力比隰平行四边形,在边/庞勺延长线上截取应 点 陷/耶 延 长 线 上，笈和加交于点材，止和外交于点A；联结B D.(1)求证：制%(2)如果4/=9/，求证：C M AB=D.C N.D-._ _ _ _ _ _ _.CAxA/3.(2 0 2 1.4 5 Z r中，B C=8,点E、F是对角线B D 上的两点，交AD 于点H.上 海 九年级期末)如图，在平行四边形AB C D且B E=EF=FD,AE的延长线交B C 于点G,GF的延长线(1)求H D 的长；(2)设ABEG的面积为a,求四边形AEFH 的面积.(用含a的代数式表示)A H DB G C4.(2 0 2 0 上

5、 海 奉 贤 二 模)已 知：如图，在梯形4 8 Q 冲，C D/AB,/物 8=90 ,对角线A C.应相交于点反A C L B C,垂足为点G且B G=C E C A.(1)求证：AD=D E-,(2)过点加乍的垂线，交然于点凡求证：C P=AE*AF.A-题型三：母子型相似1.(2 0 2 2 徐汇一模2 5 题)如图，在A AB C 中,Z C=90,c o t 4 =及，点为边4 a h 的一个动点，以点为顶点作Z B Z)E=N A，C D A射线施交边4 行点、E,过点身乍射线的垂线，垂足为点KC4备用图(1)当点是边。卜点时，求tanNA3的值;(2)求证：A D B F =B

6、 C DE；(3)当 D E:所=3:1 时，求 A E fB.2.(2022虹口一模25题)已 知：如图，在/比中，ZJCB=90,18=10,ta n 6=3,点4。是边比延长线上的点，在 射 线/吐 取 一 点 使 得N4於 过点力作/KL应于点F.(1)当点座线段4?上时，求证：空=1 2AC BD(2)在(1)题的条件下，设W=x,D E=y,求y关于x的函数关系式，并写出如勺取值范围；记外交射线/行点G,当 /67 时，求切的长.O C =O E,射 线O E交 射 线BA于 点D.如 图1,如 果OC=2,求 爱 区 的值；(2)联结A。，如 果A A EO是以AE为腰的等 OD

7、 B腰三角形，求线段OC的长；(3)当点E在边AC上时，联结5区C D,N D B E =NCDO,求线段。的长.4.12021松江二模】如图，己 知 在 中，BO A B,即平分4附交边然于点，蹑比边上一点，且B E=B A,过点川乍力G 阳 分 别 交Ma于 点 尺G,联结房(1)求证：四边形力&；娓 菱 形；(2)求证：A 5 B G+B C；(3)若A8=4 C,B G=C E,联 结 幽 求 的 值.A题型四：旋转型相似1.（20 21 秋静安区期末）如图1,四 边 形 中，/胡 谦）平分线4 皎边优于点区已知4?=9,应?=6,相=AB AD,且 D C/AE.（1）求证：愧=AE

8、 D C；（2）如果应=9,求四边形力及勿的面积;（3）如图2,延长/、6（发于点凡设跖=x,E F=y,求y关于x 的函数解析式，并写出定义域.2.(20 1 0 秋虹口区期中）如图，在力比和应中，N B AD=4 C AE,N A B g/AD E.(1)求证：XAB C s M AD E：（2）判断?!勿与 2是否相似？并证明.A D AE（20 0 8 秋闵行区期末）如图，已 知 在 式 中，N AD E=N B,ZB AC=（1）求证:A D _ A E.A B A C(2)当/C=9 0 时，求证：E C VB C.R D C（20 1 8 上海民办浦东交中初级中学八年级阶段练习）

9、如图，在平面直角坐标系中，矩形0 4 B C 的两边。4、OC分别在x 轴、y 轴的正半轴上,Q 4 =8,O C =4.点户从点。出发，沿x 轴以每秒2 个单位长的速度向点A匀速运动，当点P 到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段C P的中点绕点P按顺时针方向旋转9 0 ,得点。，点。随点户的运动而运动，连接O P、D A.（D请用含t的代数式表示出点。的坐标.（2）求f为何值时，皿%的面积最大，最大为多少？（3）在点P从。向A运动的过程中，A D%能否成为直角三角形?若能，求r的值:若不能，请说明理由.（4）请直接写出整个运动过程中，点。所经过的长度.1.（20 21 上海市徐

10、汇中学九年级阶段练习）已知：如图，四 边 形 中,0 ,90 ,A D =D C,AB =B C,A C平分Z R 4 D.（2）如果点E在对角线A C上，联结B E并延长，交边。C于点G,交线段A D的延长线于点F（点F可与点。重合），ZAF B =Z A C B,设A B长度是（4是常数，且。0）,A C =x,A F=y,求y关于X的函数关系式，并写出定义域；（3）在 第（2）小题的条件下，当ACGE是等腰三角形时，求A C的 长（计算结果用含。的代数式表示）题型六：一线三等角构建相似模型填 空 题（共1小题）1.（2 0 2 1秋浦东新区期末）如图，a/b/c,直线a与直线6之间的距离

11、为愿，直线c与直线6之间的距离为2愿，等边式的三个顶点分别在直线a、直线6、直线c上，则等边三角形的边长是解 答 题（共4小题）2.（2020秋冠县期末）已知：如图，功?提等边三角形，点2 粉别在边8C、AC 1.,60.ZAD E=(1)求证：XAB D s XD C E；（2）如果/8=3,a?=2,求比的长.32022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）专题2.3相似三角形中的六种模型题型一：（双）A字模型相似1.（2021 上海市金山初级中学九年级期中）如图，在 被 冲，点/在边4?上，点反 点尸A F AF在边,宣DE B C,.FE EC（1）求证：DF/BE-,（2）

12、如且4A=2,EF=4,A B=6 B 求证必.A n A P A p A n【分析】（1）由题意易 得 黑=芸，则 有 煞=黑，进BD EC FE BD而问题可求证；（2）由（1）及题意可 知 黑=空=:，然后可得AD=2百，进而可证四=处=走，最后BD EF 2 AB AE 3问题可求证.【详解】解：（1）：DE/BC,.AD AE访一旅.AF AE FEEC.AF _ AD 访 DF/BE(2)*：AF=2,EF=4,由（1）可知，=/斤6,BD EF 2AB=66,AD=-A B =2y/3,3AE _ 6AB 6y5G AO 2 6 G，=，3 AE 6 3.AE AD y/3 =,

13、AB AE 3,ADESXAEB.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.2.(2 0 2 0 上海市徐汇中学九年级期中)已知：矩形/，AB=9,4 9=6,点 在对角线力吐，且满足/=2 C,点 降 线 段。止，作 直 线 阳 交 线 段4奸 点M交直线比于点儿(1)当3 2时，求线段班的长；(2)若设gx,氏法的面积为必求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围;(3)试判断向花能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值.【答案】(1)创三1 0；(2)y =6 x-7,ox V 3；=2 7-了x-3 x-33 、2 93 V x V 4.5

14、;(3)X=2或彳或y y【分析】(1)由43 C O得阳 丛NCFs丛NBM,进而求得；(2)分为0 工3和3*4.5两种情形，作仇人优于G,根据三角形相似求出 6和8 M(3)分为现=BE,EM=BE,研一区归种，可根据8 1 A=9 -2馋 得.【详解】在矩形 4%方中，BC=AD=6,AB/CD,：.CFE/XAME,XNCFs A SJ A.CF EC 1 CF NC AM-AE-2BM -A*：.4i/=2CF=4,：.BM=AB-4l/=5,.2 BN 6 一=-,5 BN 8，10；(2)当 加 寸，M F/B C,此时比A不存在,:CF=9-2CF,:CF=3,当点劭和6点重

15、合时，AB=2CF,江、=4.5,-,分为0V xV 3和3VxV4.5,当0VxV 3时、作 吸L 8m G,由(1)知，比=3,AM=2CF=2x,:BM=9-2x,CF NC _ x BN-6由=得，=一=-BM NB 9-2x BN，BN=,3-x：.y=-BN EG2=-1-1-8-4-x-x3o2 3-x6x-27x 3如图3,x-3 1 2(9-2x).y=-2 x-3x3_ 27-6xx-3(3)如图4,图4.CG EG 1 赤 一 前-3:.CG=*B=2,：.GB=CB-CG=4,:.BE=5,当8仁 应=5时,9-2x=5,.x=2,如图5,作 欧 L 4?于 ，:BM=

16、2BH=2EG=6,3A 9-2A6,2如图6,5cos/M B H 3 6525.9-2X=96,29.-=，综上所述：x=2或13 或2泉9【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键.3.（2021 上海嘉定 二模）已知点P为线段46上的一点，将线段加绕点 逆时针旋转60,得到线段力再将线段绕点碘时针旋转120。，得到线段9点/曝力渊中点，联结BM、CM.pBB(1)如图图1图21,如果点/在线段C M上，求证：PM H B D-,(2)如图1,如果点/在线段C M上，求证：PC =2 P M ；

17、(3)如果点，不在线段C M上(如图1 2),当点杼E线段/此运动时，4 CM的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请 求 出 的 正 切 值.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)也3【分析】(1)由旋转可得，是等边三角形，N阳庐1 2 0 ,则N 8月 附/必/1 8 0 ,所以Z W却.(2)利用三角形的中位线定理解决问题即可.(3)延长用理点G,使得 快 如，连接/G,B C,G C,P C,可证绻提等边三角形且点，牌 比的中点，可得结论.【详解】解:(1)如图1中,图1.加匕是等边三角形，06 0 ,:B PM=6 Q,又阳/1 2 0 ,/句 册/阳 户

18、1 8 0 ,:.PM B D；(2)如图1中，,:A恭M D,PM B D,J.AP-PB,:.P吟 BD,：PA=PC=PB=BD,：.P(=2PM-,(3)结论：t a n/员M=也.理由如下:3如图2,延长8座点&使得，哈 圾 连 接4G,BC,G C,PC,G D,CAM-MD,GBM,四边形是平行四边形,：.AG-BD,AG/BD,胡6 M 8 0 -NAB庐60,：.ZCAG=120,.z i o c是等边三角形，：.AOCP,NCPB=12Q,：PB=DAG,：./CAG/CPB(.SAS),：.CGCB,AACGAPCB,：.ZGCB=600,.以%是等边三角形，G M=BM

19、,：.Z i 5C M=-Z Z?C 6 3 0 ,/.t a n Z i C M-.3【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等二角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.4.(2 0 2 1 上海 九年级专题练习)如图，在RfAABC中，ZACB=90,NBAC=60。，AC=6,AO平分NBAC,交边BC于点D,过点。作C4的平行线，交边AB于点E.B(1)求线段O E的长;(2)取线段AO的中点用，联结8 M,交线段QE于点F,延长线段加交边AC于点G,求 为 的值.DF【答案

20、】4；(2):【分析】(1)分 别 求 出 微B Q B D,证明以班桂山工，根据相似性质即可求解;(2)先证明DF=A G,再证明A fiM sB AG,根据相似三角形性质求解即可.【详解】解：(1).,4。平分 4M C,ZE4C=60,/.ZZMC=30.在 MAACD 中，ZACD=90,ZZMC=30,4 c =6,:.CD=z 6在册 AAC8 中，ZAC8=90。，Z5AC=60,AC=6,A BC=6y3.BD=BC-CD=A6 .:DE/CA,:4BDEsBCA,DE BD 2*C4-B C-3,D=4.(2),点M 是线段AO的中点，=:DE/CA,J /XDFM AGM.

21、DF DM*AG-AM,:.DF=AG.:DE/CA,:.BEFsdBAG.EF BE BD 2t uAGBABC3B【点睛】本题考查了含3 0 角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题.题型二：（双）8型相似1.（2 0 2 1 上海九年级专题练习）如图，在 矩 形 力 中，4 9=3,6CM,将 矩 形 能 源 点C 旋转，点4B、的对应点分别为4、以、，当 落 在 边（7）的延长线上时，边力 f f 与边加的延长线交于点尸，联结行；那么线段行的长度为一.【分析】由勾股定理可求A C=5,可得A D=A C-C D=2,由 E C D

22、s a A C B ,对应边成比例即可求出D E 的长，再由 A D F s C D E 求出D F 的长，最后在R t a D F C 中由勾股定理即可求出D F.【详解】解：由旋转前后对应边相等可知:A B =A B=3,B C=B C=4.由勾股定理可知：A C=V 32+42=5，：.K D=A C-C D=2,又NA D C=NB =9 0 ,且NE C D=NA C B ,.,.E C D A A C B ,.丝=”.代入物据，=华，且 NE D C=NF D A ,BC AB49DE=,4又A F C E,Z C E D=Z A F D,.A D E A C D E,ED DC9

23、在R t D F C中由勾股定理可知：C F=D F2+C D2=所故答案为：士叵.2【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决此题的关键.2.(2 0 2 1 上海市奉贤区古华中学九年级期中)已知：如图，四边形北窗是平行四边形，在边4比I勺延长线上截取班=/6,点 班4踊J延长线上，口和冰交于点机比和加交于点.M联结划.(1)求证：员 切 断(2)如果4/=/1 0 4汽，求证：C*AB=D 2C N.证明四边形打。为平行四边形得到劭必；根据相似三角形的判定方法，由C”颇I判断 B N M AC N M；(2)先利用4 =/伊4阿证明力s/U

24、曲 则/1=/尸，再根据平行线的性质得/4/4,Z 2=Z 3,所以N 3=N 4,加上N 加e N C跖，于是可判断柳忆s 加 所 以 必,盼 前C D,然后利用C D=AB 比例的性质即可得到结论.【详解】证明：(1)四边形4山提平行四边形，：.AB-C D,AB/C D,而 B E=4 B,：.B E=C D,泵B E C D,.四边形应必平行四边形，：.B D/C E,：C M/D B,:.B N D C N M；(2)：AB*AF,:.AD：AB=AF：AD,：.XAD B sAF D；.N1=N 汽，：C D/AF,B D/C E,，“N4,Z 2=Z 3,，N3=N4,而N A吩

25、N C M,：./M N C /M C D,：.M C：M D-C N：C D,:.M OC AM D C N,而 缁4 6,:.C*卜 AB-D WC N.【点 睛】本题考查了三角形相似的判定与性质:在判定两个二 角 形 相 似 时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的 作 用，寻找相似 三 角 形 的 一 般 方 法 是通过作平行线构造相似三角形.在运用相似三角形的性 质 时 主 要 利 用 相 似 比 计 算 线段的长.也考查了平行四边形的判定与性质.3.（2 0 2 1 上 海 九 年 级 期 末）如 图，在平行四边形A B C D中，B C=8,点E、

26、F是对角线B D上的 两 点，且B E=E F=F D,A E的延长线交B C于点G,GF的延长线交A D于点H.（1）求HD的长；（2）设ABEG的面积为a,求 四边形A E F H的 面 积.（用含a的代数式表示）【分 析】（1）根 据 平 行 四 边 形 的 性 质得A O/8 C,根据相似三角形的判定得B E 1 D F 1/B E G/D E A,B F S r X D F H ,由B E二E F二F D可 得 出 一=一，一=-,根据相似三角形E D 2 B F 2的性质即可求解；(2)由B E二E F可 得 力 反；与F G的 面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可

27、得S&A E D丐SQD F H的 值，AE D SA。”“即可得四边形A E F H的面积.【详 解】解：(1)平行四边形A B C D,B C=8,A AD I IB C,A D=B C-8,：./B E G/D E A,/X B F G /X D F H ,.B E B G D F HD 访 茄，B F B G9V B E=E F=F D,BE-1 DF-1 E D-2 J B F -2 TABG=|A D=4,H D=|BG,H D=2；(2)V B E=E F,S&B E G=S 由G=a，SBFG=2 a ,B E 1 D F 1；4B E GS/D E A,L B F G s/X

28、 D F H ,=一，二一，E D 2 B F 2AE D 4 ,S D F H ,四边形A E F H的面积=L加-.【点 睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.4.(2 0 2 0 上 海 奉 贤 二 模)己 知：如 图，在 梯 形 徵 中，C D/AB,/%6=90 ,对角线A C,应 相 交 于 点 发A C L B C,垂 足 为 点G且 比 四 窃.(1)求 证：AD=D E(2)过点历乍力徽垂线，交/行 点 求 证：C E=AE*AF.【分 析】(1)根据相似三角形的判定定理得到比如?1 ,根据相 似 三 角 形 的 性

29、 质 得 到/龙=/。氏 根 据 等 角 的 余 角 相 等 得 到/根 据 等 腰 三角形的判定定理证明；根据平行线分线段成比例定理得 至 借 嘴，修喑，得 至 嘿=言，整理得到C e=A E E F,根据等腰三角形的三线合一得到4尸=汽，证明结论.【详解】证明：（1）:BC=CECA,.BC CA CE-BC又/E C B=NBCA,:.XBCEsXACB,:.NCBE=/CAB,：ACL BC,/%8=90 ,:B E*N C B E=9 Q ,N%加/。6=90,/B E C=A DAE,：4BEC=NDEA,：.NDAE=A DEA,:D=D E；直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定

30、题型三：母子型相似1.（2022徐汇一模25题）如图，在AABC中，Z C =90,cot A=&，点烟边/吐的一个动点，以 点。为 顶 点、作NBDE=NA，射线比交边/好点反过点例乍射线询垂线，垂 足 为 点 尸.C D A ct a n N A B D 的值；(2)求证：AD BF=BC DE；(3)当 OE:E F =3:1 时，求 AE:EB.【小问1详解】解：过 历 乍Z W J J好，在AABC中，Z C =90 ,c ot A =0 =AB=V A C2+BC2=J(&x)2 +x2=JDhAC 中点，-A O x，2 2R r：.DH=rx,当点。尾 边0冲点时，求A备 用

31、图A CGT；，设 AC=yflx，BC=x，oC=5/3%,1 1.SAA D B=A D B C=ABDH,ADBF=BCDE.在RtZWZ冲，AH=ylAD2-：.BH=AB-AH=y i x-x 3CD/DE D:DEBSXADB,：.=AD AVZ/ZC=90,ZBDB-ZA,。彳=W)，(玄 犷=玄X，旦x,-x-在RtZX6的，tan ZABD=-=3BH 2j3 4-X31B8AABF DB DE BF nn lDFBs XACB,.-，.-=-B P【小问3详解】解：由D E:E F =3:1”【设E=3左，E F =k,则以=,/RD F.=Z A :.cot/BDE=co

32、tN A=亚,=y/2,BF BF:BF=2叵k，乂 9 0，EB=V B F2+E F2=J(2扬:了+公=3k，BD=yjBF2+D F2=1(2&+(4 1=2跑，A AEB BD,in 3k 2叔V AD E B sA A D B,：.=即一=BD AB 2 向 AB.A3=8k,:.AE=ABEB=5k,：.AE：EB=5k：3A=5：3.2.(2022虹口一模25题)已 知：如图，在/式中，/力龙=90,AB=Q,ta n 6=&，点4是边比延长线上的点，在射线力艮上取一点反使得N*E=N 4 B C.过点力作力心应于点F.(1)当点疏线段48上时，求证：竺=迈A C B D(2)

33、在(1)题的条件下，设g x,D E=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;(3)记座交射线42于点G,当 力 毋 时，求 御 长.【解答】(1)证明：:NADE=NABC,NDAE=NBAD,:.XADESXABD,：.D E=,JAFVDE,:A F A N A C 4 9 G ,B D A B.A F D E.-二-A C B D：./AD F/ABC,.空，：A C A B(2)解：；/龙=90。，ta n 5=3,：.ta n B=-=-,4 B C 4设=3a,BC=ia,：Ad+BCi=AH,：.(3a)2+(4a)2=102,.a=2,：.A C 6,BC=8,：.A

34、D=7AC2-K：D2=V 3 6+?)由 喷嗡，宇二爵=8+x10V 3 6+x2,当x=0时，此时次L L/6,由亚=-1 4 0 8，=1_g 口 岳 得，1。然=6 X 8,5.,./?=24,.x处;5当斑线段然上时,延长4咬BC于作掰 154好,M,:XAEF/XAGF,：.ZAEF=ZAGF,：.AF=AG,：.XEAF=ZGAF=kZ_ ,：A DAF=Z BAG：.ZDAC=ZGAF,：ACL BD,：,ZAMC=ZACD,：.AM=AD,：.CM=CD,.F，分/班C,:.MN=CM,由$4树=丛幽z&OT/得.yX 6X 8弓X6-CM+yX 10-MN.16。/=48,

35、：.GI/=3,:.CD=3.当G点在4用延长线上时，A A E F,；.这种情形不存在，；.C力=3.3（2022长宁一模25题）已知，在&A B C 中，AB=AC=5,BC=8,点 是 射 线 C A 上的动点，点。是 边 B C 上的动点，且 OC=O E,射 线 O E 交 射 线 B A 于 点 D.图1备用图(1)备用图如图1,如 果 OC=2,求S DES&ODB的值;(2)联结A。，如 果A E O是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长;(3)当点E在边AC上时，联结B E、CD,ND BE=/C D O,求线段OC的长.【详解】解：(1)-：AB=AC,:B=4 C,：O

36、C=OE,：.OEC=C,A AAC BC 5 8：.AB=OEC,：./A B(/O E C,：.=,.一 =,.应=3.2,.=1.8；OC CE 2 CE,：4AED=NQEC=ZB,N =N ，：ZB D X A E D,A_ 1.80.3,.=0,32=0 0 9S&ODB(2)V /X A E O 是以AE为腰的等腰三角形,:.AE=OE,：()C=0E,，设 AE=0E=OOx,由(1)得，7 s 阪；=OC CE5 _ 8x 5-x解得,2 5 2 5X =,经检验，X =是原方程的解；则OC的长是为13 13(3)由(1)得，ZB=N0EC,：ZOEC+ZOEA=l80a,班

37、/困=18 0,；./、B、0、网点、共圆，；.NDEE=N 40。，；N D B E =NC D O .：.N A O D =N C D O，A A A AAO BO AO AE：.A0/DC,；./酒 ABOXDBC：.=，=DCCB DC CEAE _ BO设L。e x,0件S-X,：/A ABC/A O EC,：.AC=BCOC CE5 8x CE解得，C E =1.6 x,M E =5 1.6。，5-1,6 x =?8-x,1.6 x 8解得，%=8J 为，%)=8+7 3 9 (舍 去)，则0 c的长是为8 闻.D4.【2 02 1松江二模】如图，已知在/此中，BOAB,B母 分4

38、 ABC,交边”T点。，碟瓶边上一点，且BE=BA,过点/作 布 场 分 别 交比于点F、G,联结阳(1)求证：四边形/限是菱形;(2)求证：A=BGBQs（3）若AB=AC,BG=CE,联结/反求不理的值.【分析】（1）由题目条件可证得ABPAEBFqSAS）及ABM/EBD（SAS）,进而可推出=房=9=4 可得出四边形 H 9是菱形.（2）根据 条 件 可 证 得 物，即可证明结论.（3）由条件可得为R/用由相似比可得 沁=（芸,由B=ECB C,得到点娓%的黄金分割点，可得出丝=土 造，即可得出结论.BC 2【详解】（1）证明：物平分N 4%、，./力 跖=/硼；:BA=BE,BF=B

39、F,:.dAB阳AEBF（SAS）,:.AF=EF,同理可得/应运加（%S）,：.AD=ED,NADB=/EDB,:AGDE,:./A F g/E D F,：.Z.AFD ZADF,：.AFAD,：.AF=FE=ED=DA,，四边形/曲 菱 形.（2）证明：由（1）得：/麻丝纱；:.NBAG=/BEF,四边形力的是菱形，:.ADFE,；.N BEF=N G :.NBAG=NC,：ZABG=ZCBA,：./ABG/CBA,即初=66宓BC AB（3）解：如图，：AB=AC,：.ZABG=ZC,*：ZBAG=NC,:.NABG=/BAG,：ZAGC=ZABG+ZBAG,：.ZAGC=2ZBAG,：

40、BG=CE,：.BE=CG,J.CGCA,：.CAG Z.CGA,:匕 CAG=24DAE、:.NDAE=NABC,；.N D E A=N AC 8,：./D AE/XAB C,：.=(1 ,S g 8 c(B C J:AE=BG*BC,AB=BE,:.BF=EGBC,:.点、E 是B C 黄金分割点，.B E =/5-l CE=3-2J,:4 E AC=ZC,:.C E=AE,B C 2 B C 2.AE _ 3 A/5.S DE _ 7 -3 /B C 2 S 1 M te 2【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学

41、知识求解是解题的关键.题 型 四：旋转型相似1.(2 02 1秋静安区期末)如图1,四边形力敛冲，/胡 冰J平分线/段边优于点反己知4 9=9,AE=6,A=AB AD,且 D C AE.(1)求证：施=AE D C(2)如果龙=9,求四边形/比颂面积；(3)如图2,延长/1久比交于点区没B E=x,E F=y,求y关于描函数解析式，并写出定义域.图1图2【分析】(1)先 证 明 /应 以，可得N A E B=N A D E,再由平行线性质可推出N/%=/比五，进而证得/应 及，根据相似三角形性质可证得结论；(2)如图2,过点身乍曲，/后 运用等腰三角形性质可得磔M魔)中点，进而可证得加匡E

42、C D(5 4 5),再求得5 k阳=LX/X 6 6=1 8&,根据/应s/力 瓦沮相似比为3：2,可求得2S 4 检产S c x=81 2,由S四 边 般 做 =SNA处S&吩 S&c u 求得答案：(3)由LABESAED,可求得：D E=Z x,进而得出於=2,再利用/应s改力,可3 274 2得：C E=x,再利用勿力反可得A A E F S 4 D C F,进而求得：C F E F,再结合题意得出9 81答案.【解答】(1)证明：如图1,厘 分/./B AE=N D AE,：AE=ABAD,.A B =A EA E A D:.AABEs AAED,，ZAEB=AADE,：DC/AE

43、,：.2AEB=NDCE，ZAED=ACDE,:.ZADE=NDCE,:.XADEs/ECD,A E=D E,D E D C:.D/=AEDC；(2)解：如图2,过点例乍8c L,:BE=9=AB,.4应是等腰三角形，协力硼中点，由(1)可得血以反刀也是等腰三角形,：A=AB-AD,AB=BE=9,AE=&,：.A D,DE=6,CE=4,4 7=3,:.lAD阳 ECD(SAS),在R t仲，BG=/AB2-A G2=7 92-32=6 2)，SA 做=工 X AEX BG=LX 6 X 6&=18&,2 2.4应 及 祖 相 似 比 为3：2,:SA 丽&/=9：4,*SjAEt)=S k

44、 c z =8 2,Snaii&.incD=S/Ant+S,if：i)S,ci)f=18y12,+8y/+8y=3z(3)解：如图3,由(1)知：XABEs/AED,.A B =A EBE D E：BE=x,AB=9,AE=6,Al:=ABAD,AD=4,.9 _ -6 X D E:.DE=&x,3由(1)知：D=AEDC,：.DC=-2-X,27：/AD E/E C D,.A D =CE=2 AE D E 3C E=x,9：D C/AE,:.AEFSXDCF、.CF=DC=W 市 812：.C F=-E F,812FFFH 9.CE-EF-CF-81=81-x W EF-E F 81y=E

45、F=C E=X&=.36X81-x2 81-x2 9 81-x2x 0 (x 0y 0 即 0,x+AE A B x+6 9 3VxV9,关于x的 函 数 解 析 式 为 尸 定 义 域 为3Vx,点。随点尸的运动而运动，连接D P、D A.(1)请用含t的代数式表示出点。的坐标.(2)求f 为何值时，拉加4 的面积最大，最大为多少？(3)在点P 从。向A运动的过程中，A D P A 能否成为直角三角形?若能，求，的值:若不能，请说明理由.(4)请直接写出整个运动过程中，点力所经过的长度.【答案】。+2,r)；(2 =2,S=4；能，2 或3；(4)4 石【分析】(1)设出P 点的坐标，再求出

46、CP 的中点坐标，根据相似的性质即可求出点D 的坐标；(2)根据点D 的坐标及三角形的面积公式直接求解即可；(3)先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；(4)根据点D 的运动路线与0 B 平行且相等即可解决【详解】(1)点P 从点。出发，沿x 轴以每秒2 个单位长的速度向点A匀速运动.OP=2/,，P(2f,0)设CP的中点为F,过点D作DEJ_OA,垂足为E,.,.尸(2,2)绕点P顺时针旋转9 0 得到点D2NCPD=9O:.ZDPE+NOPC=90 又;ZPOC=90,NOCP+NOPC=90rp pF PD 1.ZOCP=4EPD:AOCP fE P D .PD:CP=l:2：.

47、=一PO CO CP 2:.D E=-P O =t,PE=-C O =2:.D(2f+2,f)(2)：。+2J),。4=82 25,%=3 4 2.。=3*(8 _ 2/)*.=_产+射=_(/_2)2+4.当f=2时，I%最大，为4(3)能构成直角三角形当 NPD4=90 时，PC/AD由勾股定理得，PD2+AD2=AP2即解得/=2或z=-6(舍去).=2当ZR4D=90。时，此时点D在AB上r=3 八 CP 2PD CO 4 Mn ACOP fPAD ：.=-=/.2=.9=2 即PD PD PA PA综上所述，f=2或f=3时，ADR4能成为直角三角形(4)当点P在原点0处时，对应的2

48、,(2,0)0-/1当点D运动时，直线。A的斜率Z 人 _ =不，即无论点D如何运动，直线。A的斜率为固定值，即点D的运动轨迹始终在直线DD。上,嚷=4 1.点D的运动路线与0B平行o 2当点P运动到A时，1 =4,此时2的坐标为(10,4)即点D的运动轨迹为线段4 2点2与点B,C共线8Q/X 轴四 边 形 为 平 行 四 边 形点D的运动路线与0B平行且相等OB=742+82=46点D运动路线的长为45/5【点睛】本题主要考告四边形综合问题，掌握矩形的性质，相似三角形的判定及性质，分情况讨论是解题的关键.题型五：K字型相似1.(2021 上海市徐汇中学九年级阶段练习)已知：如图，四边形48

49、CD中,0ZftWt,90,AD=DC,AB=BC,AC 平分 ZK4D.图A图BB(1)求证：四边形A8C是菱形;（2）如果点E在对角线A C上，联结B E并延长，交边DC于点G,交线段A O的延长线于点F（点尸可与点。重合），ZAF B =Z A C B,设A B长度是。（“是常数，且。0）,A C =x,A F=y,求丫关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）在 第（2）小题的条件下，当ACGE是等腰三角形时，求A C的 长（计算结果用含。的代数式表示）【答案】（1）见解析；（2）y （3）AC =0a或且土。时，AC E G为a2等腰三角形【分析】（1）由题意先判断出/以信NM,N B

50、 A O N B C A,进 而 得 出/以/以4N D A O N B C A,即可得出结论；（2）由 题 意 先 判 断 出 即6/4及7,AAB C s/B E C,得出比例式，即可得出结论；（3）根据题意分三种情况，当 彦 父 耐，判断出点尸，丽 点 麻 合，即：AF-AB,即可得出结论，当 殿 时，先判断出得出脂外，即可得出44即，进而判断出F B=AC,即可得出结论；当 吩 仍 时，判断出/C F R N曲；而N C E G=N C B F+N AC B,进而判断出此种情况不存在.【详解】解：（1）证明：.AD =O C,AB =B C；.ZD AC=ZD C A,N B AC =