2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.7矩形的性质与判定（巩固篇练习）.pdf

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1、专题1.7矩形的性质与判定（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、利用矩形的性质求线段 角度及面积1.如图，在矩形中，对角线AC与 8。相交于点O,A E L B D 于点E,Z D A E=2 B A E,4）=4,则0 E=（）2.如图，。是矩形ABC。的对角线交点，AE平分NBA。，ZAOD=20,N A E0的度数 为（）A.15 B.25 C.30 D.353.两张全等的矩形纸片ABC。，AECF按如图的方式叠放在一起，=若 AB=3,BC=9,则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A.15 B.14 C.13类型二、利用矩形的性质和判定证明4.若顺次连接矩形的各边中点所得的四边形一定是

2、（A.菱形 B.矩形 C.正方形D.12）D.平行四边形5.如图，在矩形ABC。中，4B=3cm,A D=5 c m,点 E 为 BC上的一点，平分N4EC,则B E的 长 为（)C.5cmD.6cm6.如图所示，矩形ABC。中，AE平分N 84O 交 3C 于 E,ZCAE=5,则下面的结论:ODC是等边三角形；BC=2AB；S 10E=SzC 0E,其中正确结论有（）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个类型三直角三角形斜边上中线问题7.如图，四边形A8CD是菱形，对角线A C、相交于点0,过点。作_L 于点、H ,连接O”,Z C A D =20,则/归。的度数是（）A.20 B

3、.25 C.30 D.358.如图，菱形4BCD的对角线AC,BD相交于点。，过点力作 归，A3于点“，连接 O H,若 OA=4,O H =2,则菱形48C C 的面积为（）A.8B.16C.24D.329.如图，点 4 的坐 标 为（4,3）,A B L t轴于点8,点 C 为坐标平面内-一 点，OC=2,点。为线段AC的中点，连接8 0,则 8。的最大值为（)类型四、添加一个条件构成矩形3百Vz -2D.10.如图，在四边形ABC。中，点 E,F,G,”分别是4 力，BD,BC,CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形A8CO需满足的条件是（）C.AC1.BDD.AB=DC11.在Q

4、ABC。中，对角线AC,8。相交于点0,只需添加一个条件，即可证明QABC是矩形，这个条件可以是（）A.AB=BC B.AC=BD C.ACBD D.ZAO8=6012.如图，平行四边形45。的对角线AC与 BO相交于点。，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A.AD=AB B.AB A.AD C.AB=AC D.CALBD类型五、证明四边形是矩形13.如图，在AABC中，点。、E、尸分别是4 8、BC、AC的中点，则下列四个判断中,不正确的是（)D.A.四边形ADEF是平行四边形 B.若乙4=90。，则四边形AOEF是矩形C.若 A8=A C,则四边形AZ）EF是菱形D.若 四 边

5、 形AZJEF是 正 方 形，则I B C 是 等 边 三 角 形14.如图，在锐角 A8C中，延长8C 到点。，过点。作直线MV 8C,MN分别交N A C8、NACO的平分线于E,连接4E、A F,在下列结论中：O E=O F；C E=C F；若 CE=1 2,则 OC的长为6；当AO=CO时，四边形AECF是矩形.其中正确的是（）A.B.C.D.15.如图，在平行四边形ABC。中对角线AC、8 0 交于点O,并且ND4C=60。，Z A D B=1 5.点 E 是 A。边上一个动点，延长E。交 BC于点凡 当点E 从。点向4 点移动过程中（点 E 与点D,A 不重合），则四边形4FCE的

6、变化是（）A.平行四边形一矩形-平行四边形-菱形一平行四边形B.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形一平行四边形C.平行四边形一矩形一平行四边形一正方形一平行四边形D.平行四边形一矩形一菱形一正方形一平行四边形类型六、利用矩形的性质与判定求线段 角度及面积16.将矩形ABCO绕点A顺时针旋转a（O360）,得到矩形型 G.当GC=GB时,下列针对a 值的说法正确的是（)A.60或300 B.60或330 C.30 D.6017.如图，在矩形ABC。中，点 E、F、G、分别是边4 3、B C、C D、D 4上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、B F=D H,且 AB=10、B

7、C=5,则四边形EFG”周长的最小值等于（）A.10 x/5B.1073C.56D.5 G18.如图，在平行四边形ABC。中，A D =3,C D=2.连接A C,过点8 作 BE7/AC,交 OC的延长线于点,连接A E,交 B C 于点E若Z A F C=2 Z D,则四边形ABEC的面积C.6 D.2如二、填空题类型一、利用矩形的性质求线段 角度及面积19.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,B D 交于点、O,C E平分/A D C 交 BC于点E,连接 O E.若N B D E=1 5。,则 NZ）OE=.20.如图，矩形ABC力中，AB=3,4。=5.点 E 是 BC边上一动点，连

8、接A E.将 ABE沿 AE翻折得到A A E F,连接Q F.当AADF的面积为|时，线段8E的长为.21.如图，在矩形ABC。中，点 E、F 分别是48、CZ）的中点，连接OE和 B F,分别取D E、B尸的中点M、N,连接AM、C N、MN.若 AB=3,BC=2石，则图中阴影部分的面类型二、利用矩形的性质和判定证明22.如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为（3,3）,过点8 作轴于点A,BCLy轴于点C.若直线/：y=m x-2 m C m 0）把四边形OABC分成面积相等的两部分，则m的 值 为.7-C-1 5O A x2 3.如图，线段AB=1O,点。是线段AB上的一个动点（

9、不与点4 重合），在 AB上方作以AD为腰的等腰A C D,且NCAO=120。，过点。作射线3PJ_C。，过 OP上一动点G（不与。重合）作矩形C C G 4,其对角线交点为O,连接。B,则线段0B 的最小值为H24.如图，矩形ABC。中，AB=4,B C =3,矩形EFGH的顶点E,G,”分别在矩形 ABC。的边AB,CD,D 4上，且 4 4=1,则点尸到BC的距离的最大值为类型三直角三角形斜边上中线问题25.在 AABC中，ZC=90,NA=30。，。是 AB 的中点，C D =3,则 AC=26.如图，在AABC中，和 AE分别是边BC上的中线和高，己知A D =3,AC=2,ZBA

10、C=90 ,求高 AE=27.如图，在AABC中，ZC=90,A C =4,BC=2,点A、C 分别在x 轴、y 轴上,当点A在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点 8 到原点的最大距离是类型四、添加一个条件构成矩形28.如图，连接四边形ABC。各边中点，得到四边形EFG”,还要添加条件，才能保证四边形E F G H是矩形.29.如图，四边形ABCD中，ADBC,/D=90。，要使它变为矩形，需要添加的条件（写出一种情况即可）A DB-IC30.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E,使 D E=A D,连接EB,EC,DB请 你 添 加 一 个 条 件，使四边形D

11、BCE是矩形.E类型五、证明四边形是矩形31.如图，菱形中，点。为对角线的交点，E、F、G、”是菱形A 8C3的各边形 A C E,连接C。、B E,四边形AQFE是平行四边形.中点，若 AC=6,BD=8,A H三B F C3 2.如图，ABC中，则 四 边 形E F G H的面积为_ _ _ _ _.DI分别以A8、A C为边在 A B C外作等边三角形48。和等边三角DF(1)当N84C的度数为 时，平行四边形4OFE是矩形；(2)当NBAC的度数为 时，平行四边形ACFE不存在；(3)当AABC满足 时，平行四边形AOFE是菱形.33.数学兴趣小组根据赵爽弦图启发设计了如图图形:其中四

12、边形ABCZ)为菱形,AOH、CBF、A EB、CGO均为直角三角形.若A H=,DH=l,CG=2,则 EF的长为.类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积34.如图，在平行四边形 ABC。中，AB=2,A N=4,求四边形3CMN的面积.39.如图，在AABC中，AO是 BC边上的中线，E 是 4。的中点，过点A 作A尸 8 c交 8E的延长线于点F,连接CF.(1)求证：A F =DC-,(2)若 AB LA C,C F=2,求四边形ADC尸的周长.4 0.如图，四边形A8C。对角线AC、8 0 相交于点。，且NABC=90。，,BE/AC,CE/DB,求证：四边形OBEC是菱形.

13、从以下三个选项中选两个作为已知条件:A D/B C,AB=CD,A D=B C,并完成证明.你选择的条件是_ _ _ _ _ _ _4 1.如图，在平行四边形A8C。中，BE平分/A B C,且 与 边 相 交 于 点 E,N A E B=45.(1)求证：平行四边形ABC。是矩形；(2)连 接 C E,若CE=下,O E=1,求 A。的长.参考答案I.A【分析】设 N 8 4 E=a,则 ND4E=2 a,利用 3a=90。求Hl N8AE=30。，进一步得4 Z 月=30。，设A B =x,则比=2 x,利用勾股定理求出/二九3,再求出0 8,B E,利用0=。5-8 求解3即可.解：设则

14、 NZM=2 c,，3a=90。，得：a=30。，即 N8430。，,:A E J L B D，：.ZA B D=6 0f A A D B=,;AD=4,设 AB二x,则 BD=2x,AX2+22=4X2,解之得：x=型,3.4 7 3 p n_8V33 3.DZ7 1 人 口 2 G B E=A B =-,2 3*/B O，B D =，2 3，O E=O B-B E =,3故选：A.【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半.解题的关键是求出NA4E=30。，N 3=3 0。，再利用勾股定理，2 所对的直角边等于斜边的一半，求出B E,B O.2.C【分析】根据矩

15、形的性质可得OB=OC,A D/B C,/ABC=NBAD=90。，又由AE平分/BAD,ZA O D=2 0,即可求得NOBC和NAEB 的度数，以及 A B=B E,A B O A=O B,即可得 O B=B E,N B O E=N B E O,即可求得N 0E 8的度数解：；四边形A8c。是矩形，：.A D/B C,ZA B C=ZB A D=9Q 01 A C=B D,O B=B Df O C=A C,：.O B=O C,：./O B C=/O C B,VZBOC=ZAOZI20,/.N 0 8 0 3 0。，TAE 平分 N 84。，AZBAE=ZAD=45,工 NAEB=/EAD=

16、/BAE=45。,；.AB=BE,/ZA0D=120 f；ZAOB=60f：.AB=OA=OBf：.0B=BEf：.ZBOE=ZBEOf：.ZOEB=75,:.ZAEO=Z OEB-Z?lEB=75o-45o=30o,故 C 正确.故选：C.【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.3.A【分析】先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形AGC”是平行四边形，再根据三角形全 等 的 判 定 证 出 5G 二ACEG,根据全等三角形的性质可得AG=C G,设AG=CG=x,则8G=9-x,然后在中，利用勾股定理求出工的值，

17、最后根据平行四边形的面积公式即可得.解：,如图，在两张全等的矩形纸片A3CO,AECF中，AB=AF=3,.CE=AB=3,ZB=ZE=90MZ)|BC,A|CF,四边形AGC”是平行四边形，在aASG和 CEG中，/AGB=NCGEJAE2-A B2=代-3?=4cm故选：B.【点拨】本题主要考查了矩形的性质及勾股定理的运用，熟练掌握矩形的性质和运用勾股定理是解答此题的关键.6.C【分析】由矩形的性质得OA=O O=O C=O 8,再证NACO=60。，得 OCC是等边三角形，故正确；然后由含30。角的直角三角形的性质得A C=2A 8,则 2A B 8C,故错误；最后由。4=O C 得 S

18、zA O E=LCO E,故正确；即可求解.解：；四边形4 8 c o 是矩形，：.AD/BC,N8A O=NABC=/AQC=90。，0A=OC,0D=0B,ACBD,：.O AOD=OCOB,平分 N8/W,.ND4E=45。，：ZCAE=50,；.NQAC=45-15=3O。，ZACD=90-/D 4 c=90-30=60,；OD=OC,.o n e 是等边三角形，故正确：:ADM BC,ZACB=ZDAC=30,：ZABC=90,.C=2A 8,：.2A B B C,故错误；：OA=OC,：.SAA O E SC O E,故正确；正确的结论有2 个，故选：C.【点拨】本题考查了矩形的性

19、质、等边三角形的判定与性质、含 30。角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA=OO=OC是解题的关键.7.A【分析】先根据菱形的性质得0 0 =0 3、AB/CD.AB=A D,即，A C,借助NC4D=20。可计算出NS4D、的值，再利用OHLAB、0=0 8 可知0 为/?小。8 的斜边/58上的中线,得到OH=OD,利用等腰三角形的性质得NDHO=ZBDH，进而求出ZDHO的度数.解：A3CO是菱形，：.OD=OB、ABI/CD,AB=AD,BD1AC,ZBAD=2ZCAD=40，：.NABD=(180-ABAD)4-2=70,:DH 工 AB,OD=OB

20、,：.OH=OD9：.ZDHO=ZBDH=90-ZABD=20,故选：A.【点拨】此题考查菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形等边对等角求角度等知识，熟记相关几何性质是解题的关键.8.B【分析】由氏 8。中，点。是5。的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,0/7=2,则，BD=4,由菱形对角线的性质可得AC=8,应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案.解：四边形ABC。是菱形，：.OA=OC,OB=OD,AC.LBD,DHL AB,：.NBHD=90。,:.BD=2OH,OH=2,；.BD=4,VOA=4,，4C=8,二菱形 ABC。的面积=ACBD=gx8

21、x4=16.故选：B.【点拨】本题主要考查了菱形的性质和面枳及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键.9.B【分析】先连接A。，取其中点E，连接。E、B E,根 据 点 E 为线段AC、AO的中点求出DE的长，再根据斜中线定理求出8 E 的长，当当8、。、E 三点在同一条直线上时，BO值最大，求出结果即可.解：如下图所示，连接A 0,取其中点E,连接。E、BE,.点。、E 为线段AC、A 0 的中点，DE=-O C =,2又轴于点B,A AO=y/AB2+0B2=5BE=-AO =,2 2当8、D、E 三点在同一条直线上时，8。值最大，5 7此时 8O=

22、BE+E=l+=-；2 2故选：B.【点拨】本题主要考查三角形中位线定理、斜中线定理，本题解题的关键是在于找到两点之间线段最短.10.A【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EPGH是平行四边形，当A8_LOC,利用EF/AB.EH/CD可得EF J_ E”即可证明四边形EFGH是矩形.解：；点 E,F,G,”分别是AD,BD,BC,CA的中点,:.E F H A B,且 EF=LA8,且 G”=1 AB*22四边形EFG”是平行四边形，.四边形EFG”是矩形，；.N F E H =90 ,即 庄 _ 1”,/EF/AB,HE/CD,，AB CD,故选：A.【点拨】本题考查矩形的判定定理，三角

23、形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFG 是平行四边形，再利用推出A B Y C D.11.B【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可；解：四边形ABCD是平行四边形，AB =BC,二平行四边形ABC。是菱形，故4 不符合题意；:四边形48CZ）是平行四边形，A C=B D,，平行四边形A8CD是矩形，故 8 符合题意；.四边形A8CO是平行四边形，ACA.BD,平行四边形4 3 c o 是菱形，故 C不符合题意；:四边形ABC。是平行四边形，ZAOB=60,不能判定平行四边形A8C。是矩形，故力不符合题意；故选B.【点拨】本题主要考查了平行四边形的性

24、质、矩形的判定和菱形的判定，准确分析判断是解题的关键.12.B【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可.解：A、A D =A B W ,平行四边形A8c。是菱形，故选项A 不符合题意；B、AB_LAD时，N8A=90。，则平行四边形A8C。是矩形，故选项B 符合题意；C、A3=AC时，平行四边形ABC。不一定是矩形，故选项C 不符合题意；D、C 4,即 时，平行四边形A 8 8 是菱形，故选项D 不符合题意；故 选:B.【点拨】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识：熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键.13.D【分析】根据

25、三角形中位线定理可知上A F,D E=A F,所以四边形AOEF是平行四边形；当NA=90。，四边形ADE尸是矩形；若 AB=A C,则AZ=AF=DE=EC,所以四边形AOEF是菱形；若四边形4OE尸是正方形，则NA=90。，AABC不是等边三角形.解：A.由三角形中位线定理可知：DE/AF,D E =A F，四边形4。尸是平行四边形，选项正确，不符合题意；B.：四边形A D E F是平行四边形，二当NA=90。，四边形A D E F是矩形，选项正确，不符合题意；C.V 四边形A D E F是平行四边形，:.A D =EF,D E =AF,.AB=A C,点。、F 分别是AB、AC的中点D

26、E =EF,；A D =D E =EF=A F，.若AB=A C,则四边形AOE尸是菱形，选项正确，不符合题意；D.若四边形ACEF是正方形，则2 4 =90。，.若四边形4OEF是正方形，则 是 等 边 三 角 形，选项错误，符合题意；故选：D.【点拨】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的性质和等边三角形的判定，解题的关键是熟记定理及性质.14.A【分析】证明OE=OC,O F =O C ,即可证明结论正确；先由角平分线性质证NECF=90。，若C E=C F,则NOFC=45。，ZACD=90,与已知矛盾，故结论错误;由直角三角形斜边中线性质知，OC

27、=F,故结论错误；由矩形判定方法可以证明该结论正确.解：MN/BCZ O E C =ZECB,Z O F C =Z F C D.EC平分角ZAC,R;平分角Z4COZ O C E =NECB,Z.OCF=Z.FCDA E C F =Z O C E+Z O C F =90Z O C E =ZOEC,Z O C F =Z O F C,OC=O E =O F故结论正确；若C E=C F,则N O?=45。，ZACD=2x45=9 0 ,与aA BC是锐角三角形矛盾，故结论错误；由上面分析知，是直角三角形，OC是斜边中线，故OC=(E F (E C =6,故2 2结论错误；由OE=OF,Q4=OC,Z

28、ECF=9 0 ,知四边形AECF是矩形，故结论正确.综上，正确答案为：A【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形中线性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握基本知识是解题的关键.15.B【分析】根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可.解：点 E 从。点向A 点移动过程中,/四边形A B C D是平行四边形，J.AD/BC,AO=CO,：.ZEAO=ZFCO,ZAEO=Z C F O,.AOE 畛COF,；.AE=CF,；四边形AECF是平行四边形；,?ZAOD1 800-ZDAC-ZADB=115,.,.当NE0=15时，ZAOE=90,此时平行四边形4ECF

29、是菱形；当 ZOH45,N4EO=/EOD+NAOO=450+15=60,：.ZOAE=ZOEA,：.OA=OE,：.AC=EF,此时平行四边形AEC尸是矩形；.NE0QV15。时，四边形AFCE为平行四边形，当NE0Q=15。时，AC VEF,四边形AFCE为菱形，当 15。=45。时，四边形4FCE为矩形，当 45。/：。0,，NOCE=30。，：.ZCOE=(180-ZOCE)=75,NDOE=135。，故答案为：135。.【点拨】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分且相等的性质是解题关键.2 0.延2【分析】过点F作AQ的垂线，交A。于例，交BC于N,求出AM长，再根据勾股定

30、理列出方程求解即可.解：过点尸作AO的垂线，交AO于，交BC于N,由翻折可知，A8=AF=3,BE=EF,.AD厂的面积为2：.-AD-FM=-,2 2F O=5,：.FM=,AM=yjAF-FM1=2/2，；NABN=N BAN=NAMN=90,四边形AMNB是矩形，:.AM=BN=2叵,NBNM=90。,AB=MN=3,:.FN=MNFM=2,：.BE2=(2/2-BE)2+22,解得，8E=还，2故答案为：逑.2M【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长,利用勾股定理列方程.21.3 石【分析】利用三角形中线的性质以及平行线的性质得出S gE M =SM

31、MD,SBNC =S.N C ,S 四边形=S 四边形ZWW，即可得出答案解：,点E、尸分别是A 3、CD的中点，连接。E 和 跳 分别取D E、成 的中点M、N、AFNC，S 四边形E 8 M W =S 四边形0M V F，图中阴影部分的面积=1 x 4 8 x 8 C =:x 3 x 2 石=3石.2 2故答案为：3石【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中线的性质，得出图中阴影部分的面积等于矩形ABC。面积的一半是解题关键.22.-3【分析】先由B4_Lx轴，8CJ_y轴得到四边形048C 是矩形，然后由矩形的性质可得直线/过矩形 OABC的中心点，再由点8 和点。的坐标求得中心点的

32、坐标，最后将中心点的坐标代入直线/的解析式求得，的值.解：轴，8CJ_y 轴，二四边形OABC是矩形,.直线/将四边形0ABe分为面积相等的两部分,直线/过矩形0A8C的中心点，；点 B（3,3）,点 0（0,0）,3 3.矩 形 O48C的中心点为（彳，-）,（中点坐标公式）2 23 3 3 3将中心点（一，一）代入y=m x-2用得，m -2 m=-2 2 2 2；.?=-3,故答案为；-3.【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过直线/平 分 四 边 形 8 c 的面积得到直线/经过矩形OA8C的中心点.23.【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得：E

33、C=E D,再根据AC=AE）,点一定在NCAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当时，E 8的长最小，根据N8AE=60。得出结论.解：连接AE,：四边形CQG”是矩形，：.CG=DH,EC=gcG,ED=DH,：.EC=ED,：AC=AD,垂直平分CQ,NOAE=NC4=g NCA=gxl20=60,点 E 在/C A 8 的平分线上运动，.,.当 NAEB=90。时，E8 的长最小，,?NB=90-NBAE=30,:.EB=BAB=Bxl0=5百，即 EB的最小值为56 cm,2 2故答案为5 G.H【点拨】本题考查J矩形、线段垂直平分线、含30。角的直角三角形、垂线段.熟练掌握矩形对角

34、线相等且平分的性质，线段垂直平分线的判定和性质、含30。角的直角三角形边的性质、垂线段最短，是解决问题的关键.24.4-2应【分析】如图，作于M交3 c于N,作于K.证明AK尸G(AAS),推出AH=FK=1,由四边形DMFK是矩形，推Hl DM=既=1,推出=AD-4/-=1，在自AR W 中，FM=何2-萩=推出当班的 值 最 小 时,的 值 最 大，FN的值最大，求出 河的最小值即可解决问题.解：如图，作fM_LA于M交BC于N,作户K _ L 8于K.四边形ABCD,四边形EFGH都是矩形，:.ZA=ND=NEHG=NHGF=90。,HE=FG,:.ZAHE+DHG=90,ZDHG+Z

35、DG”=90,ZDGH+FGK=90.4FGK+NGFK=90。,ZAHE=ZDGH=NGFK,.ZA=K G =90,:.AHEKFG（AAS）,:.AH=FK=,四边形皿 K是矩形,:.DM=F K =,:.H M =A D-A H D M =1，在RtFMH 中，F M =y/FH2-，二当尸”的值最小时，尸河的值最小，FN 的值最大，四边形EFG”是矩形，F H =EG,.当EG_L他 时，EG 的值最小，.尸”的最小值=的长=3,F M的最小值=五=i=2叵，,：MN=AB=4,.,印的最大值=的一汽=4-2&，故答案是：4-2五.【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，

36、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用条辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.25.3 g【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AB的长，再根据含30。角的直角三角形的性质，即可得到8 c 的长，最后依据勾股定理进行计算，即可得出AC的长.解：点。是 AB 的中点，8=3,ZACB=90,：.AB=2CD=6,；在入48 c 中，N4C8=90,N4=30,：.AB2BC,即 8。=8=3,K/ZiABC 中,A C =yjAB2-B C2=/62-32=3 0，故答案为：3月.【点拨】本题主要考查了勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线

37、等于斜边的一半.4亚2 6.-3【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得8C=6,勾股定理求得A B,然后根据等面积法求得三角形的高即可求解.解：是RtZMBC边 BC上的中线:.BC=2 A D =6R C C 中，AB=yjBC2-A C2=X/62-22=4-72.-BCxAE=-A B x A C2 2A B x A C 4&x 2 4 0BC 6 3故答案为：逑3【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.27.2+2 0【分析】根据题意，可得：当。、。、8 三点共线时，点B到原点0 的距离最大，即可得解.由勾股定理得，

38、BD=J22+22=2A/2，?O B DH=1 ,/.AD2=AH2+DH2=8,.四边形ABC。是菱形，:.DG=DC2-CG2=%/84=2)：.EF=HG=,故答案为1.【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理、矩形的判定，解题的关键是证明四边形HEFG是矩形.34.6 或 4【分析】分/e 4。=90。和/4 8。=90。两种情况，画出图形，利用含30。的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可.解：AB/2,S阴 影=gcE豳 Q=g仓 2(1+夜)=1+夜.故答案为：1 +亚【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用,等腰三角形的性质，作出合适的辅

39、助线构建矩形与等腰直角三角形是解本题的关键.37.(1)AC=8D=8(2)1673【分析】(1)根据矩形的性质可得QA=C,再根据等边三角形的判定与性质可得。4=03=4,从而可得A C =B D=8；(2)根据矩形的性质得NB4D是直角，利用勾股定理可得AD的长，最后利用矩形的面积公式即可.(1)解：四边形ABC。是矩形，.-.OA=OB=-B D ,2又.ZAOB=60。，,AAOB是等边三角形，:.OA=O B=A B =4,:.BD=2OB=S,AC=2OA=8.：.AC=BD=S.(2)解：四边形A8CD是矩形，:.BAD=90在 Rt/MBO 中，AD-BEr-AB1=473,则

40、矩形ABC。的面积为A8-4D=4X4 6 =16G.【点拨】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题关键.38.(1)见分析 QS 侬 形BCMN=4#-8【分析】(1)利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；(2)利用全等三角形的性质求得AD=8N=2,AN=4,从而利用勾股定理求得AB的长,利用S国边游BCMN=S即:彩ABCD-SAABN-SXMAD求得答案即可.解：证明：在矩形 48CD 中，ZD=90,DC/AB,：.NBAN=/AMD.：BN LAM,.NBNA=90,在AABN与AMAO中

41、，ZB AN=ZAMD-NBNA=ZD=90,ABAM/XABNm MAO(AAS).(2)解：V AABNAMAD,：.BN=AD.：AD=2,:.BN=2.又,.AN=4,，在 RtL ABN 中,由勾股定理，得AB=2下.S CD2 x 2 y/s=4/5.又,：S 温BN=SAMAD=I x2x4=4.S yBCMN=S t“；ABCD-SAABNSMAD4-5 8.【点 拨】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关健，难度不大.39.见 分 析；(2)8【分 析】(1)证4 A E F/D E B得AF=DB

42、,再 证 出DB=DC即可;(2)先 证明四边形A/X 尸是菱形，进而求出周长即可.解：(1)证 明：A F/B C,.ZAFB=ZDBF(两宜线平行，内错角相等),点E是AD的中点,.AE=DE,ZAEF=ZBED,.AAEF冬DEB(AAS),AF=BD，4。是8 c边上的中线,.CD=BD,.A F =CD-,V A F/BC,AF=CD,四边形4 0 c p 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,AB1AC,：.N84C=90。，：AO是 8 c 边上的中线，AD=B C =CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），2.四边形ADCF为菱形（一组邻边相等的平行四边

43、形是菱形），:.AD=CD=CF=AF=2,.四边形AOCF的周长=2x4=8.【点拨】本题利用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等，求周长的关键就在于得到四边形4OCF为菱形.4 0.或【分析】选择的条件只要能证得四边形ABCC是矩形即可证明四边形OBEC是菱形.解：选择时，证明：AD/BC,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形，X V ZABC=90,四边形ABC。是矩形，A OC=-A C,OB=-B D,AC=BD,2 2OB=OC,V BE/AC,CE/DB,四边形OBEC是菱形.选择时，证明：AB=CD,AD=BC,，四边形48C。是平行四边形，

44、又：NA3C=90,.四边形4 8 c o 是矩形，A OC=-A C,OB=-B D,AC=BD,2 2:.OB=OC,：BE/AC,CE/DB,四边形O B E C 是菱形.综上可得，选择的条件是或【点拨】本题考查了菱形、矩形的判定和性质，熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键.4 1.(1)证明见分析；(2)3【分析】(1)根据角平分线及平行四边形的性质得出/A B C=9 0。，利用矩形的判定定理即可证明；(2)连接CE,由勾股定理及等角对等边得出4 8=4 E=2,结合图形即可得出结果.解：(1)证明：；四边形A B C O 是平行四边形，J.AD/BC,NAEB=NEBC,平分N A B C,N A E B=4 5,NABE=NEBC=45,：.ZABC=90,四边形A 8 c。为矩形；(2)解：连接C E,:CE=5 DE=,D C =yCE2-D E2=2-；.4 8=2,由(1)可知乙4 E 8=N A 8 E,：.AB=AE=2f；.AD=2+1=3.【点拨】本题主要考查平行四边形的性质及矩形的判定，角平分线的定义，勾股定理解三角形及等角对等边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.