2023年浙江省高三物理高考复习专题知识点模型精讲精练第19讲竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题（含详解）.pdf

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1、第19讲竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题I真题示例1.（2 0 2 2 江苏）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略.空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆,每根臂杆长为L.如 图 1 所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m 的货物.在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2 L、角速度为3的匀速圆周运动，运动到A点停下.然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t 到达B点，A、B间的距离为L。（1）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P o（3）在机械臂

2、作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上.货物与空间站同步做匀速圆周运动.已知空间站轨道半径为r,货物与空间站中心的距离为d,忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比Fi：F2。一.竖直面内的圆周运动一一“绳”模 型 和“杆”模型1 .在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等），称 为“绳（环）约束模型”；二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称 为“杆（管）约束模型”。2 .绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型阈 r 、均是没有支撑的小球均是有支撑的小

3、球受力特征除重力外，物体受到的弹力向下或等于零除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上/定 单 型卜I判断是轻绳模型还是轻杆模型对轻绳模型来说能否通过最高点的一 7 临界速度是匕=而.而对轻杆模型/确定临界点儿 来说过最高点的临界速度为零受力示意图mg mgo 1。mg mg mg0 1。1()过最高点的临界条件2由/ng=m1得v峪=由小球恰能做圆周运动得人,=0讨论分析(1)过最高点时，R2+m g m,绳、圆轨道对球产生弹力R(2)不能过最高点时，vgr,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当 r=0 时，FN=mg,K为支持力，沿半径背离圆心(2)当 0 小 伍 时，加 g-=不

4、，K背离圆心，随/的增大而减小(3)当/=也不寸，区=02 当 心 立 而，K+侬=/初 K指向圆心，并 随 P 的增大而增大o1反 士 HrHg 日 刀 日 HR g L|通常情况下竖直平面内的圆周运动只3.竖直面内圆周四动|可题的解题思路/研生状也为I涉及最高点和最低点的运动情况/,对物体在最高点或最低点时进行受力/受 力 分 析卜分析，根据牛顿第二定律列出方程/公.1应用动能定理或机械他守恒定律将/戊 程 分 析卜-1初、末两个状态联系起来列方程二.例题精析题型一、杆球模型例 1.一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端0 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说

5、法正确的是()0：、-，/A.小球过最高点时,杆所受到的弹力可以等于零B.小球过最高点的最小速度是病C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小题型二、绳球模型例 2.如图甲所示，轻绳一端固定在。点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v,测得相应的轻绳弹力大小F,得到F-v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为（0,-b）,斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）该小球的质量为bgC.图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零D.当丫2=2

6、时，小球的向心加速度为g三、举一反三，巩固提高1.如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，小球沿圆轨道在竖直平面内做圆周运动，铁块始终保持静止，重力加速度为g。则下列说法正确的是（）小球在圆轨道A 点时，地面受到的压力等于铁块和小球的总重力B.小球在圆轨道B 点时，地面受到的摩擦力方向水平向左C.小球在圆轨道C 点时，地面受到的压力一定不为0D.小球在圆轨道D 点时，其加速度方向水平向左2.如图所示，长为L 的悬线固定在O 点，在 O 点正下方，处有一钉子C.把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的“孙-Q mK

7、/r y,；.J*A.线速度突然增大为原来的2 倍B.线速度突然减小为原来的一半C.向心加速度突然增大为原来的2 倍D.悬线拉力突然增大为原来的2 倍如图所示，粗糙程度处处相同、倾角为e 的倾斜圆盘上，有一长为L的轻质细绳，一端可绕垂直于倾斜圆盘的光滑轴上的0 点转动，另一端与质量为m 的小滑块相连，小滑块从最高点A 以垂直细绳的速度vo开始运动，恰好能完成一个完整的圆周运动，则运动过程中滑块受到的摩擦c 皿 诺 心)47rLm(VQ-gLsinO)m 诏47rL 2nLD.皿47rL3.如图甲所示，长为R 的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O 做圆周运动，小球到达最高点时

8、受到杆的弹力F 与速度平方v2的关系如乙图所示，则（）小球到达最高点的速度不可能为0RB.当地的重力加速度大小为工bC.v2V b时，小球受到的弹力方向竖直向下D.丫 2=。时，小球受到的弹力方向竖直向下4.如图所示，细绳的一端固定于O 点，另一端系一个小球，在 O 点的正下方钉一个钉子P,小球从左侧一定高度摆下（整个过程无能量损失）。下列说法中正确的是（）oA.在摆动过程中，小球所受重力和绳子拉力的合力始终等于向心力B.小球经过最低点时，加速度不变C.小球经过最低点时，速度不变5.D.钉子位置离。点越近，绳就越容易断如图所示，竖直杆0 P 光滑，水平杆OQ粗糙，质量均为 m 的两个小球穿在两

9、杆上，并通过轻弹簧相连，在图示位置AB连线与竖直方向成。角时恰好平衡，现在让系统绕0 P 杆所在竖直线为轴以从零开始逐渐增大的角速度3转动，下列说法正确的是（）C.小球A 与杆的摩擦力随3的增大而增大D.开始的一段时间内，B 小球与杆的弹力随3的增大而可能不变6.（多选）如图甲所示，一长为R 的轻绳，一端穿在过。点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕0 点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v2的关系如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a,下列判断正确的是（）甲乙 A.利用该装置可以得出重力加速度，且 g=2B.绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图

10、线斜率更大C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线a 点的位置不变如图所示，有一长为L 的细绳，一端悬挂在A 点，另一端拴一质量为m、电量为q 的带有负电荷的小球；悬 点 A 处放一正电荷，电量也为q。如果要使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动,如图所示。若已知重力加速度为g,则（）BA.小球到达最高点D 点速度的最小值为痛B.小球到达与A 点等高的C 点受到绳子拉力的最小值为2mgC.小球到达最低点B 点速度的最小值为J 券+4 TTIJLD.小球到达最低点B 点受到绳子拉力的最小值为6mg7.如图所示，带有支架总质量为M 的小车静止在水

11、平面上，质量为m 的小球通过轻质细绳静止悬挂在支架上的0 点，绳长为L。现给小球一水平初速度vo让小球在竖直平面内以0 点为圆心做圆周运动，小球恰能通过最高点A,其中A、C 为圆周运动的最高点和最低点，B、D 与圆心0等高。小球运动过程中，小车始终保持静止，不计空气阻力，重力加速度为g。则（）D：0 Lmg勿力物 切 物 如 物 物，A.小球通过最低点C 的速率为为=J4gLB.小球通过最低点C 时，地面对小车支持力大小为Mg+6mgC.小球通过B 点时，小车受地面向左的摩擦力大小为2mgD.小球通过D 点时，其重力功率为零8.如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点0 在竖直面内做圆周运动，小

12、球经过最高点的速度大小为v,此时绳子拉力大小为FT,拉 力 FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据 a 和 b 以及重力加速度g 都为已知量，不计空气阻力，以下说法正确的是（）甲 乙 A.小球机械能可能不守恒B.如果小球能完成竖直面内做圆周运动，最低点与最高点拉力大小之差与v无关C.小球的质量等于士gD.圆周轨道半径2g9.现将等宽双线在水平面内绕制成如图1所示轨道，两段半圆形轨道半径均为R=K m,两段直轨道AB、A B长度均为1=1.35m。在轨道上放置个质量m=O.lkg的小圆柱体，如图2所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O连线的夹角。为120,如图3所示，两轨道与小

13、圆柱体的动摩擦因数均为日=0.5,小圆柱尺寸和轨道间距相对轨道长度可忽略不计，初始时小圆 柱 位 于A点 处，现 使 之 获 得 沿 直 轨 道A B方 向 的 初 速 度v o。求：(1)小圆柱沿A B运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f i、f2的大小；(2)当vo=6m/s,小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力N i、N2的大小；(3)为了让小圆柱不脱离内侧轨道，vo的最大值，以及在vo取最大值情形下小圆柱最终滑过的路程s。第19讲竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题真题示例_一1.（2 0 2 2 江苏）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽

14、略.空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆,每根臂杆长为L.如 图 1 所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物.在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2 L、角速度为3 的匀速圆周运动，运动到A点停下.然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t 到达B点，A、B间的距离为L o时受到的向心力大小F n o（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上.货物与空间站同步做匀速圆周运动.已知空间站轨道半径为r,货物与空间站中心的距离为d,忽略空间站对货物的

15、引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F i：F 2。【解答】解：（1）货物做匀速圆周运动，向心力4 =2 小 乙 32 设 货 物 到 达 B点的速度为v,根据匀变速规律乙=9，得 v=第2L货物的加速度。=3=禹=与根据牛顿第二定律，机械臂对货物的作用力 F=m a=鬻机械臂对货物做功的瞬时功率P=F v=粤 x华=警（3）设地球质量为M,空间站的质量为m o,地球对空间站的万有引力为F,根据万有引力定律F=G饕地球对货物的万有引力后=等 联立得2竺=m F2（r-d）设空间站做匀速圆周运动的角速度为3 0,根据牛顿第二定律对空间站F=mora）Q对货物F2-&=m（r-d）3

16、,联立解得=r:二 丁:F2 r3答：（1）货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小为2m3?L；4?71乙 2（2）货物运动到B 点时机械臂对其做功的瞬时功率为r3（r d）3（3）货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比为一rA竖直面内的圆周运动一一“绳”模 型 和“杆”模型1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类:一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等），称 为“绳（环）约束模型”；二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称 为“杆（管）约束模型”。2.绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型/燃 啰均是没有支撑的小球8均是有支撑的小球受

17、力特征除重力外，物体受到的弹力向下或等于零除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上受力示意图人 .mg00 V?mg0mg mg0()过最高点的临界条件由勿名=不得由小球恰能做圆周运动得K=0讨论分析（1）过最高点时，/2 4 1，Fz（1）当卜=0 时，R=mg,K 为支持力，沿半径背离圆心+侬=丘，绳、圆轨道对球产生弹力K(2)不能过最高点时，vylffr,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道2 当 0 b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2=c时，杆对小球弹力方向向下，故 C 错误、D 正确。故选：D。如图所示，细绳的一端固定于O 点，另一端系一个小球，在 O 点的正下方钉一个钉子P,小

18、球从A左侧一定高度摆下（整个过程无能量损失）。下列说法中正确的是（）yA.在摆动过程中，小球所受重力和绳子拉力的合力始终等于向心力B.小球经过最低点时，加速度不变C.小球经过最低点时，速度不变D.钉子位置离O 点越近，绳就越容易断【解答】解：A、小球在下摆的过程中，小球速度逐渐变大，小球所受重力和绳子拉力的合力改变小球的速度大小和方向，故 A 错误；2BC、细绳与钉子相碰前后线速度大小不变，半径变小，加速度a=变大，故 B 错误，C 正确；V2D、O P间距离越小，绳子被钉子挡住后做圆周运动的半径越大，根据T-m g=m 可知，绳上的拉力越小，则细绳越不容易断，故 D 错误;故选：Co5.如图

19、所示，竖直杆0 P 光滑，水平杆0 Q 粗糙，质量均为m 的两个小球穿在两杆上，并通过轻弹簧相连，在图示位置A B 连线与竖直方向成e 角时恰好平衡，现在让系统绕0 P 杆所在竖直线为轴以从零开始逐渐增大的角速度3转动，下列说法正确的是（）C.小球A 与杆的摩擦力随3的增大而增大D.开始的一段时间内，B 小球与杆的弹力随3的增大而可能不变【解答】解：A.开始未转动时恰好平衡，A 受杆的摩擦力水平向右恰好达最大值，如果3从零开始增大，那么由整体法可知A、B 竖直方向受力平衡，则 A 与 OQ杆的弹力与A、B 的重力平衡，所以大小是2mg不变，故 A 错误；B C.随着角速度3的增大，在 A 相对

20、0 Q 不动时，设弹簧对A 的拉力的水平分力为F,由F-f=mw2r可 知 A 与杆的摩擦力先减小到零，然后反方向增大，直 到 A 开始移动到新的相对平衡位置，故BC错误；D.在 A 球相对O Q 不动的过程中，弹簧长度不变，此过程中B 与杆的弹力也不变，故 D 正确。故选：D。6.（多选）如图甲所示，一长为R 的轻绳，一端穿在过。点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕0 点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v2的关系如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a,下列判断正确的是（）R J 6 F甲 乙 A.利用该装置可以得出重力加速度，且g=2B.绳长不

21、变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线a点的位置不变【解答】解：A、在最高点，根据牛顿第二定律得，mg+F=m,解 得F=n iR-7 n g,则/=R k臂+g R,由图线知，纵轴截距2=8已 解得重力加速度g=小故A错误。B、由/=臂+。/?知，图线的斜率k=A，绳长不变，用质量较大的球做实验，得到图线的斜率更小，故B错误。C、由 2=臂+。/?知，图线的斜率k=A，绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大，故C正确。D、由/=+gR知 纵 轴 截 距 为g R,绳长不变，则a点的

22、位置不变，故D正确。7.故选：CD。如图所示，有一长为L的细绳，一端悬挂在A点，另一端拴一质量为m、电量为q的带有负电荷的小球；悬 点A处放一正电荷，电量也为q。如果要使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，如图所示。若已知重力加速度为g,则（）D（月+q jcB A.小球到达最高点D点速度的最小值为演B.小 球 到达与A点等高的C点受到绳子拉力的最小值为2mgC.小球到达最低点B点速度的最小值为J鬻+4gLD.小球到达最低点B点受到绳子拉力的最小值为6mg【解答】解：A.小 球 到 达D点速度的最小时，满 足 等+m g=m*L a L t因此最小速度为VD=J鬻+gL故 A 错误;1 o i

23、B.在 C 点，速度最小时，拉力最小，从 D 到 C 的过程中，机械能守恒；nw j+m gL=亍7 n比2/kq2 诏-+T-mT解得T=3mg故 B 错误；C.从 D 到 B 的 过 程 中 满 足 机 械 能 守 恒;+mg 2L=因此B 点速度的最小值VB=J 鬻+5gL故 C 错误；D.在 B 点，根据牛顿第二定律T+缉 m g=m L2 L解得T=6mg故 D 正确。8.故选：D。如图所示，带有支架总质量为M 的小车静止在水平面上，质量为m 的小球通过轻质细绳静止悬挂在支架上的O 点，绳长为L。现给小球一水平初速度vo让小球在竖直平面内以0点为圆心做圆周运动，小球恰能通过最高点A,

24、其中A、C 为圆周运动的最高点和最低点，B、D 与圆心O 等高。小球运动过程中，小车始终保持静止，不计空气阻力，重力加速度为g。则()小球通过最低点C 的 速 率 为%=14gLB.小球通过最低点C 时，地面对小车支持力大小为Mg+6mgC.小球通过B 点时，小车受地面向左的摩擦力大小为2mgD.小 球 通 过 D 点时，其重力功率为零【解答】解：A、小球恰能通过最高点A,此时细绳拉力等于零，重力提供向心力，以小球为研究对象，由牛顿第二定律得：mg=m乎，解得，小球经A 点时的速度大小VA=V ,从 C 到 A,根据动能定理：-mg 2L=以一m诏，解得，小球在C 点速度大小为vo=故 A 错

25、误；B、小球通过C 点时，由牛顿第二定律得：Fc-m g=m ,解得，此时绳子拉力大小Fc=6mg,由牛顿第三定律可知，绳子对小车的拉力大小Fc=F c=6 m g,以小车为研究对象，由平衡条件得，此时地面对小车的支持力大小为FN=Mg+Fc=M g+6m g,故 B 正确；C、从 A 点到B 点，根据动能定理得:mgL=1mv|一上若,解得,小球在B 点速度为VB=3gL,小球通过B 点时、由牛顿第二定律得：FB=m琏，解得，绳子对小球的拉力大小FB=3 m g,方向L向左，所以细绳对小车的拉力方向向右，以小车为研究对象，由平衡条件，小车受到向左的摩擦力，大小为3 m g,故 C 错误：D、

26、小球通过D 点时速度方向沿竖直方向，重力竖直向下，重力的功率不为零，故 D 错误。故选：Bo如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点0 在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v,此时绳子拉力大小为FT,拉 力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据 a 和 b 以及重力加速度g 都为已知量，不计空气阻力，以下说法正确的是（）甲 乙 A.小球机械能可能不守恒B.如果小球能完成竖直面内做圆周运动，最低点与最高点拉力大小之差与v 无关aC.小球的质量等于一9D.圆周轨道半径9【解答】解：A、小球在竖直平面内做圆周运动，由于绳子拉力不做功，只有重力做功，所以机械能守恒，故 A 错误;

27、D、小球在最高点，根据牛顿第二定律：F T+m g=得 FT=m一1-m g,根据图象，当FT=0 时，v2=a=g r,所以r=*故 D 错误；C根据图象，v2=2a时，F T=b,代入FT=f m g,解得b=m g,所以01=去 故 C 错误；B、小球在竖直平面做完整的圆周运动，设最高点对应的速度为V I,最低点对应的速度为V 2,小球在最高点，根据牛顿第二定律：F T i+m g=m f小球在最低点，根据牛顿第二定律：FT2 -m g=小球从最高点到最低点，根据动能定理：2 m g r=m v 2 2-去n v 联立解得：FT2 -F T i=6 m g,与速度无关，故 B正确。故选：

28、B.现将等宽双线在水平面内绕制成如图1 所示轨道，两段半圆形轨道半径均为R=gm,两段直轨道A B、A，B长度均为l=L 3 5 m。在轨道上放置个质量m=O.l k g 的小圆柱体，如图2所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心0连线的夹角。为 1 2 0 ,如图3所示，两轨道与小圆柱体的动摩擦因数均为=0.5,小圆柱尺寸和轨道间距相对轨道长度可忽略不计，初始时小圆 柱 位 于 A 点 处，现 使 之 获 得 沿 直 轨 道 A B 方 向 的 初 速 度 v o o 求：(1)小圆柱沿AB运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f i、f 2 的大小；(2)当 v o=6 m/s,小圆柱刚经B点

29、进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力N i、N 2 的大小；(3)为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v o 的最大值，以及在v o 取最大值情形下小圆柱最终滑过的路程S o【解答】解：(1)圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面面圆心o连线的夹角e为 1 2 0 ,根据对称性可知，两侧弹力大小均与重力相等为1 N,内外轨道对小圆柱的摩擦力为：f i =f 2 =p N,解得：f i=f 2=0.5 N(2)当 v o=6 m/s,小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时，根据动能定理可得：-m v2 =(f i+f 2)12 2 u解得：v=3 m/sv2在 B 点受力分析：N j s in 6 0 -N 2 s

30、 in 6 0 =m，N ic os6 00+N 2c os6 00=m gR联立解得:N i=0.9 5 N,N 2=0.35A/3N(3)为了让小圆柱不脱离内侧轨道,vo最 大 时,在B点：N isin6 0=m ,N*ic os6 0=m gR1 1 c根据动能定理可得：-ytnvQm=-(f i+f 2)12 4联立解得：V O m=/及m/s在圆弧上受摩擦力仍为：f=(f i+f 2)=n(N 1+N 2),解得：f=lN1-根据动能定理可知：-mvom=f s,解得：s=2.8 5 m答：(1)小圆柱沿AB运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f i、f 2的大小都为0.5 N：(2)外轨和内轨对小圆柱的压力N i、N 2的大小分别为0.9 5 N,0.35 V 3 N；(3)为了让小圆柱不脱离内侧轨道，vo的最大值为府m/s,以及在vo取最大值情形下小圆柱最终滑过的路程s为2.8 5 m。