2023年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数第九节函数模型及其应用.pdf
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1、第九节函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、繇函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、森函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.考向预测考情分析:考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力,常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题,预计高考对本节考查将延续近几年的考查风格,各种题型均有可能,属中档题.学科素养:通过函数模型的应用考查数学建模的核心素养.必备知识基础落实赢得良好开端一、必记3 个知识点1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型fix)=ax+b
2、(af b 为常数,二次函数模型J(x)=ax2+hx+c(a,h,c 为常数,W 0)与指数函数相关的模型fix)=ba+c(a,b,c 为常数,a 0 且 a W l,b#0)与对数函数相关的模型fix)=bogax+c(a9 b,c 为常数,Q0 且 a W l,W 0)与基函数相关的模型J(x)=axft+b(a,b,为常数,W 0)2.指数、对数、鬲函数模型生质比较3.解答函数应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,函数性质y=cf(1)y=l o g a X(
3、a Dy=x/,(H 0)在(0,+8)上的增减性单调_ _ _ _ _ _ _ _单调_ _ _ _ _ _ _ _单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 X的增大逐渐表现为与_ _ _ _ _ _ _ _ 平行随 X的增大逐渐表现为与_ _ _ _ _ _ _ _ 平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个 如 当XX0时,有建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:实际问题实际结果分析、联想抽象、转化还原建立函数模型数学推演数学结果二、必 记 1 个常用结论“对勾”函数的性质函数於)=x+:
4、(a 0),(1)该函数在(-8,-V a V a,+8)上单调递增;在 一孤,0)和(0,正 上单调递减.(2)当x 0时,时取最小值2 孤;当x 0,增长速度越来越快的形象比 喻.()(3)基函数增长比直线增长更快.()(二)教材改编2 .必修 1 R(M例 5 改编 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=+2 x+2 0(万元).一万件售价为2 0 万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为 万件.3.必 修 Pg例 4 改编 某动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=a l o g 3(x+l),设这种动物第2年
5、有 1 0 0 只,则到第8 年繁殖到 只.(三)易错易混4.(折线图识别不清)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是()9080706050403020100A.收入最高值与收入最低值的比是3:1B .结余最高的月份是7 月C.1 至 2月份的收入的变化率与4 至 5 月份的收入的变化率相同D.前 6个月的平均收入为40 万元5.(对困救增长速度认识不请)已知g(x)2x,h(x)=os2X,当x G(4,+8)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()A.ft.x)g(x)h(x)B.g(x)fix)h(x)C.g(x)/z(x)次 r)D.
6、fi.x)h(x)g(x)(四)走进高考6.2 0 2 1 全国甲卷理 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数 据 V满足L=5+l g V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为 V 芯七125 9)()A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6关键能力考点突破掌握类题通法考点一利用函数的图象刻画实际问题 基础性1 .2 0 2 2 青岛质检改编 某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2 0 1 4 年 1 月至2 0 1 6 年 1
7、 2 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,A.B.C.D.月接待游客量逐月增加年接待游客量逐年增加各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月各年1 月至6月的月接待游客量相对于7月 至 1 2 月,波动性更小,变化比较平稳2 .为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量卬与时间f的关系为w=/w,用一窄詈的大小评价在 小句这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则下列结论不正确的是()A.在 小编这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强B
8、.在这时亥I J,甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在台时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在 0,3,小 切,打,旬这三段时间中,在 0,力 的污水治理能力最强3.y43.2.*1 *d i 2 3 4 5 6 7 1 2 0 2 2 武汉调研 为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前1 0 年的生长规律,统计显示,生长4年的树高为 米,如图所示的散点图,记录了样本树的生长时间年)与树高(米)之间的关系.请你据此判断,在下列函数模型:y=2 -a;y=a+l o g2 f;尸与+;y=+中(其中。为正的常实数),拟合 生 长 年 数 与 树 高 的 关 系 最 好 的 是(填写序
9、号),估计该树生长8年后的树高为 米.反思感悟判断实际问题中两变量呈现某种变化趋势的方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;(2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.考 点 二 应用所给函数模型解决实际问题 综合性|例1 2 0 2 0 山 东卷 基本再生数R)与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:&)=e
10、”描述累计感染病例数/随时间f(单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R o,T 近似满足R o=1+有学者基于已有数据估计出R o=3.2 8,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(I n2 A=0 6 9)()A.1.2 天 B.1.8 天C.2.5 天 D.3.5 天反思感悟求解已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检脸.【对点训练】2020全国HI卷 Logistic模型是常用数学模型之一,可应
11、用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/(/的单位:天)的 Logistic模型:/=,其 中 K 为最大确诊病例数 当/Q*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则广约为(In 19七3)()A.60 B.63C.66 D.69考点三构建函数模型的实际问题 综合性角 度 1构建二次函数模型 例2 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R 元),若每年销售量为(30-|町 万 件,要使附加税不少于128万元,则 R 的取值范围是()A.4,8 B.6,10C.4%,8%D.6%,10%角度2构建指数(对数)型函数模型
12、例3(1)2022青岛检测 一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有;的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是()A.6 B.5C.4 D.3(2)2022唐山联考 尽管目前人类还无法准确地预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为1gE=4.8+1.5M.已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”,若某次地震释放能量约10口 焦耳,试确定该次地震的类型;2008年
13、汶川地震为里氏8 级,2011年日本地震为里氏9 级,问:2011年 H本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍?(取g=3.2)角度3分段函数模型 例 4 某旅游区为了提倡低碳生活,在景区提供自行车出租,该景区有5 0 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日1 1 5 元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1 元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金M元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用),(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费
14、用后得到的部分).(1)求函数y=7(x)的解析式及其定义域;(2)试问当每辆自行车的I I 租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?听课笔记:反 思 感 悟(1)指数函数、对数函数模型解题,关键是对模型的判断,先设定模型,将有关数据代入验证,确定参数,求解时要准确进行指、对数运算,灵活进行指数与对数的互化.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一块,要注意各段自变量的范围,特别是端点值.构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏.【对点训练】1 .某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在 A
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- 2023 年高 数学 复习 第二 函数 概念 基本 初等 第九节 模型 及其 应用
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