2022-2023学年上海高一上学期数学同步练习(沪教新版)2-3三角不等式（第3课时）（解析版）.pdf

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1、2.3 三角不等式（第 3 课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题i.（2021上海市川沙中学高一期末）对 于 同-科4,+目4同+例，下列结论正确的是（）A.当a,b异号时，左边等号成立B.当a,b同号时,右边等号成立C.当a+b=O时,两边等号均成立D.当a+Z?0 时,右边等号成立；当。+%nB.mnC.m=nD.m5 E P a2-6a+5 解得 14a 45.故选：D.4.(2021 上海格致中学高一阶段练 习)若、b为非零实数，则下列不等式中成立的是()A.ab,Vrabr4 2C.|a+A|+|fl-/?|2|Z?|【答案】A【分析】利用作差法可判断A选项；利

2、用特殊值法可判断B选项；利用绝对值三角不等式可判断CD选项.【详解】对于A选项，(/+)1/2 +/=(a-*。则刈4担土处.，A对：4 4 4-4对于B选项，取a=l,。=一1,则 无 意 义，B错；对于C选项，由绝对值三角不等式可得|。+耳+|。一可引。+6+4-。|=2时，C错；对于D选项，由绝对值三角不等式可得|a+4-|a-b因(+-(4-3|=2回，D错.故选：A.二、填空题5.(2021 上海高一专题练 习)函 数/(x)=|3-R+k-7|的最小值等于.【答案】4【解析】利用绝对值不等式求解.【详解】因为/(力=|3_才+卜_7|习3_刀+_7|=4.当3 4 x 4 7时，取

3、等号，所以x)的最小值为4故答案为：46.（2 0 2 2 上海 华师大二附中高一期末）如果|x+l|+|x+9 。对任意实数x总成立，那么的取值范围是【答案】（7,8）【分析】先利用绝对值三角不等式求出|x+l|+|x+9|的最小值，进而求出a的取值范围.【详解】卜+1|+卜+9|2 k+1-（+9）|=8,当且仅当-9 4 x 4-1时等号成立，故a 0【分析】当。、同号或而=0时,1。1 +作 以。+勿的等号成立.【详解】当 2 0时，a+b=a+b,当 必a+b,故当且仅当N O时,等号成立故答案为：ab09.（2 0 2 1 上海高一专题练习）已知关于x的不等式|x+l|-|x-2|

4、f有解，则实数r的 取 值 范 围 是；【答案】r f有解,所以(|X+1|-|X-2|)2.3故答案为f|x+l-(x-)|=|a +l|,当且仅当(x+l)(x-a)W 0时等号成立，因为不等式|x+l|+|x a|N5对任意x e R 恒成立，所以/(力.d 1 +。巨5,解得。2 4 或故答案为：a4a).故答案为：(Y,-1U4,+O O).13.(2021 上海高一专题练习)实数a、b 满足|。+6|。-闿，则。、人 之间的关系是.【答案】ab0【分析】将已知不等式两边直接平方，化简可得等价条件.【详解】因为|。+4|。一耳，所以(a+6)y0 力产，BP a2+2ab+b2a22

5、ab+b2,所以 4。0,故 ab0.故答案为：ab014.(2021上海高一专题练习)己知时1,问|+|a-6|2.【答案】【分析】分情况利用绝对值三角不等式求解即可.【详解】当(4+6)(“-6巨0,+4+|。-4=|(4+6)+(-6)|=2同2.当(a+/7)(“)W0,a+b+a-b=(a+b)-(a-b=2b2,i 上可知，,+4+|4-4 2,故答案为：3：故答案为：3,物)16.(2021.上海市进才中学高一期中)若关于x的不等式k-2|+|x-4.a在R上恒成立，则实数。的取值范围是.【答案】(e,l【分析】根据绝对值的意义|x-2|+|x-a|表示数轴上的x时应点到2和对应

6、点的距离之和，它的最小值等于可得答案.【详解】卜-2|+氏-4表示数轴上的x对应点到2和。对应点的距离之和，它 的 最 小 值 等 于 由 不 等 式卜恒成立知，q j a-2|,解得：4,I故答案为：(-00 .17.(2021上海奉贤区致远高级中学高一期中)已知不等式|x+l|+|x-l|2 2对所有实数x恒成立，等号成立时x的 取 值 范 围 是.【答案】x|TW xl【分析】设x)=|x-l|+|x+l|,化 简 函 数 的 解 析 式，即可得出结果.【详解】设x)=|xT|+|x+l|,当X2；当-14xVl 时，/(x)=l-x+x+l=2；当xl 时，/(x)=x-l+x+l=2

7、x2.综上所述，不等式|x+l|+|x-l|2 2对所有实数x恒成立，等号成立时x的取值范围是 x|TWxWl.故答案为：x|三、解答题18.(2021上海高一专题练习)设a、b 为实数,求证：,+4+|。一目22例.【分析】利用绝对值三角不等式证明即可.【详解】证明：因为2b=(a+b)-(a-b),由三角不等式可得，|2/|=|(a+/?)-(a-Z)|2M.19.(2020 上 海 高一专题练 习)已知因：3 吟 求证：|2x-3y|a.【分析】利用不等式的性质以及绝对值三角不等式即可证明.【详解】证 明 国/3 ,，国、,13y丐，根据绝对值三角不等式可得|2x-3y|2x+3y2|(

8、x-10)-(x-20)|=20,当且仅当(x-10)(20T”0 时取等号，解得10Wx20.答：临时生活区位于两个施工点之间(包含施工点)使两个施工队每天往返的路程之和最小.21.(2021.上海.高一专题练 习)(1)求不等式|x+2|2的解集；(2)如果关于x 的不等式卜+2卜的解集为R,求实数”的取值范围.【答案】(1)(-4。；(2)(4同.【分析】(1)利用公式法解绝对值不等式；(2)利用绝对值三角不等式求出|x+2|-|x-2|的最大值，再根据题目条件可求得实数。的取值范围.【详解】由 k+2|2,得-2 x+2 2,解得Y x 0,故原不等式的解集为(T,0).由绝对值三角不

9、等式得，|x+2|-|x-2|4.所以实数的取值范围(4,3).2 2.(2 0 2 1 上海 高一专题练习)(1)若关于x的不等式卜-1 卜卜-2|。的解集为R,求实数的取值范围;(2)若关于x的不等式卜-1 卜卜-2 卜。有实数解，求实数a的取值范围；(3)若关于x的不等式卜-1|-卜-2|1；(2)a -l；(3)a -l.【分析】(1)利用绝对值三角不等式求出最大值，只需。大 于 的 最 大 值 即 可 求 解.(2)去绝对值求出 X)=卜-1|-卜-2|的 最 小 值,只 需.大 于 的 最 小 值 即 可 求 解.(3)由(1)只需a小 于 等 于 的 最 小 值-1 即可，【详解

10、】(1)|x-l|-|x-2|?|x l-x+2|=l,因为关于x的不等式Z 1；(2)设 x)=k-件-2|,当 时，j(x)=x+1 +x-2=-1,当 x2 时，J(x)=x-1-x+2=,当 1 W 烂2 时，/U)=x-l+x-2=2 x-3,t e-l /(x)=|x-l|-|x-2|l,/1(%)=以一1 卜,一2|的最小值为-1,因为关于x的 不 等 式 卜 1-2|-l；(3)由 得，的最小值为-1,因为关于x的不等式卜-1|-卜-2 卜。的解集为空集，所以a小于等于|x-l|-|x-2|的最小值-1 即可，即a f)=a+b+2,M(a,b)fQ)a+b+,可得一M(t z

11、,/?)+M(a/)+/(/)之一。+。+1+|3 3 3 3 6 3 3、2 t z +1f P H 1 1-a+2-bf-4-a b ,3 3 6 3 3 3 2即2 例即有则M(a,6)的最小值为:故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，2.(2 0 2 0 上海复旦附中青浦分校高一阶段练习)设a e R,-+a+b+熟练掌握绝对值的三角不等式.91 9 1若不等式xH-F X-F CIX则实数。的取值范围是A.2,1 2 B.2,1 0 C.-4,4 D【答案】D【分析】由题意可得/+1+|/-1 8.(4-a)x 恒成立，讨论x 0,X X进而得到所求范围.【详

12、解】V+3+旨-!+*.4 X-8 恒成立，X X即为厂+1+|x?-F 8.(4 a)x 恒成立，X X.-4,x 0 时，可得4-a,X +4X,1 I I 1 8J 1由 X d 7+X 7 rX 1 x2 X|x2当且仅当尤=2 取得最小值8,当x 0,b 0,则下列不等式恒成立的是（）.,（a+b）2 D a+h r-rA.ab la b ；4 2C.|a+|a-闿4 2向；D.卜+可-卜-q 上2例.【答案】AB【分析】利用基本不等式、绝对值三角不等式，判断出正确结论.【详解】由基本不等式可 知 等 士 而，当且仅当a=b 时等号成立，B 选项正确，两边平方得V虻，当且仅当。=b

13、时等号成立，A 选项正确.4根据绝对值三角不等式|。+6|+|。一可引。+6+。一目=2同，C 选项错误.根据绝对值三角不等式|。+6|-卜-4=,+百 一|6一。1斗。+6+人 4=2|同，D 选项错误.故选：AB三、填空题4.（2021.上海.华师大二附中高一期中）对任意的xe0,l均 有 版+比 1,则 同 的 最 大 值 为.【答案】2【分 析 由 已知取x=0,l时，得|。+小 1,网4 1,继而由时=|（。+。）-陷 4 k+4+忖，可得答案.【详解】解：对任意的x w 0,l,都有向+可 1,所以取x=0,l时，有|a+司41,h,所 以 同=|（a+b）-0 a+b+1/?|=

14、2,所以时的最大值为2,故答案为：2.5.（2021上海市嘉定区第二中学高一期中）若不等式对任意的x e R 恒成立，则实数 a 的取值范围是.【答案】(a,1 U 3,y)【分析】先求Ix-3|-|x-6|的最大值，然后让这个最大值小于等于 的-2 a 即可;【详解】不等式|x-3|-|x-6 区对任意的x eR恒成立，只需求出|%-3|-5-6|的最大值,由绝对值三角不等式，得：|x-3|-|x-6|(%-3)-(.r-6)|=3,当且仅当壮 6 时等号成立，|x-3|-|x 6|的最大值为 3,故/_ 2 *3,解得：z e(-0,b-d,则|3 a-4 b-3 c+4 M 的最大值是.

15、【答案】2t【分析】利用绝对值三角不等式可得|3。一劭 3 c+4 d|w 3|a c|+4 k d|,再根据卜一目4(，他-4 区；，求出3 卜 d+4|b 4+4(-b+d7【解析】由题可知a Z（|x+4|-|x-3%,*,利用绝对值不等式的性质可以求出Ix+4|-|x-3|的最大值，进而可求出实数。的取值范围.【详解】解：由于不等式|x+4|-|x-3 区”对一切实数xw R 恒成立，则。大于等于 Ix+4|-|x-3|的最大值，g|ja（|x+4|-|x-3|）max,Q|x+4|-|x-3|=|x+4|-|3-l.故答案为：7.【点睛】结论点睛：本题考查含有两个绝对值的函数的最值及

16、恒成立问题，一 般利用绝对值的性质或者几何意义进行求解，在恒成立问题中求参数的范围的常用结论如下：（l）”“（x）恒 成 立=。/（力,皿；（2）a 4“X）恒成立 o a b2a =b即a=b 或a=时，取等号,故答案为：a=b.a=-h【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.10.（2021.上海松江.高一期末）已知函数/（x）=|x2|,g（x）=|x+3|+机若函数式x）的图像恒在函数g（x）图像的上方，则 加 的 取 值 范 围 为.【答案】（-8,5）【解析】函数7U）的图像恒在函数g（x）图像的上方，可转化为不等式Ix-2|+|

17、x+3|机恒成立，利用不等式的性质求出|x2|+|x+3|的最小值，就可以求出机的范围.【详解】函数人x）的图像恒在函数g（x）图像的上方，即为卜一2|一伏+3|+?对任意实数x 恒成立，即|x一2|+|x+3?恒成立.因为对任意实数x 恒有氐一2|+卜+3国（-2）。+3）|=5,所以“5,即m的取值范围是（-8,5）,故答案为：（7,5）.【点睛】该题考查的是有关利用两个函数图象的关系，得出函数值的大小关系，之后将恒成立问题向最值靠拢，利用绝对值不等式的性质求得结果，属于简单题目.1 1.(2 0 2 1 上海高一专题练习)如果关于x的不等式卜-4 W+k+l|的解集为一切实数，那么。的取

18、值范围是.【答案】一 1 。0【详解】因为不等式|x-a|0,h0,a+b=2.(1)求:+?的最小值；a b(2)求JTR+而 工 的 最 大 值；(3)若不等式|x+?|-|x+l 区L +?对于任意xeR及条件中的任意a、6 恒成立，求实数小的取值范围.a bi i i(i i A【答案】(1)2；(2)亚；(3)【分析】(1)由已知变形一+:=彳-+-+力，展开后利a b 2 /用基本不等式求最小值.(2)结合已知条件，可以先求出(而 i+屈 丫 的最大值，从而求出A/7T+历 的 最 大值.(3)由(1)问可知：+、2 2,结合k+冏一卜+1 闫 加-1|,求解何一1|42 即可.(

19、1)V 0,Z?0,a+b=2、即工+g的最小值为2,当且仅当。=6 =1 时等号成立.a b(2)(J a+1+J b +2)=。+1 +0 +2 +2 J +1 ,J。+2 W +l +Z?+2+a +l +Z?+2 =1 0,当且仅 当 而 1 =病 工，即。=；，b=：时取等号.所以所+1 4-y/b+2的 最 大 值 为.由(1)问可知1+7的最小值为2,a b|x+/w|-|x+l|m-l|,/.|w-l|2,解得一 l W m W 3.1 3.(2 0 2 0.上海市进才中学 高 一 期 中)(1)已知“，b,。为实数，求证：的a-c|+|b-c|,并说明等号成立的条件；(2)设

20、xeR,求方程|31-8|=|5-乂+|2-3|的解集.【答案】(1)答案见解析；(2)(-oo,|u 5,+oo)【分析】(1)将证明I 4-勿S a-c|+|b-c|转化为|x-y区|x|+|y|,再用分析法进行证明;(2)利 用(1)中|x-y|V|x|+|y|等号成立的条件确定方程的解集.【详解】(1)令a-c =x,b-c=y,则,要证|。一匕国。一?|+|6-?|,即证|x-y 区|x|+|y|要证l x-y国x|+|y|成立，只需证|x-y4(|x|+|y|)2,即证 丁+丁一2盯S x+|y+2|x H y l，即证一肛S肛I,显然-冷0孙I成立，且当且仅当一孙2 0，即 时

21、取 等 号：所以|x-y国x|+|y|成立，当 且 仅 当 时 取 等 号；则|a-6|S a-c|+|b-c|成立，当且仅当(a-c)S c)4 0时取等号.(2)|3x-8|=|5-x|+|2x-3|可化为：|(2x -3)-(5-x)|=|2x3|+1 5-x|,由(1)得|x-y|0 x|+|y|,且当且仅当个40取等号，所以当且仅当(2x -3)(5-x)0时,|(2x 3)(5x)=|2工-3|+|5-划成立，3解得：xW三或x N5,2即|3x-8|=|5-x|+|2x-3|的解集为：35,+8).1 4.(2021.上海.高一专题练习)求证：鲁1+a+b 1+|a|1+|6 1

22、【分析】构造函数f(x)=W，x e 0,+8),判断 X)在 0,58)上的单调性，由f(|a+6|)与/(同+例)的大小关系结合不等式放缩即可求解.【详解】构造函数f(x)=W，x e 0,”o),即/(x)=l-占，因为y =*在 0,y)单调递减，所以“力在 0,内)单调递增.令玉=|。+川，玉=|。|+闻，则有百4 十 2,所以/&)0,且卜一4%,一耳%,求证：|2x+3y-2a-3目 52;(2)已知k-V；,|x+y|3,求证卜+5乂 1.【分析】利用绝对值不等式|2x-2a+3y-3/?|证明；(2)利用绝对值不等式,+5 乂=|3+3广(2 2 月 归 段+33+|2X-2

23、引证明.【详解】证明：(1)因为|2尤-叫 2%,|3 3耳 3%,所以左边=|2x-2a +3y 344|2 一囱+|3y 3耳 2&+3%=5&=右边.所以不等式得证.(2)/r=k+5y|=|3x +3y-(2x-2y)|4|3x+3y|+|2x-2y|.【解析】(1)利用绝对值三角不等式时+|可 耳 耳，结合一元二次不等式的解法求解即可；(2)关于x 的 不 等 式 1|-12根-卜+1|有实数解，即打一1|+卜+1 归 2帆+1有实数解，再利用绝对值三角不等式求出|xT|+|x+l|的最小值即可.【详解】因为同+四 2,一身，所以卜1|+卜+1|习(x_l)_(x+l)|=2,当(x

24、 D(x+l)40 时等号成立，即 时 等 号 成 立；(2)关于x 的不等式|x l|-142加一卜+1|有实数解，即,一1|+卜+1|42m+1有实数解，只需(卜一1|+,+1|)1nhi M2加+1即可,因为 k_ l|+|x+l|2|(x_l)_(x+l)|=2,所以2 4 2m+1 =机2,，2即实数m 的取值范围是m 2；.【点睛】方法点睛：不等式有解问题与不等式恒成立问题是常考题型，不等式有解问题：有解可以转化为 /(x)有解可以转化为a /(x)min.18.(2021上海市川沙中学高一期末)(1)解不等式：(2)设集合户表示不等式|x-l|+|x-2|1 对任意xWR恒成立的

25、。的集合，求集合；(3)设关于x 的不等式以2+2|、|_ 200的解集为A,试 探 究 是 否 存 在 使 得 不 等 式+x 20与|2 x-l|2,l x 2,x l三种情况求解即可；(2)根据三角不等式得，|x-l|+|x-切=卜-1|+3-闻之3-1，由 此 可 得 从 而 可 求 出。的取值范围；(3)先解不等式“2+-2 0 与|2 x-l|x+2,可得(-2,3)c A,当。=0 时，符合题意，当awO时，构造函数/(司=/+2|x-|-2 0,则有，/(-2)2 时，1：,符合题意；若14x42时，X-1 +X-2 4,解得故二X4 2；2 2 4 4若x p 无解；综上，|

26、x-lH x-2|g 的解是 仔,+8)；(2)根据三角不等式得，|x l|+k 2a|=|x 1|+3 1|,所以解得a l或a0,二集合尸=(,O)U(I,R)；(3)由寸+%-20 可得-2 x l,由|2x1x+2 可得-g x 3,故(一 2,3)eA,若a=0,2凶 2 0,解得一 1 0 x0,所以只要,/-2)0 /即可/3 0即，4a+2|+2|-2009a+2|3-a|-200因为a N,可得a=1或a=2；综匕，。=0或a=l 或=2.【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，笫(3)问解题的关键是构造函数/(1)=加 +2|x|-2 0,可得/(

27、-2)8.【答案】(1)4；(2)x 5.【解析】(1)利用绝对值三角不等式求解.(2)分x 3三种情况讨论求解.【详解】/(x)=|x+l|+|x-3|(x+l)-(x-3)|=4,当且仅当(x+l)(x 3)4 0取等号，/(xLn=4-当-I时，/(x)=-2 x +2 8,解得 x v 3 ,/.x 8,无解.当x 3时，/(x)=2 x 2 8,(W得x 5,x 5 .综 二，x v-3或x 5.【点睛】本题主要考查绝对值函数的最值和绝对值不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2 0.(2 0 2 0上海高一单元测试)设复数z：满足|z +4-3 i|-2|=2-|z +

28、4-3 i|,求忖的最大值和最小值.【答案】最大值7；最小值3.【解析】先根据绝对值定义得不等式，再根据绝对值三角不等式求最值.【详解】由已知等式得|z-(-4 +3 i)|-2 4 0.|z|-4 +3 M v|z-(Y+3 i)|4 2.-2 4|z|-5 4 2；.3 4 z|4 7所以国最大值为 7；忖最小值为 3.【点睛】本题考查复数模、绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.2 1.(2 0 2 1 上海高一专题练习)设函数f(x)=|2 x-l|.(1)解关于x的不等式/(2X)4/(X+1)；(2)若实数小 6 满足a-乃=2,求 f(a+l)+f(-1)的最小值.【答案】(1)0,1(2)8.【分析】(1)利用平方去绝对值，然后解一元二次不等式；(2)利用绝对值不等式的性质，即可求得结果.【详解】解：(1)|4 x-l国2x+l|=16/-8 x+l 4A-2+4x+l=12x2-12x4 0，解得O M x K l,故原不等式的解集为OJ.(2)/(a+l)+/(2fe-l)=|2(a+l)-l|+|2(2j)-l|=|4%+5|+|4b-3以46+5-4 3|=8.【点 睛 本题考查绝对值不等式的解法，以及利用绝对值不等式性质求最值，属于中档题.