2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.2 菱形的性质与判定 基础篇练习.pdf

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1、专题L 2菱形的性质与判定（基础篇）（专项练习）一、单选题类型一、利用菱形的性质求角1.如图，在菱形A8CD中，Z A B C =1 0,对角线A C、8。相交于点。，E 为 3 c 中点,则NCOE的度数为（）A.70 B.65 C.55 D.352.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个内角 为 100。的菱形，剪切线与折痕所成的角的大小等于（）类型二、利用菱形的性质求线段3.如图，菱形A8C。的两条对角线相交于点。，若 ZADC=12O,D O =2,菱形的周长 为（）DBA.8 B.16 C.12 D.12/34.如图，菱形ABC。的顶点4 B,C 的坐

2、标分别是(0,2),(2,1),(4,2),则顶点。的坐 标 是（)C.(3,2)D.(2,3)类型三、利用菱形的性质求面积5.图，边长为。的正六边形内有一边长为“的菱形，该菱形其中一个内角为60。，则A.3 B.4 C.2 D.16.如图，四边形ABCD为菱形，点A、B、C、。在坐标轴上，4（石,0）,A 8=3,则菱形ABC。的面积等于（）.类型四、利用菱形的性质证明C.475D.8百7.如图，四边形4BC。是菱形，E、尸分别是8C、CD两边上的点，添加一个条件,不能判定AABE丝的）尸的是（)AA.EC=FC B.AE=AF C.ZBAF=ZDAE D.BE=DF8.菱形具有而平行四边形

3、不具有的性质是（）A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直且相等C.对角线相等 D.对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角类型五、添加一个条件证明四边形是菱形9.如图，AABC中，D为BC上一点,DEAB,D F/A C.增加下列条件能判定四边形 AFDE为菱形的是（）A.点力在N 84C 的平分线上C.ZA=90B.AB=ACD.点。为 BC的中点1 0.如图，已知A8C3为任意四边形,E,F,G,分 别为 AB,BC,CD,D4 的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形EFG”为菱形的是（）A.EH=HG B.EG A.HF C.AC=BD D.ACBD类型六、证明已知四边形是菱形1 1.

4、如图，平移 ABC到 BDE的位置，且点。在边AB的延长线上，连接EC,CD,若 A8=BC,那么在以下四个结论：四边形ABEC是平行四边形；四边形BOEC是菱形；AC，DC；。C平分N B O E,正确的有（）12.小 红按如下操作步骤作图：作线段AB；分别以点4、8 为圆心，以线段d（力;4B）的长为半径画弧，分别相交于点C、。两连接 AC、B C、A。、BD.则四边形AOBC一 定 是（）A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.以上都不对类型七、用菱形的性质与判定求角度13.菱形不具备的性质是（）A.对角线一定相等 B.对角线互相垂直C.是轴对称图形 D.是中心对称图形14.尺规作图：过直线

5、外一点作已知直线的垂线，已知：如 图（1）,直线/及外一点A,求作/的垂线，使它经过点A,小红的做法如下：在直线/上任取一点B,连接48以A 为圆心，A 8长为半径作弧，交直线/于点O；分别以瓦。为圆心，A 8长为半径作弧，两弧相交于点C；作直线A C,直线AC即为所求如图（2）,小红的做题依据是（）r a(i m =BC；A C B D,AC=B.从中随机抽取一张卡片，能判定oABCD是 菱 形 的 概 率 是.类型六、证明已知四边形是菱形29.如图，在 口 ABC中，点 E 是 8 c 边上的动点，已知AB=4,BC=6,ZB=60,（1）如 图 1,当点方恰好落在AO边上时，x=；（2）

6、如图2,若点8,落在4OE内（包括边界），则 x 的取值范围是30.菱形的判定：（1）有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.D几何语言描述：.四边形ABC。是平行四边形，A B=二四边形ABC。是菱形.几何语言描述：在平行四边形A B C D中，A C _平行四边形ABCC是菱形.(3)四条边都 的四边形是菱形.几何语言描述：;在 四边形 ABC。中，AB=BC=CD=,；平行四边形48C。是菱形.类型七、用菱形的性质与判定求角度31.如图在菱形4 8 8中，边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E,2 3 =14()。,那么4 D E C=度.32.如图，菱形A8CO中，/。=120。，点E在边

7、CO上，将菱形沿直线4 E翻折，使点。恰好落在对角线AC上，连结则.类型八用菱形的性质与判定求线段33.如图，在平行四边形A8CC中，AE平分/8 4 力，交 BC于点E,8尸平分乙4BC,交 A。于点 F,AE 与 BF 交于点 P,连结 EF,P D.若 AB=4,A=6,NABC=60。，则。P34.如图，矩形ABC。的对角线AC,8。相交于点O,DE/AC,CE/BD.若 A=2,A B=3,则四边形CODE的周长是类型九、用菱形的性质与判定求面积35.如图，在四边形ABC。中，对角线AC,交于点。，AC与 8 0 互相垂直且平分,BD=6,A C=8,则 四 边 形 周 长 为,面积

8、为.36.如图，在 NMON中，使 OA=OB,按以下步骤作图：以。为圆心，任意长为半径作弧，分别交OM,O N 于点A,B-,分别以点A、8 为圆心，0A长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、B C、A B、0 C.若 A8=2 c m,四边形Q4C8的面积为4cn?.则 0C的长为 cm.三、解答题3 7.如图，在菱形A5C。中，AELBC于点E,AFLCZ)于点F.求 证:BE=DF.(2)当 NBA)=110。时,C求NEA尸的度数.3 8.如图，在菱形A8C。中，对角线AC、B力相交于点0,过点。作对角线8。的垂线交B A的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形;(2)

9、若 AC=8,B D=6,求 ADE 的周长.3 9.如图，四边形A8CD是菱形，边长为10cm,对角线AC,8。交于点O,N B A D=60.(1)求对角线AC,8 0的长；(2)求菱形的面积.40.如图，在菱形A6C。中，E是对角线AC上的一点.连BE,D E,求证：BE=DE.41.如图，四边形ABC。的对角线AC与8。交于点0,若A B H C D,OA=OC,(1)求证：四边形ABC。是平行四边形(2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件，使四边形ABC3是菱形42.如图，在四边形A6CO中，AC与8 0相交于点0.且AO=C O,点E在 上,满足 NE4O=NOCO.(1)求证

10、：A O E 之(%)；(2)若A 8=B C,求证：四边形A E C O是菱形.4 3 .如图，8 0是AA6C的角平分线，过点。作交4 8于点E,D F U A B交BC于点F.(1)求证：四边形3瓦不是菱形；(2)如果2A =8 0 ,N C=3 0 ,求N B D E的度数.4 4 .图，点力为 A B C边A C上一点，过点。作O E A B,点。为B E的中点，连接A。并延长，交Q E的延长线于点F,连接A E、BF.(1)试判断四边形A8FE的形状，并说明理由；(2)若 AB=B凡 AC=10,NC=3(T,求 OC 的长.4 5.如图，在 平 行 四 边 形 中，BELAD,B

11、 F L C D,垂足分别为E,F,且4E=CF.(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若力B=10,A B=1 3,求平行四边形4BC。的面积.参考答案1.C【分析】先根据菱形的性质求出/8 A C 的度数，再证0 E 是AABC的中位线即可得到答案.解：；四边形4 8 c o 是菱形，AD8 C,点。是 4 c 的中点，ZBAC=-ZBAD,2：.NBAD=1 S00-ZABC=110,ZBAC=55,是 8 c 的中点，.。后是4 ABC的中位线，：.O E/AB,.ZCOE=ZBAC=55,故选C.【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键.2

12、.C【分析】折痕为AC与 8。，N8AO=100。，根据菱形的对角线平分对角可得NA8。和N8AC的度数，由此得出答案.解：如下图，四边形ABCD是菱形；：NABD=gNABC,NBAC=；NBAD,AD/BC；VZBA=l()0o,.ZABC=1800-ZBAD=80,NABD=40。,ZBAC=50,剪切线与折痕所成的角的大小应为40.故选：C.A【点拨】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，熟练掌握菱形对角线平分对角的性质是解题的关键.3.B【分析】根据菱形的对角线互相垂直，四边形相等，每条对角线平分每组对角，易得到NCO=30。，再根据含30。的直角三角形的性质求出菱边CO的长度，然后用

13、菱形的周长公式求解.解：；菱形A8C。的两条对角线交于点。，ZADC=120,A ACLBD,ZZX;B=60,AD=AB=BC=CD,：.ZACD=NBCA=-NDCB=30,2在 R/ADOC 中，DO=2,8=2 8 =2x2=4,菱形ABCD的周长为4x4=16,故选：B.【点拨】本题主要考查了菱形的性质、含30的直角二角形的性质，理解菱形的性质是解答关键.4.D【分析】根据菱形的性质以及中点坐标公式即可求解.解：设。点的坐标为（。力），菱形的对角线的交点也是两条对角线的中点，.AC的中点与80 的中点坐标相同，a+2 _ 0+4.根据中点坐标公式有：八 2 2力+1 2+2则 4=2

14、,b=3,即。点坐标为：(2,3),故选：D.【点拨】本题考查了菱形的性质和中点坐标公式，掌握并运用中点坐标公式是解答本题的关键.5.C【分析】边长为a的正六边形可拆成6个边长为的等边三角形，图中的菱形有一个/为6 0 ,则该菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形，所求即可解F。2626一2百餐,4由图可知，边长为a的正六边形可拆成6个边长为“的等边三角形，图中的菱形有一个角为6 0。，则该边长为a的菱形可以拆成2个边长为的等边三角形，边长为的等边三角形的底边上的高也是底边的中线，则利用勾股定理可得高为：亚-(边长为。的等边三角形的面积为：-x/AB2-OA2=J 3-逐了=2，；.BD=2 O

15、B=2 x2 =4,A C =2 0A=2 s/5，菱形ABC力的面积5=,4-8。=1、2石*4=4有，2 2故选C.【点拨】本题考查勾股定理、菱形的性质及面积公式，熟练掌握“菱形的对角线互相垂直且平分”是解题的关键.7.B【分析】根据菱形的性质结合全等三角形的判定条件逐项判断即可.解：四边形48C。是菱形，A AB=A D =B C =CD,ZB=ZD.A.由 E C=FC,可得出 8C CE=C C ,即 8=尸，A A B E A D F(S A S),故该选项不符合题意；B.A E=A F,结合已知不能证明B E丝AW F(没有“5S4”或A SS),故该选项符合题意；C.由NBAF

16、=ND4,可得出一84尸一=,即Z BAE=N D A F,：.A B E A D F(A S A),故该选项不符合题意；D.由BE=O尸可直接证明“BE丝”。尸(SAS),故该选项不符合题意；故选B.【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定.熟练掌握上述知识是解题关键.8.D【分析】根据菱形的性质与平行四边形的性质逐项分析判断即可.解：A.菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故 A 选项不符合题意；B.菱形和平行四边形的对角线都不相等，故 B 选项不符合题意；C.菱形的对角线不相等，故 C 选项不符合题意；D.菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不互相垂直，

17、每一条对角线不平分一组对角，故 D 选项符合题意.故选：D.【点拨】本题考查了平行四边形和菱形的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键.9.A【分析】根据平行四边形的判定和性质定理已经菱形的判定定理即可得到结论.解：如图所示，连接4。尸 AC交 A 8于点F,.四边形。E4F是平行四边形，ZFAD=ZEDA,当点。在/B A C 的平分线上时，二 NFAD=NEAD,：.ZEAD=ZEDA,：.AE=DE,二四边形OECF是菱形，故选项A 符合题意；当AB=AC时，不能说明四边形。ECF是菱形，故选项B 不符合题意；当NA=90。时，只能说明四边形。ECF是矩形，故选项C 不符合题意；当点。为 B

18、C的中点时，不能说明四边形。ECF是菱形，故选项D 不符合题意；故选：A.A【点拨】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.10.D【分析】根据题意连接3D,A C,根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可.解：如图连接8。，AC,因为E、F、G、”分别是边48、B C、C。、D 4的中点，根据三角形中位线定理，W E H D B ,DB/FG.AC/HG,A C E F,故四边形 EFG”是平行四边形.A 选项：E H =H G,邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意.B 选项：E G 1 H F,对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意

19、.C 选项：AC=B，根据三角形中位线定理”G=；AC,H E =；B D,故E H =HG,即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意.D 选项：A C A.B D不能证明四边形EFG4是菱形，符合题意.【点拨】本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是连接80，AC,根据三角形中位线定理与菱形的判定求解即可.11.D【分析】利用平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质逐项判断即可.解：.平移48C到ABOE的位置，且点。在边4 8 的延长线上，AD/CE,AC/BE,.四边形A8EC是平行四边形，故正确：.平移 A B C到 B D E的位置，：.AB=BDCE,BC=DE

20、,：AB=BC,：.AB=BD=CE=BC=DE,.四边形3OEC是菱形，故正确；四边形B D E C 是菱形,：.BE L C D,：AC|BE,A C V C D,故正确；四边形8OEC是菱形，.QC 平分/8 3 E,故正确：,正确的有4个.故选D.【点拨】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质.12.B【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形AOBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形.解：分别以A和B为圆心，大 于;A 3的长为半径画弧，两弧相交于C、D,：.AC=AD=BD=BC,四边形AO8C一定是菱形，故选：B.【点拨】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，得出

21、四边形四边关系是解决问题的关健.13.A【分析】根据菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线，即可判断.解：根据菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直平分，故 B 正确；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 C,D 正确；菱形不具备对角线一定相等，故 A 错误；故选：A.【点拨】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质.14.A【分析】根据作法和菱形的判定方法可证明四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质判断AC与 BD垂直.解：由作法得A B=

22、A D=B C=D C,则四边形ABCD为菱形，所以 ACJ_BD.即四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直.故选A.【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.15.D【分析】首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出四边形A8EF是菱形，然后利用菱形的性质求解即可.解：设 AE与 B尸交于G,AD TGK B E C四边形ABCD是平行四边形，：.ADI IBC,:.ZAFB=/EBF.NFAE=NBEA,/BF 平分 ZA3C,:.ZABF=NEBF,.Z

23、AFB=ZABF,:.AF=AB,TAE 平分/B A RAZBAE=ZME,；.NBAE=NBEA,:.AB=BE,:.AF=BE,9：AD/BCf H P AF/BE,四边形A8EF是平行四边形.9：AB=AFf四边形A8EE是菱形，AEBF,AG=GE=-AE,BG=GF=-BF=3,2 2,?AB=5,:.AG=IAB2-BG2=4.AE=2AG=8.故选：D.【点拨】本题主要考查平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质,角分线定义，勾股定理，掌握平行四边形性质，菱形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，角分线定义，勾股定理是解题关键.16.C【分析】连接8 n 求证四边形

24、BED尸是菱形，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质求解即可.解：如图，连接3D,V ZC=90,NA=30。，AB=21：.BC=L 1,ZABC=90-ZA=60,2 ,点。为NABC的平分线与边AC的交点，ZABD=ZCBD=-NABC=30。，2.将ABE尸沿E f所在直线翻折得到。石 尸，:BE=DE,BF=DF,A ZEDB=ZCBD=30f NFDB=NABD=30。,：.ZEBD=ZFDB=30f NEDB=NFBD=30,:BEDF,BF/D E,四边形BED厂是平行四边形，ZADF=ZC=90,又BE=DE,四边形BEDF是菱形,:BE=BF=DF=D

25、E,在放44。尸中，V ZA=30,：AF=2DF=2BF,:.AB=AF+BF=2BF+BF=3BF,BF-AB,3 3又?BE=BF,NABC=60,.BE厂是等边三角形，：.BE=BF=EF,3故选：C.【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，含 30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用这些知识点.17.C【分析】根据作法判定出四边形CMC8是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解.解：根据作图，A C =B C =OA,:OA=OB,OA=O B =B C =A C,四边形OACB是菱形，V AB =2,OC=4,S菱 形 0

26、Aoi.X2X4=4.故选：C.【点拨】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键.18.A【分析】连接AC,BD,FH,E G,得出平行四边形A 8FH,推出H F=A B=2,同理EG=4O=4,求出四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积等于/xG H x F,代入求出即可.解：连接 AC,BD,FH,EG,:E,F,G,”分别为边A8,BC,CD,D 4的中点，：.A H A D,B F=；BC,：四边形ABC。是矩形，：.AD=BC,A D U BC,：.AH=BF,AH/BF,：.四边形A H F B是平行四边形,：.FH=AB=2,同理 EG=AD=4,；四边

27、形ABC。是矩形，：.ACBD,VE,F,G,，分别为边AB,BC,CD,D4的中点，：.HG/AC,HG=；AC,EF/AC,EF=AC,EH=|BD,：.EH=HG,GH=EF,GH/EF,；四边形EFGH是平行四边形，.平行四边形EFGH是菱形，J.FHVEG,.阴影部分EFGH的面积是 xHFxEG=1 x6x4=12,【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，关健是求出四边形EFGH是菱形.19.20【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出N8AC和2或8的度数，即可解决问题.解：:E F是线段A8的垂直平分线，；.AF=BF,：.ZFAB=ZFBA

28、,:四 边 形ABC。是菱形，NDCB=70。,：.BC=AB,ZBCA=Z DCB=35,ACA-BD,.NBAC=NBC4=35,ZFBA=90-ZBAC=55,：.ZFAB=55,Z M C=ZFAB-ZBAC=55-35=20,故答案为:20.【点拨】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.20.20【分析】根据菱形的性质得到8c=CL=CE,求出ZD C E的度数，利用菱形的性质求出N 0 8 C即可.解：.四边形A8CD是菱形，:.BC=CD,AB/CD,C E=BC,：.CE=CD,：.ZCDE=ZE =70,；.NDCE=；(18

29、0-2ZE)=40,：AB/CD,，N48C=NOCMO,二 NOBC=g N48c=20。，故答案为：20.【点拨】此题考查了菱形的性质，等边对等角求角度，熟记菱形的性质是解题的关键.21.713【分析】根据菱形的性质求得。4，。8的长，然后在RfAAOB中利用勾股定理即可求解.解：菱形ABCO的对角线AC,8。的长分别为6,4,AC_L肛 OA=-A C =3,OB=-BD=2,2 2Rt AOB 中，AB=-JO+O B2=也 +2?=V13，故答案为：岳【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.22.13【分 析】根据菱形的性质对角线互相垂直且互相平分，再

30、利用勾股定理AB=JAO B O?即可得到菱形的边氏.解：如图，80=10,AC=24,四边形ABC。是菱形，.O A A C=12,O 8=g 8 D=5,AC1BD,AB=飞 AO。+BO。=13.故答案为：13.【点 拨】本题考查了菱形的性质和勾股定理的运用，掌握菱形的性质是解题的关键.23.13 120【分 析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长；由菱形面积公式即可求得面积.解：根据题意，设 对 角 线A C、8。相 交 于。，在 菱 形A8CD中，AO=1AC=5,BO=-B D =1 2,且AO_L8。，2 2AB=yjACP+BO2=13 菱形对角线相互垂直，二菱

31、形面积是SACx BO=120.2故答案为：13,120.【点 拨】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，注意菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求A 8的值是解题的关键.24.80【分 析】根据菱形的性质得到4 9 =A D =1()，再根据三角形的面积公式计算即可.解：连接A P 四边形A B C D 是菱形:.AB=A D.菱形A B C。的周长为4 0:.AB=A D =1OPE LAB,PF L A D二菱形A B C D的面积=2 x (S+)=2 x (1 x 1 0 -P E+1 x 1 0 -P F)=1 0(P E +P F)-.-PE+

32、PFS 菱形ABC。的面积=1 0 x 8=80故答案为：80.【点拨】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键.2 5.AB=CD【分析】当AB=CZ)时，有 EFLGH,连接G E、G F、HF,EH,根据三角形的中位线定理可得E G=G F=F H=E H,则四边形E 尸 GH是菱形，最后利用菱形的性质即可.解：当A 8=C O 时，有 E F L G H,理由如下：如图所示，连接G E、G F、H F、EH.G分别是A。、8。的中点，.：6是4 A3。是中位线：.EG=AB,同理=4 8,F G=|CD,BH=CD.又,：AB=CD:.EG=GF=FH=EH

33、.，四边形EFG”是菱形：.EFLGH.故答案为：AB=CD.【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定与性质，找到证明EFG”是菱形的条件是解答本题的关键.26.AD1BC(A D 与BC互相垂直)菱形的对角线互相垂直【分析】作NBAC的平分线，就是要证明这条射线是角平分线，把这条射线分得的两个角置于两个三角形中，为构造两个三角形，以 A 为圆心，任意长为半径作弧，交 AM 于点B,交AN于点C,满足AB=AC,然后分别以B、C 为圆心，A B 的长为半径作弧，两弧交于点D；由有 BD=CD,由 AD=AD,A B D A A C D,则/BA D=/CA D,脑筋的孩子，他继续对图形

34、进行探究：连接BD、C D 和 BC则 AB=BD=CD=AC,四边形 ABDC为菱形，BC与 AD是菱形的对角线，BC1AD,.解：以 A 为圆心，任意长为半径作弧，交 A M 于点B,交 A N 于点C；则 AB=AC,分别以B、C 为圆心，A B的长为半径作弧，两弧交于点D；则 BD=CD.VAD=AD,.,.ABDAACD(SSS),，ZBAD=ZCAD,.AD是/B A C 的平分线由作图知AB=BD=CD=AC,，四边形ABDC为菱形，/.BCAD.故答案为：B C L A D,菱形的对角线互相垂直.【点拨】本题考查尺规作图中角平分线的拓展问题，关键是掌握角平分线的作法依据全等三角

35、形,由于作图的半径相同，由要掌握菱形的判定与性质.2 7.A B A D(答案不唯一)【分析】根据平行四边形的判定证出四边形A5 c o是平行四边形，根据菱形的判定证出即可.解：添加的条件是A B=A D理由如下：.AB/CD,AD/BC,四边形A B C D是平行四边形，若 4 8=4 0,四边形A8C。是菱形.【点拨】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定等，能根据菱形的判定定理正确地添加条件是解此题的关键.2c。8 .2一5【分析】根据菱形的判定定理判断哪个条件合适，然后根据概率公式计算.解：根据菱形的判断，可得；能判定平行四边形A8CQ是菱形，2二能判定QABC。是菱形的概率是不，

36、2故答案为：j.【点拨】本题考查了菱形的判定，概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键.2 9.2 2 4 x 4 2#-2【分析】(1)根据折叠的性质知E C=BC-BE=6-4=2；(2)当片落在D E上时，作于4,由折叠的性质可证A =Q E,再利用AABH是含3 0。的直角三角形，从而求出。夕的长，即可解决问题.解：(1)：将AABE沿AE折叠，点&是 点8的对应点，：.AB=AB NB=NABE,.四边形A8CD是平行四边形，：.Z B=Z A D C,AB/CD,AD/BC,，NABE=NADC,：.BE/CD,：.BE/AB,.四边形A母讨是平行四边形，四边形ABEb是菱形，

37、二 EC=BC-BE=6-4=2,故答案为：2；（2）如图，当片落在。E上时，作AHLDE 手,V ZABH=60,AB=4,：.HB=AB=2,AH=4iHB=2y/3,在 RtX ADH 中，DH=j6?-（2后=2x/6.：AD/BC,：.Z DAE=ZAEB=ZAED,.4=OE=6,EB=BE=6-（2屈-2）=8-2瓜,二 EC=BC-BE=6-（8-2娓）=2娓-2,；若点8,落在ADE内（包括边界），则x的取值范围是24x426-2，故答案为：24x4 2 6-2.【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，含30。角的直角三角形的性质等知识，找到临界状态求出x的长是解题

38、的关键.30.相等 AD 垂直 BD 相等 AD略31.40【分析】由菱形性质解得C5=CD ZBCE=ZDCEf进而证明二 OCE(S4S),再由全等三角形对应角相等的性质，解得NEDC=NEBC,结合线段垂直平分线的性质解题即可.四边形ABCD是菱形，CB=CD,ZBCE=ZDCE在ABCE和中CB=CD NBCE=NDCECE=CE.BCE-DCE(SAS):.ZEDC=ZEBC 在菱形中 ABCD 中，ZABC=14O:.ZBAD=1800-ZABC=40BAC=-ZBAD=202 边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E,:.AE=BE:.ZABE=ZBAC=20Z.EBC=ZABC

39、-ZABE=120,ZEDC=20./DEC=180O-120-20=40故答案为：40.【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的性质，其中涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和180。等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.32.75【分析】根据菱形的性质先求出N B A C,再由折叠知A D=A B,从而求出N A D B 的度数.解：四边形ABCD为菱形，；.AB=BC=CD=AD,CDAB,VZD=120,.NDAB=60。，VA C为菱形ABCD的对角线，/BAC=30,将菱形沿直线A E翻折，使点D 恰好落在对角线AC上，.,.AD=AD,.,.AD

40、=AB,ZADB=(180-ZBA C)=75,故答案为：75.【点拨】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键.33.2 4【分析】先证明四边形A8EF是菱形，可得再由NABC=60。，可得/ABF=30。，胆P=60。，从而得到AP=AB=2,再过点P 作于M,可得AM=，AP=1,2 2PM=y/3,再由勾股定理，即可求解.解：四边形4BCO是平行四边形，J.AD/BC,：.NAFB=NFBE,尸平分/ABC,NABF=NFBE,：.NABF=NAFB,.AB=AFf同理：.AF=BE：k F BE、四边形ABM是平行四边形，.四 边 形 是 菱 形，：.AEBFt

41、*./13【分析】首先由CE/8。，DE/AC,可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形4BCO是矩形，根据矩形的性质，易得OC=。，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案.解：JCEHBD,DE/AC,四边形CODE是平行四边形，：四边形48CZ）是矩形，：.ACBD,OAOC,O B=O D,，o o=o c=N c，四边形CODE是菱形，：AO=2,48=3,.AC=722+32=V13,四边形CODE的周长为：4 0 c=2 A C=2 jB.故答案为：2折.【点拨】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质.此题难度不大，注意证得四边形 CODE是菱形是解此题的关键.35.20

42、 24【分析】首先由AC与 8。互相垂直且平分，可证得四边形ABC。是菱形，又由BD=6,AC=8,即可求得答案.解：AC与 8。互相垂直且平分，.,.AO=A8=BC=CQ,四边形A3CD是菱形，VBD=6,AC=8,.OA=g AC=4,8 0=3,*-AB =ylOA2+O B2=5，二四边形周长为：4x5=2 0,面积为：y x6x8=24.故答案为：20,24.【点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理是解题的关键.36.4【分析】由作法知四边形0AC8为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求0C.解：由作图可知：OA=OB=AC=BC,

43、，四边形0 4 cB 为菱形，：.AB1OC,1,菱形OACB=2 AB OC=4cm-,又 AB=2cm,OC=4cm.故答案为：4.【点拨】本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的.37.(1)证明见解析(2)ZEAF=70【分析】(1)根据菱形的性质可得A8=A,N B=/D,然后利用AAS证明 A B EgaA D F即可得结论；(2)根 据 菱 形 的 性 质 和 110,即可求/划尸的度数.(1)解：AEBC,AFA.CD,：.NAEB=/AFD,四边形4BCO是菱形，：.AB=AD,ZB=ZD,在Zk/WE和 4 1 中，NA

44、EB=NAFD,N B=/D,AB=ADAABEAAD F(AAS),：.BE=DF-,.四边形A3CD是菱形，AD/BC,：.ZBAD+B=180,：.ZBAD=110,，NB=70 AE 1BC,：.乙4EB=90。，二 NBAE=20,A ZDAF=20,N EAF=N BAD-N BAE-N DAF=110-20-20=70【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明AABE和4。尸全等是解题的关键.38.(1)见解析(2)4 AOE的周长为18【分析】(1)根据菱形的性质可得AB CD,A C 1 B D,再由DELL B O,可得OEA C,即可求证；(2)根据平行四

45、边形的性质可得DE=AC=8,AE=C D,再由菱形的性质可得OD=BD=3,OA=AC=4,CD=AE,从而得到 AZ)=5,从而得到 4E=C)=AD=5,即可求解.(1)证明：在菱形 A3CD 中，AB/CD,ACYBD,：.CD/AE,:DELBD,.,.DE/AC,四边形A 8 E是平行四边形；(2)解：；四边形ACOE是平行四边形，AC=8,BD=6,：.DE=AC=S,AE=CD,在菱形 A8CD 中，AC1BD,0D=-BD=3,OA=-A C =A,CD=AE,2 2ZAOD=9 0,A D =O l+O D2=5,：.AE=CD=AD=5,：.A Q E 的周长为 A E+

46、A O+r E =5+5+8 =1 8.【点拨】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键.3 9.(1)8/)=1 0 c m,A C=1()百 c m (2)菱形的面积为5 0 e c m?【分析】(1)利用已知条件易求8。的长，再由勾股定理可求出A。的长，进而可求对角线A C的长；(2)利用菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得面积.(1)解：在菱形 A B C。中，A 8=A O=1 0 c m,/8 4。=6 0 ,是等边三角形，/.5 0=1 0 c m.由菱形的性质知A C L B D,B O=D

47、 O,OA=O Cf/.BO=g B D=5 c m,在 R s 中，A O=J AB?-BO?=5石 c m,/.AC=2 AO=1 0 7 3 (c m).(2)解：菱形的面积为3 x 1 0 x 1 0 6 =5 0 6 (c m2).【点拨】本题主要考查的是菱形的性质：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，还考查了勾股定理的应用.4 0.见 解析【分析】根据菱形的性质可得到C B =8,Z B C A =Z D C A,已知公共边CE,所以利用即判定 BEC=D E C,从而得到 BE=DE.解：四边形488是菱形CB=CD：AC是菱形ABCD的对角线,：ZBCAZDCA：CD=CB

48、,ZDCA=ZBCA,CE=CE：.BECADEC:.BE=DE【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质.41.(1)证明见解析(2)AB=BC(答 案 不 唯-)【分析】(1)根据平行线的性质得出NA4O=NECO,ZABO=ZCDO,进而利用A4S证明与AC W 全等，再利用平行四边形的判定解答即可；(2)根据菱形的判定解答即可.(1)解：/AB/CD：.ZBAO=ZDCO,ZABO=NCDO,在AABO与&DO中，ZBAO=ZDCO NABO=ZCDO,OA=OC：.ABOACDO(AAS)AB=CD四边形ABC。是平行四边形.(2)

49、解：添加：ABBC(答案不唯一).证明：V AB=BC,又：四边形A8C。是平行四边形，四边形ABCD是菱形.【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识.熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键.42.(1)见 解 析(2)见解析【分析】(1)根据题意结合对顶角相等，直接证明AOE且即可；(2)由(1)可得E O=DO,根据AO=CO,证明四边形AECD是平行四边形，由A8=8C,AO=C O,证明8。，A C,即可证明四边形人；8是菱形.(1)解：在 4OE和 COD中，ZEAO=ZDCO，AO=C。ZAOE=ZCOD：.AAOE/CO D(ASA)

50、,(2)证明：,40E丝COD:.EO=DO：AO=CO四边形AEC)是平行四边形AB=BC,AO=CO:.BD AC，四 边 形 是 菱 形【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.43.(1)证明见解析；(2)ZBDE=35.【分析】(1)由题意可证BE=OE,四边形8EDF是平行四边形，即可证四边形8EO尸为菱形；(2)先根据二角形的内角和定理得出/A B C =18(T-80-3(r =7 0，再由菱形的性质可求解.解：V DE/BC,DF/AB,四边形DEBF是平行四边形,:DE/BC,A EDB=