高考数学重点难点讲解十八：不等式的证明策略.pdf

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1、难 点 1 8 不等式的证明策略.不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.一 难点磁场一()已知 a0,b 0,且 a+b=L_1 1 25求证：(a+-)(/?+-).a b 4案例探究.1 1 1 例 1证明不等式1 +正 F+忑(nEN).命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力，属级题目、知识依托：本题是一个与自然数有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还

2、涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.一错解分析：此题易出现下列放缩错误：一1十 31 4上 义工工+工+占-白=6 2 阮y/2 y3 yfri y/n xfn a这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的.一技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从=k 到=k+l的过渡采用了放缩法；证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心,发人深省._证法一：(1)当等于1 时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;1 1 1 假 设=k(kND时，不等式成立，即 1+正+忑+五 2 V I,贝山+二=+3+以=0,2 也(4+1)+1 0,.

3、2k1+v n rVT+T+VT2_1v m+A/m -v m，2 J Z+1.证法二：对任意k e N*,都有:弓=正云4+*=2(Gg)，因此1 +1 1 1正+区+五 0因此，对任意G N*都有人)91)”41)=10,_1 H 尸 H 尸+H =0,y0)恒成立的a的最小值._命题意图：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于 级题目._知识依托:该题实质是给定条件求最值的题目，所求。的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把。呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值、错解分析：本题解法三利用三角换元后确

4、定”的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cos，、sin 来对应进行换元，即令V7=cos 9,yy=sin(0），则即油=20皿；若 aW/（X）,则&max 三/U）min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化.一解法一：由于。的值为正数，将已知不等式两边平方，得：.x+y+2 即 2 l）（x+y）,.x,y 0,.x+y2yxy,一当且仅当x=y 时，中有等号成立、比较、得。的最小值满足/-1=1,，“2=2,a=y2（因“0）,的最小值是.V x 0,y 0,：.x+y2yxy(当 x=y 时“=”成立

5、),.2 叵w i,叵 的 最 大值是1.x+y x+y从而可知，”的最大值为7?=亚，-又由已知，得的最小值为血.解法三：,.（）,_.原不等式可化为Jj +lWa g li,一设 =tan。,0 G(0,).V y 2t an +1 W a J t an?6 +1 ；即 t an。+I W as ec。；.as in +c os 0=J2 s in(0+),4 一X V s in（外 工）的最大值为1（此 时 =生）.4 4由式可知a的最小值为a 锦囊妙计.1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法、（1）比较法证不等式有作差（商人变形、判断三个步骤

6、，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证、(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野._2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否

7、定词的命题，适宜用反证法.一证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.一 歼灭难点训练一、填空题一1.()已 知 x、y是正变数，a、b是正常数，且3+2=1,犬+丫的最小值为%y2.()设正数 a、b、c、d 满足+d=/?+c,且l 一 d I V I b-c l,贝与 反 的 大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _3.(*)若 m(1 +)8.()若 t 0,b0,/+匕3=2,求证：a+b&2,abWl.参考答案难点磁场证法一：（分析综合法）欲证原式，即证 4（尸+4（Q2+/?2）2 5

8、而+4 2 0,即证 4 3。）?一3 3（b）+8 2 0,即证hW，或4V a 0,b0,a+b=,，帅28不可能成立V =a+b2ab,.ab：,从而得证.4证法二：（均值代换法）设。=F f ,b 2 2 ：a+b=l,a0,b0,.+h=0,I K-,l f2l 16=2 5 1 44显然当且仅当占0,即a=h=时，2等号成立.证法三：（比较法）/a+b=1,a 0,b0,:.a+b2y,:.abW 4,1 1、2 5 a2+b2+2 5 4 a2/,2+3 3 a f e +8 (1一4 )(8 a b)(a+)(b+-)-=-=-=-a b 44 ab4 ab 0a b 4,1、

9、1、2 5 (。+-)(b+-)a b 4证法四：(综合法)*/a+h=1,。0,Z;0,.a+h2yab,.ah .41 3:.l-abl-=(1-aby =、4 4 16025(l-ah)2+l 16 4ab(l-ab)2+125ab =4HP（a+-）（6+-）a h 4证法五：（三角代换法）Q0,bOf a+b=l,故令=si n?。，Z?=c o s2 a,a e(0,)1 1 9 1 9 1(Q+)S +)=(si n a+-)(c o s2 a+-)a b si n-a c o s a_ si n4 a+c o s4 a-2si n2 c r c o s2 a+2 _(4-si

10、n2 a)2 4-164si n2 2a 4 si n2 la si n2 2a 4-1 =3.22 s i n 3 +1 6 N 2 5 (小 心 才1 1 =-5-4si n2 2asi n2 2a 4即得(a +L)S +a歼灭难点训练1、1.解析：令囚=(：0$2。，=si n2 0,贝 l jx=se c 2。，y=bcsc2 0,.x+y=asec2 +Z?c sc2%y=+/?+t a n2 O+b c o P 0 2+b+2 JQ t a n?0/?c o t2。=+/?+2ah.答案：Q+6+2而2.解析：山 OW I 一 d l VI/?c l(一)2 V s c)2(+/

11、?)24d VS+c)24b c:a+d=b+c,；一4adbc.答案：adbc3 .解析：把 p、q看成变量，则加V pV ，机Vq V.答案：m pqn二、4.(1)证 法,：a2+h2+c2 =(3 t z2+3 Z?2+3 c2 1)3 3=3/+3/+3(:2(+b+c)23=32+3/?2+3C2a krc12ab2ac2bc 3=；(i z-Z?)2+(/?-c)2+(c-)2 2 0 /.t z2+Z72+c2证法二：V(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab2ac+2bc cr+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c1/.3(t z2+/72+c2)2 (a+b+c)

12、2=1 a2+b2+c2 2 ；证法三：；、丁 z 修三.M+c2 生产a2-t-b2+c2 3证法四：设=+，b=L+8,c=-+Y.3 3 3*.*a+b+c=1,+r=0/.tz2+Z?2+c2=(-+)2+(-+/+(-+r)23 3 3=-1 +-2 (z。+)+K、)+。2+c)+厂23 31 2 n2 1=-+a-+8+2 3 3，2+b2+c*3(2)证法一：*/J3 +2=J(3a+2)x 1 v，+；+1,同理J3、+2 ，3c+2 V2 2.j3 +2+J3b+2+J3c+2 +9=62J原不等式成立.、-什 一 J 3a+2+q 3b+2+J3c+2证法-(3 +2)+

13、(3b+2)+(3c+2)333(a+b+c)+67 3=6：.J3a+2+J3-+2+J3c+2 W 3百 1 t 2(+z )1 3,2=-+x+y+Z -+x +-=-+J C3 3 2 3 2故为 2：,Xr 0 ,0,2,同理 y,户 0,9 3 3 3 3证法三：设X、y、Z三数中若有负数，不 妨 设x 0,1=?+r+z2?+G W=(1-1 矛盾.2222 2x y、z三 数 中 若 有 最 大 者 大 于 不 妨 设X|,则f 1 (y+z)24+”立J22 22=3-X(,X -2)X+-1 1；m矛盾k.2 3 2 22故小 y、0,/八、丁口 口 h+c 2 c+a 2

14、 a+b?、6.(1)证明：*/-x+-y+-z-2(xy+yz+zx)2 b c=(x2+y2-2xy)+(y2+z2-2yz)+(z2+x2-2zx)a b b c c a=幅-恭K+(与-白 尸+(R 一屏 0-b-+-c-x 2+-c-+-Q-y+-Q-+-Z 2(xy+yz+zx)、a b c(2)证明：所证不等式等介于2 2 2/V+Z Z+X X+y、2xzyzz(-+-+=)2(xy+yz+vc)x y zu xyz-yz(y+z)+ZX(Z+x)+xy(x+y)2(xy+yz+zx)2(x+y+z)(y2z+yz2+z2x+zx2+x2y+xy2)N 2(%2y2+),2/+

15、2冗2)+4(冗2 +旬2+工”2)=yz+yz，+z3x+zx3+x3y+xy3 2x2+2xy2z+2xyz2 yz(y-z)2+zx(z-x)2+xy(x-y)2+x2(y-z)2+y2(z-x)2+z2(x-y)2 0 上式显然成立，原不等式得证.7.证明：(1)对 于1 ViW机，且A,=m.(加一注1),A,m m-.m m mtn-i+曰 工 用 A/n n -1J句理一 二-in-nl n nn-i+n由于加V，对于整数攵=1,2,，L 1,有 n tn所 以 匕 丛，即加A：/A；“n1 tn1(2)由二项式定理有：(1+/)=1+C：加+C：苏+川”，(1+/?)W=1+C

16、 n+C+C；：几”,由（1）知加（I Vi W mA N),而 c=yc：=ji!z!=C：=1,m CJ,=n C=m 9 n,T7 72C 2C ,，M C：/C；,加向C：x 0,，mnCnn 0,1+C ：m+C :+C nn mn 1+C n+C2OTn2+,a+C ：；/，即(l+M(l+/i)成立.8.证法一：因 a 0,b0,a3+b3=29 所以(a+b)32=a3+b+3a2 b+3ab28=3。%+3。射一6=3 a/?(a+。)-2=3 (+/?)(a、/)=3(a+/?)(一 尸 式。.即(a+b)3 W 2)又 a+b 0,所以 a+b W 2,因为 2ycib

17、W a+/?W 2,所以出?W l.证法二：设 、b为方程f 加 工+=0 的两根，贝，n=ab因为a 0,b 0,所以机0,n 0,且/=*420 因为 2=a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab=m(m23n)所以=仁一2 3 3tn将代入得病一4(竺-)0,3 3m即/+8 2o,所以一m4 g eo,即 加4 2,所以 +6W 2,3m由2 2 m得 4 2 加又?224几，所以4 2 4 及，即W1,所以a b W l.证法三：因 a 0,b 3 a3+b3=2f所以2=a3+h3=(a+b)(a2+b2ah)2 (a+b)(2ahah)=ah(a+h

18、)于是有 623 a b(+8),从而 8 3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3f 所以+6 W 2,(下略)证法四：因 为 广 宜-(空 2)32 2(a +b)4 ci +4 b -4 cib ci b 2.cib 3(+b)(a b)、八=-=-3(),8 8所以对任意非负实数a、b,有 史 宜(空 2)32 2因为 a 0,b0,d+/=2,所以 1=)+、(巴2)3,2 2”2 wi,即a+b W 2,(以下略)2证法五：假设a+b 2,贝 ija3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab a+b)ab 2ab,所以 2(223ab)因为1+户=2,所以22(43 ),因此/1,前后矛盾，故+b以2(以下略)